suci kurniati (g54062213)
advertisement
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK
MENYELESAIKAN
MASALAH NILAI EIGEN PADA SUATU MODEL GETARAN
SUCI KURNIATI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2010
ABSTRAK
SUCI KURNIATI. Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Nilai Eigen pada
Suatu Model Getaran. Dibimbing oleh Jaharuddin dan Ali Kusnanto.
Umumnya model matematika berbentuk taklinear. Masalah taklinear yang muncul dalam
masalah getaran merupakan akibat dari komponen gaya luar yang diberikan pada sistem. Ini
merupakan suatu masalah nilai eigen. Penyelesaian masalah nilai eigen tersebut dilakukan dengan
menggunakan pendekatan metode Homotopi, yang merupakan pendekatan analitik berupa deret. Sukusuku deret tersebut diperoleh berdasarkan suatu rumus rekursif yang merupakan deformasi orde tinggi.
Kekonvergenan penyelesaian pada masalah getaran bergantung pada nilai parameter
homotopi dan koefisien dari faktor taklinearnya.
Kata kunci: masalah taklinear, nilai eigen, dan metode homotopi.
ABSTRACT
SUCI KURNIATI. Application of the Homotopy Method to Solve Eigen Value in A Vibration
Model. Supervised by Jaharuddin and Ali Kusnanto.
Most mathematical models of natural phenomena are nonlinear model. One of the nonlinear
problems is a problem of vibration which can be considered as an eigen value problem. Here, the
nonlinear factor appeared due to the external forces applied to the system. The vibration problem in
this study, was solved using the homotopy method. The homotopy method is analytical approach in the
nonlinear problems within the series form. The terms of the series were obtained based on a recursive
formula in a high deformation.
A convergent solution of the series dependent on both the homotopy parameter and the
coefficient of nonlinear factors appeared in the model.
Keywords: nonlinear problems, eigenvalues, and homotopy method.
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK
MENYELESAIKAN MASALAH NILAI EIGEN PADA SUATU MODEL
GETARAN
SUCI KURNIATI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2010
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................................
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................................
I PENDAHULUAN ..............................................................................................................
II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Differensial ...............................................................................................
2.2 Deret Taylor ................................................................................................................
2.3 Metode Homotopi .......................................................................................................
2.4 Persamaan Osilasi Taklinear .......................................................................................
ix
ix
1
2
2
2
3
III PEMBAHASAN
3.1 Analisis Metode........................................................................................................... 4
3.2 Aplikasi Metode .......................................................................................................... 6
3.3 Kekonvergenan Deret .................................................................................................. 9
3.4 Hasil Numerik ............................................................................................................ 10
IV KESIMPULAN .................................................................................................................. 12
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................. 12
LAMPIRAN ............................................................................................................................. 14
DAFTAR GAMBAR
1.
2.
3.
Halaman
Perubahan getaran pada pegas ………………………………………………………………… 3
Perbandingan solusi eksak dan metode homotopi dari masalah nilai awal ………………… 6
Grafik fungsi terhadap untuk 1/2 ……………………………………………………. 11
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Menentukan Penyelesaian pada Contoh Masalah Nilai Awal …………………………….
14
Penurunan Persamaan (3.30) ……………………………………………………………….
16
Penurunan Persamaan (3.32) ……………………………………………………………….
19
Penurunan Persamaan (3.36) ……………………………………………………………….
20
Penurunan Persamaan (3.37) ……………………………………………………………….
22
Program Maple ……………………………………………………………………………….
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Serang pada tanggal 6 Mei 1988 sebagai anak pertama dari lima
bersaudara dari pasangan Djoko Suseno dan Dwi Mulyaningsih.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SD YPWKS II lulus pada tahun 2000,
SMPN I Cilegon lulus pada tahun 2003, SMAN I Cilegon lulus pada tahun 2006, dan diterima sebagai
mahasiswa di Institut Pertanian Bogor pada tahun 2006 melalui jalur USMI dan pada tahun 2007
penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan, yaitu Gugus
Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai sekertaris PSDM (Pengembangan Sumber Daya
Manusia). Menjadi staf pengajar pada Bimbingan Belajar GUMATIKA, menjadi asisten dosen untuk
mata kuliah Pemrograman Tak Linear, tutor untuk mahasiswa pra-Universitas pada mata kuliah
Pengantar Matematika. Selain itu, penulis juga pernah menjadi tim pengajar persiapan UAN pada
SMA YPHB Bogor dan saat ini menjadi pengajar di MSCollege.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Seringkali peristiwa-peristiwa yang terjadi
di alam dapat dimodelkan dalam suatu
persamaan matematika. Model matematika
tersebut umumnya memuat bentuk taklinear
yang dapat dimodelkan dalam masalah
taklinear. Masalah taklinear adalah suatu
masalah yang memuat suatu persamaan yang
bentuknya taklinear. Masalah taklinear sering
muncul diberbagai cabang ilmu pengetahuan.
Salah satunya dibidang fisika terutama pada
masalah osilasi pegas. Jika gaya luar yang
bekerja pada pegas diabaikan, maka getaran
yang dimunculkan pada osilasi pegas dapat
dimodelkan
dalam
suatu
persamaan
matematika yang bentuknya linear. Namun,
bilamana pada pegas tersebut diberikan gaya
yang bentuknya taklinear, maka model
matematika untuk getaran pegas tersebut
berbentuk taklinear. Contoh lain fenomena
alam yang dapat dimodelkan dalam model
getaran adalah getaran yang muncul pada
gempa bumi.
Persamaan taklinear pada umumnya sulit
untuk ditentukan
solusinya baik secara
analitik maupun secara numerik. Banyak
penelitian telah dilakukan untuk menentukan
solusi dari masalah taklinear. Salah satu
metode analitik yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah taklinear adalah
metode perturbasi. Metode perturbasi banyak
digunakan untuk menyelesaikan fenomenafenomena alam yang dapat dimodelkan dalam
bentuk tak linear. Metode perturbasi
bergantung pada suatu parameter yang cukup
kecil untuk memperlemah faktor taklinearnya
[Liou].
Selain
itu,
terdapat
metode
dekomposisi Adomian [Adomian, 1988]
dimana penyelesaian masalah taklinear
dinyatakan dalam suatu deret pangkat yang
hanya
terdefinisi
pada
daerah
kekonvergenannya.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu
metode analitik untuk menyelesaikan masalah
taklinear, yaitu metode homotopi. Dalam
metode homotopi, pendekatan penyelesaian
dinyatakan dalam suatu deret. Tidak seperti
metode perturbasi, dalam metode homotopi
faktor taklinear tidak perlu diperlemah, tetapi
bergantung pada suatu parameter bantu.
Disamping itu, metode homotopi memberikan
kebebasan dalam memilih fungsi basis yang
tepat untuk mendekati masalah taklinear
tersebut.
Dalam
metode
ini,
perlu
mendefinisikan suatu operator taklinear yang
didasarkan pada bentuk taklinear dari masalah
taklinear tersebut. Dalam karya ilmiah ini,
metode homotopi akan digunakan untuk
menyelesaikan suatu model getaran. Model ini
berbentuk taklinear dan memuat suatu
konstanta yang ingin ditentukan (nilai eigen)
sehingga masalah tersebut merupakan suatu
masalah nilai eigen.
1.2 Tujuan Penulisan
Berdasarkan penjabaran dari latar
belakang, tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
1. Menggunakan metode homotopi untuk
menyelesaikan suatu masalah nilai eigen
dengan mengkonstruksi suatu rumus rekursif.
2. Menggambarkan
grafik
pendekatan
penyelesaian dari suatu masalah nilai eigen
berdasarkan rumus rekursif yang telah
diperoleh dengan bantuan software Maple.
Validitas dari hasil numerik yang diperoleh
didasarkan pada orde-orde deret yang
digunakan.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab.
Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi latar belakang, tujuan penulisan, dan
sistematika penulisan. Bab kedua berisi
landasan teori yang meliputi beberapa istilah
dan konsep dari metode homotopi untuk
menyelesaian masalah nilai awal pada
persamaan yang akan digunakan dalam
pembahasan.
Bab ketiga merupakan
pembahasan dan hasil yang berisi mengenai
analisis metode yang akan digunakan, aplikasi
metode berupa contoh kasus, dan hasil
numerik. Bab terakhir berupa kesimpulan dari
keseluruhan karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI
Untuk memahami masalah nilai eigen
yang dibahas dalam karya tulis ini,
diperlukan beberapa konsep berikut ini.
Beberapa konsep yang digunakan adalah
persamaan differensial [Farlow, 1994],
Deret Taylor [Kreyszig 2006], konsep
metode homotopi [Liao, 2004], dan
penurunan persamaan osilasi [Kreyszig
2006].
2.1 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial merupakan suatu
persamaan yang memuat turunan dari fungsi
satu variabel atau lebih terhadap satu atau
lebih variabel bebas. Jika turunan fungsi
tersebut hanya tergantung pada satu variabel
bebas, maka persamaan diferensial tersebut
dikatakan persamaan diferensial biasa.
Selanjutnya, jika turunan fungsi tersebut
bergantung pada lebih dari satu variabel
bebas, maka persamaan diferensial tersebut
dinamakan persamaan diferensial parsial.
Masalah persamaan diferensial yang
melibatkan nilai awal dinamakan masalah
nilai awal, sedangkan masalah persamaan
diferensial yang melibatkan nilai batas
disebut masalah nilai batas.
2.2 Deret Taylor
Deret Taylor adalah bentuk khusus deret
pangkat dari suatu fungsi. Deret pangkat
dapat digunakan sebagai pendekatan dari
integral suatu fungsi yang tidak mempunyai
antiturunan elementer. Selain itu, deret
pangkat
juga
digunakan
untuk
menyelesaikan persamaan diferensial.
Bentuk umum deret Taylor dari suatu
fungsi di sekitar adalah
∑
!
!
∑
1 (2.3)
2.3 Metode Homotopi
Dalam tulisan ini akan dibahas
penyelesaian suatu masalah taklinear dengan
menggunakan metode homotopi yang
merupakan bentuk umum dari metode
perturbasi
dan
metode
dekomposisi
Adomian.
Misalkan diberikan persamaan diferensial
berikut :
! 0, $ Ω
(2.4)
dengan suatu operator turunan yang
fungsi yang akan
taklinear dan
ditentukan dan bergantung pada peubah
bebas . Selanjutnya didefnisikan pula suatu
operator linear & yang memenuhi
&! 0, bila 0.
(2.5)
Operator dibagi menjadi dua bagian,
yaitu & dan ( yang masing-masing
merupakan operator linear dan taklinear.
Jadi, persamaan diferensial (2.4) dapat
ditulis:
& ! ( ! 0.
(2.6)
Misal diberikan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2.4) dan
) $ 0,1! suatu parameter. Didefinisikan
fungsi real *
, ): Ω , 0,1! - ., dan
suatu fungsi H sebagai berikut :
/
*, ) 1 )&* !
) *!
/
*, ) &*! )(*! 1 )& !
atau
!
!
Sebagai contoh,
(2.7)
(2.2)
3
Berdasarkan persamaan (2.7), maka untuk
)0
dan
)1
masing-masing
memberikan persamaan berikut:
dan
/
*
, 0,0 &*
, 0 !
/
*
, 1,1 *
, 1!.
Kemudian menurut persamaan (2.4) dan
persamaan (2.5) diperoleh bahwa fungsi
*
, 0 dan
*
, 1 masing-masing merupakan penyelesaian dari
persamaan
/
*
, 0,0 0
dan
/
*
, 1,1 0.
Dengan demikian peningkatan nilai ) dari
0 ke 1 menyatakan perubahan nilai /
*, )
dari &* ! ke *!. Dalam topologi,
proses ini disebut deformasi.
2.4 Persamaan Osilasi Taklinear
Persamaan osilasi biasanya muncul
pada masalah getaran sebuah pegas yang
direnggangkan. Tinjau sebuah pegas yang
digambarkan dalam Gambar 1. Menurut
hukum Newton kedua, gaya yang bekerja
pada pegas berbentuk
0
"
2
Mula-mula pegas dalam kondisi diam,
seperti pada Gambar 1a lalu diregangkan
sepanjang 3 sehingga menyebabkan 2
pada
pegas
meningkat.
Hal
ini
memperlihatkan bahwa 2 adalah gaya yang
sebanding dengan regangan sebesar 3 , yaitu
2 43
4 5 0 adalah konstanta pegas. Tanda minus
mengidentifikasi bahwa 2 naik.
Pada Gambar 1b pegas dalam keadaan
setimbang dengan simpangan diukur
dari keseimbangan. Jika dari posisi awal
0 lalu ditarik atau direnggangkan
sehingga
5 0, maka menurut hukum
Hooke, gaya 2 pada pegas naik dan yang
dirumuskan dalam persamaan berikut:
2 4
Jika persamaan (2.8) digunakan, maka
didapatkan persamaan berikut:
0
"
4 0
(2.10)
Berdasarkan persamaan (2.4) dan (2.6)
diperoleh model getaran pegas dalam bentuk
linear berikut
0 " 6 0,
Jika gaya luar yang bekerja pada pegas
berbentuk taklinear berikut
(2.8)
dengan merupakan simpangan pegas
(getaran) dalam waktu , 0 massa dan 2
gaya
(2.9)
( ! 7
8
maka persamaan (2.8) menjadi
0 " 6 7
8
0
(2.11)
Untuk 0 1 persamaan (2.11) menjadi
" dengan
Gambar 1. Perubahan getaran pada pegas
6 7
nilai
8
awal
0
(2.12)
0 1 0
4
III PEMBAHASAN DAN HASIL
Pada bagian ini akan dibahas
penggunaan dari metode homotopi untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode homotopi yang diterapkan dalam
tulisan ini mengikuti pustaka (Liao, 2004).
persamaan
/
*; 0, , 9 0
dan
/
*; 1, , 9 0 masing-masing adalah:
dan
3.1 Analisis Metode
Untuk menyelesaikan masalah nilai
awal pada persamaan (2.12) dapat
digunakan metode homotopi. Masalah nilai
awal tersebut dapat dinyatakan secara umum
dalam bentuk persamaan (2.4). Dalam
metode homotopi didefinisikan fungsi
*
, ), , 9 yang tidak hanya bergantung
pada dan ), tetapi juga bergantung pada
parameter bantu : 0 dan fungsi real
9
: 0.
Misalkan fungsi / dinyatakan sebagai
berikut
/
*; ), , 9 1 )&*
; ), , 9 ! ) 9
*
; ), , 9!.
(3.1)
Selanjutnya akan dibahas penyelesaian dari
persamaan berikut:
1 )&*
; ), , 9 ! ) 9
*
; ), , 9!.
(3.2)
Jadi, fungsi *
; ), , 9 tidak hanya
bergantung pada parameter ), tetapi juga
bergantung pada parameter bantu dan
fungsi bantu 9
. Berdasarkan persamaan
(3.1), maka pada saat ) 0 dan ) 1
masing-masing memberikan persamaan
berikut:
/
*; 0, , 9 &*
; 0, , 9 dan
!
/
*; 1, , 9 9
*
; 1, , 9!.
Berdasarkan persamaan (2.4) dan
persamaan (2.5), maka penyelesaian dari
(3.3)
*
; 1, , 9.
(3.4)
Persamaan (3.3) dan (3.4) bergantung
pada parameter bantu dan fungsi bantu
9
yang dapat dipilih sembarang. Dalam
pemilihan parameter bantu , fungsi bantu
9
, pendekatan awal , dan operator
linear & perlu memperhatikan validitas dari
metode homotopi. Dengan pemilihan yang
tepat, terjamin adanya fungsi *
; ), , 9
dan turunan-turunannya terhadap ) untuk
setiap ) $ 0,1!.
Turunan ke 0 dari fungsi *
; ), , 9
terhadap ) yang dihitung di ) 0 adalah:
< dan dinotasikan
< 1
0!
= < *
; ), , 9
|?
=) <
<
1 = < *
; ), , 9
|? .
=) <
0!
/
*
; ), , 9 0
atau
*
; 0, , 9
Deret Taylor dari fungsi *
; ), , 9 di
sekitar ) 0 adalah
*
; ), , 9 *
; 0, , 9 1 = < *
; ), , 9
@
|? ) <
0!
=) <
<
atau
*
; ), , 9 @
<
< )
<
.
(3.5)
Dengan memilih , 9
, , dan &
juga dapat mengakibatkan kekonvergenan
deret pada persamaan (3.5) di ) 1,
5
sehingga untuk ) 1, dari persamaan (3.5)
diperoleh
*
; 1, , 9 Karena
diperoleh
∑
<
*
; 1, , 9,
∑
<
< .
< .
maka
(3.7)
& < B<
< ! 9
C< D< !
(3.8)
dengan D< , , , … , < ,
C< D< !
1
= < *
; ), , 9!
|?
0 1!
=) <
1, 0 F 1
.L
B< E
0, 0 lainnya
Dengan demikian apabila diberikan
masalah taklinear dengan persamaan
differensial pada persamaan (2.4), maka
dengan metode homotopi diperoleh solusi
pendekatan masalah taklinear tersebut
sebagai berikut:
<
M @
N
< dengan < diperoleh dari persamaan (3.6)
dan merupakan pendekatan awal dari
solusi .
Untuk lebih memahami metode ini
akan diberikan suatu contoh masalah tak
linear yang dinyatakan dalam masalah nilai
awal berikut
O exp 1 0,
1 ln S (3.6)
Hal ini menunjukkan adanya hubungan
antara penyelesaian eksak dari persamaan
(2.4) dengan pendekatan awal dan
< , 0 1,2, … yang akan ditentukan.
Dalam menentukan persamaan < , 0 1,2, …
dapat diperoleh dengan cara
menurunkan persamaan (3.2) terhadap )
hingga 0 kali dan mengevaluasi pada saat
) 0 lalu dibagi dengan 0! sehingga
diperoleh persamaan berikut:
dan
dengan syarat awal 0 0
Penyelesaian eksak masalah nilai awal pada
persamaan (3.9) adalah
(3.9)
Berikut ini akan ditentukan solusi
masalah nilai awal pada persamaan (3.9)
dengan menggunakan metode homotopi.
Untuk itu, misalkan
*
; )! =*
; )
exp *
; 0 1
=
dan
&*
; )! =*
; )
,
=
Dengan menggunakan persamaan (3.8), dan
dipilih 1 , diperoleh
B U
T C D ! V.
(3.10)
(lampiran 1)
sehingga diperoleh , sebagai berikut:
S exp
1
S S U S S S 2S WU S U
S U S U
Jika dipilih h = −1 , maka penyelesaian
masalah nilai awal (3.9) tersebut adalah
M S S U S S 2S WU
S U S U Perbandingan penyelesaian masalah nilai
awal (3.9) secara eksak dan penyelesaian
dengan metode homotopi diberikan pada
Gambar 2. Pada Gambar 2, terlihat bahwa
penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan
menggunakan metode homotopi cukup dekat
pada daerah t tertentu. Penambahan daerah
kekonvergenan bergantung pada pemilihan
fungsi B
t dan parameter h.
6
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian
dari masalah nilai awal (3.11) dengan
menggunakan metode homotopi. Dalam
metode homotopi ini, operator linear yang
dipilih adalah:
: eksak
------ : homotopi
&* =*
^a *
= Berdasarkan operator L di atas, diperoleh
&C sin
nπx C cos
nπx! 0.
(3.13)
Gambar 2: Perbandingan solusi eksak dan
metode homotopi dari masalah nilai awal
(3.9)
Kemudian
dari
persamaan
(3.11)
didefinisikan operator taklinear sebagai
berikut:
3.2 Aplikasi Metode
*
, ), i
)! Berikut
ini
uraian
mengenai
penggunaan metode homotopi yang telah
diuraikan pada bagian sebelumnya. Tinjau
model getaran yang dinyatakan dalam
persamaan berikut
V
6 Z8 0
V dengan nilai awal
0 1 0
dimana Z suatu parameter dan 6 merupakan
suatu nilai eigen yang berkaitan dengan
fungsi eigen .
Pada bagian ini akan ditentukan nilai
eigen 6 yang berkaitan dengan fungsi eigen
yang telah dinormalkan dan memenuhi
persamaan berikut
[ \ ]
[ \
6 Z8 0
(3.11)
j \
i
)*
, ) Z * 8 , )
(3.14)
dimana
) $ 0,1!
merupakan
suatu
parameter, fungsi *
, ) adalah fungsi dari
dan ) dan i
) adalah fungsi dari ) yang
masing-masing merupakan transformasi dari
fungsi dan 6. Misalkan didefinisikan
fungsi *
, ), , 9 yang tidak hanya
bergantung pada dan ) tetapi juga
bergantung pada parameter bantu : 0 dan
fungsi bantu 9
: 0. Fungsi / dinyatakan
dalam bentuk :
/
*, ), , 9 0 1 0
dengan kondisi penormalan
T V 1
dimana ^ bilangan asli.
Misalkan diberikan fungsi basis berupa
fungsi sinus sebagai berikut:
_sin
24 1^a!|^ b 1, 4 0,1,2 …c,
maka penyelesaian dari persamaan (3.11)
berbentuk
@ Z,d sin
24 1^a!
d
j\ k
,?
(3.12)
dengan Z,d adalah koefisien dari deret.
1 )&l*
, ), , 9 , m
)9
*
, ), , 9, i
)!
(3.15)
dengan , merupakan pendekatan solusi
awal.
Selanjutnya,
misalkan
fungsi
*
, ), , 9 yang akan dibahas adalah
penyelesaiaan dari persamaan berikut :
/
*
, ), , 9 0
7
atau
1 )&l*
, ), , 9 , m (3.16)
)9
*
, ), , 9, i
)!
dengan nilai awal
*
0, ), , 9 *
1, ), , 9 0.
Untuk ) 0, berdasarkan (3.15) diperoleh
:
/
*, 0, , 9 &l*
, 0, , 9 , m.
(3.17)
&! 0 , jika 0
(3.18)
*
, 0, , 9 , 0
d
d! ,
atau
*
, 0, , 9 , .
(3.19)
Untuk ) 1, berdasarkan persamaan (3.15)
diperoleh
/
*, 1, , 9 9
*
, 1, , 9, i
1!.
= d *
, ), , 9
|? .
=) d
jo k
,?,p,q
|?
j?o
d!
(3.23)
dan dapat dinotasikan sebagai berikut
jo k
,?,p,q
|? .
j?o
,d d!
(3.24)
(3.20)
Karena
! 0,
(3.21)
dan
(3.21)
Deret Taylor dari fungsi *
, ), , 9
terhadap ) di sekitar ) 0 adalah
*
, ), , 9 ∑
d
jo k
,?,p,q
d!
j? o
|? ) d
*
, 0, , 9 ∑
d
*
, 1, , 9, i
1! 0
jo k
,?,p,q
d!
j? o
|? ) d
d
, ∑
d ,d ) .
(3.25)
sehingga
*
, 1, , 9
dan
i
1 6 .
, Jika kedua ruas persamaan di atas dibagi
dengan 4!, maka diperoleh
maka dari persamaan (3.17) diperoleh
(3.20)
Turunan ke-4 dari fungsi *
, ), , 9
terhadap ) yang dihitung di ) 0 adalah
d
Karena
maka berdasarkan
diperoleh
Penyelesaiaan dari persamaan (3.19) dan
(3.22) bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu 9
yang dapat dipilih
sembarang. Pemilihan parameter bantu ,
fungsi bantu 9
, pendekatan awal , dan operator & perlu memperhatikan
validitas dari metode homotopi. Dengan
pemilihan yang tepat, terjamin adanya
fungsi *
, ), , 9, i
) dan turunanturunannya terhadap ) untuk n ) $ 0,1!.
(3.22)
Dengan menaikkan parameter ) dari 0
menjadi 1, nilai *
, ), , 9 bervariasi dari
nilai awal , ke solusi , sehingga
i
) dari nilai awal 6, menjadi 6 .
Selanjutnya, dengan pemilihan , 9
,
, dan
&
mengakibatkan
kekonvergenan dari persamaan (3.25) di
) 1. Jadi untuk ) 1 dari persamaan
(3.25) didapatkan
d
*
, 1, , 9 , ∑
d ,d 1
, ∑
d ,d 8
Karena *
, 1, , 9 , maka
, ∑
(3.26)
d ,d .
Selanjutnya, turunan ke-4 dari fungsi i
)
terhadap ) yang dihitung di ) 0 adalah
d
6 ) = i
)
| .
=) d ?
d
d
6 )
d! |
6,d .
(3.27)
Deret Taylor dari fungsi i
) terhadap )
disekitar ) 0 adalah
i
) @
d
1 = d i
)
| )d
4! =) d ?
d
6, ∑
d 6,d ) .
(lampiran 2)
C,d u
tD,d , 6D,d v
d
",d () @ 6< ,d< ()
d
<
<
@ ,d< () @ , () ,< ()
<
(3.32)
(lampiran 3)
(3.28)
Selanjutnya untuk ) 1, maka persamaan
(3.28) menjadi
d
i
1 6, ∑
d 6,d 1
6, ∑
d 6,d .
Karena i
1 6 , maka
6 6, ∑
d 6,d .
tD,d _, , , , , , … , ,d c
Jika persamaan (3.11) disubstitusikan ke
persamaan (3.31), maka diperoleh
Jika kedua ruas persamaan di atas dibagi
dengan 4!, maka diperoleh:
jo r
?
d! j? o ?
0 ,4 F 1
L
dengan {d E
1 , 4 |Z}^^ Z
(3.29)
Untuk beberapa nilai ^ b 1, ,d ()
dan 6,d tidak diketahui untuk 4 b 1,
tetapi hanya mempunyai satu persamaan,
yaitu persamaan (3.30) untuk ,d ().
Dengan
demikian
dibutuhkan
suatu
persamaan tambahan untuk menentukan
6,d .
Berdasarkan persamaan (3.12), bentuk
tD,d , 6D,d v dapat dinyatakan
C,d u
,o
C,d u
tD,d , 6D,d v ∑<
V,< sin (20 Hasil ini menunjukkan hubungan
1)^a!
antara penyelesaian eksak dari persamaan
(3.11) dengan pendekatan awal , ,
(3.33)
6, dan ,d , ^ 1,2,3, … yang akan
dengan V,< adalah koefisien deret dan ,d
ditentukan. Persamaan untuk menentukan
bilangan asli yang bergantung pada ^ dan 4.
,d ^ 1,2,3, … diperoleh sebagai
berikut. Jika kedua ruas pada persamaan
Selanjutnya untuk penyederhanaan dipilih
(3.16) diturunkan terhadap ) hingga 4 kali
9() 1, maka
dan mengevaluasi pada ) 0 kemudian
dibagi oleh 4!, maka diperoleh persamaan
C,d u
tD,d , 6D,d v berikut:
,o ,d
∑<
< u6Dd vsin (20 1)^a!
&l,d Bd ,d m 9
C,d tD,d , 6D,d !
(3.30)
(3.34)
dengan nilai awal ,d 0 ,d 1 0,
dan
,d D
u6d v adalah koefisien deret,
dengan <
C,d u
tD,d , 6D,d v bilangan
asli yang bergantung pada
dan
owx
,d
[
*
,
),
,
9,
i
)!|
?
owx
nilai ^ dan 4. Dengan demikian pada ruas
d! [?
(3.31)
kanan persamaan (3.30) terdapat bentuk
9
,d u6Dd v sin
^a
Jika ,d u6Dd v : 0, maka berdasarkan
persamaan (3.13) diperoleh solusi ,d memiliki bentuk sin
^ a, padahal
bentuk tersebut tidak memenuhi persamaan
(3.12). Untuk menghindari hal tersebut,
maka dipilih
,d u6Dd v 0.
(3.35)
Jadi penyelesaian masalah nilai awal (3.11)
berbentuk
,d {d ,d ,o
,o
p
∑<
sin
20
\ <W\ !
sin
^a cos
^a .
1^a! (3.36)
Dengan demikian fungsi eigen dan nilai
eigen untuk masalah nilai eigen (3.11)
diperoleh dalam bentuk
M , ∑<
d ,d 6 M 6, ∑<
d 6,d
3.3 Kekonvergenan Deret
Berikut ini akan diperlihatkan bahwa
deret
6 6, ∑W
d 6,d
(3.45)
@ ,d 4 2 1
(3.37)
dengan
T ,d sin
^aV
(3.38)
V
T ,d
(3.39)
dan
d
konvergen ke
atau dapat dituliskan
@ ,d d
(3.46)
yang berakibat bahwa
,d ∑d
, {d ,d lim ,d 0.
d-
1^a!
(3.40)
(lampiran 5)
Persamaan (3.37) merupakan persamaan
kuadrat dengan akar-akar berbentuk
2 4 2 1
(3.44)
merupakan penyelesaian dari masalah nilai
eigen (3.11) asalkan deret (3.44) dan (3.45)
tersebut konvergen. Untuk itu dimisalkan
deret
diperoleh
,o tD
,o
p
owx ∑<
sin
20
\ <W\ !
, ∑W
d ,d dan
Berdasarkan persamaan (3.12), maka
T ∑d< ,< V 1
(3.43)
dimana , dan 6, masing-masing
pendekatan solusi awal, sedangkan ,d dan 6,d masing-masing diperoleh dari
persamaan (3.35) dan (3.36).
(lampiran 4)
dipilih 0. Kemudian dari penormalan
berikut
(3.42)
.
(3.41)
(3.47)
Berdasarkan definisi
diperoleh bentuk
Bd ,
maka
akan
<
@,d Bd ,d !
d
, u, , v u,8 , v u,< ,< v
10
,< ()
(3.45) memenuhi persamaan (3.11) dengan
dan 6 masing-masing merupakan nilai
eigen dan fungsi eigen pada persamaan
(3.11).
(3.48)
sehingga dari persamaan (3.47) diperoleh
∞
∑[u
n ,k
( x) − χ k un ,k ( x)] = lim un ,m ( x) = 0
m →∞
k=1
3.4 Hasil Numerik
(3.49)
Untuk menyelesaikan masalah nilai
awal (3.11), maka berikut ini merupakan
langkah-langkah yang harus dilakukan:
Selanjutnya, jika persamaan (3.49) dan
definisi & pada (3.13) digunakan, maka
diperoleh
<
@ &,d () B ,d ()!
1.
d
& @,d () Bd ,d ()! 0.
d
(3.50)
Jadi berdasarkan persamaan (3.50) dan
(3.30), diperoleh
W
@ &,d () Bd ,d ()!
d
W
tD,d , 6D,d m 0.
9() @ Cd l
d
Karena : 0 dan 9() 1, maka
∑W
tD,d , 6D,d m 0.
d Cd l
(3.51)
Jika persamaan (3.32) disubstitusikan ke
persamaan (3.51), maka diperoleh
\
[
l∑W
d ,d ()m [ \
W
u∑< 6,< vl∑W
d ,d ()m
8
W
()
l∑d ,d m 0.
Misalkan diberikan penyelesaian pendekatan
awal dari persamaan (3.11),
yaitu
, √2 sin
^a
2. Menentukan penyelesaian pendekatan untuk
orde ke yaitu ,d dari persamaan
(3.11) dilakukan sebagai berikut:
i. Menentukan C,d dari persamaan dari
persamaan (3.32).
ii. Menentukan dan dari persamaan (3.38)
dan (3.39).
iii. Menentukan ,d dari persamaan (3.36).
3. Menentukan penyelesaian persamaan (3.11)
dari persamaan (3.42).
Dengan bantuan software MAPLE,
maka berikut ini akan digambarkan grafik
penyelesaian masalah nilai awal (3.11) yang
merupakan fungsi eigen dengan dan Z
diberikan. Gambar 3. menunjukkan grafik
fungsi untuk berbeda-beda
dengan Z yang
(3.52)
a=-50 (---)
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.11)
dapat dimisalkan
, () √2 sin
^a
(3.53)
a=-25 (---)
a=25 (---)
a=50 (---)
Berdasarkan persamaan (3.53) dan (3.30),
diperoleh nilai awal dari persamaan (3.53),
yaitu:
W
W
d
d
@ ,d 0 @ ,d 1 0
(3.54)
Berdasarkan persamaan (3.52) dan (3.54)
dapat disimpulkan bahwa deret (3.44) dan
Gambar 3. Grafik fungsi terhadap untuk
1/2
dengan
Z
berbeda-beda.
Berdasarkan dari Gambar 3 diperoleh bahwa
untuk
Z
yang
negatif
diperoleh
kekonvergenan deret penyelesaian ,
sedangkan
untuk
Z
yang
positif,
penyelesaian berubah dengan cepat
sehingga tidak mencapai kekonvergenan.
Untuk 1/2 dan 2/5 dengan
Z 50, diperoleh penyelesaian seperti
diperlihatkan dalam Tabel 1.
Tabel 1. Penyelesaian untuk yang berbeda
Penyelesaian x
ℎ 1/2
ℎ 1/2
ℎ 2/5
ℎ 2/5
ℎ<0
Galat
ℎ>0
Galat
0.0
0.03
0.03
0.03
0.03
0
0
0.2
1.06
1.48
1.06
1.35
0
0.13
0.4
1.21
0.53
1.21
0.83
0
0.3
0.6
1.21
0.55
1.21
0.85
0
0.3
0.8
1.01
1.48
1.01
1.34
0
0.14
1.0
0.02
0.02
0.02
0.02
0
0
Berdasarkan Tabel 1. diperoleh bahwa
pemilihan nilai ℎ yang negatif
memberikan kekonvergenan deret , hal ini
nampak pada galat yang diperoleh. Selain
itu, kekonvergenan deret juga bergantung
pada nilai Z > 0 yang muncul pada model
persamaan dan hubungan dengan nilai ℎ
diberikan oleh
Tabel 2. Nilai Eigen Masalah Nilai Awal
(3.11)
Z
6 /
^a
-25
4.80339
-20
4.04272
Sebagai contoh, jika Z 50, maka
dipilih ℎ 1/7
-15
3.28204
-50
8.60679
Nilai eigen dari masalah nilai awal (3.11),
yaitu
6 ∑N 6N dengan ℎ 1 dan
berbagai nilai Z diberikan dalam Tabel 2.
berikut:
0
1
25
-2.80339
20
-2.04272
15
-1.28204
ℎ
1
1 |Z|
IV KESIMPULAN
Metode homotopi dapat digunakan
untuk menyelesaikan suatu masalah
taklinear. Dalam metode ini diperlukan
suatu parameter dan suatu fungsi bantu yang
dapat dipilih dan pemilihan kedua besaran
tersebut memberikan kontribusi pada
perluasan daerah kekonvergenan deret.
Salah satu masalah taklinear yang
diselesaikan dengan metode homotopi
adalah masalah pada model getaran. Dalam
model ini termuat suatu nilai dan fungsi
eigen yang akan ditentukan. Parameter yang
dipilih dalam metode ini bergantung pada
suatu konstanta yang merupakan koefisien
faktor taklinear pada model persamaan,
sedangkan fungsi bantu dipilih berupa fungsi
konstan. Penyelesaian masalah nilai eigen
pada model getaran dinyatakan dalam
bentuk deret dimana suku-suku dalam deret
tersebut diperoleh dari persamaan rekursif.
masalah nilai eigen. Kekonvergenan
penyelesaian masalah nilai eigen bergantung
pada parameter pada metode homotopi ().
Jika negatif, maka penyelesaian masalah
nilai eigen tersebut berupa deret yang
konvergen. Sebaliknya untuk positif
penyelesaian masalah nilai eigen berupa
deret yang tidak konvergen. Selain itu,
kekonvergenan penyelesaian masalah nilai
eigen juga bergantung kepada koefisien dari
faktor taklinear yang muncul dari model
persamaan. Jika koefisien faktor taklinear
negatif maka deret dari penyelesaian
masalah tersebut konvergen. Sebaliknya
untuk koefisien faktor taklinear positif,
maka deret dari penyelesaian masalah
tersebut tidak konvergen.
Dengan
menggunakan
bantuan
software MAPLE 12 diperoleh penyelesaian
.
DAFTAR PUSTAKA
Adomian G.1988. A review of the
decomposition method in applied
mathematics. J. Math. Anal. Appl., 135,
501-544.
Jaharuddin. 2008. Analisis Homotopi
dalam Penyelesaian suatu Masalah
Taklinear. Jurnal Matematika dan
Aplikasinya. 7:6-16.
Liao
S. 2004. Beyond Perturbation:
Introduction to the Homotopi Analysis
Method. Boca Raton, London, New
York Washington, D.C.
Nayfeh A H. 2000. Perturbation Methods,
Wiley, New York.
Stewart J. 2003. Kalkulus Jilid 2. Edisi
Keempat. IN Susila dan H Gunawan,
penerjemah; N Mahanani dan A Safitri.
Editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan
dari: Calkulus, Fourth Edition.
Kreyszig E. 2006. Advanced Engineering
Mathematics 9th edition. John Wiley
dan Sons, Inc.
13
Lampiran 1 Menentukan Penyelesaian pada Contoh Masalah Nilai Awal (3.9)
Perhatikan masalah nilai batas (3.9) berikut:
O () exp 1 0,
0 0
Didefinisikan
*
; )! =*
; )
exp *
; ) 1
=
dan
*(; ))! =*(; ))
=
Dengan menggunakan persamaan (3.8), yaitu
l () χ ()m 9()( tD !
diperoleh
U
l () χ ()m 9()( tD !
atau
U
() χ () 9()( (
tD ) V
atau
U
tD ) V.
() χ () T 9()( (
Jika dipilih fungsi 9() 1, maka diperoleh
U
tD ) V,
() χ () ( (
atau
U
1
= *(: ))!
V.
(^ 1)!
=) ?
() χ () L
Karena () *(; 0), dan dipilih pendekatan awal () , maka
untuk n = 1
U
() χ () T *(: 0)! V.
U
=*(; 0)
()
exp *
; 0 1 V.
=
U
1 exp 1 V.
S U S 14
Untuk n = 2
U
() ()
U
S
U
S
U
= L =*(; ))
exp *
; ) 1
V.
=)
=
?
= =*
; ) L 1 =uexpu*
; )vv
V.
=
=)
S
=)
?
S
S
U
=
1
S V.
=
S
U
S S S S V.
S S U S S S 2S U S U S U S U .
Dengan cara yang sama untuk nilai n yang lainnya, diperoleh barisan , , … sebagai berikut
S U S S S U S S S 2S U S U S U S U .
Dengan demikian penyelesaian masalah nilai batas (3.9) dengan menggunakan metode homotopi
adalah
8 atau
t S U S S S U S S S 2S U S U S U S U .
Jika dipilih 1, maka diperoleh
S S U S S 2S WU S U S U .
15
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.30)
Tinjau persamaan (3.16) sebagai berikut:
(1 ))&l*(, ), , 9) , ()m )9()*(, ), , 9), i())!
atau
&l*(; ), , 9) , ()m ) &l*(; ), , 9) , ()m ) 9() *(; ), , 9), Λ()) !.
Turunan pertama terhadap q dari kedua ruas pada persamaan (3.16), diperoleh
=&l*(; ), , 9) , ()m
&l*(; ), , 9) , ()m )&l*(; ), , 9) , ()m
=)
=¡*(; ), , 9), i()) !
.
9()*(; ), , 9), Λ()) ! ) 9()
=)
Untuk ) 0
=&l*(; ), , 9) , ()m
|? &l*(; 0, , 9) , ()m
=)
9()*(; ), , 9), Λ()) !|?
&¥
atau
&¥
atau
atau
V*(, ), , 9)
|? ¦ &l*(, 0, , 9) , ()m 9()*(, ), , 9), i())!|?
V)
1
1
1 V*(, ), , 9)
|? *(, 0, , 9) , ()¦ 9()*(, ), , 9), i())!|?
V)
1!
1!
1!
&l, () , () , ()m 9()*(, ), , 9), i())!|?
&l, ()m 9()*(, ), , 9), i())!|? .
Selanjutnya, jika kedua ruas pada persamaan (3.16) diturunkan dua kali (^ 2), maka diperoleh
= &l*(; ), , 9) , ()m
=&l*(; ), , 9) , ()m
2
=) =)
= &l*(; ), , 9) , ()m
)
=) =*(; ), , 9), Λ()) !
2 9()
=)
= *(; ), , 9), Λ()) !
) 9()
=) 16
Untuk ) 0,
&¥
atau
= *
; ), ℎ, 9
=*
; ), ℎ, 9
=*
; ), ℎ, 9, Λ
) !
|? 2
|? ¦ 2ℎ 9
|?
=) =)
=)
=*
; ), ℎ, 9
1 = *
; ), ℎ, 9
&¥
|? 2
|? ¦
=)
2!
=)
1
=*
; ), ℎ, 9, Λ
) !
2ℎ 9
|?
2!
=)
&¥
1 = *
; ), ℎ, 9
=*
; ), ℎ, 9
|? |? ¦
2!
=)
=)
=*
; ), ℎ, 9, Λ
) !
ℎ 9
|?
=)
&l, , m ℎ 9
jk
;?,p,q,§
? !
j?
|? .
Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, untuk ^ 3, diperoleh
= 8 &l*
; ), ℎ, 9 , m
= &l*
; ), ℎ, 9 , m
3
=) 8
=) 8
= &l*
; ), ℎ, 9 , m
)
=) 8
= *
; ), ℎ, 9, Λ
) !
= 8 *
; ), ℎ, 9, Λ
) !
3ℎ 9
)ℎ9
=) =) 8
Untuk ) 0
&¥
atau
= *
; ), , 9
= *
; ), , 9, Λ
) !
= 8 *
; ), , 9
|
3
|
¦
3
9
|?
?
?
=) 8
=) =) 1 = 8 *
; ), , 9
= *
; ), , 9
&¥
|
3
|? ¦
?
3!
=) 8
=) 1
= *
; ), , 9, Λ
) !
3 9
|?
3!
=) 1 = 8 *
; ), , 9
1 = *
; ), , 9
&
|
|?
?
3!
=) 8
2!
=) 1
= *
; ), , 9, Λ
) !
9
|?
2!
=) &l,8 , m 1
= *
; ), , 9, Λ
) !
9
|?
2!
=) 17
Dengan demikian secara umum diperoleh untuk 4 1,2,3, …
&l,d {d ,d m dengan
C l
tD,d , 6D,d m 0, 4 F1
{d _
1 , 4 |Z}^^ Z
d!
9
jowx k
;?,p,q,§
? !
j? owx
1
= d *(; ), , 9), Λ()) !
|?
(4 1)!
=) d
dan tD,d _, (), , (), , () … , ,d ()c
|?
18
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.32)
Tinjau persamaan (3.31) berikut:
tD,d , 6D,d m C l
1
= d *(; ), , 9), Λ()) !
|?
4 1!
=) d
dan persamaan (3.14).
Untuk 4 1
tD, , 6D, v *(, ), , 9), i())!|?
C, u
atau
C, u
tD, , 6D, v Untuk 4 2
j\ k(,?)
i())*(, )) * 8 (, ))|?
j \
= *(, 0)
i(0)*(, 0) * 8 (, 0)
= ", () 6 , () (, (, 0))8 .
C, u
tD, , 6D, v C, u
tD, , 6D, v jk(,?,p,q),r(?)!
j?
j
j?
¨
j\ k(,?)
j \
j\ jk(,?)
j \
j?
|?
i())*(, )) * 8 (, ))©
jr(?)
j?
*(, )) i())
jk(,?)
j?
3 * (, ))
jk(,?)
j?
= =*(, ))
=i())
=*(, ))
|? | *(, 0) i(0)
|?
= =)
=) ?
=)
=*(, ))
3 * (, 0)
|?
=)
", () 6 , () 6 , () 3,
(), ()
Dengan demikian secara umum diperoleh
C,d u
tD,d , 6D,d v
d
d
<
<
<
",d () @ 6< ,d< () @ ,d< () @ , () ,< ()
19
Lampiran 4 Penurunan persamaan (3.36)
,o
,d {d ,d ∑<
…. (3.36)
Karena &* j\ k
j \
,o
p
((<W)\ ()\ )
sin
20 1^a! sin
^a cos
^a
^a *, dan berdasarkan persamaan (3.30) berikut
tD,d , 6D,d v,
&l,d {d ,d m 9
C,d u
maka diperoleh
=
l {d ,d m ^a ª,d {d ,d «
= ,d
tD,d , 6D,d v
9
C,d u
atau
=
l {d ,d m
= ,d
tD,d , 6D,d v ^a ª,d {d ,d «
9
C,d u
Jika kedua ruas pada persamaan di atas diintegralkan hingga dua kali terhadap , maka diperoleh
,d {d ,d ¬ 9
C,d u
tD,d , 6D,d v ^a ª,d {d ,d «
atau
tD,d , 6D,d v ^a ª,d {d ,d «
,d {d ,d ¬ 9
C,d u
Jika C,d pada persamaan (3.34) digunakan, maka diperoleh
,d {d ,d ,x
, D
¬ @ <
u6d v sin
20 1^a! ^a ª,d {d ,d «
Untuk 4 1,
<
,x
, D
, { , ¬ @ <
u6 v sin
20 1^a! ^a ª, { , «
<
,x
, D
, ¬ @ <
u6 v sin
20 1^a! ^a , <
20
,x
, @
<
,x
, @
<
, , D
<
u6 v
sin
20 1^a!
20 1 ^a
^a
1
cos
^a sin
^a
^a
^a
, D
<
u6 v
2
sin
20 1^a! sin
^a cos
^a
20 1 ^a
^a
, u6D v
sin
^a
20 1 ^a
,x
, D
u6 v
2
<
sin
2m 1nπx! x sin
nπx cos
nπx
@
20 1 ^a
nπ
<
,x
, @
<
, D
<
u6 v
2
sin
2m 1nπx! x sin
nπx cos
nπx
20 1 ^a
nπ
Secara umum bentuk ,d adalah
,d {d ,d ,o
@
untuk 4 1,2,3, …
<
,d
<
sin
20 1^a! sin
^a cos
^a
20 1 ^a 21
Lampiran 5 Penurunan Persamaan (3.37)
Tinjau persamaan (3.36) berikut
,d {d ,d ,o
∑<
cos
^a
,o
p
\
() (<W)\ !
sin
20 1^a! sin
^a dengan 0 dan kondisi penormalan T ∑d< ,< V 1
Untuk 4 0
, V 1
atau
√2 sin
^a V 1
atau
sin
^a V Untuk 4 1
1
2
, , V 1
atau
«
ª,
2 , , ,
V 1
atau
u,
2 , 3 sin
^a 3 sin
^a vV 1
atau
ª,
2 , 3 2 , sin
^a 3 2 3 sin
^a 3}^ ^a«V
1
atau
u 3}^ ^a 2 , 3 sin
^a , 3 vV 1
22
atau
u 3}^ (^a) 2 , () sin
^a , vV 1
atau
4 , sin
^a 2 ,
V 1
atau
4 2 1,
dengan
,d sin
^aV
V
,d
,o
,d ∑d
, {d ,d ∑<
,o
3 @
<
,o tD
p
owx \ <W\ !
sin
20 1^a!
,d
<
sin
20 1^a!
^a 1 20 1 !
23
Lampiran 6. Program Maple
> restart;
> Linv_sin:=proc(m)
sin(m*x)/((n*Pi)^2-m^2);
end;
> Linv_cos:=proc(m)
cos(m*x)/((n*Pi)^2-m^2);
end;
> Linv:=proc(y)
local p,temp,temp1,i;
temp:=indets(y);
temp1:={};
for i from 1 to nops(temp) do
if hasfun(temp[i],sin) then
p:=Linv_sin(op(temp[i])/x);
temp1:=temp1 union {temp[i]=p};
else
if hasfun(temp[i],cos) then
p:=Linv_cos(op(temp[i])/x);
temp1:=temp1 union {temp[i]=p};
fi;
fi;
od;
subs(temp1,y);
end:
> Simp_cos:=proc(x)
local temp,temp1,i;
temp:=indets(x);
temp1:={};
for i from 1 to nops(temp) do
if hasfun(temp[i],cos) then
temp1:=temp1 union {temp[i]=0};
fi;
od;
subs(temp1,x);
end:
L:=U->diff(U,x$2)+(n*Pi)^2*U;
Normalization:=1;
epsilon:=-50;
> for k from 1 to m do
if k=1 then chi:=0;
else
chi:=1;
fi;
p:=0;
q:=0;
for i from 0 to k-1 do
q:=q+A[i]*V[k-1-i];
od;
q:=frontend(expand,[q]);
24
w:=0;
for i from 0 to k-1 do
s:=0;
for j from 0 to i do
s:=s+V[j]*V[i-j];
od;
w:=w+s*V[k-1-i];
od;
w:=frontend(expand,[w]);
p:=p+q+epsilon*w+diff(V[k-1],x$2);
p:=p*h*H;
p:=frontend(expand,[p]);
p:=combine(p,trig);
p:=frontend(expand,[p]);
Coeff_sin:=coeff(p,sin(n*Pi*x));
p:=subs(sin(n*Pi*x)=0,p);
a:=solve(Coeff_sin=0,[A[k-1]]);
A[k-1]:=rhs(a[1][1]);
A[k-1]:=expand(A[k-1]);
uspecial:=Linv(p);
uspecial:=frontend(expand,[uspecial]);
V[k]:=uspecial+chi*V[k-1];
z:=0;
for i from 0 to k do
z:=z+V[i];
od;
alpha:=coeff(z,sin(n*Pi*x))/2;
alpha:=frontend(expand,[alpha]);
temp1:=combine(z^2-1,trig);
temp1:=frontend(expand,[temp1]);
beta:=Simp_cos(temp1);
beta:=frontend(expand,[beta]);
temp2:=simplify(4*alpha^2-2*beta+1);
temp2:=frontend(expand,[temp2]);
if Normalization=1 then C1:=-2*alpha+sqrt(temp2); fi;
C1:=frontend(expand,[C1]);
V[k]:=V[k]+C1*sin(n*Pi*x);
od:
25
