vektor - Teknik Elektro UGM

VEKTOR
Mata Kuliah : Matematika Elektro
Oleh : Warsun Najib
Jurusan Teknik Elektro FT UGM
Warsun Najib, 2005
2
1. Vektor di Ruang 2

Besaran Skalar dan Besaran Vektor

Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)


Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah


Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet,
medan listrik
Notasi Vektor




Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka
ditulis dengan lambang u = AB
Notasi u dibaca “vektor u”
Warsun Najib, 2005
3
Penyajian Vektor

Vektor sbg pasangan bilangan

u = (a,b)


a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j


a
u   
b
u = ai + bj
Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
| u | a 2  b 2
Warsun Najib, 2005
4
Kesamaan Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama besar bila
besar dan arahnya sama.


Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
Jika u = v, maka



|u| = |v|
arah u = arah v
a=c dan b=d
Warsun Najib, 2005
5
a
b
Dua vektor sama,
a=b
a
b
a
b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a
b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
Warsun Najib, 2005
6
Penjumlahan Vektor
u
w=u+v
v
v
w=u+v
u


Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan
aturan jajaran genjang u 
Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
a
c
u    dan v   
b
d 
a  c   a  c 

u  v        
b   d  b  d 
Warsun Najib, 2005
7
Conoth Penggunaan Penjumlahan Vektor

Gambar 154 hal 404 Buku Advance
Engineering Mathematic
Warsun Najib, 2005
8
Elemen Identitas





Vektor nol ditulis 0
Vektor nol disebut elemen identitas
u+0=0+u=u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
maka –u adalah invers aditif u yang
didefinisikan sebagai vektor yang memiliki
besar sama tetapi arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
Warsun Najib, 2005
9
Pengurangan Vektor


Selisih dua vektor u
dan v ditulis u – v
didefinisikan u + (-v)
Dalam bentuk
pasangan bilangan
v
u
u
a
c
u    dan v   
b
d 
a  c   a  c 

u  v        
b   d  b  d 
Warsun Najib, 2005
w=u-v
-v
10
Perkalian Vektor dengan Skalar
mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali
panjang vektor u dan
searah dengan u jika
m > 0, dan berlawanan
arah jika m < 0.
a
Jika u    dan m bilangan real ,
b
 a   ma 
maka : mu  m     
 b   mb 

Warsun Najib, 2005
u
2u
11
Sifat-Sifat Operasi Vektor








Komutatif  a + b = b + a
Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)
Elemen identitas terhadap penjumlahan
Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor
Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
1u = u
0u = 0, m0 = 0.
Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
Warsun Najib, 2005
12
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)






(mn)u = m(nu)
|mu| = |m||u|
(-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Distributif : m(u+v) = mu + mv
u+(-1)u = u + (-u) = 0
Warsun Najib, 2005
13
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan
Pengurangan
Penjumlahan
Pengurangan
c
a
Jika u    dan v   
d 
b
a  c   a  c 

u  v        
b   d  b  d 
a
c
Jika u    dan v   
b
d 
a  c   a  c 

u  v        
b   d  b  d 
| u  v | (a  c) 2  (b  d ) 2
| u  v | (a  c) 2  (b  d ) 2
Warsun Najib, 2005
14
Menghitung Besar Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
v
u+v
| u  v | | u |2  | v |2 2 | u || v | cos 
θ
u
u-v
v
| u  v | | u |2  | v |2 2 | u || v | cos 
θ
u
Warsun Najib, 2005
15
Menentukan Arah Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan
v
|uv|
|u|
|v|


sin 
sin(    ) sin 
 : arah vekto r hasil penjumlaha n
u+v
β
α
u
u-v
v
β
α
u
|u v|
|u|
|v|


sin 
sin(    ) sin 
 : arah vekto r hasil penguranga n
Warsun Najib, 2005
16
Vektor Posisi

Y


A

OA = a dan OB = b
adalah vektor posisi.
AB = AO + OB
= OB – OA
=b–a
B
a
b
0
X
Warsun Najib, 2005
17
Dot Product (Inner Product)
Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua
vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
cosinus sudut antara keduanya.

a  b | a || b | cos 

Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
maka :
a  b  a1b1 a2b2  c3c3



a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
Warsun Najib, 2005
18
Vektor Ortogonal

Teorema




Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling
tegak lurus
Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,
dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
Untuk vektor bukan-nol

a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2
Warsun Najib, 2005
19
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot
Product

Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
a b
a b
cos  

| a || b |
a a bb
Warsun Najib, 2005
20
Contoh Perkalian Dot Product


a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]
Hitung sudut antara dua vektor tsb
Warsun Najib, 2005
21
Applications of Vector Product
Moment of a force

|P|=1000 lb
30o
Find moment of force P
about the center of the
wheel.
1,5 ft
P  [1000 cos 30, 1000 sin 30, 0]
 [866, 500, 0]
r  [0,  1.5, 0] (pusat roda pada titik y  1,5)
i
m  r p  0
j
1.5
k
0  0i  0 j 
866 500 0
0
1.5
866 500
k  [0, 0,  1299]
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
Warsun Najib, 2005
22
Scalar Triple Product
Scalar triple product dari tiga vektor
a  [a1 , a2 , a3 ], b  [b1 , b2 , b3 ],
c  [c1 , c2 , c3 ]
ditulis (a b c) didefinisk an sebagai
(a b c)  a  (b  c)
andaikan b  c  v  [v1 , v 2 , v 3 ]
a  (b  c)  a  v  a1v1, a2 v2 , a3v3
 b3 b1 
b1 b2


 a1
 a2  
 a3

c2 c3
c1 c2
 c3 c1 
Ini mrpk ekspansi determinan orde 3 mnrt brs pertama, shg
b2
b3
b1 b2
b3
(a b c)  a  (b  c)  b1 b2
b3
c1 c2
c3
Warsun Najib, 2005
23
Scalar Triple Product
Geometric representation

bxc

a
β
h

c
a,b,c vektor
β sudut antara (bxc)
dan a
h tinggi parallelogram
b
Besar a  (b  c)
| a  (b  c) || a || b  c | cos 
| a | cos   height h
jajaran genjang alas dg sisi b dan c mempunyai luas area | b  c |
Warsun Najib, 2005
24
Referensi

Advanced Engineering Mathematic, chapter 8
Warsun Najib, 2005
25