PAM 253 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Topik: Pendahuluan

PAM 253
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Topik: Pendahuluan
Mahdhivan Syafwan
Newton's Law of Cooling
http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/applications/Applications.html
2
Chemical Pollution in a Lake
http://mathinsight.org/chemical_pollution_lake_model
3
Car Suspension
Let's assume that a car is moving a bumpy road . This can be illustrated as the
figure below. The body of the car dan the wheel are represented respectively as
ms and mus, and the suspension system is represented as a damper and spring.
http://www.sharetechnote.com/html/DE_Modeling_Example_SpringMass.html#InvertedSpring_Damp_Base
4
Predator-Prey System
Let's assume that you are oberving a Rabit population and Fox population in
an area. And by common sense and observation, you would know Fox hunts
Rabits meaning Fox is the predator and Rabit is the prey in the area.
Without using any math and just using your intuition, think of what would
happen if the number of Fox would increase in the area ? You may easily
think that the number of Rabit will decrease because more and more
rabbits will be killed by Fox. It is easy. Then, will all the rabit will be eaten by
Fox and they will completely disappear ? The answer to this question is not
easy. The answer can be 'Maybe Yes, Maybe No. The answer would depend on the population changes of Fox
and how fast the fox eats away rabits etc. To get the answer to this kind of tricky question you need to use
mathematical modeling and understand the exact relationship between the two populations.
Again only using your intuition, think of what will happen when the birth rate of Rabit increases and the
number of Rabit increases ? You may easily guess that the number of Fox will increase as well because they get
food more easily. Then, will this situation goes forever ? Will fox hunt rabit such easily forever ? Probably not,
because as fox hunt rabit more easily and the number of fox increases, at some point the number of rabit may
decrease since too many rabits are hunted. Decreasing number of rabbit means decreasing food for Fox and
eventually the number of Fox will decrease as well.
Now you may roughly understand the inter-relationship between Rabbit population and Fox population. But if I
ask you about exactly when the rabbit popuation would grow or shrink or exactly when the fox popuation
would grow or shrink. You cannot answer this questions without exact mathematical modeling of those
population changes.
http://www.sharetechnote.com/html/DE_Modeling_Example_PreyPredator.html
5
Dynamics of Love
6
Epidemics Model
https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/the-sir-model-for-spread-of-disease
7
Turunan Fungsi?
k2
+
8
PERSAMAAN DIFERENSIAL ?
→ persamaan yang memuat turunan suatu fungsi.
variabel bebas variabel tak-bebas
9
Penurunan Persamaan Diferensial?
…dari proses pemodelan matematika
10
Klasifikasi Persamaan Diferensial
1. Berdasarkan Banyaknya Variabel Bebas
Persamaan
Diferensial
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Parsial
2
2
d v

6
tv

1
2
dt
u u


0
2
2
y
x
memuat satu variabel bebas
memuat dua atau lebih
variabel bebas
2
tidak dipelajari dalam kuliah ini
11
2. Berdasarkan Orde
→ turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan
Contoh :
dx(t )
 x(t )  e t
dt
d 2 x(t )
dx(t )
5
 2 x(t )  cos(t )
2
dt
dt
 d x(t )

2
dt

2
PDB orde 1
PDB orde 2
3
 dx(t )
 
 2 x 4 (t )  1
dt

PDB orde 2
Klasifikasi Persamaan Diferensial
Dikatakan linear jika:
(i) variabel tak-bebas dan turunannya muncul dalam berpangkat satu,
dan
(ii) tidak ada perkalian pada variabel tak-bebas dan/atau turunanannya.
Jika tidak demikian, dikatakan nonlinier.
Contoh :
dx(t )
 x(t )  e t
dt
d 2 x(t )
dx(t )
2

5

2
t
x(t )  cos(t )
2
dt
dt
3
 d x(t )  dx(t )

 
 x(t )  1
2
dt
 dt 
2
PDB linier
PDB linier
PDB nonlinier
Klasifikasi Persamaan Diferensial
Bentuk umum PDB linier:
Contoh PDB nonlinier :
dx(t )
 cos( x(t ))  1
dt
d 2 x(t )
dx(t )
 5
x(t )  2
2
dt
dt
d 2 x(t )
dx(t )

 x(t )  1
2
dt
dt
Klasifikasi Persamaan Diferensial
Dikatakan homogen jika setiap suku persamaan diferensial memuat
variabel tak bebas atau turunannya.
Jika tidak demikian, dikatakan nonhomogen.
Contoh :
dy
 4 xy  e y
dx
3
d x
dx
 2  
 t 0
dt
 dt 
2
PDB homogen
PDB nonhomogen
Klasifikasi Persamaan Diferensial
Dikatakan mandiri (autonomous) jika koefisien (yang menyertai
variabel tak-bebas atau turunannya) bernilai konstan.
Jika tidak demikian, dikatakan tak-mandiri (non-autonomous).
Contoh :
dy
 4 xy  e y
dx
3
d x
dx
 2  
 t 0
dt
 dt 
2
PDB tak-mandiri
PDB mandiri
Tentukan orde, kelinieran, kehomogenan dan
kemandirian PDB berikut:
17
Solusi Persamaan Diferensial
• Solusi suatu persamaan diferensial adalah
fungsi yang memenuhi persamaan diferensial
tersebut
• Solusi umum suatu persamaan diferensial
adalah bentuk umum solusi persamaan
diferensial tersebut
• Suatu solusi umum dapat menjadi solusi
khusus dengan adanya informasi/syarat
tambahan, disebut syarat awal/syarat batas.
18
Solusi Persamaan Diferensial
Contoh:
Fungsi x(t )  cos(2t ) adalah solusi PDB
2
d x (t )
 4 x (t )  0
2
dt
Apakah solusinya tunggal?
Semua fungsi yang berbentuk x (t )  cos( 2t  c )
(dimana c suatu konstanta riil) adalah solusi PDB di atas.
19
Untuk menentukan secara tunggal solusi dari
persamaan diferensial orde n, diperlukan n buah
syarat tambahan.
d 2 x (t )

4
x
(
t
)

0
dt 2
x (0)  a
x (0)  b
PDB orde 2
Dua syarat tambahan
diperlukan untuk
menentukan solusi
secara tunggal
20
1. Apakah ada solusi? (eksistensi)
2. Jika ada solusi, apakah solusi tersebut tunggal?
(ketunggalan)
3. Jika ada solusi, bagaimana cara
menentukannya? (solusi analitik, aproksimasi
numerik, dll)
21
Syarat Tambahan?
Syarat Tambahan
Syarat Awal
p
Syarat tambahan pada
satu titik variabel bebas
Syarat Batas
• Syarat tambahan tidak
pada satu titik variabel
bebas
22
Masalah Nilai Awal
p
Syarat tambahan pada
satu titik variabel bebas
2 t
x  2 x  x  e
x(0)  1, x (0)  2.5
sama
Masalah Nilai Batas
• Syarat tambahan tidak pada
satu titik variabel bebas
• Lebih sulit diselesaikan dibandingkan
masalah nilai awal
x  2 x  x  e 2t
x(0)  1, x(2)  1.5
berbeda
23
Masalah Nilai Awal ?
Masalah Nilai Batas?
24
Contoh:
du
 au   uv
dt
dv
  cv  uv
dt
dimana v t  dan u  t  secara berturut-turut menyatakan
jumlah populasi spesies pemangsa dan dimangsa pada wakt
t. Konstanta a, c, α, γ bergantung pada jenis spesies yang
dikaji.
Sistem persamaan diferensial akan dipelajari nanti pada bab
khusus.
25
Newton dan Leibniz
26
Keluarga Bernoulli
27
Leonhard Euler (1707-1783)
28
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
29
Pierre-Simon de Laplace (1749-1827).
30
Tahun 1800an
31
Tahun 1900an - sekarang
32
TUGAS
• Buku [1] hal. 24-25 no. ganjil 1 - 20. Khusus
untuk no. ganjil 1-6, tentukan juga
kehomogenan dan kemandiriannya.
33