Fungsi Bernilai Vektor

Fungsi Bernilai Vektor
Menggambar Fungsi
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
1 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Fungsi Bernilai Vektor: Menggambar Grafik
Saat yang lalu kita mempelajari fungsi dari Rn ke R, nilainya skalar.
Saat sekarang, kita akan mempelajari fungsi dari Rn ke Rm
Sebagai contoh, misalkan masalah aliran panas, angin dlsb.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Fungsi Bernilai Vektor: Menggambar Grafik
Saat yang lalu kita mempelajari fungsi dari Rn ke R, nilainya skalar.
Saat sekarang, kita akan mempelajari fungsi dari Rn ke Rm
Sebagai contoh, misalkan masalah aliran panas, angin dlsb.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Fungsi Bernilai Vektor: Menggambar Grafik
Saat yang lalu kita mempelajari fungsi dari Rn ke R, nilainya skalar.
Saat sekarang, kita akan mempelajari fungsi dari Rn ke Rm
Sebagai contoh, misalkan masalah aliran panas, angin dlsb.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Fungsi Bernilai Vektor: Menggambar Grafik
Kecepatan angin di suatu ruang dapat dipandang sebagai fungsi
bernilai vektor F : R3 → R3 .
Contoh lain, medan maknet
MedanMaknet
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Fungsi Bernilai Vektor: Menggambar Grafik
Kecepatan angin di suatu ruang dapat dipandang sebagai fungsi
bernilai vektor F : R3 → R3 .
Contoh lain, medan maknet
MedanMaknet
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Fungsi Bernilai Vektor: Menggambar Grafik
Secara umum, sebarang titik ~x di daerah definisi mempunyai vektor
F (~x ).
Misalkan diketahui F (~x ) = F (x1 , x2 ) = (x2 , −x1 )
A
1
C
−1
−1
01
2
3
D
−2
−3
4
B
−4
ContohGambarGrafikMedanVektor
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Fungsi Bernilai Vektor: Menggambar Grafik
Secara umum, sebarang titik ~x di daerah definisi mempunyai vektor
F (~x ).
Misalkan diketahui F (~x ) = F (x1 , x2 ) = (x2 , −x1 )
A
1
C
−1
−1
01
2
3
D
−2
−3
4
B
−4
ContohGambarGrafikMedanVektor
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Fungsi Bernilai Vektor: Menggambar Grafik
Contoh lain :F (x, y ) = y , x + sin x 2 + y 2
ContohGambarGrafikMedanVektor
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Contoh Membangun Fungsi Vektor di Matematika
Jika ada fungsi skalar φ (x, y ), misalkan φ (x, y ) = x 2 + y 2 , ada dua
cara menghasilkan medan vektor.
Medan vektor gradien
∇φ =
∂φ ∂φ
,
∂x ∂y
= (2x, 2y )
Contoh Medan Vektor φ (x, y ) = ux 2 + vy 2 dengan lengkungan
ux 2 + vy 2 = w
ContohMedanVektor
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Contoh Membangun Fungsi Vektor di Matematika
Jika ada fungsi skalar φ (x, y ), misalkan φ (x, y ) = x 2 + y 2 , ada dua
cara menghasilkan medan vektor.
Medan vektor gradien
∇φ =
∂φ ∂φ
,
∂x ∂y
= (2x, 2y )
Contoh Medan Vektor φ (x, y ) = ux 2 + vy 2 dengan lengkungan
ux 2 + vy 2 = w
ContohMedanVektor
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Contoh Membangun Fungsi Vektor di Matematika
Jika ada fungsi skalar φ (x, y ), misalkan φ (x, y ) = x 2 + y 2 , ada dua
cara menghasilkan medan vektor.
Medan vektor gradien
∇φ =
∂φ ∂φ
,
∂x ∂y
= (2x, 2y )
Contoh Medan Vektor φ (x, y ) = ux 2 + vy 2 dengan lengkungan
ux 2 + vy 2 = w
ContohMedanVektor
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Contoh Membangun Fungsi Vektor di Matematika
Jika ada fungsi skalar φ (x, y ), misalkan φ (x, y ) = x 2 + y 2 , ada dua
cara menghasilkan medan vektor.
Medan vektor Hamiltonian
∂φ
∂φ
H (φ) =
= (2y , −2yx )
,−
∂y
∂x
Contoh Medan Vektor φ (x, y ) = ux 2 + vy 2 dengan lengkungan
ux 2 + vy 2 = w
ContohMedanHamilton
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Contoh Membangun Fungsi Vektor di Matematika
Jika ada fungsi skalar φ (x, y ), misalkan φ (x, y ) = x 2 + y 2 , ada dua
cara menghasilkan medan vektor.
Medan vektor Hamiltonian
∂φ
∂φ
H (φ) =
= (2y , −2yx )
,−
∂y
∂x
Contoh Medan Vektor φ (x, y ) = ux 2 + vy 2 dengan lengkungan
ux 2 + vy 2 = w
ContohMedanHamilton
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Contoh Membangun Fungsi Vektor di Matematika
Jika ada fungsi skalar φ (x, y ), misalkan φ (x, y ) = x 2 + y 2 , ada dua
cara menghasilkan medan vektor.
Medan vektor Hamiltonian
∂φ
∂φ
H (φ) =
= (2y , −2yx )
,−
∂y
∂x
Contoh Medan Vektor φ (x, y ) = ux 2 + vy 2 dengan lengkungan
ux 2 + vy 2 = w
ContohMedanHamilton
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Tidak Semua Medan Vektor Sebagai Gradien
Example
Buktikan bahwa medan vektor F (x, y ) = (y , −x ) bukan sebagai gradien
fungsi.
Proof.
Misalkan ada fungsi φ dengan F = ∇φ =
∂φ ∂φ
∂x , ∂y
, maka
∂φ
∂x
=y
∂φ
∂y
= −x
Karena hanya berbetuk polinomial, maka
dan
∂2 φ
∂2 φ
=
∂x ∂y
∂y ∂x
Tetapi
∂
∂
(−x ) =
(y )
∂x
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Tidak Semua Medan Vektor Sebagai Gradien
Example
Buktikan bahwa medan vektor F (x, y ) = (y , −x ) bukan sebagai gradien
fungsi.
Proof.
Misalkan ada fungsi φ dengan F = ∇φ =
∂φ ∂φ
∂x , ∂y
, maka
∂φ
∂x
=y
∂φ
∂y
= −x
Karena hanya berbetuk polinomial, maka
dan
∂2 φ
∂2 φ
=
∂x ∂y
∂y ∂x
Tetapi
∂
∂
(−x ) =
(y )
∂x
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Tidak Semua Medan Vektor Sebagai Gradien
Example
Buktikan bahwa medan vektor F (x, y ) = (y , −x ) bukan sebagai gradien
fungsi.
Proof.
Misalkan ada fungsi φ dengan F = ∇φ =
∂φ ∂φ
∂x , ∂y
, maka
∂φ
∂x
=y
∂φ
∂y
= −x
Karena hanya berbetuk polinomial, maka
dan
∂2 φ
∂2 φ
=
∂x ∂y
∂y ∂x
Tetapi
∂
∂
(−x ) =
(y )
∂x
∂y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = x 2 − y 2 , 2xy
Kita dapat memandang ini sebagai pemetaan dari R2 → R2
Misalkan F (2, 1) = 22 − 12 , 2 · 2 · 1 = (3, 5).
Titik (2, 1) dipetakan menjadi titik (3, 5).
MedanVektorSebagaiTransformasi
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = x 2 − y 2 , 2xy
Kita dapat memandang ini sebagai pemetaan dari R2 → R2
Misalkan F (2, 1) = 22 − 12 , 2 · 2 · 1 = (3, 5).
Titik (2, 1) dipetakan menjadi titik (3, 5).
MedanVektorSebagaiTransformasi
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = x 2 − y 2 , 2xy
Kita dapat memandang ini sebagai pemetaan dari R2 → R2
Misalkan F (2, 1) = 22 − 12 , 2 · 2 · 1 = (3, 5).
Titik (2, 1) dipetakan menjadi titik (3, 5).
MedanVektorSebagaiTransformasi
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = x 2 − y 2 , 2xy
Kita dapat memandang ini sebagai pemetaan dari R2 → R2
Misalkan F (2, 1) = 22 − 12 , 2 · 2 · 1 = (3, 5).
Titik (2, 1) dipetakan menjadi titik (3, 5).
MedanVektorSebagaiTransformasi
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = x 2 − y 2 , 2xy
Kita dapat memandang ini sebagai pemetaan dari R2 → R2
Misalkan F (2, 1) = 22 − 12 , 2 · 2 · 1 = (3, 5).
Titik (2, 1) dipetakan menjadi titik (3, 5).
MedanVektorSebagaiTransformasi
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Mencari Peta Subhimpunan
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = 2xy , x 2 − y 2
Kita akan mencari peta garis x = p
Peta akan digambar pada koordinat Kartesius (u, v ), jadi
u = 2xy
v = x2 − y2
Dengan mensubstitusikan x = p, diperoleh
u = 2py
v = p2 − y 2
Himpunan peta dapat dicari dengan mengeliminasi y . Untuk itu tulis
u
y=
2p
dan hasil peta adalah
(
2 )
u
(u, v ) : v = p 2 −
2p
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Mencari Peta Subhimpunan
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = 2xy , x 2 − y 2
Kita akan mencari peta garis x = p
Peta akan digambar pada koordinat Kartesius (u, v ), jadi
u = 2xy
v = x2 − y2
Dengan mensubstitusikan x = p, diperoleh
u = 2py
v = p2 − y 2
Himpunan peta dapat dicari dengan mengeliminasi y . Untuk itu tulis
u
y=
2p
dan hasil peta adalah
(
2 )
u
(u, v ) : v = p 2 −
2p
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Mencari Peta Subhimpunan
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = 2xy , x 2 − y 2
Kita akan mencari peta garis x = p
Peta akan digambar pada koordinat Kartesius (u, v ), jadi
u = 2xy
v = x2 − y2
Dengan mensubstitusikan x = p, diperoleh
u = 2py
v = p2 − y 2
Himpunan peta dapat dicari dengan mengeliminasi y . Untuk itu tulis
u
y=
2p
dan hasil peta adalah
(
2 )
u
(u, v ) : v = p 2 −
2p
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Mencari Peta Subhimpunan
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = 2xy , x 2 − y 2
Kita akan mencari peta garis x = p
Peta akan digambar pada koordinat Kartesius (u, v ), jadi
u = 2xy
v = x2 − y2
Dengan mensubstitusikan x = p, diperoleh
u = 2py
v = p2 − y 2
Himpunan peta dapat dicari dengan mengeliminasi y . Untuk itu tulis
u
y=
2p
dan hasil peta adalah
(
2 )
u
(u, v ) : v = p 2 −
2p
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Mencari Peta Subhimpunan
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = 2xy , x 2 − y 2
Kita akan mencari peta garis x = p
Peta akan digambar pada koordinat Kartesius (u, v ), jadi
u = 2xy
v = x2 − y2
Dengan mensubstitusikan x = p, diperoleh
u = 2py
v = p2 − y 2
Himpunan peta dapat dicari dengan mengeliminasi y . Untuk itu tulis
u
y=
2p
dan hasil peta adalah
(
2 )
u
(u, v ) : v = p 2 −
2p
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Mencari Peta Subhimpunan
Cara Lain
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = 2xy , x 2 − y 2
Kita akan mencari peta lengkungan {(x (t ) , y (t )) : t ∈ I }
Hasil peta adalah
n
o
2x (t ) y (t ) , x (t )2 − y (t )2 : t ∈ I
Untuk mencari peta daerah di domain, kita mencari peta dari
lengkungan batas.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Mencari Peta Subhimpunan
Cara Lain
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = 2xy , x 2 − y 2
Kita akan mencari peta lengkungan {(x (t ) , y (t )) : t ∈ I }
Hasil peta adalah
n
o
2x (t ) y (t ) , x (t )2 − y (t )2 : t ∈ I
Untuk mencari peta daerah di domain, kita mencari peta dari
lengkungan batas.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Mencari Peta Subhimpunan
Cara Lain
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = 2xy , x 2 − y 2
Kita akan mencari peta lengkungan {(x (t ) , y (t )) : t ∈ I }
Hasil peta adalah
n
o
2x (t ) y (t ) , x (t )2 − y (t )2 : t ∈ I
Untuk mencari peta daerah di domain, kita mencari peta dari
lengkungan batas.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 11
Fungsi Bernilai Vektor Menggambar Grafik
Medan Vektor Sebagai Transformasi
Mencari Peta Subhimpunan
Cara Lain
Misalkan, kita mempunyai medan vektor F (x, y ) = 2xy , x 2 − y 2
Kita akan mencari peta lengkungan {(x (t ) , y (t )) : t ∈ I }
Hasil peta adalah
n
o
2x (t ) y (t ) , x (t )2 − y (t )2 : t ∈ I
Untuk mencari peta daerah di domain, kita mencari peta dari
lengkungan batas.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 11