Penyelesaian Persamaan Dirac untuk Potensial - HFI DIY

54
Tri Jayanti / Penyelesaian Persamaan Dirac untuk Potensial Manning Rosen dengan Tensor Pseudospin Simetri
Menggunakan Metode Hipergeometri
Penyelesaian Persamaan Dirac untuk Potensial Manning-Rosen
dengan Tensor Pseudospin Simetri Menggunakan Metode
Hipergeometri
Tri Jayanti, Suparmi, Cari
Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta
Jalan Ir. Sutami 36 A Kentingan, Surakarta 57126
[email protected]
Abstrak – Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai spektrum energi dan fungsi gelombang untuk potensial
Manning-Rosen dengan tensor pseudospin simetri. Perilaku partikel atomik dapat dipahami dengan jelas bila spektrum
energi dan fungsi gelombang dari partikel tersebut diketahui. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk partikel
yang dipengaruhi oleh potensial Manning-Rosen dengan tensor pseudospin simetri diselesaikan menggunakan metode
hipergeometri. Persamaan Dirac untuk potensial Manning-Rosen dengan tensor pseudospin simetri diubah menjadi
persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dengan substitusi variabel dan parameter secara tepat. Spektrum
energi diperoleh secara eksak dan fungsi gelombang dinyatakan dalam bentuk polynomial hipergeometri.
Kata kunci: hipergeometri, persamaan Dirac, potensial Manning-Rosen, spektrum energi, fungsi gelombang.
Abstract – This research is aimed to determine energy spectrum and wave functions for Manning-Rosen potential with
pseudospin symmetric tensor. Behavior of atomic particles can be clearly understood if the energy spectrum and wave
functions of the particle are known. Energy spectrum and wave functions for particles governed by the Manning-Rosen
potential with pseudospin symmetric are solved using hypergeometric method. Dirac equation for Manning-Rosen
potential with pseudospin symmetric tensor is reduced into a second order differential equation of hypergeometric
function by appropriate variable and parameters substitution. Energy spectrum is exactly obtained in the closed form
and the wave functions are expressed in the form of hypergeometric polynomials / series.
Key words: hypergeometry, Dirac equation, Manning-Rosen potential, energy spectrum, wave function.
I. PENDAHULUAN
P. A. M Dirac mengajukan persamaan yang dikenal
sebagai persamaan Dirac. Tidak seperti persamaan KleinGordon, persamaan Dirac memiliki rapat probabilitas
yang selalu bernilai positif. Tetapi solusinya tetap
memberikan informasi akan adanya partikel bebas
berenergi negatif. Dirac percaya bahwa terdapat
penjelasan fisis terhadap energi negatif ini, yang
mengarahkannya pada Teori Lubang Dirac.
Penyelesaian persamaan Dirac secara langsung dari
sistem partikel dengan menentukan energi dan fungsi
gelombang suatu partikel dipengaruhi oleh potensial yang
energi potensialnya merupakan fungsi posisi. Persamaan
Dirac biasanya diselesaikan dengan cara mereduksi
persamaan Dirac menjadi persamaan diferensial orde dua,
fungsi Hermit, Laguerre, hipergeometri. Di antara fungsifungsi tersebut, hanya persamaan fungsi hipergeometri
yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum.
Persamaan tersebut dirasa umum karena persamaanpersamaan diferensialnya dapat direduksi menjadi
persamaan hipergeometri [1].
Dalam beberapa tahun terakhir, penelitian tentang
penyelesaian persamaan Dirac menjadi minat yang besar
bagi para penulis. Pada penelitian sebelumnya,
penyelesaian persamaan Dirac diselesaikan secara analitis
untuk beberapa potensial seperti potensial Kratzer [2],
potensial Eckart [4], potensial Poschl Teller [1], dan
sebagainya, sedangkan beberapa metode juga telah
digunakan dalam penyelesaian persamaan Dirac seperti
metode Nikoforov Uvarov, Supersymetri dan polinomial
Romanovski [3].
Dengan metode berbeda, paper ini menyajikan
penyelesaian persamaan Dirac untuk sistem partikel yang
dipengaruhi oleh potensial Manning‐Rosen dengan tensor
pseudospin simetri. Spektrum energi dan fungsi
gelombang dari potensial Manning‐Rosen dengan tensor
pseudospin simetri diselesaikan menggunakan persamaan
diferensial fungsi hipergeometri. Potensial Manning‐
Rosen dengan tensor pseudospin simetri ini mempunyai
peranan yang penting dalam pemodelan gaya‐gaya antar
atom atau molekul [3]. II. LANDASAN TEORI
Metode
hipergeometri
merupakan
persamaan
diferensial yang mempunyai bentuk penyelesaian paling
umum yang diperoleh dari penguraian persamaan radial
atom hidrogen yang mengacu pada persamaan diferensial
Probenius mengenai titik angular singular. Persamaan
diferensial orde dua fungsi hipergeometrik yang
diusulkan oleh Gau [5] dinyatakan sebagai
1
d2 Gnk
dz2
Persamaan dasar spinor Dirac
.
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014
ISSN: 0853-0823
dGnk
1
dz
Gnk
0. (1)
. ̂
(2)
Tri Jayanti / Penyelesaian Persamaan Dirac untuk Potensial Manning Rosen dengan Tensor Pseudospin Simetri
Menggunakan Metode Hipergeometri
dengan E adalah energi relativistik dan
,
momentum operator tiga dimensi
0
0
,
.
0
0
Maka spinors dapat dituliskan sebagai
adalah
(3)
Dari persamaan (4), diperoleh 2 spinor tensor yaitu
untuk tensor pseudospin simetri
2
Σ
∆
0 (5)
Σ
dan untuk tensor spin simetri
2
∆
∆
∆
0.(6)
Σ
Karena dari persamaan (1) dapat diperoleh spektrum
energi dan fungsi gelombang suatu sistem yang
dipengaruhi oleh potensial tertentu, maka persamaan
Dirac spinor tensor pseudospin simetri untuk potensial
tertentu harus diubah menjadi persamaan (1) dengan
melalui substitusi variabel dan parameter.
Spektrum energi dan fungsi gelombang dari salah satu
potensial yang akan diselesaikan dengan menggunakan
metode hipergeometri adalah potensial Manning-Rosen
hiperbolik yang dinyatakan sebagai
∆
2
.
(7)
Persamaan Dirac spinor tensor pseudospin simetri
untuk potensial Manning-Rosen hiperbolik dinyatakan
sebagai
d2 Gnk
2
-
α2
K+H-1 K+H Gnk r +
sinh2 αr
dr
ν ν-1
-2 qcoth αr
sinh2 αr
M-Enk +Cps
(8)
Persamaan (8) menjadi
nk
dr 2
‐
1
sinh2 αr
K H‐1 K H
ν ν‐1 M‐Enk Cps
α2 2 qcoth αr M‐Enk Cps
Gnk r
2
1
2
2
2
(17)
0
Bentuk persamaan (17) merupakan persamaan diferensial
orde dua fungsi hipergeometri, maka diperoleh
1
1
′
1
(18a)
(18b)
2
1
(18c)
Dengan persamaan (18a), (18b), (18c) maka diperoleh
′
1
;
1
(19)
Dari persamaan (19) diperoleh spektrum energi potensial
Manning-Rosen hiperbolik dengan tensor pseudospin
simetri sebagai
1
,
(20)
M-Enk +Cps
(11)
(12)
∑
; ;
!
.
(21)
Berdasarkan uraian di atas diperoleh fungsi gelombang
untuk potensial Manning-Rosen hiperbolik dengan tensor
pseudospin simetri yang dituliskan sebagai
(9)
(10)
M‐Enk Cps M Enk
1
1
Misalkan
ν ν-1
(16a)
(16b)
maka persamaan (14) berubah menjadi
Gnk r
α2 M‐Enk Cps M Enk Gnk r .
K+H-1 K+H
2qBps +E' =4α²
2
4 ²
dan penyelesaian persamaan (17) adalah
Gnk r
α2
(14)
Persamaan (14) merupakan persamaan diferensial orde
dua yang mempunyai dua buah titik regular singular di
titik z = 0 atau z =1. Penyelesaian umum untuk potensial
Manning-Rosen hiperbolik dengan tensor pseudospin
simetri dapat dinyatakan sebagai
β
α
G (z) = z ( 1 − z) f(z)
nκ
(15)
Untuk z = 0 maka Gnk z ~
dan untuk z = 1 adalah
Gnk z ~ 1
. Jika dilakukan substitusi parameter
yang diperoleh dari index equation
ħ
M‐Enk Cps M Enk Gnk r .
d2 G
.
(13)
Persamaan (13) dapat diubah menjadi persamaan
diferensial orde dua fungsi hipergeometri dengan cara
mensubstitusikan variabel yang sesuai. Pemisalan
variabel yaitu coth x = 1-2z. Substitusi variabel ini
terinspirasi dari pengubah variabel pada formula SUSY
WKB [6] dan pengubahan persamaan shcrodinger untuk
potensial Poschl-Teller I [1]. Dengan mensubstitusikan
variabel ke dalam persamaan (13) maka diperoleh bentuk
umum
⎧z(1−z) ∂2 +(1−2z) ∂ +A −−2qBps+E'−2qBps+E'⎫G (r) = 0
⎨
∂z ps
4z
4(1−z) ⎬
∂z2
⎩
⎭ nκ
Σ
1
maka persamaan (9) menjadi
α2 2q coth αr
⎛ FnK ( r ) l
⎞
v
Y jm (θ , ϕ ) ⎟
v ⎛ ζ (r )⎞ ⎜
r
⎟
ψ ( r ) = ⎜⎜ v ⎟⎟ = ⎜
(r ) l
G
(
)
φ
r
nK
⎜
⎝
⎠ ⎜i
Y jm (θ , ϕ ) ⎟⎟
r
⎝
⎠ (4)
1
55
coth
2
, , ,
1
.
coth
2
(22)
III. METODE PENELITIAN
Persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan
fungsi gelombang dan spektrum energi dari potensial
Manning-Rosen hiperbolik adalah
a. Persamaan umum fungsi gelombang
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014
ISSN: 0853-0823
56
Tri Jayanti / Penyelesaian Persamaan Dirac untuk Potensial Manning Rosen dengan Tensor Pseudospin Simetri
Menggunakan Metode Hipergeometri
,
, ,
(23)
b. Persamaan umum energi
ħ
1
.
(24)
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Penjabaran fungsi gelombang dan spektrum energi
untuk potensial Manning-Rosen menggunakan metode
hipergeometri. Penjabaran dengan metode ini terdiri dari
beberapa langkah. Langkah pertama yaitu menentukan
persamaan Dirac untuk potensial Manning-Rosen.
Selanjutnya dicari substitusi variabel yang sesuai agar
persamaan Dirac berubah menjadi persamaan diferensial
orde dua fungsi hipergeometri. Langkah ketiga
melakukan substitusi parameter yang diperoleh dari index
equation sehingga diperoleh persamaan umum fungsi
gelombang potensial Manning-Rosen dengan tensor
pseudospin simetri
,
′
, ′, ′,
1
1
!
.
, ,
(25)
(26)
Fungsi gelombang dasar diperoleh dengan mengalikan
dengan suku pertama deret
hipergeometri. Fungsi gelombang dasar yang diperoleh
adalah
. (27)
Energi potensial Manning-Rosen dengan tensor
pseudospin simetri yang diselesaikan menggunakan
metode hipergeometri menghasilkan
ħ
1
.
(28)
V. KESIMPULAN
Fungsi gelombang dan spektrum energi potensial
Manning-Rosen dengan tensor pseudospin simetri dapat
diselesaikan menggunakan metode hipergeometri.
Metode hipergeometri dapat diterapkan untuk
menyelesaikan jenis potensial lainnya.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penelitian ini didukung oleh hibah peneliti utama (TUT
UNS).
PUSTAKA
[1] S. Flugge, Practical Quantum Mechanics, Spinger, New
York, 1977.
[2] J. Sadeghi and B. Pourhassan, Exact Solution of The NonCentral Potential Modified Kratzer Potential, Adv. Studies
Theor. Phys., Vol 5 no 11 (2011) pp 477-484.
[3] A. N. Ikot, and L. E.Akpabio, Approximate Solution of the
Schrodinger Equation with Rosen Morse Potential Including
the Centrifugal Term, Applied Physics Reseach, 2010, ISSN
1916-9639.
[4] H. Goudarzi, and V. Vahidi, Supersymmetric Approach for
Eckart Potential Using the NU Method, Adv. Studies Theor.
Phys., vol. 5 no 10 (2011) pp 469-476
[5] Greiner, Quantum Mechanics an Introduction, SpringerVerlag, Berlin Heidilberg, 1989.
[6] A. Inomata, A. Suparmi dan S. Kurth, Proceeding of 18th
International Colloqium on Group Theoretical Methods in
Physics, eds. V. V. Dodonov and V. I. Man’ko, (Springer,
Berlin, 1991), pp399.
TANYA JAWAB
Suparmi, UNS,
? Jelaskan tentang Pseudospin simetri?
Tri Jayanti, UNS
@ Pseudospin simetri adalah salah satu kasus pada
persamaan dirac yang selalu menghasilkan energi yang
negatif dan ditandai dengan ginkyang merupakan
komponen bawah ( lower)
∑(r) = V(r) + S(r) = Cps
∆(r) = V(r) – S(r) = potensial yang mempengaruhi sistem
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVIII HFI Jateng & DIY, Yogyakarta, 26 April 2014
ISSN: 0853-0823