Logika Predikat Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL

Logika Order Pertama
(First Order Logic)
Logika Order-Pertama (Logika Predikat)
Pendahuluan.
Pembicaraan kita sejauh ini terbatas pada pernyataan dan rumusan
pernyataan (formula). Simbol-simbol p, q, r, . . . semuanya diguna
kan untuk pernyataan atau peubahnya. Analisa kalimat yang kita bi
carakan lebih terfokuskan atau terkonsentrasikan pada pernyataanpernyataan majemuk, dan bukan pada pernyataan sederhana. Kita
tidak memperhatikan kemungkinan untuk mengekspresikan kenyata
an bahwa dua pernyataan atau lebih mempunyai sifat-sifat kebersa
maan. Untuk itu akan diperkenalkan suatu konsep predikat pada ka
limat sederhana. Logika yang berdasarkan analisa pedikat pada sua
tu pernyataan disebut logika predikat.
Logika Order-Pertama (Logika Predikat)
Untuk memahami predikat kita berikan contoh dibawah ini.
Pandang dua pernyataan dibawah ini :
1). Joko adl seorang mahasiswa.
2). Slamet adl seorang mahasiswa.
Jelas bahwa untuk menyajikan kedua pernyataan tsb diperlukan dua
simbol yang berbeda. Akan tetapi kalau kita amati, kedua pernyataan
tsb mempunyai sifat kebersamaan, yaitu “adl seorang mahasiswa” .
Simbol-simbol yg digunakan untuk menyajikan kedua pernyataan tsb
tidak menunjukan adanya sifat kebersamaan diantara kedua kalimat
tsb. Untuk itu diperkenalkan suatu simbol yg menunjukan sifat
kebersamaan kalimat-kalimat (dlm contoh kita adl sifat “adl seorang
mahsiswa” ) yang disebut dengan predikat
Logika Predikat
Dari contoh diatas jelaslah bhw unit dasar dp logika proposisional
adalah pernyataan logis seperti “Baju ini berwarna merah”, atau
“Bumi adl bulat”, yang mungkin dikombinasikan dengan “and”, “or”,
“not” atau operator yang lain. Proposisi tersebut dapat true atau false.
Kita tak dapat memperoleh obyek yang lebih rendah lagi seperti
misalnya “Baju” (yg berwarna putih, hitam, dll), “Bumi” (yg bulat,
benjol, dll), dan bahkan juga variabel untuk menyajikan obyek-obyek
tsb. Kita tak dapat mengekstraksikan misalnya konsep properti seperti
“berwarna-merah” (being red) . Suatu kenyataan bahwa menggunakan
logika, dlm banyak aplikasi, perlu untk dapat berbicara tentang obyekobyek dng level yg lebih rendah tsb beserta properti yg mereka punyai.
Untuk itu semua maka akan dibicarakan logika predikat yg diawali
dengan sajian secara informal dan kemudian secara formal.
Logika Predikat
Pandang, sekali lagi kalimat-kalimat : “Setiap manusia adl makhluk
hidup “ ; “Karena Suta adl manusia, maka ia adl makhluk hidup”.
Dengan intuisi maka didapat bahwa kesimpulan tsb benar. Tetapi
jika disajikan dengan formula proposisional, maka akan didapat :
p : Setiap manusia adl makhluk hidup
q : Suta adl manusia
r : Suta adl makhluk hidup.
maka berdasarkan kerangka berpikir logika proposisional, r bukan
lah konsekuensi logis dari p dan q. Karena struktur tsb tak dikenal
dalam logika proposisional.
Logika Predikat
Perhatikan bahwa pernyataan “ Semua manusia adl makhluk hidup”
mengandung pernyataan “himpunan” dp manusia, dimana individu
yg merupakan elemen dr “himpunan manusia” yg cacahnya dapat
dianggap tak terhingga (banyuaaaak sekali). Dari pernyataan kedua,
yaitu “Suta adl manusia” secara implisit menyatakan anggota dp
“himpunan manusia”. Jadi hubungan antara kedua pernyataan tsb
dengan struktur seperti diatas tidak ada dalam logika proposisional.
Selanjutnya jika akan ditunjukan kebenaran dp pernyataan “Setiap
manusia adl makhluk hidup” dalam logika proposisional, maka ha
ruslah membuktikan kebenaran untuk setiap anggota dp “himpunan
manusia” . Suatu hal yg tak mungkin.. Untuk itu maka sampailah
kita pada Logika predikat, yaitu merupakan logika proposisi yang
diperluas dng tiga komponen logika : term, predikat, dan kuantor.
Logika Predikat
Sebelum melangkah lebih jauh diberikan beberapa hal yg penting
dalam memahami Logika Predikat atau Logika Order-Pertama.
Pada dasarnya Logika Order-Pertama adalah hasil perluasan dari
logika proposisional dengan menambah 3 komponen logika yaitu :
suku (term), predikat (predicate), dan kuantor (quantifier).
Perhatikan pernyataan :
x>4
x=y+2
Jika dianalisis, pernyataan “ x lebih besar dari 4” terdiri dari 2 (dua)
bagian yaitu : 1). Variabel x sebagai subyek dari pernyataan dan
2). “Lebih besar dari 4” yg merupakan Predikat , yg
menyatakan kriteria benar atau salah dr subyeknya.
Logika Predikat
Kita dapat merepresentasikan “ x lebih besar dari 4” dengan P(x),
dimana P melambangkan predikat “lebih besar dari 4” , dan x adalah
variabel. P(x) juga dapat disebut sebagai nilai daripada fungsi proposi
si P pada x. Untuk nilai daripada x diberikan, maka P(x) memiliki ni
lai kebenaran (mis. jika x = 5 maka P(x) bernilai kebenaran benar, ji
ka x = 3 maka P(x) bernilai kebenaran salah).
Contoh.
Jika Q(x,y) menotasikan pernyataan x = y + 2, maka tentukan nilai
kebenaran untuk Q(1,2) dan Q(3,1) ?
Untuk menjawabnya maka kita substitusikan x = 1 dan y = 2,
sehingga Q(1,2) adalah 1 = 2 + 2 yang jelas salah sehingga Q(1,2)
bernilai kebenaran salah. Untuk Q(3,1) kerjakan sendiri !!
Logika Predikat
Latar Belakang
Pernyataan yang kita inginkan untuk mengekpresikan dituliskan dlm
apa yang kenal dengan suatu bahasa order pertama yng dibangun dng
pemikiran himpunan-himpuan khusus dp varibel, simbol tetapan, sim
bol fungsi, dan predikat (simbol relasi).
Bila bicara dalam suatu bahasa order-pertama, maka dalam benak ki
ta terpikir adanya himpunan dp obyek-obyek didalam pernyataan dlm
bahasa tersebut dibicarakan. Ini dikenal sbg “universe of discourse”.
Variabel dp bahasa order-pertama berjangkauan pada seluruh dp suatu
universe of discourse.
Logika Predikat
Latar Belakang
Simbol-simbol tetapan masing-masing merupakan hanya satu anggo
ta yang berbeda dp universe of discourse.
Simbol fungsi merupakan suatu fungsi pd universe of discourse. Ter
dapat simbol fungsi satu-tempat f(x), dan dua-tempat f(x,y) dan seterus
nya.
Suatu Predikat adalah suatu simbol yang berarti suatu relasi. Dapat
dipandang sebagai suatu fungsi yang mengantarkan pada suatu nilai
T(rue) atau F(alse) (1 atau 0). Argumennya adalah term dp bahasa
order-pertama.
Logika Predikat
Contoh
Suatu predikat R(x) dapat dipandang (oleh programmer) sebagai sesu
atu yg mirip dng suatu “fungsi Boolean” dalam bahasa Pascal yg meng
hasilkan suatu hasil logis (Boolean) yg direlasikan dng suatu properti
daripada argmennya x ; mis. “ If x2 > 9 then . . else . . “
Contoh dp Predikat , dengan banyaknya argumen yang berbeda :
Contoh
Argumen
Arti
Equal (m,n)
m dan n adalah integer
m dan n adalah sama
Sibling(Ari, Emon) dua nama orang
Mereka sdr kandung
fpt(f,p,g)
f adl fpt dp bilangan
integer p dan g
Tiga bilangan integer
Logika Predikat
Diketahui suatu bahasa order-pertama , suatu interpretasi dp bahasa
tersebut mempunyai suatu domain (atau Universe of Discourse)
bersama-sama dengan assignments (penugasan) dp simbol tetapan,
simbol fungsi, dan predikat pada tetapan aktuil, fungsi dan relasi
dalam domain tersebut.
Catatan bhw predikat Equal(m,n) pd dirinya sendiri (on its own, yaitu
pd kata Equal) adl suatu simbol unt relasi. Ia tidak untk kesamaan ke
cuali ditugaskan sebagai relasi tersebut dalam suatu interpretasi.
Tegasnya adl bhw Equal (m,n), Sibling(a,b), fpt(p,q,r) atau sebarang
predikat lainnya adalah hanyalah nama (just names).
Logika Predikat
Kita dapat memandang bahwa interpretasi dimana domain dp UoD
adalah himpunan dp integer dan Equal(m,n) adalah T(rue) jika dan
hanya jika m dan n adalah integer yang sama. Bagimanapun juga kita
dapat menginterpretasikan/mengartikan lain walaupun domain sama
tetapi penugasan relasi Equal(m,n) berbeda dengan diatas, misalnya
“m adalah lebih kecil dp n”. Sekali lagi Equal hanyalah nama saja
boleh diinterpretasikan yang lain terserah pada interpretasi yang ditu
gaskan.
Logika Predikat
Suatu predikat dapat ditugasi sebarang relasi tanpa memperhatikan
namanya. Tetapi umumnya bilamana kita bekerja dlm logika predikat,
kita berpikir tentang suatu interpretasi khusus yang akan kita sebut in
terpretasi “termaksud” (intended interpretation). Dalam interpretasi ter
maksud nama dp predikat memberikan suatu indikasi dp “arti termak
sud” nya. Jadi jika menggunakan nama predikat equal (m,n), interpreta
si termaksud adalah “equality” (“sama”).
Setiap predikat dp satu argumen adalah suatu mapping :
D  {T,F}
dimana D adalah UoD (atau Domain).
Logika Predikat
Suatu predikat dp dua argumen adalah suatu mapping :
D x D  {T,F} ,
dimana D adalah UoD (atau Domain).
Nilai kebenaran T dan F dapat dipandang sebagai suatu predikat dng
nol argumen.
Kesemuanya itu adalah mempunyai hubungan yang dekat dengan pe
ngertian himpunan karena obyek dp UoD harus berbentuk suatu himpunan, semua obyek yang memenuhi “Merah(x)” membentuk suatu
subset dan yg memenuhi “Merah(x)  Kuning(x)” membentuk suatu
himpunan yg merupakan irisan dp himpunan “Merah(x)” dan
“Kuning(x)”. Juga yang memenuhi “Merah(x)Kuning(x)” adl union
dp “Merah(x)” dan “Kuning(x)”.
Logika Predikat
Predikat dapat digunakan untuk menulis formula logis dimana obyek
adalah anggota dp suatu UoD, contoh :
Kaya(orang)  Dapat_membeli(orang,obyek)
(Besar(obyek)  Padat(obyek))  Berat(obyek)
Genap(x)  Faktor(2,x)
Passport-UK(x) Lahir-UK(x)  Passport-UK(Or-Tua(x))
Jadi kita telah dapat mencapai suatu notasi dimana kita dapat ber
bicara tentang obyek dalam UoD kita, dan juga properti mereka
daripada variabel level terendah untuk melengkapi proposisi logika.
Logika Predikat
Kuantor Universal dan Eksistensial.
Sejauh ini kita dapat mengekspresikan dalam logika, pernyataan
khusus seperti :
A adalah pembohong
A berkata bahwa B . . . .
Tetapi kita tak dapat mengekpresikan ide yang lebih umum, (“semua.
..” ) seperti pada argumen logis seperti :
Semua manusia adalah makhluk hidup
Socrates adalah manusia
maka Socrates adalah makhluk hidup.
Jika diusahakan unt diekspresikan dlm logika proposisi maka didapat :
P
Q
maka R
Logika Predikat
Kuantor Universal dan Eksistensial
Perhatikan bahwa pada contoh diatas jelaslah bahwa jika kalimat su
dah diekspresikan dalam pernyataan proposisonal maka kita tak dapat
lagi berkata tentang keabsahan suatu argumen karena kita tak dapat ma
suk lebih dalam ke pernyataan tsb yaitu ke obyek level lebih rendah,
misalnya tentang “manusia”, “Socrates”, dan “makhluk hidup”.
Logika Predikat
Kuantor Universal dan Eksistensial
Maka diperlukan ekspresi “Semua A adalah B” sehingga didapat argumen :
“Semua A adalah B” atau “Semua A mempunyai properti B” atau
“Semua obyek dalam himpunan A mempunyai properti B”
“C adalah suatu A” atau “C adalah dalam himpunan A “ atau
“C adalah suatu anggota dp himpunan B”
maka disimpulkan “ C adalah B “ atau “ C mempunyai properti B”
Contoh lain :
“ Semua Mhs klas B mendapat nilai A “
“ Suta Mhs dalam klas B”
maka disimpulkan
“ Suta mendapat nilai A “
Logika Predikat
Kuantor Universal
Perhatikan sekuen dp formalisasi berikut :
(a) Setiap integer mempunyai faktor priem.
(b) Untuk semua x,
jika x adalah suatu integer
maka x mempunyai suatu faktor priem
(c) Untuk semua x, (Adl_integer(x)  Punya_fak_priem(x))
dimana Adl_integer(x) adalah suatu predikat yang menyajikan “ x adl
suatu integer “, dan Punya_fak_priem(x) adl suatu predikat yg menyaji
kan “x mempunyai suatu faktor priem”
Logika Predikat
Kuantor Universal
Dengan demikian contoh Socrates diatas menjadi :
Untuk semua x, (Adl_manusia(x)  Adl_mkhluk_hidup(x))
“For All” disebut dng kuantor universal, dituliskan dng simbol 
Sehingga pernyataan diatas ditulis :
x (Adl_integer(x)  Punya_faktor_priem(x))
Perhatikan bahwa domain dp kuantifikasi adalah UoD, sehingga x
mempunyai arti “ For all x dalam universe of discourse . . . “
Universe of Discourse (UoD) adalah domain dp interpretasi yg dalam
pertimbangan, atau lebih formal lagi , UoD adl himpunan dp obyekobyek dimana kita bicarakan/diskusikan.
Logika Predikat
Kuantor Universal
Dalam Bahasa Spesifikasi formal Z yang merupakan aplikasi Predi
kat Logika pada definisi dp sistem dunia-nyata setiap kuantor diikuti
oleh suatu definisi dp himpunan khusus dp nilai-nilai pada mana
variabel mengambil nilai. Notasinya adalah :
x : <nama dp suatu himpunan> . <Ekspresi Boolean>
Notasi tersebut digunakan pada Pemrograman Logika yg dibicarakan
pada bagian lain.
Logika Predikat
Kuantor Universal
Scope dp variabel terkuantifikasi.
Pernyataan :
adl jelas ekuivalen dng :
x (Adl_integer(x)  Punya_faktor_priem(x))
y (Adl_integer(y)  Punya_faktor_priem(y))
Tetapi, kita tak dibenarkan untuk mengganti x dengan y pada pernyata
an berikut :
x (Adl_integer(x)  Punya_faktor_priem(y))
karena independensi dp kedua variabel x dan y menyebabkan makna
pernyataan akan berubah total.
Logika Predikat
Kuantor Universal
Scope dp variabel terkuantifikasi adl bagian dp formula dimana ia
diaplikasikan. Jika suatu variabel x jatuh didalam scope daripada suatu
x, maka kemunculan dp variabel tersebut dikatakan kemunculan
terikat, dan variabelnya disebut variabel terikat.
Dari kenyataan tersebut maka diperkenalkan istilah kemunculan
variabel terikat dan kemunculan variabel bebas , sbb :
Kemunculan dari suatu variabel didalam formula disebut terikat
(bound) jika dan hanya jika kemunculan tersebut terbatas pada ruang
lingkup kuantor yng menggunakan variabel tersebut.
Kemunculan suatu variabel didalam formula disebut bebas (free)
jika kemunculan variabel tersebut tidak terikat (not bound).
Logika Predikat
Kuantor Universal
Scope dp variabel terkuantifikasi.
Selanjutnya diperkenalkan istilah variable terikat dan variabel
bebas , sbb :
Variabel didalam suatu formula disebut variabel bebas jika paling
sedikit satu kemunculannya tidak terikat didalam fornula tersebut.
Variabel pada suatu formula disebut variabel terikat jika paling
sedikit satu kemunculannya terikat didalam formula tersebut
Logika Predikat
Kuantor Universal
Scope dp variabel terkuantifikasi.
Dari perkenalan tersebut diatas maka diperoleh istilah Scope, dimana
ia mempunyai ciri, yaitu : “Scope dp variabel terkuantifikasi adalah
bagian dp formula dimana ia diaplikasikan.” Jika suatu variabel x
berada dalam scope (ruang lingkup) dp suatu “ x “, maka kemunculan
dp variabel tersebut dikatakan suatu kemunculan yang terikat, dan
variabel tersebut suatu variabel terikat (Hal ini sesuai dengan scope dp
variabel dalam pemrograman, dan penamaan dp argumen prosedur
dalam deklarasi prosedur).
Logika Predikat
Kuantor Eksistensial
Kita juga memerlukan untuk dapat menterjemahkan pernyataan
dibawah ini :
Terdapatlah paling sedikit satu obyek x sedemikian sehingga Pred(x).
Kita dapat menjadikannya dengan menuliskan :
x(Pred(x))
yg berarti :
Tidaklah benar bahwa properti false untuk semua anggota
atau
Tidaklah benar bahwa untuk semua anggota (x), anggota (x)
tidak mempunyai sifat Pred.
Logika Predikat
Kuantor Eksistensial
Kita kenalkan suatu kuator baru : terdapatlah (there exist) , seperti
pada :
x(Pred(x))
yg dibaca :
Terdapatlah suatu nilai dp x sedemikian sehingga Pred(x)
Catatan .
Perhatikan : x y ( y = 2.x) (yg benar dalam interpretasi-termaksud,
untk setiap integer terdapatlah integer yg sama dng dua kali nilai inte
ger tsb) dan
x y (y = 2 x) ( yg tak benar, karena tak ada integer
yang sama dengan dua kali setiap integer)
Urutan dp kuantor dp tipe yang berbeda sangatlah penting.
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) dan Bhs Harian
Dalam Komunikasi dengan komputer maka diperlukan untuk dapat
mengekspresikan pernyataan dlm bahasa sehari-hari ke pernyataan
logis (untuk dapat dikonversikan ke bahasa pemrograman, terutama
bahasa Prolog) dan juga sebaliknya.
Jika menggunakan FoL, kuantifikasi dibenarkan hanya untuk suatu
variabel. Jika restriksi ini dihilangkan maka kita akan sampai ke
logika order-lebih tinggi (mis. “untuk semua predikat” dst).
Logika order-lebih tinggi merupakan logika lanjut.
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) ke Bhs Harian
Pada bagian ini hanya akan berbicara menterjemahkan FoL ke bahasa
natural. Jika diberikan bahwa arti dp semua predikat yang berada dlm
formula diketahui, maka proses adalah sbb :
a).Terjemahkan formula dengan menulis arti secara literal dp simbol
-simbol logis dan predikat seperti apa yang tertera.
b). Tuliskan dengan kata-kata kalimat sedemikian sehingga ia mem
punyai arti logis yang sama (benar atau salah dp kalimat harus tak ber
ubah) tetapi ditulis dalam bahasa natural yang lebih dapat diterima. Di
hindari penggunaan nama-nama variabel
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) ke Bhs Harian
Contoh.
Andaikan dipunyai predikat sbb :
a). Truk(x)
x adalah Truk
b). Mobil(x)
x adalah Mobil
c). Sepeda(x)
x adalah Sepeda
d). Lebih_Mahal(x,y)
x adalah lebih mahal dp y
e). Lebih_Cepat(x,y)
x adalah lebih cepat dp y
(a). Terjemahkan kedalam bahasa sehari-hari.
x (Sepeda(x)  y (Mobil(y)  Lebih_Mahal(y,x))
Solusi :
Untuk semua x, jika x adalah suatu sepeda, maka terdapatlah suatu y
sedemikian sehingga y adalah mobil dan y lebih mahal dp x
Tulis kembali :
Untuk setiap sepeda terdapatlah suatu mobil yg lebih mahal.
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) ke Bhs Harian
Contoh.
(b). Terjemahkan formula berikut ke bahasa natural.
xy ((Truk(x)  Sepeda(y))  Lebih_cepat(x,y))
Solusi
Secara literal maka :
Untuk semua x, untuk semua y, jika x adalah truk dan y adalah sepe
da, maka x lebih cepat dp y.
Tulis kembali :
Setiap truk lebih cepat dp sebarang sepeda.
(c). Terjemahkan formula berikut ke bahasa natural.
z (Mobil(z)  xy (Truk(x)  Sepeda(y)) 
(Lebih_cepat(z,x)  Lebih_cepat(z,y)  Lebih_mahal(z,x)
 Lebih_mahal(z,y))))
Logika Predikat
Terjemahan antara FoL (Fisrt-order Language) ke Bhs Harian
Contoh.
(c). Terjemahkan formula berikut ke bahasa natural.
z (Mobil(z)  xy (Truk(x)  Sepeda(y)) 
(Lebih_cepat(z,x)  Lebih_cepat(z,y)  Lebih_mahal(z,x)
 Lebih_mahal(z,y))))
Solusi :
Terdapatlah z sedemikian sehingga z adl suatu mobil dan untuk
semua x, untuk semua y jika x adl suatu truk dan y suatu sepeda,
maka z lebih cepat dp x dan z adl lebih cepat dp y dan z lebih mahal
dp x dan z adl lebih mahal dp y.
Ditulis kembali :
Terdapatlah suatu mobil yang lebih cepat dan lebih mahal dp
sebarang truk dan sepeda.
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Andaikan suatu kalimat diekspresikan dalam bahasa sehari-hari, di
inginkan untuk disajikan dalam FoL.
Pertama-tama diidentifikasikan predikat yg inginkan dan kemudian
kalimat diatur kembali sehingga ia mempunyai suatu formulasi logis.
Formulasi logis berarti bahwa penghubung logis dan kuantor harus di
buat eksplisit.
Jadi urutannya sbb :
a). Buat penafsiran mengenai pernyataan tersebut (jika kurang jelas).
b). Tentukan dan deklarasikan predikat-predikat yang digunakan.
c). Tentukan kuantor-kuantor yang diperlukan.
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh.
Setiap orang kehilangan uang pada pacuan kuda.
Solusi
(Catatan : kita tidak memperhatikan nilai kebenaran dp pernyataan
ini , yg penting adalah bagaimana mengekspresikannya sebagai suatu
formula logis order-pertama).
Jelas bahwa predikat dapat dicirikan sehingga didapat :
“ x kehilangan uang ” (yg akan disajikan dengan Hilang_uang(x)),
dan
“ x berada pada pacuan kuda ” (yg disajikan dng Pacu_kuda(x).)
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh.
Jadi kalimat “Setiap orang kehilangan uang pada pacuan kuda.”
dapat diartikan/ditafsirkan bahwa , untuk semua orang yang berada
pada pacuan kuda maka kehilangan uang , jadi kita dapat mendeduksi
bahwa kuantornya adl “Untuk semua” dan terdapat satu penghubung
logis “implikasi” sehingga kalimat dapat diatur kembali menjadi :
“Untuk semua x, jika x berada pada pacuan kuda maka x kehilangan
uang”
Sehingga didapat hasilnya :
x (Pacu_kuda(x)  Hilang_uang(x))
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh.
Pada contoh diatas UoD adalah manusia, tetapi jika UoD nya adl
makhluk hidup maka harus diperkenalkan predikat baru agar kalimat
diatas mempunyai makna yaitu predikat Manusia(x) dan juga penggan
deng baru “konjungsi”. Sehingga didapat hasilnya :
x ((Manusia(x)  Pacu_kuda(x))  Hilang_uang(x))
yg berarti
“Untuk semua x, jika x adalah suatu makhluk hidup dan x
berada di pacuan kuda maka x kehilangan uang”
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh.
Terjemahkan kalimat berikut ke formula logis.
“Beberapa orang yg berada di pacuan kuda kehilangan uang tetapi be
berapa orang yang cerdik tak kehilangan”
Solusi
Predikat yang diperlukan adl :
Pacuan_kuda(x) x orang yg berada di pacuan kuda
Hilang_uang(x) x orang yang kehilangan uang
Cerdik(x)
x orang yang cerdik
Maka
“ Terdapatlah x sedemikian sehingga x berada di pacuan kuda dan
x kehilangan uang, dan terdapatlah y sedemikian sehingga y bera da
pada pacuan kuda, y cerdik dan tidak kehilangan uang”
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Perhatikan bahwa kata “tetapi” diganti dengan “dan” sehingga dalam
hal ini perlu penafsiran yang cermat.
Dengan demikian maka didapat formula :
x (Pacuan_kuda(x)  Hilang_uang(x)  y (Pacuan_kuda(y)
 Cerdik(y)  Hilang_uang(y))
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh.
Setiap Mahasiswa mempunyai seorang kawan belajar.
Solusi
Jika kalimat diatas ditafsirkan “Untuk setiap mahasiswa x ada maha
siswa lain y, dimana y adalah kawan belajar x” , maka jelaslah bahwa
predikat dapat dicirikan sehingga didapat : “ y adl kawan belajar x”
yg disajikan dng Kawan_belajar(y,x). Selanjutnya dapat dideduksi
kan bahwa terdapat kuantor “Untuk semua” dan “Terdapatlah “ sehi
ngga didapat bentuk formula :
x y (Kawan_belajar(y,x))
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh.
Jika kalimat diatas ditafsirkan “Untuk setiap mahasiswa x ada maha
siswa lain y, dimana y adalah kawan belajar x dan jika ada
mahasiswa z maka jika z bukan y maka z bukan kawan belajar dng x” ,
maka jelaslah bahwa predikat dapat dicirikan sehingga didapat : “ y
adl kawan belajar x” yg disajikan dng Kawan_belajar(y,x), selanjut
nya dapat dideduksikan bahwa terdapat kuantor “Untuk semua”, “Ter
dapatlah “, penggandeng logis “negasi”, “konjungsi”, sehingga didapat
bentuk formula :
x y z (Kawan_belajar(y,x)  ((z  y) Kawan_belajar(z,x)))
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Bantuan dalam mengekspresikan kalimat sehari-hari ke FoL.
(a). Jika menggunakan kuantor universal biasanya diikuti oleh peng
gunaan implikasi.
Contoh :
“ Semua orang tua mempunyai rambut putih”
Andaikan Or_tu(x) adl “x adl orang tua“ dan Ra_tih(x) adl “ x
berambut putih” m sehingga jika ditulis kembali :
“ Untuk semua x, jika x orang tua maka x mempunyai rambut putih”
dengan FoL : x (Or_tu(x)  Ra_tih(x) .
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Sangat umum membuat pernyataan dengan menggunakan kuantor uni
versal yang diikuti dengan implikasi selalu berbentuk :
“Untuk setiap anggota dari UoD, jika suatu kondisi dipenuhi maka
kondisi yang lain dipenuhi “
Contoh : “Setiap laki-laki harus wajib militer”,
FoL adl : (x)p(x)q(x)
(b). Jika menggunakan suatu kuantor eksistensial biasanya diikuti dng
suatu konjungsi.
Contoh : “Ada beberapa laki-laki yang tidak wajib militer”,
FoL adl : (x)p(x)  q(x)
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh :
a). Setiap laki-laki harus wajib militer
b). Ada beberapa laki-laki yang tidak wajib militer.
Ditulis sebagai berikut (ditafsirkan) :
a). Untuk setiap x, jika x laki-laki maka x harus wajib militer
b). Terdapat x sehingga x laki-laki dan x tidak wajib militer.
Didapat predikat : jika p (predikat) adalah menunjukkan sifat “lakilaki” dan q (predikat) menunjukkan sifat “wajib militer”, dan terdapat
juga penggandeng logis “implikasi” serta “ konjungsi” maka kalimat
tersebut dapat ditulis :
a). (x)p(x)q(x) dan b). (x)p(x)  q(x)
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
a). Pernyataan p : “Ada peserta kuliah Logika informatika mendapat
nilai A”
Ingkarannya :
p adalah : “ Tidak ada peserta kuliah logika infor
matika mendapat nilai A”
atau boleh dikatakan : “ Setiap peserta kuliah logika informatika
mendapat nilai tidak A ”
Jika dua pernyataan tersebut ditulis dengan kuantor dan semesta
pembicaraannya adalah semua peserta kuliah logika informatika,
maka kalimat pertama : (x)A(x) ( A adalah sifat mendapat nilai A)
dan yang kedua (negasinya ) : (x)A(x)
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
b). Terjemahkan kalimat berikut ke bentuk FoL : “Setiap anak
sekolah berpikir bahwa Matematika mata pelajaran yang sulit”.
Solusi .
Kalimat diformulasikan kembali menjadi :
“Untuk semua x, jika x adalah anak sekolah maka x berpikir bahwa
matematika mata pelajaran yang sulit”
Andaikan :
- Anak_sekolah(x) adl “x adl anak sekolah”,
- Mpel_Sulit(x,y) adl “x berpikir bahwa y adl mata pelajaran yg
sulit”
- m adalah “Matematika”
Maka kalimat menjadi :
x (Anak_sekolah(x)  Mpel_Sulit(x,m)
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
c). Pandang pernyataan dibawah ini : “beberapa pemain sepakbola
tak akan pernah bermain dalam Liga Utama atau pada Divisi Papanatas”
Kerjakan hal berikut :
c1). Terjemahkan ke logika predikat
c2). Negasikan formula logika pada jawab c1).
c3). Terjemahkan negasi tersebut pada c2) ke bahasa sehari-hari
Kalimat ditulis kembali :
“Terdapat x sedemikian sehingga x adalah pemain sepak bola dan x
tak akan pernah bermain di Liga Utama atau pada Divisi Papan-atas”
Andaikan : Pemain_SB(x) adl x pemain sepak-bola, Liga_UT(x) adl
“x akan bermain di Liga Utama”, dan Div_PA(x) adl “x bermain di
Divisi Papan-atas”
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
c1). Hasil terjemahannya adl :
x ( Pemain_SB(x)  (Liga_UT(x)  Divisi_PA(x))).
dalam bahasa sehari-hari skope daripada “tidak” apakah distributif
yaitu “tidak makan atau minum” apakah berarti “tidak makan atau
tidak minum” ??? Sementara ini kita artikan begitu.
c2). Hasil negasinya adl :
x ( Pemain_SB(x)  (Liga_UT(x)  Divisi_PA(x))).
dimana  berubah menjadi  , sehingga ………..
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Contoh-Contoh
x ( Pemain_SB(x)  (Liga_UT(x)  Divisi_PA(x))).
dimana  berubah menjadi  , sehingga menjadi
x (  ( Pemain_SB(x)  ( Liga_UT(x)  Divisi_PA(x) ) ) ).
yg ekuivalen dng
x [  Pemain_SB(x)  { Liga_UT(x)  Divisi_PA(x) } ] .
yg ekuivalen dng
x [ Pemain_SB(x)  { Liga_UT(x)  Divisi_PA(x) } ]
c3). Dalam bahasa sehari-hari
“Untuk semua x, jika x pemain sepak bola maka x bermain di
Liga Utama atau x bermain di Divisi Papan Atas” , shingga menjadi
“Setiap pemain sepak bola bermain di Liga Utama atau Divisi
Papan Atas.”
Logika Predikat
Ekspresi kalimat Harian sebagai FoL (Fisrt-order Language)
Soal-soal
Untuk setiap pernyataan dibawah ini kejakan :
a). Ubahlah menjadi PL
b). Negasikan hasilnya
c). Ubahlah kembali ke bhs sehari-hari.
1). Semua kesatria pembrani adalah pahlawan
2). Beberapa orang berpikir bahwa Gudeg makanan khasYogya
3). Terdapat beberapa orang yang berpikir bahwa Mahesa Jenar dan
Kamandoko keduanya adalah raja silat.
4). Richard III adalah seorang raja yang baik tetapi beberapa orang
berpikir tidak
5). Untuk setiap pahlawan, terdapatlah suatu seorang penjahat yang
harus dikalahkan dan seorang pahlawan wanita harus diselamatkan.