0 = - + xy dx dy dx yd x dx yd

BAB I
PENGERTIAN DASAR
Kompetensi Dasar:
Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta
beberapa hal yang terkait.
Indikator:
a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.
b. Menjelaskan klasifikasi persamaan diferensial.
c. Menjelaskan beberapa pengertian yang terkait misalnya tingkat persamaan
diferensial, pangkat persamaan diferensial.
1.1 Pengertian Persamaan Diferensial
Berikut akan dipelajari pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait di dalamnya.
Definisi 1.1. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat
variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif dari variabel tak bebas
terhadap variabel bebas.
Contoh 1.1. berikut ini beberapa contoh persamaan diferensial:
1.
dy
dy
 xy  0 , dengan derivatif dari variabel tak bebas y terrhadap variabel
dx
dx
bebas x.
2. x
d2y
dx 2

dy
d2y
dy
 xy  0 , dengan
dan
derivatif dari variabel tak bebas y
2
dx
dx
dx
terhadap variabel bebas x.
1
3.
z
z z
z
dan
masing-masing derivatif dari variabel tak

 0 , dengan
x
y x
y
bebas z terhadap variabel bebas x dan y.
4.
 2v
x 2

 2v
y 2

 2v
z 2
 0 , dengan
 2v
 2v  2v
, dan
masing-masing derivatif
,
z 2
x 2 y 2
dari variabel tak bebas v terhadap variabel bebas x, y, dan z.
Menurut banyaknya variabel bebas persamaan diferensial dibedakan
menjadi 2 yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persamaan diferensial tersebut dapat
dilihat dalam definisi berikut.
Definisi 1.2. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang
memuat derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Contoh 1.2. Persamaan
d 2 y dy
dy

 xy  0 merupakan persa xy  0 dan x
dx
dx 2 dx
maan diferensial biasa, karena variabel tak bebas y hanya bergantung pada variabel bebas x.
Definisi 1.3. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang
memuat derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap dua atau lebih
variabel bebas.
Contoh 1.3. Persamaan
z z

 0 merupakan persamaan diferensial parsial,
y x
karena variabel tak bebas z bergantung pada kedua variabel bebas y dan x.
Demikian juga persamaan
 2v
x 2

 2v
y 2

 2v
z 2
 0 , karena variabel tak bebas v
bergantung pada tiga variabel bebas, yaitu x, y, dan z.
2
Selain pengelompokan tersebut, dikenal juga persamaan diferensial
simultan (sistem persamaan diferensial). Pandang sistem persamaan diferensial
berikut :
dy
dz
2 yz 0
dt
dt
3
dy dz

 y  2z  t
dt dt
merupakan sistem persaman diferensial dengan y dan z merupakan variabel tidak
bebas dan t variabel bebas.
Berikut ini diberikan pengertian order dan derajat persamaan diferensial
Definisi 1.4. Tingkat (order) persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari
derivatif yang terdapat dalam persaman diferensial.
Definisi 1.5. Derajat (degree) persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi
dari derivatif tingkat tertinggi yang terdapat dalam persamaan diferensial.
Contoh 1.4.
1.
d2y
dx
2.
2
5
dy
 6 y  cos x  0 , persamaan diferensial orde 2 derajat 1.
dx
3
d2y
 dy 
 2   3 y  sin x  0 , persamaan diferensial orde 2 derajat 1.
 dx 
dx 2
4
d2y
  dy  2 y  0 , persamaan diferensial orde 2 derajat 4.
3. 
 dx 2 
dx


2
 d3y 
  dy  3 y  0 , persamaan diferensial orde 3 derajat 2.
4. 
 dx 3 
dx


Notasi
,
,
,
( )
,…,
( )
dapat digunakan untuk menyatakan
berturut-turut derivatif pertama, kedua, ketiga, keempat, …,, dan derivatif ke-n
3
dari variable tak bebas
terhadap suatu variable bebas. Sebagai contoh,
persamaan
2
d2y
dy
dy
2 d y
dan

2

3
y

0
t
t
 2 y  sin t
2
2
dx
dx
dt
dt
dapat ditulis sebagai berikut:
y' '2 y '3 y  0 dan t 2 y ' 'ty '2 y  sin t .
Definisi 1.6. Persamaan diferensial biasa linear orde n dengan variabel bebas
dan variabel tak bebas
adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan
dalam bentuk:
( )
+
( )
+⋯+
( )
+
( ) = ( )
Jadi, linear di sini adalah linear terhadap variable tak bebas dan derivativederivatifnya.
Contoh 1.5. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial linear
1.
2.
+
+2
+2 = 0
+4
−6 = 2
Definisi 1.7. Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tak linear.
Contoh 1.6. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial nonlinear
1.
2.
+
+2
+2
+
=0
−6 = 0
4
1.2 Membentuk Persamaan Diferensial
Selanjutnya, ”bagaimana membentuk persamaan diferensial ?”. Persamaan
diferensial dapat dibentuk dengan mengeliminasi semua konstanta sebarang yang
terdapat dalam suatu persamaan (kurva). Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan order tertinggi dari derivatif dalam persamaan diferensial yang dicari.
Contoh 1.5.
1. Diberikan persamaan garis y = mx + 2 dengan m konstanta sembarang,
tentukan persamaan diferensial dari persamaan garis tersebut!.
Penyelesaian:
Karena persamaan y = mx + 2 mempunyai satu konstanta sebarang (m), maka
order tertinggi dari derivatifnya adalah satu. Persamaan y = mx + 2 diturunkan
terhadap x diperoleh
dy
= m. Eliminasi m dari dua persamaan tersebut diperodx
leh persamaan diferensial
y
dy
dy
x  2 atau x
 y  2  0.
dx
dx
2. Tentukan persamaan diferensial dari y  c1 cos x  c2 sin x , dengan c1 dan c 2
sembarang konstanta!
Penyelesaian:
Karena persamaan y  c1 cos x  c 2 sin x mempunyai dua konstanta sebarang
(c1 dan c2), maka order tertinggi dari derivatifnya adalah dua. Persamaan
y  c1 cos x  c 2 sin x diturunkan dua kali terhadap x diperoleh
dy
d2y
 c1 sin x  c2 cos x dan
 c1 cos x  c2 sin x .
dx
dx 2
Jadi, persamaan diferensial yan dicari adalah
d2y
dx 2
 y 0.
1.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial
Kebalikan dari proses membentuk persamaan diferensial adalah menyelesaikan persamaan diferensial, yaitu mencari suatu fungsi yang dapat diturunkan
5
dan memenuhi persamaan diferensial tersebut. Pada Contoh 1.5 di atas, y = mx +
2 dan y  c1 cos x  c2 sin x masing–masing merupakan penyelesaian persamaan
diferensial x
d2y
dy
 y  2  0 dan
 y 0.
dx
dx 2
Adapun macam–macam penyelesaian adalah sebagai berikut:
1. Penyelesaian umum yaitu suatu penyelesaian persamaan diferensial yang
memuat konstanta sebarang.
2. Penyelesaian khusus yaitu suatu penyelesaian persamaan diferensial yang
diperoleh dari penyelesaian umum dengan memberi nilai tertentu pada
konstanta sebarang.
3. Penyelesaian bersyarat yaitu penyelesaian khusus yang memenuhi syarat
tertentu.
4. Penyelesaian singular yaitu suatu penyelesaian yang tidak dapat diperoleh dari
penyelesaian umum dengan memanipulasi di sebarang konstanta.
Contoh 1.6.
1.
y  ce 2 x merupakan penyelesaian umum dari persamaan
2. Jika pada contoh nomor 1 diambil c1 =
penyelesaian khusus persamaan
3.
dy
– 2y = 0.
dx
4 maka y  4e 2 x merupakan
dy
– 2y = 0.
dx
y  e 2 x merupakan penyelesaian bersyarat persamaan
dy
 2 y  0 dengan
dx
syarat y(0) = 1.
4. 48 x
2
1
2 3
 16 y (2 x )  0
2
merupakan penyelesaian singular dari persamaan
2
 dy 
 dy 
16 x  2 y   x   0 .
 dx 
 dx 
2
Penyelesaian bersyarat merupakan penyelesaian dari suatu masalah nilai
awal atau masalah syarat batas. Yang dimaksud dengan masalah nilai awal adalah
6
suatu persamaan diferensial yang disertai nilai awal di suatu titik tertentu,
sedangkan masalah syarat batas adalah suatu persamaan diferensial yang disertai
nilai tertentu di titik batas. Pembicaraan mengenai masalah nilai awal dan syarat
batas akan dibahas lebih lanjut tidak dalam perkuliahan ini.
Contoh 1.7.
1. Fungsi y  100  x 2 ,  10  x  10 merupakan penyelesaian masalah nilai
awal :
dy
x
  ; y(6)  8 .
dx
y
2. Fungsi y  ( x 2  4)e  x merupakan penyelesaian masalah nilai awal :
dy
 y  2 xe x ;
dx
y (2)  0 .
3. Fungsi y  2e5 x  3e 2 x merupakan penyelesaian masalah nilai awal :
d2y
dx
2
3
dy
 10 y  0; y(0)  5, y '(0)  4 .
dx
Latihan
1.
Tentukan order dan derajat persamaan diferensial berikut!
+2 =
a.
b.
+
c.
+2
2.
+
+3
=0
=0
+
d.
e.
+
+
=
=
+
Tunjukkan bahwa fungsi
yang diberikan merupakan penyelesaian
persamaan diferensial terkait!
a.
−
b.
+2
= 0, ( ) =
− 3 = 0, ( ) =
7
−
c.
3.
, ( )=3 +
+ 4 = 0, ( ) =
+5
d.
e.
=
( )
+3 = , ( )=
+4
Selidiki apakah
a. Persamaan
−
− 4 = 0 merupakan penyelesaian diferensial
b. Fungsi ( ) = 2 +
c. Fungsi
d. Fungsi
= ( + 1)
= cos 3 +
merupakan penyelesaian
merupakan penyelesaian
cos +
9 = cos .
8
sin
=2+
−2
+
= .
.
= 0.
penyelesaian persamaan
+