SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL LINIER
advertisement
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30 SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL LINIER HOMOGEN DENGAN METODE MITTAG-LEFFLER Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida*, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat * Email : [email protected] ABSTRAK Kalkulus klasik hanya mempelajari turunan sekaligus persamaan diferensial berorde bilangan bulat, sedangkan untuk turunan dan persamaan diferensial berorde tak bulat tidak tercakup di dalamnya. Sehingga muncullah konsep kalkulus fraksional yang mempelajari integral dan turunan berorde tak bulat yang disingkat diferintegral termasuk persamaan diferensial berorde fraksional (PDF). Pada paper ini disajikan metode untuk memperoleh solusi PDF linier homogen yang dibangun dalam fungsi Mittag-Leffler yang berbentuk deret ∞ π₯π₯ ππππ πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) = πΈπΈπΌπΌ (ππππ ) = οΏ½ ππ ππ Γ(ππππ + 1) 1 1 ππ=0 Deret ini konvergen untuk π₯π₯ pada οΏ½− , οΏ½. Pencarian turunan dari π¦π¦(π₯π₯), dilakukan dengan ππ ππ menurunkan setiap suku dari π¦π¦(π₯π₯) menggunakan definisi turunan Caputo dilanjutkan dengan menentukan koefisien ππ ππ untuk memperoleh solusi PDF tersebut. Kata Kunci: Kalkulus Fraksional, Fungsi Mittag-Leffler dan Persamaan Diferensial Fraksional 1. PENDAHULUAN Kalkulus fraksional adalah bidang matematika analisis yang membahas teori serta aplikasi integral dan turunan berorde sebarang. Sejarah kalkulus fraksional bermula dari pertanyaan G.W Leibniz kepada L’Hôpital pada tahun 1695 tentang makna dari “ ππππ π¦π¦⁄ππππ ππ jika ππ = 1⁄2 , bagaimanakah jika ππ fraction/pecahan”. Sejak saat itu para matematikawan terus mengembangkan topik tersebut seperti, L. Euler, P.S Laplace, J.B.J Fourier, N.H. Abel, J. Liouville, B. Riemann, A.K. Grunwald, A.V. Letnikov [7]. Perkembangan kalkulus fraksional membawa kepada pengaplikasiannya berupa persamaan diferensial fraksional (PDF) yaitu suatu persamaan yang turunannya memuat orde pecahan. PDF telah diaplikasikan dalam kasus aliran fluida, kekentalan, teori kontrol untuk sistem dinamik, jaringan listrik, peluang, statistik, dan lain sebagainya [6]. Berbagai metode telah dikembangkan untuk mendapatkan solusi PDF sehingga memberikan kemudahan dalam pengaplikasian, diantaranya adalah metode iterasi, teknik transformasi Fourier, teknik transformasi Laplace, metode Dekomposisi 21 Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30 Adomian, metode iterasi variasi dan metode Peturbasi Homotopy. Salah satu metode baru dikembangkan oleh Rida dan Arafa [11] yaitu metode yang menggunakan fungsi Mittag-Leffler dengan pendefinisian turunannya menggunakan pendekatan Caputo. Pada paper ini membahas kembali tulisan Rida dan Arafa [11], pada bagian pendahuluan membahas tentang pengenalan singkat mengenai kalkulus fraksional juga latar belakang dalam mengangkat topik yang diambil. Pada bagian kedua, menyajikan materi-materi yang digunakan dalam hasil. Bagian ketiga, menggambarkan langkah-langkah untuk mendapatkan hasil. Bagian keempat memberikan hasil dan pembahasan. Bagian kelima, menyajikan kesimpulan serta saran. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Fungsi-Fungsi Khusus Kalkulus Fraksional Berikut disajikan fungsi-fungsi yang berperan penting dalam kalkulus fraksional yaitu fungsi eksponensial, fungsi gamma dan fungsi Mittag-Leffler : Definisi 1 [11] Huruf ππ menyatakan bilangan real positif unik sedemikian sehingga ππππ ππ = 1. Fungsi eksponensial dapat dinyatakan ke dalam deret, sebagai berikut : π§π§ ππ ππ π§π§ = ∑∞ ππ=0 Γ(ππ+1), π§π§ ∈ β (1) Definisi 2 [12] Misalkan ππ adalah bilangan bulat positif. Besaran ππ faktorial (simbol ππ!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga ππ. ππ! = 1.2.3 … (ππ − 1)ππ Definisi 3 [2] Diberikan fungsi π€π€ βΆ β βΆ β. Fungsi gamma pada bilangan riil yang dinyatakan oleh π€π€(πΌπΌ) didefinisikan sebagai : ∞ π€π€(πΌπΌ) = ∫0 ππ −π‘π‘ π‘π‘ πΌπΌ−1 ππππ , Definisi 4 [1] Fungsi Gamma adalah : πΌπΌ > 0 (2) 1.2.3. … . ππ ππ π₯π₯ ππ→∞ π₯π₯(π₯π₯ + 1)(π₯π₯ + 2) … (π₯π₯ + ππ − 1)(π₯π₯ + ππ) dimana π₯π₯ bilangan riil atau kompleks, dan π₯π₯ ∉ {0} ∪ {β€− }. Dengan mensubstitusi π€π€(π₯π₯) dengan π₯π₯ = π₯π₯ + 1, diperoleh persamaan berikut : Γ(π₯π₯ + 1) = π₯π₯. π€π€(π₯π₯) π€π€(π₯π₯) = ππππππ Bentuk fungsi Mittag-Leffler satu parameter πΌπΌ yaitu : π§π§ ππ + πΈπΈπΌπΌ (π§π§) = ∑∞ ππ=0 Γ(πΌπΌπΌπΌ+1), π§π§ ∈ β, πΌπΌ ∈ β . 22 Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler 2.2 Integral dan Turunan Fraksional Berikut bentuk dari integral lipat sebarang πΌπΌ, dengan πΌπΌ ∈ β+ [6]: πΌπΌπππΌπΌ ππ(π‘π‘) = π‘π‘ 1 ∫ (π‘π‘ Γ(πΌπΌ) ππ − π₯π₯)πΌπΌ−1 ππ(π₯π₯)ππππ Definisi 5 [5] Diberikan α ∈ (ππ − 1, ππ) dengan πΌπΌ ∈ β+ , ππ ∈ β dan ππ(π‘π‘) merupakan fungsi yang terturunkan sampai ke-ππ. Turunan fraksional dari ππ(π‘π‘) dalam notasi Caputo, didefinisikan sebagai: ππ πΌπΌ πΆπΆ πΌπΌ π·π·ππ=0 ππ(π‘π‘) = πΌπΌ ππ(π‘π‘) ππππ π‘π‘ 1 = π€π€(ππ−πΌπΌ) ∫0 (π‘π‘ − π₯π₯)ππ−πΌπΌ−1 ππ (ππ) (π₯π₯) ππππ ππππ untuk ππ − 1 < πΌπΌ ≤ ππ, dengan ππ (ππ) (π₯π₯) = ππππ ππ ππ(π₯π₯) merupakan turunan ke- k. Turunan fungsi konstan, berdasarkan Definisi 5 bernilai nol, seperti berikut : πΆπΆ πΌπΌ π·π·ππ=0 ππ(π‘π‘) = 0 , πΌπΌ ∈ β+ dan ππ(π‘π‘) konstan (3) Definisi 6 [3] Turunan fraksional dari ππ(π‘π‘), dengan f(t) adalah fungsi monomial dituliskan sebagai: π·π·πΌπΌ ππ(π‘π‘) = π·π·πΌπΌ π¦π¦ ππ = Γ(ππ+1) Γ(ππ+1−πΌπΌ) π‘π‘ ππ−πΌπΌ untuk ππ − 1 < πΌπΌ < ππ, ππ > ππ − 1, πΌπΌ ∈ β+ 2.2 Deret Pangkat Definisi 7 [13] Jika terdapat suatu deret yang berbentuk ∑∞ ππ=1 ππππ = ππ1 + ππ2 + ππ3 + β― Misalkan π π ππ melambangkan jumlah parsial ke−ππ βΆ π π ππ = ∑ππππ=1 ππππ = ππ1 + ππ2 + ππ3 + β― + ππππ Jika barisan {π π ππ } konvergen dan ππππππππ→∞ π π ππ = π π ada, sebagai suatu bilangan real, maka deret ∑ ππππ disebut konvergen dan dituliskan sebagai ππ1 + ππ2 + ππ3 + β― + ππππ + β― = π π atau ∑∞ ππ=1 ππππ = π π Bilangan π π ini disebut jumlah dari deretnya. Jika tidak demikian, maka deret tersebut dikatakan divergen. Kemudian akan disajikan tentang deret pangkat yang berbentuk : ππ 2 ππ ∑∞ ππ=0 ππππ π₯π₯ = ππ0 + ππ1 π₯π₯ + ππ2 π₯π₯ + β― + ππππ π₯π₯ + β― dimana π₯π₯ adalah sebuah variabel dan ππππ adalah konstanta yang disebut koefisien deret. 23 Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30 Teorema 8 [10] Andaikan ∑ ππππ sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan |ππππ+1 | lim = πΏπΏ ππ→∞ |ππππ | a. Jika πΏπΏ < 1, maka ∑∞ ππ=1 ππππ konvergen mutlak (jadi konvergen) ∞ b. Jika πΏπΏ > 1, maka ∑ππ=1 ππππ divergen c. Jika πΏπΏ = 1, pengujian ini tidak dapat memberikan kepastian. 2.3 Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen Persamaan diferensial fraksional adalah suatu persamaan yang mengandung turunan fraksional. Secara umum persamaan diferensial fraksional linier homogen dengan orde ππππ dituliskan sebagai : π·π·ππππ π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄1 π·π·(ππ−1)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄2 π·π·(ππ−2)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + β― + π΄π΄ππ π¦π¦(π₯π₯) = 0 (4) ππππ + dimana π·π· adalah turunan orde tertinggi fraksional dengan πΌπΌ ∈ β , ππ ∈ β dan π₯π₯ ≥ 0, dimana π΄π΄ππ adalah koefisien konstan dan π¦π¦(π₯π₯) adalah fungsi yang kontinu dan terturunkan. [7] 3. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun prosedur pada penelitian ini adalah mempelajari materi yang berhubungan dengan kalkulus fraksional, kekonvergenan dan turunan fungsi Mittag-Leffler serta tentang persamaan diferensial fraksional linier homogen. Selanjutnya menjelaskan kekonvergenan dan turunan fungsi Mittag-Leffler. Sedangkan untuk memperoleh solusi PDF dengan menuliskan fungsi π¦π¦(π₯π₯) dalam bentuk fungsi Mittag-Leffler, menurunkan fungsi Mittag-Leffler sesuai orde yang termuat dalam PDF, mensubstitusi fungsi Mittag-Leffler dan turunannya pada PDF kemudian menentukan koefisien untuk memperoleh solusi umum. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Kekonvergenan dan Turunan Fungsi Mittag-Leffler Fungsi Mittag-Leffler πΈπΈπΌπΌ (π§π§) dengan πΌπΌ ∈ β+ didefinisikan dalam bentuk deret yang berlaku pada seluruh bidang kompleks berikut : π§π§ ππ π§π§ πΈπΈπΌπΌ (π§π§) = ∑∞ ππ=0 Γ(ππππ+1) = ππ , π§π§ ∈ β. (5) Fungsi Mittag-Leffler pada persamaan (5) didefinisikan oleh peubah π§π§ dalam fungsi kompleks. Namun dalam penerapannya akan digunakan fungsi Mittag-Leffler dengan peubah dalam fungsi real. Bilangan real, β, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan β dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks. Diberikan bilangan kompleks π§π§ = π₯π₯ + ππππ, sedangkan konjugate dari bilangan kompleks π§π§, dituliskan sebagai π§π§Μ = π₯π₯ − ππππ . 24 Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler Modulus yang menyatakan panjang vektor (π₯π₯, π¦π¦) dari π§π§ dan konjugatenya , masing-masing diberikan oleh : |π§π§| = οΏ½π₯π₯ 2 + π¦π¦ 2 (6) |π§π§Μ | = οΏ½π₯π₯ 2 + (−π¦π¦)2 = οΏ½π₯π₯ 2 + π¦π¦ 2 (7) Dari persamaan (6) dan (7) memperlihatkan salah satu sifat modulus yaitu π§π§ = π§π§Μ . Secara khusus, jika π§π§ = π₯π₯ + ππππ adalah bilangan real (π¦π¦ = 0) maka |π§π§| = √π₯π₯ 2 = π₯π₯ (8) Persamaan (8) merupakan Definisi dari nilai mutlak suatu bilangan real π₯π₯. Ini menunjukkan bahwa modulus dari suatu bilangan kompleks merupakan perluasan dari konsep nilai mutlak pada bilangan real. Sehingga fungsi Mittag-Leffler πΈπΈπΌπΌ (π§π§) dengan fungsi π§π§ dalam persamaan (5) akan berbentuk : π₯π₯ ππ π₯π₯ + πΈπΈπΌπΌ (π₯π₯) = ∑∞ ππ=0 Γ(ππππ+1) = ππ , π₯π₯ ∈ β, πΌπΌ ∈ β Fungsi Mittag-Leffler πΈπΈπΌπΌ (π₯π₯) berperan penting dalam menyelesaikan persamaan diferensial orde fraksional. Fungsi Mittag-Leffler didefinisikan untuk fungsi π¦π¦(π₯π₯), berikut : π₯π₯ ππππ ππ π¦π¦(π₯π₯) = πΈπΈπΌπΌ (ππππ πΌπΌ ) = ∑∞ ππ=0 ππ Γ(ππππ+1) (9) dengan ππ adalah konstanta dan πΌπΌ ∈ β+ . [11] 4.1.1 Kekonvergenan Fungsi Mittag-Leffler Berikut akan diselidiki kekonvergenan untuk Deret pada persamaan (9), berdasarkan Teorema [8] |ππππ+1 | lim = πΏπΏ ππ→∞ |ππππ | ππ ππ π₯π₯ ππππ ππ ππ+1 π₯π₯ (ππ+1)πΌπΌ Misalkan ππππ = Γ(ππππ+1) maka ππππ+1 = Γ((ππ+1)πΌπΌ+1) maka diperoleh : |ππππ+1 | = lim ππ→∞ |ππππ | ππ→∞ lim = lim π₯π₯ (ππ+1)πΌπΌ οΏ½ππ ππ+1 Γ((ππ+1)πΌπΌ+1)οΏ½ οΏ½ππ ππ π₯π₯ ππππ οΏ½ Γ(ππππ+1) οΏ½ππ ππ+1 .π₯π₯ (ππ+1)πΌπΌ Γ(ππππ+1)οΏ½ ππ→∞ οΏ½ππ ππ .π₯π₯ ππππ Γ((ππ+1)πΌπΌ+1)οΏ½ |ππ.π₯π₯ πΌπΌ Γ(ππππ+1)| = lim ππ→∞ |Γ((ππ+1)πΌπΌ+1)| |ππππ Γ(ππππ)| ππ→∞ |(ππ + 1)πΌπΌ Γ((ππ + 1)πΌπΌ)| Bentuk tersebut memiliki nilai ππ dengan pangkat tertinggi satu, meskipun rumus = |ππ. π₯π₯ πΌπΌ | lim ππ rekursif dari fungsi gamma dilanjutkan, sehingga dibagi dengan ππ, diperoleh : 25 Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30 = |ππ. π₯π₯ = |ππ. π₯π₯ πΌπΌ | lim |ππππ Γ(ππππ)| ππ lim |(ππ + 1)πΌπΌ Γ((ππ + 1)πΌπΌ)| ππ ππ→∞ ππ→∞ πΌπΌ |.1 1 Jadi deret (9) konvergen untuk |π₯π₯| < ππ 1 : 1 dan divergen untuk |π₯π₯| > ππ dengan jari-jari kekonvergenannya yaitu π π = οΏ½πποΏ½ sehingga mempunyai selang 1 1 kekonvergenan (− ππ , ππ). 4.1.2 Turunan Fungsi Mittag-Leffler Berikut diberikan turunan deret (9), π¦π¦(π₯π₯) dengan orde πΌπΌ ∈ β+ : ∞ πΌπΌ πΌπΌ π·π· π¦π¦(π₯π₯) = π·π· οΏ½ ππ ππ ππ=0 = π·π·πΌπΌ (ππ0 ππ4 π₯π₯ 0.πΌπΌ Γ(0.πΌπΌ+1) π₯π₯ 4.πΌπΌ Γ(4.πΌπΌ+1) = π·π·πΌπΌ ππ 0 1 π₯π₯ ππππ Γ(ππππ + 1) + ππ1 + ππ5 π₯π₯ 1.πΌπΌ Γ(1.πΌπΌ+1) π₯π₯ 5.πΌπΌ Γ(5.πΌπΌ+1) + ππ2 π₯π₯ 2.πΌπΌ Γ(2.πΌπΌ+1) + β―) + ππ3 π₯π₯ 3.πΌπΌ Γ(3.πΌπΌ+1) + π₯π₯ 0.πΌπΌ π₯π₯1.πΌπΌ π₯π₯ 2.πΌπΌ + π·π·πΌπΌ ππ1 + π·π·πΌπΌ ππ 2 Γ(0. πΌπΌ + 1) Γ(1. πΌπΌ + 1) Γ(2. πΌπΌ + 1) 3.πΌπΌ 4.πΌπΌ π₯π₯ π₯π₯ + π·π·πΌπΌ ππ 3 + π·π·πΌπΌ ππ 4 Γ(3. πΌπΌ + 1) Γ(4. πΌπΌ + 1) 5.πΌπΌ π₯π₯ + π·π·πΌπΌ ππ 5 +β― Γ(5. πΌπΌ + 1) ππ ππ 2 ππ = Γ(1) π·π·πΌπΌ 1 + Γ(πΌπΌ+1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ πΌπΌ + Γ(2πΌπΌ+1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ 2πΌπΌ + Γ(3πΌπΌ+1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ 3πΌπΌ + ππ 4 π·π·πΌπΌ π₯π₯ 4πΌπΌ + Γ(4πΌπΌ+1) ππ 5 Γ(5πΌπΌ+1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ 5πΌπΌ + β― (10) Untuk turunan orde fraksional dari fungsi konstan, berdasarkan persamaan (3) maka untuk suku ke-1 dari persamaan (10) diperoleh : π·π·πΌπΌ 1 = 0 (11) πΌπΌ Sedangkan turunan untuk fungsi berbentuk π¦π¦(π₯π₯) = π₯π₯ , berdasarkan Definisi 6 maka : Γ(πΌπΌ+1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ πΌπΌ = Γ(πΌπΌ+1−πΌπΌ) π₯π₯ πΌπΌ−πΌπΌ = Γ(2πΌπΌ+1) Γ(πΌπΌ+1) Γ(1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ 2πΌπΌ = Γ(2πΌπΌ+1−πΌπΌ) π₯π₯ 2πΌπΌ−πΌπΌ = Γ(3πΌπΌ+1) π₯π₯ 0 = Γ(πΌπΌ + 1)1 Γ(2πΌπΌ+1) Γ(πΌπΌ+1) Γ(3πΌπΌ+1) π₯π₯ πΌπΌ π·π·πΌπΌ π₯π₯ 3πΌπΌ = Γ(3πΌπΌ+1−πΌπΌ) π₯π₯ 3πΌπΌ−πΌπΌ = Γ(2πΌπΌ+1) π₯π₯ 2πΌπΌ 26 (12) (13) (14) Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler Γ(4πΌπΌ+1) Γ(4πΌπΌ+1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ 4πΌπΌ = Γ(4πΌπΌ+1−πΌπΌ) π₯π₯ 4πΌπΌ−πΌπΌ = Γ(3πΌπΌ+1) π₯π₯ 3πΌπΌ π·π· πΌπΌ π₯π₯ 5πΌπΌ = . . . Γ(5πΌπΌ+1) Γ(5πΌπΌ+1−πΌπΌ) π₯π₯ 5πΌπΌ−πΌπΌ = Γ(5πΌπΌ+1) Γ(4πΌπΌ+1) π₯π₯ 4πΌπΌ (15) (16) dst Persamaan (11) dan (12) - (16) disubstitusi ke persamaan (10), diperoleh : ππ ππ 2 Γ(2πΌπΌ + 1) πΌπΌ π·π·πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) = 0 + Γ(πΌπΌ + 1) + π₯π₯ Γ(πΌπΌ + 1) Γ(2πΌπΌ + 1) Γ(πΌπΌ + 1) ππ 3 Γ(3πΌπΌ + 1) 2πΌπΌ ππ 4 Γ(4πΌπΌ + 1) 3πΌπΌ + π₯π₯ + π₯π₯ Γ(3πΌπΌ + 1) Γ(2πΌπΌ + 1) Γ(4πΌπΌ + 1) Γ(3πΌπΌ + 1) ππ 5 Γ(5πΌπΌ + 1) 4πΌπΌ + π₯π₯ + β― Γ(5πΌπΌ + 1) Γ(4πΌπΌ + 1) ππ 2 ππ 3 ππ 4 ππ 5 πΌπΌ 2πΌπΌ 3πΌπΌ π₯π₯ + π₯π₯ + π₯π₯ + π₯π₯ 4πΌπΌ + β― = ππ + Γ(πΌπΌ + 1) Γ(2πΌπΌ + 1) Γ(3πΌπΌ + 1) Γ(4πΌπΌ + 1) ππ = ∑∞ ππ=1 ππ π₯π₯ (ππ−1)πΌπΌ (17) Γ((ππ−1)πΌπΌ+1) Turunan π¦π¦(π₯π₯) jika diperumum dengan orde ππππ, dinyatakan sebagai : πΌπΌ ∞ π·π· π¦π¦(π₯π₯) = οΏ½ ππ ππ ππ=1 ∞ π₯π₯ (ππ−1)πΌπΌ Γ((ππ − 1)πΌπΌ + 1) π·π·2πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) = οΏ½ ππ ππ ππ=3 ∞ π₯π₯ (ππ−2)πΌπΌ Γ((ππ − 2)πΌπΌ + 1) π₯π₯ (ππ−3)πΌπΌ π·π· π¦π¦(π₯π₯) = οΏ½ ππ Γ((ππ − 3)πΌπΌ + 1) 3πΌπΌ ππ=3 ο π·π· π·π· (ππ−1)πΌπΌ ππππ ππ ∞ π¦π¦(π₯π₯) = οΏ½ ππ ππ π¦π¦(π₯π₯) = π₯π₯ (ππ−(ππ−1))πΌπΌ Γ((ππ − (ππ − 1))πΌπΌ + 1) ππ=ππ−1 π₯π₯ (ππ−ππ)πΌπΌ ∞ ∑ππ=ππ ππ ππ Γ((ππ−ππ)πΌπΌ+1) 4.2 (18) Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen Diberikan secara umum persamaan diferensial fraksional linier homogen dengan orde ππππ dituliskan sebagai berikut : π·π·ππππ π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄1 π·π·(ππ−1)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄2 π·π· (ππ−2)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + β― + π΄π΄ππ π¦π¦(π₯π₯) = 0 (19) 27 Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30 Solusi untuk persamaan (19) dengan asumsi bahwa fungsi π¦π¦(π₯π₯) memenuhi Definisi Caputo dan dapat dibentuk ke dalam persamaan (9), dapat diselesaikan dengan menentukan nilai-nilai koefisien pada persamaan (9). Secara umum, langkah-langkahnya sebagai berikut : 1. Menuliskan fungsi π¦π¦(π₯π₯) dalam bentuk fungsi Mittag-Leffer, seperti pada persamaan (9) 2. Menurunkan fungsi pada persamaan (19) sesuai orde dari tiap suku, seperti pada persamaan (18) kemudian disubstitusi ke persamaan (19) kembali. Sehingga diperoleh : ππ ∑∞ ππ=ππ ππ π₯π₯ (ππ−ππ)πΌπΌ π₯π₯ (ππ−(ππ−1))πΌπΌ ππ + π΄π΄1 ∑∞ ππ=ππ−1 ππ Γ((ππ−(ππ−1))πΌπΌ+1) + Γ((ππ−ππ)πΌπΌ+1) π₯π₯ (ππ−(ππ−2))πΌπΌ π₯π₯ (ππ−1)πΌπΌ ∞ ππ ππ π΄π΄2 ∑∞ ππ=0 ππ Γ((ππ−(ππ−2))πΌπΌ+1) + … + π΄π΄ππ−1 ∑ππ=1 ππ Γ((ππ−1)πΌπΌ+1) + π₯π₯ ππππ ππ π΄π΄ππ ∑∞ ππ=0 ππ Γ(ππππ+1) = 0 Pada persamaan di atas, batas bawah dari ∑, berbeda sehingga batas bawahnya akan disamadengankan nol, sehingga menjadi : ∞ οΏ½ ππ ππ=0 ππ+ππ π₯π₯ (ππ+ππ−ππ)πΌπΌ Γ((ππ + ππ − ππ)πΌπΌ + 1) ∞ + π΄π΄1 οΏ½ ππ ππ=0 ∞ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 οΏ½ ππ ππ+ππ−2 ππ=0 ∞ + π΄π΄ππ−1 οΏ½ ππ ∞ =0 ∞ π₯π₯ (ππ+ππ−2−(ππ−2))πΌπΌ +β― Γ((ππ + ππ − 2) − (ππ − 2))πΌπΌ + 1) ∞ π₯π₯ (ππ+1−1)πΌπΌ xkα + π΄π΄ππ οΏ½ ππ ππ Γ((ππ + 1 − 1)πΌπΌ + 1) Γ(kα + 1) ∞ k=0 π₯π₯ π₯π₯ ππππ π₯π₯ ππππ ππ+ππ ππ+ππ−1 ππ+ππ−2 ⇔ οΏ½ ππ + π΄π΄1 οΏ½ ππ + π΄π΄2 οΏ½ ππ Γ(ππππ + 1) Γ(ππππ + 1) Γ(ππππ + 1) ππ=0 ⇔ 3. ππ+ππ ∑∞ k=0[ππ ππππ ππ=0 ππ+1 π₯π₯ (ππ+ππ−1−(ππ−1))πΌπΌ Γ((ππ + ππ − 1 − (ππ − 1))πΌπΌ + 1) ππ=0 ∞ + β― + π΄π΄ππ−1 οΏ½ ππ ππ+1 + π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 ππ=0 + π΄π΄2 ππ ∞ ππππ ππ=0 π₯π₯ xkα + π΄π΄ππ οΏ½ ππ ππ =0 Γ(ππππ + 1) Γ(kα + 1) ππ+ππ−2 k=0 π₯π₯ππππ + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ ] π€π€(ππππ+1) = 0 ππ+ππ ππ+ππ−1 Untuk menentukan nilai-nilai koefisien ππ + ππ + ππ ππ+1 ππ ππ + ππ dari persamaan (20), misal : ππ+ππ ππ + π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 ππ ππ+ππ−2 + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ = ππ maka dapat ditulis: 28 ππ+ππ−2 (20) + β―+ Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler ∞ π₯π₯ ππππ οΏ½ ππ =0 π€π€(ππππ + 1) k=0 π₯π₯ ππππ Selanjutnya, karena nilai π€π€(ππππ+1) ≠ 0, akibatnya ππ = 0, sehingga 4. ππ ππ+ππ + π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 ππ ππ+ππ−2 + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ = 0 βΊ ππ ππ+ππ = −(π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 ππ ππ+ππ−2 + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ ) 5. KESIMPULAN (21) Mensubstitusi persamaan (21) ke persamaan (9) untuk memperoleh solusi umum persamaan (19) dalam bentuk deret. π₯π₯ ππππ ππ Fungsi Mittag-Leffler yang berbentuk deret π¦π¦(π₯π₯) = ∑∞ ππ=0 ππ Γ(ππππ+1) dengan ππ adalah konstanta dan πΌπΌ ∈ β+ merupakan deret yang konvergen pada selang 1 1 οΏ½− ππ , πποΏ½ sehingga turunan Fungsi Mittag-Leffler dengan orde ππππ diberikan oleh : ππ π·π·ππππ π¦π¦(π₯π₯) = ∑∞ ππ=ππ ππ π₯π₯ (ππ−ππ)πΌπΌ dengan ππ ∈ β€+ , πΌπΌ ∈ β+ . Solusi PDF linier Γ((ππ−ππ)πΌπΌ+1) ππππ π·π· π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄1 π·π·(ππ−1)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄2 π·π·(ππ−2)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + β― + π΄π΄ππ π¦π¦(π₯π₯) = 0 homogen dari dinyatakan berbentuk fungsi Mittag-Leffler. Pada metode Mittag-Leffler ini, koefisien ππ ππ dapat ditentukan melalui : ∞ οΏ½(ππ k=0 ππ+ππ + π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 ππ ππ+ππ−2 + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 π₯π₯ ππππ + π΄π΄ππ ππ ) =0 π€π€(ππππ + 1) ππ dengan ππ ππ+ππ + π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 ππ ππ+ππ−2 + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ = 0 6. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis berterima kasih kepada kedua pembimbing yang telah membantu dalam menyelesaikan tulisan ini. 7. DAFTAR PUSTAKA [1] Arfken, G.B. dan Hans J.W. 2005. Mathematical Methods for Physicist. Elsevier Academic Press, United States of America. [2] Boas, M.L. 2006. Mathematical Methods in the Physical Sciences. DePaul University, United States of America. [3] Bologna, Mauro. 2007. Short Introduction to Fractional Calculus, Arica, Chile. [4] Gorenflo, R. and Mainardi, F. 1997. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional orde,” in Fractals Fractional Calculus in Continuum Mechanics”, A. Carpinteri and F. Mainar, Eds., pp.223–276, Springer, New York, NY, USA. 29 Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30 [5] Kaczorek, T. 2008. Fractional Positive Continuous-Time Linier Systems And Their Reachability. Int J. Appl. Math. Comput. Sci., 2008, Vol. 18, No. 2. 223-228. DOI: 10.2478/v10006-008-0020-0. [6] Kisela, T. 2008. Fractional Differential Equations and Their Applications. Tesis. Program diploma, BRNO University of Technology. [7] Miller, K. S and Ross, B. 1993.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations,JohnWiley & Sons, New York, NY, USA. [8] Podlubny, I. 1999. Fractional Differential Equations, Academic Press, New York, NY, USA. [9] Purcel, E. J, et al. 2008. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta. [10] Purcel, E. J, & Vanberg, D. 1987. Kalkulus Jilid 1. Edisi Kedelapan. Erlangga, Jakarta. [11] Rida, S.Z & Arafa, A. A. M., 2011. New Method for Solving Linear Fractional Differential Equations,”International Journal of Differential Equations, Volume 2011, Article ID 814132, 8 pages. [12] Siang, J.J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. ANDI, Yogyakarta. [13] Stewart, James. 2010. Kalkulus. Edisi Kelima. (Terjemahan Chriswan Sungkono). Salemba Teknika, Jakarta. 30
