medan gravitasi benda bermuatan simetri bola

METRIK MEDAN GRAVITASI BENDA BERMUATAN
LISTRIK SIMETRI BOLA
Oleh: Bansawang BJ
Lab. Fisika Teori dan Komputasi Jurusan
FMIPA Unhas
Abstrak
Telah diperlihatkan cara perumusan persamaan medan gravitasi kovarian Einstein
melalui prinsip integral aksi dan sistem yang ditinjau adalah benda bermuatan listrik
simetri bola. Solusi yang diperoleh menghasilkan dua jari-jari yang masing-masing
bergantung pada massa benda dan muatan total benda, sehingga
metriknya tidak
menghasilkan singularitas.
Kata kunci: Medan gravitasi, tensor metrik
I. PENDAHULUAN
Salah satu tema utama dalam perkembangan fisika adalah mencari teori terpadu
yang dapat menjelaskan perilaku partikel dan interksinya di alam semesta. Gravitasi
menjadi salah satu topik yang sangat penting dalam fisika teori sebab mempunyai implikasi
pada fisika partikel maupun pada teori medan. Oleh karena itu, relativitas umum Einstein
atau teori medan gravitasi kovarian adalah salah satu teori yang sangat mendapat perhatian
orang.
Sehubungan dengan hasrat para fisikawan teoritik untuk menyatukan gaya-gaya
fundamental alam semesta, maka beberapa dekade belakang ini, kajian medan gravitasi
kovarian telah menjadi sesuatu yang sangat penting dalam fisika teori. Setelah Einstein
berhasil membangun persamaan medan yang didalamnya memuat prinsip ekivalensi, telah
banyak memberikan kontribusi pada kajian bidang lain, misalnya pada teori String yang
belakangan ini banyak fisikawan berharap menjadi teori yang dapat menyatukan ke empat
gaya fundamental yakni gravitasi, lemah, elektromagnet dan nuklir.
Meskipun persamaan medan gravitasi Einstein merupakan persamaan diferensial
parsial yang sangat tidak linear, namun solusi eksak maupun non-eksaknya banyak
diperoleh. dari berbagai sistem fisis khusus dengan konsekuensi fisis yang ditimbulkannya.
Seperti halnya persamaan dinamika dalam teori medan klasik, persamaan gravitasi kovarian
umum dapat pula diturunkan dari formalisme Lagrange atau formalisme Hamilton dengan
mendefenisikan suatu fungsi keadaan yang memenuhi formalisme ini.
Tulisan ini bertujuan memformulasikan persamaan medan gravitasi Einstein
melalui formalisme Lagrange dan mencari penyelesaiannya (tensor metrik) untuk
bermuatan listrik
benda
simetri bola. Dalam tulisan ini terdiri atas beberapa bagian, yakni
pendahuluan, integral aksi untuk medan gravitasi, tensor energi momentum medan
Maxwell-Einstein, metrik simetri bola benda bermuatan dan bagian akhir berisi
kesimpulan.
II. TINJAUAN PUSTAKA
II. 1 Integral Aksi Untuk Medan Gravitasi
Dalam fisika klasik benda titik, biasanya fungsi Lagrange dipilih sebagai fungsi dari
pada beberapa parameter, seperti koordinat, momentum dan waktu. Sedangkan dalam teori
medan klasik yang merupakan generalisasi dari mekanika benda titik, yaitu dengan
mengambil banyaknya titik-titik menjadi tak berhingga sehingga variabel-variabel yang
digunakan adalah variabel kontinu   dalam ruang datar , maka aksinya adalah:
I   £(  ( x),  , ( x)) d 4 x
(2. 1)
dengan £  £(  ( x),  , ( x)) menyatakan fungsi kerapatan Lagrange (Lagrange density)
Persamaan medan gravitasi dalam relativitas umum dapat pula diperoleh melalui
prinsip variasi, dengan integral aksi diungkapkan sebagai1):
I    g £ G  2 K £ M  d 4 x

(2. 2)
di mana £M adalah rapat Lagrangian dari materi, £G = R adalah rapat Lagrangian untuk
medan gravitasi. sedang R adalah kelengkungan skalar Ricci yang diungkapkan sebagai
R  g   R  dengan Rμν adalah tensor Ricci, yakni:
R 

 
x



 
x




 

 

(2.3)
1 
g  
2
  g    g  g  
1
 g  



2
 x
 x
 x
 
dengan
(2.4)



adalah lambang Christoffel.
Kerapatan Lagragian skalar £G dinyatakan dalam lambang Christoffel jenis kedua
diturunkan dari bagian gravitasional Lagrangian Hilbert, yakni:
IG   g £G
    
  g g 

   

  x
x

.




(2.5)
Dengan melakukan variasi terhadap R  dari integral aksi pada persamaan (2.2),
maka untuk suku bagian pertama, akan diperoleh:
I G     g £ G d 4 x

(2.6)
1


   R   g   R   g  g   d 4 x
2


di mana telah digunakan d  g  
Sedangkan untuk
1
 g g   dg   .
2
suku kedua persamaan (2.2), variasi integral aksinya akan
diperoleh:
I M    2  g K £ M d 4 x




   g £ M
   g £M
 2K  
 

x
 g ,

 g
 g


(2.7)

4
d x
di mana medan yang berkaitan dengan integral Gauss telah diambil sama dengan nol.
Selanjutnya dengan memasukkan persamaan (2.6) dan (2.7) ke dalam persamaan
(2.2) dan mengambil variasi aksi, I  0 , akan diperoleh persamaan medan gravitasi,
yakni:
1
G   R   g   R  K T 
2
(2.8)
dengan tensor energi-momentum T adalah:
T  



2 
   g £M
  g £ M




x   g ,
g 
 g

 

(2.9)
III. Tensor Energi-Momentum Medan Maxwell-Einstein
Untuk perumusan persamaan Maxwell dalam bentuk kovarian, terlebih dahulu
dengan mencari tensor kekuatan medan elektromagnet. Untuk maksud tersebut maka kita
tinjau persamaan Maxwell, yakni3):
1.
  
.E 
3.1a
2.
 
.B  0
3.1b
3.

 
B
xE  
t
3.1c
4.

 

E
xB   0 J   0 0
t
3.1d
0

Dengan memperkenalkan potensial skalar  dan potensial vektor A , maka

komponen-komponen medan magnet dan medan listrik dinyatakan dalam  dan A
masing-masing adalah:
Ak
x j
3.2a
 Ai

xi
t
3.2b
Bi ijk
Ei  
Tensor kekuatan medan elektromagnet F    A    A dengan komponenkomponennya Fij   ijk Bk dan
F0i   Ei , i,j,k=1,2,3 masing-masing dinyatakan
bentuk kovarian dan kontravarian F  dan F   , yakni:
dalam
F 
 0

 Ex

E
 y
E
 z
F 
 Ex
 Ey
0
Bz
 Bz
0
By
 Bx
 0

  Ex

 Ey

 E
z

 Ez 

 By 
Bx 

0 
Ex
Ey
0
Bz
 Bz
0
By
 Bx
3.3a
Ez 

 By 
Bx 

0 
3.3b
Selanjutnya rapat Lagrangian medan elektromagnet tanpa arus dalam medan
gravitasi dinyatakan dengan tensor kekuatan
L
F  , yakni :
1
 g F  F  
16
(3.4)
dengan F  seperti pada persamaan (3.3a).
Bila rapat Lagrangian medan elektromagnet pada persamaan
(3.4) di atas
disubstitusi ke dalam persamaan (2.9) maka diperoleh:
L
1 

   g



 F F


16 
g

g

2  g F F
Dengan menggunakan hubungan

(3.5)
1  g
1 g

, maka persamaan (3.5) dapat

2 g g  
 g g
ditulis menjadi:
L
1


8
g
g 
1

  g  F F   F F 
4

L
0 .
g,

3.6b
3.6c
Dengan demikian diperoleh tensor energi-momentum medan elektromagnet dalam
medan gravitasi, yakni:
T  
1 1


 g  F F  F  F 
4  4

3.7
IV. Metrik Simetri Bola Benda Bermuatan
Tensor metrik simetri bola secara umum diungkapkan dalam elemen garis sebagai2):

dS 2  e c 2 dt 2  e  dr 2  r 2 d 2  sin 2  d 2

4.1
di mana υ dan λ merupakan fungsi dari koordinat r dan waktu t. Tensor metriknya adalah:
 e

0
g  
0
0

0
0
 e
0
0
 r2
0
0
 e 
0


0
e
g  
0
0
0
0

0



0

0

2
2
 r sin  
0
4.2a
dan bentuk kontravariannya:
0
 r 2
0



0

0

2
2 
 r sin  
0
4.2b
Untuk mendapatkan solusi persamaan Einstein untuk metrik simetri bola, perlu
terlebih dahulu dihitung lambang Christoffel seperti pada persamaan (2.4). Komponenkomponennya yang tidak lenyap adalah:
000 
1
00


010 
2

e  
2
   r e 
1
01

1
r
1
133 
r
110 
1
22
122 
111 

2

2

e  
4.3
2
   r sin 2  e  
1
33
332   sin  cos 

3
23
 cot 
2
Dengan menggunakan lambang Christoffel di atas, akan dihitung ungkapan tensor
Ricci dan tensor Einstein masing-masing dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.8).
Diperoleh komponen tensor campuran Einstein G yang tidak lenyap, memberikan
persamaan medan, yakni:
 1   1
 e   2    2  KT00
r  r
r
1

 e   KT01
2
r
 1   1
 e   2    2  KT11
r r
r
4.4

1
  2         

 e    


2
2
r
2 

1    2   
  KT22
e    
2
2
2 

Komponen tensor G22  G33  KT33 dan yang lainnya lenyap.
Potensial vektor Aμ
sangat menentukan dalam medan elektromagnet. Untuk
potensial simetri bola, maka hanya komponen A0 dan A1 yang tidak lenyap sedangkan
komponen lainnya lenyap yakni
A2=A3=0 (x0=ct, x1=r, x2=θ, x3=). Disamping itu,
potensial elektromagnet berlaku pula sifat invarian terhadap transformasi
gauge yang
berbentuk:
A  A 

x 
4.5
di mana  adalah fungsi skala yang bergantung pada jari-jari r dan waktu t sehingga dapat
dipilih (r,t) sedemikian sehingga A1  A1 

 0 , dan hanya komponen A0 yang tidak
r
lenyap.
Sekarang kita akan menghitung tensor energi-momentum medan elektromagnet.
Untuk maksud tersebut, tinjaulah tensor kekuatan medan elektromagnet pada pers.(3.3) dan
komponen-komponennya yang tidak lenyap adalah:
f 01 
Komponen-komponen
A0
  f10
r
kontravariannya
4.6
f    g   g f
dapat
diperoleh
dengan
menggunakan persamaan (4.2b), maka:
f 01  g 00 g 11 f 01   e   
A0
r
4.7
Dan seluruh komponen yang lain lenyap. Dengan menggunakan persamaan (3.7) kita akan
dapatkan ungkapan tensor energi-momentum, yakni:
T 
Dengan
menguraikan
1   1

g  g  f f   f  f 
4
4

komponen-komponennya,
tensor
4.8
energi-momentum
dapat
diungkapkan sebagai:
T 
1        A0 


e
8

r


2
1

0
0

0

0
0
1
0
0
1
0
0
0 

0 
0 

 1
4.9
Selanjutnya akan ditinjau solusi tensor metrik gabungan persamaan MaxwellEinstein. Dengan menggunakan persamaan (4.2a-42b) diperoleh determinan tensor metrik
sebagai:
 e
g   e 0
0
0
 r2
0
0
4.10a
 r 2 sin 2 
0
  e    r 4 sin 2 
det g     g  e   / 2r 2 sin 
4.10b


1   g f  4 

J dengan
 x
c
g
Persamaan Maxwell yang diungkapkan sebagai
rapat arus J =0 dapat direduksi menjadi dua persamaan,yakni:
  g f 01
    / 2 2

e
r sin   e    A0  0
r
r





  g f 01
 e   / 2 r 2 sin  A0

0
t
t
4.11a
4.11b
Dari persamaan (4.11a-4.11b) di atas, setelah diintegralkan diperoleh:
r 2 e    / 2 A0  tetapan
4.12
Konstanta sebelah kanan pada persamaan (4.12) di atas tidak bergantung pada
koordinat t dan r, dan ini dapat diperiksa pada jarak yang jauh. Dalam limit fungsi
eksponensial cenderung menuju ke satuan dan ini diperoleh r 2 A0  tetapan atau
dA0 e

dr r 2
e
sehingga A0  . Jika A0 berada dalam medan gravitasi dan e adalah muatan total benda
r
sumber gravitasi, maka dapat disimpulkan bahwa konstanta tersebut sama dengan –e.
Persamaan (4.12) dapat dituliskan sebagai:
A0  
e     / 2
e
r2
4.13
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (4.9), akhirnya kita peroleh tensor
energi-momentum medan elektromagnet dalam medan gravitasi benda, yakni :
1

e2 0

T 
8 r 4  0

0

0
0
1
0
0
1
0
0
Dengan memasukkan tetapan K 
0 

0 
0 

 1
4.14
8G
dan tensor energi-momentum medan
c4
elektromagnet persamaan (4.14) ke dalam persamaan medan gravitasi (4.4), maka diperoleh
persamaan medan, yakni:
Ge2
  1  1
e    2   2  4 4
c r
r r  r
4.15a
Ge2
  1  1
e   2   2   4 4
c r
r r  r
4.15b
  0
4.15c
Dengan menjumlahkan dua persamaan pertama (4.15a-4.15b) pada persamaan di atas akan
memberikan persamaan, yakni:
    0
4.16
    f ( x0 )
4.17
atau
dimana f(x0) adalah tetapan integrasi yang hanya fungsi dari x0. Sekarang kita dapat
membuat sebuah transformasi koordinat masih memuat bentuk elemen garis tidak berubah
bentuk (invarian). Dalam hal ini koordinat waktu berbentuk x 0  h( x 0 ) dan ruang
x k  x k dengan k=1,2,3. Dapat ditandai bahwa tensor metrik g   bertransformasi sebagai:
g  
x x 
g
x  x
4.18
Komponen waktunya diperoleh
2
g 00
 x 0 
  0  g 00  h 2 g 00
 x 
4.19
 f (x0 ) 
dx 0
 dengan
Sekarang jika dipilih fungsi h  0  exp  
2 
dx

f ( x 0 ) sama dengan
persamaan (4.17), maka kita dapatkan g 00  e   e .
Selanjutnya bila persamaan (4.15a) diintegralkan dengan menuliskannya dalam
bentuk integral, yaitu:
 Ge 2

 d  re    c 4 r 2  1dr
Ge 2
 re    4  r  C
rc



4.20
sehingga diperoleh
e   e  1 
C Ge 2

r r 2c 4
4.21
Dengan C adalah konstanta integrasi, yang dalam relativitas dikenal sebagai jari-jari
Schwarschild yakni rS 
2Gm
dengan m adalah massa total dari benda sumber gravitasi.
c2r
Tensor metrik ini dikenal sebagai metrik Reissner-Nodstrom.
Akhirnya diperoleh solusi persamaan medan gravitasi untuk benda bermuatan listrik
simetri bola yang dinyatakan dalam elemen garis berikut:
2Gm Ge 2
2Gm Ge 2 1 2
0 2

)(
dx
)

(
1


) dr 
c 2r r 2c 4
c 2r r 2c 4
r 2 d 2  sin 2  d 2
dS 2  (1 


4.21
V. Kesimpulan
Persamaan medan gravitasi kovarian dalam relativitas umum dapat pula diperoleh
melalui variasi prinsip aksi dengan merumuskan rapat Lagrangiannya. yang terdiri atas dua
bagian yakni rapat Lagrangian meteri dan rapat Lagrangian medan gravitasi
Solusi medan gravitasi benda bermuatan listrik simetri bola yang telah diperoleh
menunjukkan hasil yang mirip dengan solusi Schwarschild, namun metriknya ada suku
tambahan
yang bergantung pada muatan total benda. Dengan suku tambahan ini
menunjukkan metriknya tidak menuju singularitas seperti pada solusi Schwarschild.
Daftar Pustaka
1. Cameli, M, 1990, “ Gravitation: SL(2,C) Gauge Theory And Conservation Laws” ,
World Scientific, Singapore.
2. Cameli, M, 1982, “ Classical Field: General Relativity and Gauge Theory, John Wiley
& Sons Inc., New York
3. Jackson, J.D (1988), Classical Electrodynamics, Wiley Eastern Limited, New Delhi
4. Bose, S.K, 1980; An Intoduction to General Relativity, Wiley Eastern Limited, New
Delhi