Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang

UNIVERSITAS GADJAH MADA
Sistem Koordinat
dalam 2 Dimensi
Ruang
Mengingat kembali sebelum
belajar kalkulus
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Sistem Koordinat pada Bidang Datar
•  Disusun dengan pasangan angka urut (ordered pair) –  (a,b) : a dan b berturut-­‐turut adalah bilangan pertama dan kedua –  (a,b) merepresentasikan posisi sebuah 99k, P, dalam bidang datar. UNIVERSITAS GADJAH MADA
Sistem Koordinat Cartesian (Persegi)
•  Mempunyai 2 garis sumbu saling tegak lurus dengan 99k potong di O (99k asal / origin) •  Umumnya skala pada kedua sumbu sama •  Skala pada sumbu horizontal posi9f ke kanan UNIVERSITAS GADJAH MADA
Jarak pada Bidang Datar
Jarak
UNIVERSITAS GADJAH MADA
•  Tunjukkan bahwa segi9ga dengan 99k-­‐99k sudut A(-­‐1,-­‐3), B(6,1) dan C(2,-­‐5) adalah segi9ga siku-­‐
siku. •  Jawaban: –  Dengan menerapkan rumus jarak diperoleh –  Tampak d(A,B)2 = d(B,C)2 + d(A,C)2 yang merupakan ciri segi9ga siku-­‐siku UNIVERSITAS GADJAH MADA
Titik Tengah
M
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Grafik Persamaan Garis
y y = 0.5 x + 1 3 y = a x + b 2 1 0 0 1 2 3 x UNIVERSITAS GADJAH MADA
Grafik Persamaan
Gambar grafik
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Grafik Pertidaksamaan
Gambar grafik
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Titik Potong pada Sumbu X dan Y
Persamaan y = 2x – 1
memotong Sumbu x di 0.5
dan memotong Sumbu y di -1
Perpotongan dengan Sumbu x
y = 0 à 0 = 2x – 1 à x = 0.5
Perpotongan dengan Sumbu y
x = 0 à y = 2 0 – 1 à y = - 1
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Grafik Persamaan Kuadrat
sumbu simetri
Gambar grafik
W = { (x,y): y = x2 }.
Grafik berupa Parabola
à simetri terhadap sumbu x
vertex
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Simetri
terhadap sumbu y terhadap sumbu x Terhadap 99k asal UNIVERSITAS GADJAH MADA
Pemeriksaan Kesimetrian
•  Simetri pada sumbu x: jika (x,y) pada kurva maka (x,-­‐y) juga pada kurva •  Simetri pada sumbu y: jika (x,y) pada kurva maka (-­‐x,y) juga pada kurva •  Simetri pada 99k asal: jika (x,y) pada kurva maka (-­‐x,-­‐y) juga pada kurva UNIVERSITAS GADJAH MADA
Simetri
Gambar grafik
W = { (x,y): x = y2 }.
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Simetri
Gambar grafik
W = { (x,y): 4y = x3 }.
Grafik Persamaan
Lingkaran
UNIVERSITAS GADJAH MADA
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Persamaan Lingkaran
Buatlah persamaan lingkaran yang berpusat pada C(-­‐2,3) dan melalui 99k D(4,5) Penyelesaian: Karena D pada lingkaran, maka r adalah jarak antar 99k C dan D atau r = d(C,D) Persamaan lingkaran: UNIVERSITAS GADJAH MADA
Persamaan Lingkaran
Cari koordinat pusat dan jari-­‐jari lingkaran dengan persamaan sbb: Penyelesaian: kelompokkan suku-­‐suku persamaan menjadi lengkapi suku dalam tanda kurung dengan suku konstanta, dengan cara sbb: [ x2 + ax + (a/2)2 ] + [ y2 + by + (b/2)2 ] = + (a/2)2 + (b/2)2 + c
UNIVERSITAS GADJAH MADA
Persamaan Lingkaran
Jadi, pusat lingkaran pada C(2,-3) dan jari-­‐
jari lingkaran sebesar 4 UNIVERSITAS GADJAH MADA
Latihan
1.  Cari jarak dan 99k tengah dua 99k berikut 2.  Tunjukkan bahwa 3 99k berikut membentuk segi-­‐9ga siku-­‐siku 3.  Tunjukkan persamaan garis pembagi dua 99k berikut ini A(-­‐4,-­‐3) dan B(6,1) UNIVERSITAS GADJAH MADA
Latihan
4. 
5. 
6. 
7. 
Buat grafik W = { (x,y): xy = 0 } Buat grafik W = { (x,y): xy < 0 } Buat grafik W = { (x,y): |x|> 1, |y| <= 2 } Buat grafik W = { (x,y): y = x3 -­‐ 2 } periksa kesimetriannya 8.  Buat persamaan lingkaran dengan pusat C(3,-­‐5) dan menyinggung sumbu y 9.  Cari 99k pusat dan jari-­‐jari persamaan lingkaran berikut UNIVERSITAS GADJAH MADA
Koordinat Polar (Kutub)
P(r1,θ1) r1 θ1
O r •  Ti9k asal, O, sebagai kutub atau pusat •  Satu sumbu r, pada umumnya digambar dari 99k asal ke kanan (posi9f) •  Posisi suatu 99k ditunjuk dengan jarak ke pusat, r, dan sudut antara garis OP ke sumbu, θ. UNIVERSITAS GADJAH MADA
Hal Khusus dalam Koordinat Polar
•  Posisi tetap sama jika sudut ditambah atau dikurangi 360o atau 2π rad dan kelipatannya •  Posisi tetap sama juga dapat ditulis dengan jarak nega9f dan sudut ditambah atau dikurangi 180o atau π rad •  Untuk mendapatkan representasi tunggal pada se9ap posisi, dapat dibuat pembatasan sbb: r >= 0 dan 0 <= θ < 2π. P(r1,θ1-2π) r1 r1 θ1
O P(-­‐r1,θ1+π) θ1
r O r UNIVERSITAS GADJAH MADA
Hubungan dengan Koordinat Kartesian
•  Kartesian ß Polar x = r cos(θ) y = r sin(θ) •  Polar ß Kartesian r = (x2+y2)0.5 θ = atan2(y,x) r cos(θ) r sin(θ) UNIVERSITAS GADJAH MADA
Kurva Persamaan
•  Bentuk r fungsi θ, r = f(θ) •  Lingkaran, Pusat di O à r = konstanta Persamaan umum lingkaran dgn jari-­‐jari a dan pusat di (r0,θ0) à r2 + 2rr0 cos(θ-­‐θ0) + r02 = a2 atau r = r0 cos(θ-­‐θ0) + [a2-­‐ r02 sin2(θ-­‐θ0) ]0.5 Jika a = r0, r = 2a cos(θ-­‐θ0) UNIVERSITAS GADJAH MADA
Kurva Persamaan
•  Garis Radial à θ = konstanta Garis tegak lurus θ = γ, yang memotong di (r0,γ) r = r0 sec(θ -­‐γ) •  Bunga, berpusat di O r = a cos(kθ) –γ0 •  Spiral r = a + bθ UNIVERSITAS GADJAH MADA
Soal Latihan
•  Ubah lokasi dalam koordinat Kartesian ke koordinat polar •  Ubah lokasi dalam koordinat polar (sudut dlm radian) ke koordinat Kartesian UNIVERSITAS GADJAH MADA
Soal Latihan
•  Gambar grafik berikut UNIVERSITAS GADJAH MADA
Soal Latihan
•  Ubah persamaan berikut ke dalam koordinat Kartesian