MEKANIKA KUANTUM MODUL 4

MEKANIKA KUANTUM
5.1 Pendahuluan mekanika kuantum
Mekanika kuantum dikembangakan melalui pendekatan-pendekatan oleh Erwin
Schrodinger, Warner Heisenberg dan lain-lain pada tahun 1952-1926 di tempat
yang terpisah.
Mekanika kuantum timbul saat mekanika klasik dianggap tidak mampu
menjelaskan banyaknya fakta eksperimen yang menyangkut perilaku sistem yang
berukuran atom, bahkan teori mekanika klasik memberi distribusi spektral yang
salah radiasi dari suatu rongga yang dipanasi.
Mekanika kuantum menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati, tatapi
prinsip ketidaktentuan menyebutkan bahwa kuantitas teramati bersifat berbeda
dalam kawasan atomik. Dalam mekanika kuantum kedudukan dan momentum
awal partikel tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup.
Perbedaan mekanika Newton dan Mekanika Newton:
Mekanika Newton
1. Kedudukan awal dapat ditentukan
2. Momentum awal
3. Gaya – gaya yang bereaksi padanya
4. Kuatitas teramati dengan teliti
5. Keadaan awal dan akhir dapat ditentukan dengan teliti
Mekanika Kuantum:
1. kuantitas dapat teramati
2. Kuantitas teramati bersifat berbeda dengan atomik
3. Kedudukan dan momentum awal tidak dapat dipereoleh dengan
ketelitian yang cukup
Untuk suatu partikel (elektreon proton). Kedudukannya tidak terukur dengan
pasti.
p> Xo 2
p 2 Xo
p= m V
X=V t
V =
p
m


2 mXo
5.2 Persamaan Gelombang
Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang 
dari benda itu. Walaupun  sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besar
mutlak 2 ( atau sama dengan * jika  kompleks ) yang dicari pada suatu
tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk
mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu.
Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari .
Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan  untuk benda itu bila
kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal.
Biasanya untuk memudahkan kita ambil 2 sama dengan peluang P untuk
mendapatkan partikel yang diberikan oleh , hanya berbadinng lurus dengan P.
Jika 2 sama dengan P, maka betul bahwa :

x

x
x
 2 dV = 1
normalisasi
karena
 dV = 1
x
ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk
setiap saat, jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Selain bisa
dinormalisasi ,  harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada
tempat dan waktu tertentu , dan kontinu.
Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika
kuantum serupa dengan hukum gerak kedua merupakan persamaan pokok dalam
mekanika newton, adalah persamaan gelombang dalam variabel .
 2
1  2
( persamaan gelombang )

 2 V 2 t 2
Persamaan gelombang yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y
yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v.
Untuk gelombang monokromatik
Y= A e
 i ( t  vx )
= A cos  (t  vx )  iA sin  (t  vx )
y merupakan kuantitas kompleks
5.3 Persamaan Schrodinger bergantung waktu
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang  bersesuaian dengan variabel
gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun,  bukanlah suatu
kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena
itu, kita akan menganggap  dalam arah x dinyatakan oleh :
 = Ae-2I(Vt-x/)
sehingga :
 = Ae-(i/ħ)(Et-px)
Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari
partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam
arah +x. Namun, pernyataan fungsi gelombang  hanya benar untuk partikel yang
bergerak bebas.
Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai
pembatasan untuk memecahkan  dalam situasi yang khusus, kita memerlukan
persamaan Schrodinger.
Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan
Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung
kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara
ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu
yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai
kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan darinya.
Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang
bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus partikel
bebas (potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang
mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu merupakan
suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun yang
membuktikan bahwa perluasan itu benar.
Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan
Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya
dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka postulat yang terkait dalam
persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus dibuang dan
pendekatan yang lain harus dijajaki.

 2  2
i

 V
t
2m x 2
i
(Persamaan Schrodinger bergantung
waktu dalam satu dimensi)

 2   2  2  2 


 2  2   V
t
2m  x 2
y
z 
(Persamaan Schrodinger
bergantung waktu dalam tiga
dimensi)
dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.
Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang
sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir
diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih
rumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait.
Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas
berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu
postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.
Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap
merupakan postulat yang tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan
masing – masing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau kurang sah
daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu. Penjabaran
Persamaan Schrodinger bergantung waktu
 ~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum
 : menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur
 i ( t  vx )
= A e
maka
=A e
, = 2f, V =f
2i ( ft  x )
,
energi totalnya
E=h =
hc

E
E
F= =
h 2
, dengan =
2
h 2
=
, p=

p
p
Persamaan gelombangnya menjadi
= Ae
 ( ih )( Et  px )
 2
2
p2
 ( i )( Et  px )
 ( i )( Et  px )

(
Ae
)


[ Ae 
]
2
2
2
x
x


p ( i )( Et  px)
2
p2
 iA e 



jadi
x

x 2
2

i
 
t

Kita tahu bahwa energi total
E= Ek+Ep (non relativistik)
p2
=
 V ; dikali dengan 
2m
E=

iE
p2
   , maka
 V , karena
t

2m
E=
 
i t
 2
p2


x 2
2
2
p   
x 2
2
-
2
 
2  2

 V
i t
2m x 2
sehingga menjadi :
i 2  1 
i
i

2
1
 (1)

2 2
i

 V
t
2m x
(persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)
5.4 Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu
Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu
secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V, hanya berubah terhadap
kedudukan partikel.
Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger dapat disederhanakan dengan
meniadakan ketergantungan terhadap waktu t. Fungsi gelombang partikel bebas
dapat ditulis
 = Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x
=  e-(iE/ħ)t
ini berarti,  merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan
fungsi yang bergantung kedudukan  . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu
dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai
bentuk yang sama seperti pada partikel bebas.
Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi
 2 2m
E  V   0

x 2  2
Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi
 2  2  2 2m
E  V   0



x 2 y 2 z 2  2
Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang  yang tidak saja
memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh,
berhingga dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika
tidak, sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh.
Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari
teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai jejak universal
yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.
Harga En supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut
harga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian  n disebut fungsi eigen.
Tingkat energi diskrit atom hidrogen :
En = -
 1 
 
32    n 2 
me 4
2
2
0
2
n = 1,2,3……
Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bisa
memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu 2 per
satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit
tertentu menurut pengertian klasik.
Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen
yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hidrogen
selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan
73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk
mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang,
elektronnya sendiri tidak.
Persamaan gelombang partikel bebas
  Ae
 ( i )( et  px )
= Ae
( i ) Et
= e
 ( iE ) t
e
ip
(  )x
, dengan = Ae
Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu,
i

2 2

 v
t
2m x 2
( ) t
 2 ( iE )t
 2 (  )t  2 
e

e
 Ve 
2
2m
2m
2x
2
2
  
2m
E  
 V  X 2
2
2m x

Ee
 ( iE
)t

iE
iE

 2  2m
 2 ( E  V )  0 , tidak bergantung waktu
x 2

Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang
panjangnya L yang keduanya terikat.
 2
1 2

,  Y
x 2 V 2 t 2
2L
n 
, n=0,1,2,…
n 1
Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen
En  
me 4
1
( 2 ),
2
2 2
32 to  n
n=1,2,3…..
Momentum sudut ditentukan
Li  (l (l  1))
1/ 2
 , l = 0,1,2,…..
dengan harga ekspektasi
~
 G   G 2 dx, 
~
5.5 HARGA EKSPESTASI
(x,y,z,t): Mengandung semua informasi tentang partikel itu yang diizinkan
oleh prinsip ketidaktentuan.Informasi ini dinyatakan dalam satu peluang dan
bukan merupakan kuantitas yang sudah pasti.
Misal, mencari kedudukan rata-rata x dari sejuml;ah partikel identik yang
terdistribusi sehingga terdapat N1 partikel X1 dan seterusnya.

x
N1XI  N 2 X 2  .....  NiXi

N1  N 2  .....
 Ni
Ganti bil;angan Ni dari partikel Xi dengan pelung Pi yang bisa diperoleh
dalam selang dx di Xi .
Pi   2 dx, sehinggaP ( x)dx  ( x )  2 dx
Probabilitas untuyk menemukan partikel antara X1 dengan X2
x2
x2
x1
x1
2
 p( x)dx   ( x) dx1
Jika suatu partikel dapat tentukan 100% maka;
x2
 ( x)
2
dx  1
x1
Harga ekspestasi kedudukan partikel tunggal
~
<x>=
 x dx
  dx
2
~
~
2
~
~
 
dari persamaan
2
dx partikel akan ditemukan antara x=-~ dan x=~
~
sehingga;
~
 
2
dx =1
~
~
 x  av 
~
 x dx   
2
~
2
xdx,
~
Harga ekspensi dari suatu kuatitas seperti energi potensial
~
<G(x)>=  G ( x) 2 dx
~
5.6 Partikel dalam kotak
Daerah bebas : partikel tersebut bergerak dalam medan potensial V = 0, dalam
koordinat kartesis memenuhi persamaan harga eigen.
Ô=, dimana : Ô = Operator eigen
 = Fungsi eigen
 = Nilai eigen dari Ô terhadap 

2 2

2  2


V


i



 i
0
2
2
2m x
t
2m 2 x
t
 2  2m
 2 E  0
x 2

Solusi umumnya berbentuk
( x, t )  E ( x)e iEt / 
Solusi persamaan harga eigen E (X )
E (X ) = e IKX
Energinya
2K 2
E=
,
2mo
1
k= ( 2moE )1 / 2

Hal ini dapat dibuktikan
E= K + V =0
2
= ½ mV 2 = 2Pm
h
h
h
2L
atauv 
dengan 
P= ,  
mv
m
n

Jadi K= ½ mv2=1/2 m (
h 2
)
m
2L
n
1
h2


, 
2
n
2L 
2m
2 2
2
2
n h
n (2)
(2) 2
k


8mL
8mL2
2m2
K
Ek 
(2) 2
2
, dengank 
2

2m
E=
k 2 2
2m
Jadi k 
1
(2mE )1 / 2

Menurut Einstein
E=hv, maka bentuk fungsi gelombang geraknya
  ( xt)  e i ( kx t ) , untuk t = 0
 ( x)  e ikx
2me
2me
x  b sin
x


Pada x = 0  ( x)  0 , tetapi suku kedua tidak sama dengan nol maka b
sama dengan nol
Tetapi hanya akan enjadi nol di X = L hanya jika :
= A cos
2me
L  n : dimana n:1,2,3……….

Energi yang dapat diiliki partikel mempunyai harga tertentu yaitu eigen
yang membentuk tingkat energi system besar yaitu
n 2 2  2
, dengan n= 1,2,3….(partikel dalam kotak)
En 
2mL2
Jadi tingkat energi yang dimiliki oleh partikel yang terperangkap dalam
kotak adalah
E=n2Eo, jadi E1=Eo, E2 =4E0, E3=9Eo dst
Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenrgi En adalah
2mEn
n 2 2  2
En 
 n  A sin
X
2mL2

nx
 n  A sin
L
Dengan  n adalah fungsi eigen yang sesuai dengan harga eigen En
Jika keadaan suatu partikel berada x= 0 samapai x=L , maka
2
L

n
L
dx  A
O
2
 sin
O
A
2
L
2
 nx 

dx
 L 