Matematika Teknik Dasar-2 4 – Aljabar Vektor-1

Matematika Teknik Dasar-2
4 – Aljabar Vektor-1
Sebrian Mirdeklis Beselly Putra
Teknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Kuantitas Skalar dan Vektor
Kuantitas Fisis dibagi menjadi dua, yaitu:
1. Kuantitas skalar: kuantitas yang didefinisikan secara lengkap oleh bilangan tunggal dengan
satuan yang sesuai, misalnya: panjang; luas; volume; massa; waktu; dll.
Begitu satuannya dinyatakan kuantitas ditentukan seluruhnya oleh ukuran dan
magnitudonya.
2. Kuantitas Vektor: Didefinisikan secara lengkap jika diketahui bukan saja magnitudo (dengan
satuan) tetapi juga arah ke mana vektor itu beroperasi, misalnya: gaya; kecepatan;
percepatan.
Kuantitas vektor melibatkan arah dan magnitudo.
Kuantitas Skalar dan Vektor
Suatu gaya F yang bekerja pada titik P yang merupakan
kuantitas vektor, dimana untuk mendefinisikan gaya ini
seluruhnya harus diberikan:
▪ Magnitudo dan
▪ Arah Vektor
Kuantitas Skalar dan Vektor
Maka pada contoh di bawah bisa dibedakan sebagai berikut:
▪ Suhu 100oC adalah kuantitas skalar
▪ Akselerasi gravitasi 9,8 m/det2 secara vertikal ke bawah adalah kuantitas vektor
▪ Bobot 10 kg massa adalah kuantitas vektor
▪ Jumlah Rp 2500 adalah kuantitas skalar
▪ Angin laut yang bertiup ke arah utara sebesar 15 knot adalah kuantitas vektor
Representasi Vektor
Sebuah kuantitas vektor dapat direpresentasikan secara grafis, dimana:
a. Panjang garisnya menandakan magnitudo kuantitas, sesuai dengan skala vektor yang
diberikan
b. Arah garis menandakan arah bekerjanya kuantitas vektor.
Aeah ditunjukkan oleh mata panah.
Contoh sebuah gaya mendatar 35N ke kanan, akan ditandai garis dan jika 1cm mewakili
10 N maka garis akan mengarah ke kanan sepanjang 3,5cm.
Dimana jika dinamakan vektor AB maka kuantitas vektor AB disebut sebagai 𝐴𝐵 atau a
Magnitudo kuantitas vektor ditulis dengan 𝐴𝐵 , atau 𝒂 atau cukup dengan AB atau a
Representasi Vektor
Dimana jika dinamakan vektor AB maka kuantitas vektor AB disebut sebagai 𝐴𝐵 atau a
Magnitudo kuantitas vektor ditulis dengan 𝐴𝐵 , atau 𝒂 atau cukup dengan AB atau a
Representasi Vektor
Dalam contoh di bawah bisa dilihat sebuah 𝐵𝐴 merepresentasikan suatu kuantitas vektor
yang magnitudonya sama tetapi dengan arah yang berlawanan.
Dua Vektor yang Sama
Dua vektor a dan b dikatakan sama apabila memiliki magnitudo dan arah yang sama.
Jika a = b, maka:
a. a = b (magnitudonya sama)
b. Arah a = arah b, dengan kata lain, kedua vektor sejajar dan berarah sama.
Dua Vektor yang Sama
Jika ada dua vektor a dan b sedemikian rupa sehingga b = -a, maka bisa disimpulkan:
a. Vektor a dan b memiliki magnitudo sama
b. Vektor-vektornya sejajar tetapi memiliki arah berlawanan.
Jenis – Jenis Vektor
1. Vektor posisi 𝐴𝐵 terjadi apabila titik A tetap.
2. Vektor Garis adalah sedemikian rupa sehingga vektor dapat digeser sepanjang garis
kerjanya, misalnya gaya mekanis yang bekerja pada sebuah benda
3. Vektor Bebas tidak dibatasi oleh apapun.
Vektor ini didefinisikan secara lengkap oleh magnitudo dan arahnya dan dapat
digambar sebagai salah satu dari kumpulan garis sejajar yang panjangnya sama.
Penambahan Vektor
Jumlah dari dua vektor, 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶, didefinisikan sebagai vektor tunggal atau vektor
ekuivalen atau vektor resultan 𝐴𝐶.
yang berarti 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶
atau
a +b = c
Dalam mencari jumlah vektor dua vektor a dan b digambar sebagai sebuah rantai, dimana
dimulai dari vektor pertama yang dilanjutkan dari ujungnya oleh vektor kedua; dengan
jumlah c adalah vektor tunggal yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan
ujung vektor kedua
Penambahan Vektor
Contoh:
p = gaya 40N bekerja ke arah timur
q = gaya 30N bekerja ke arah utara
maka magnitudo dari jumlah vektor r dari kedua gaya p dan q adalah:
r2 = p 2 + q 2
r2 = 402 + 302
r = 50N
Jumlah dari Beberapa Vektor a + b + c + d + ...
Cara dalam menyelesaikan adalah:
a. Gambar vektor-vektor tersebut dalam suatu rantai
b. Kemudian operasikan:
a + b =𝐴𝐶
𝐴𝐶 + c = 𝐴𝐷
𝐴𝐷 + d = 𝐴𝐸
a + b + c + d = 𝐴𝐸
Maka jumlah vektor a + b + c + d, diberikan oleh
vektor tunggal yang menghubungkan pangkal
vektor pertama dan ujung vektor terakhir.
Jumlah dari Beberapa Vektor a + b + c + d + ...
Sama halnya dalam kasus berikut:
𝑃𝑄 + 𝑄𝑅 + 𝑅𝑆 + 𝑆𝑇 = 𝑃𝑇
Jumlah dari Beberapa Vektor a + b + c + d + ...
Kasus lain, jika jumlah beberapa vektor membentuk sebuah bangun tertutup dari vektorvektor a, b, c, d, e dan diminta untuk menentukan jumlah dari vektor-vektor berikut.
Jumlah dari Beberapa Vektor a + b + c + d + ...
Sekarang coba diselesaikan kasus sebagai berikut:
Carilah jumlah dari 𝐴𝐵 - 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 - 𝐸𝐷
Harus berhati-hati dan memperhatikan vektor-vektor negatif.
Perlu diingat bahwa -𝐶𝐵 = 𝐵𝐶, yang artinya adalah magnitudonya sama dan arahnya
sejajar tetapi memiliki arah yang berlawanan. Demikian juga dengan −𝐸𝐷 = 𝐷𝐸.
𝐴𝐵 - 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 - 𝐸𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐸
𝐴𝐵 - 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 - 𝐸𝐷 = 𝐴𝐸
Jumlah dari Beberapa Vektor a + b + c + d + ...
Sekarang coba diselesaikan kasus sebagai berikut:
Carilah jumlah dari 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 - 𝐷𝐶 - 𝐴𝐷
Karena 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 - 𝐷𝐶 - 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐴, dari penulisan huruf bisa diketahui
bahwa ujung vektor terakhir berimpit dengan pangkal vektor pertama.
Maka diagram vektornya akan berbentuk sedemikian rupa sehingga diagramnya adalah
tertutup dan penjumlahan vektornya akan menghasilkan nilai 0.
Jumlah dari Beberapa Vektor a + b + c + d + ...
Berikutnya coba diselesaikan beberapa soal berikut:
a. 𝑃𝑄 + 𝑄𝑅 + 𝑅𝑆 + 𝑆𝑇 = 𝑃𝑇
b. 𝐴𝐶 + 𝐶𝐿 - 𝑀𝐿 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐿 + 𝐿𝑀 = 𝐴𝑀
c. 𝐺𝐻 + 𝐻𝐽 + 𝐽𝐾 + 𝐾𝐿 + 𝐿𝐺 = 0, (ingat! Bahwa ujung vektor terakhir
berimpit dengan pangkal vektor pertama)
d. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐵 = 𝐴𝐵.
Ketiga vektor terakhir membentuk bangun tertutup, sehingga hanya
menyisakan 𝐴𝐵 untuk diperhatikan
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Sebagaimana halnya 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐸 dapat digantikan oleh sebuah vektor 𝐴𝐸, maka
sebarang vektor tunggal 𝑃𝑇 juga bisa digantikan oleh sejumlah vektor komponen asalkan
vektor-vektor ini membentuk suatu rantai dalam diagram vektornya, yang berawal di P dan
berujung di T.
Dimana:
𝑃𝑇 = a + b + c + d
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 1.
ABCD adalah sebuah segiempat, dengan G dan H masing-masing sebagai titik tengah dari
DA dan BC. Tunjukkanlah bahwa 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 2𝐺𝐻
vek
Vektor 𝐴𝐵 dapat diganti dengan sebarang rantai
vektor asalkan vektor-vektor tersebut berawal di
A dan berakhir di B.
Contohnya bisa dikatakan:
𝐴𝐵 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐵
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 1.
Sama halnya dikatakan:
𝐷𝐶 = 𝐷𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐶
𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐵 + 𝐷𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐶
𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 2𝐺𝐻 + (𝐴𝐺 + 𝐷𝐺) + (𝐻𝐵 + 𝐻𝐶)
Sekarang, titik G ada;lah titik tengah AD, maka vektor 𝐴𝐺 dan 𝐷𝐺 adalah sama panjang
hanya arahnya berlawanan.
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 1.
Sama halnya dikatakan:
𝐷𝐶 = 𝐷𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐶
𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝐴𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐵 + 𝐷𝐺 + 𝐺𝐻 + 𝐻𝐶
𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 2𝐺𝐻 + (𝐴𝐺 + 𝐷𝐺) + (𝐻𝐵 + 𝐻𝐶)
Sekarang, titik G ada;lah titik tengah AD, maka vektor 𝐴𝐺 dan 𝐷𝐺 adalah sama panjang
hanya arahnya berlawanan.
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 1.
𝐷𝐺 = -𝐴𝐺
𝐻𝐶 = -𝐻𝐵
Maka
𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 2𝐺𝐻 + (𝐴𝐺 + 𝐷𝐺) + (𝐻𝐵 + 𝐻𝐶)
𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 2𝐺𝐻
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 2.
Titik-titik L, M, dan N merupakan titik-titik tengah dari sisi AB, BC, dan CA pada
segitiga ABC. Tunjukkanlah bahwa:
a. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 0
b. 2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 2𝐿𝐶
c. 𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = 0
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 2.
Penyelesaian soal a.
a. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 0
Persoalan ini mudah sekali diselesaikan.
Dapat dilihat dari diagram bahwa 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 0
Karena vektor-vektor ini membentuk suatu bangun tertutup.
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 2.
Penyelesaian soal b.
b. 2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 2𝐿𝐶
Dari bangunnya didapat:
𝐴𝐵 = 2𝐴𝐿;
𝐵𝐶 = 𝐵𝐿 + 𝐿𝐶 ; 𝐶𝐴 = 𝐶𝐿 + 𝐿𝐴
2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 4𝐴𝐿 + 3𝐵𝐿 + 3𝐿𝐶 + 𝐶𝐿 + 𝐿𝐴
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 2.
2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 4𝐴𝐿 + 3𝐵𝐿 + 3𝐿𝐶 + 𝐶𝐿 + 𝐿𝐴
Didapat bahwa:
𝐵𝐿 = -𝐴𝐿 ; 𝐶𝐿 = -𝐿𝐶 ; 𝐿𝐴 = -𝐴𝐿
Disubstitusikan pada persamaan di atas:
2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 4𝐴𝐿 -3𝐴𝐿 + 3𝐿𝐶 - 𝐿𝐶 - 𝐴𝐿
2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 4𝐴𝐿 -4𝐴𝐿 + 2𝐿𝐶
2𝐴𝐵 + 3𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 2𝐿𝐶
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 2.
c. 𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = 0
Bisa dikatakan:
𝐴𝑀 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀
𝐵𝑁 = 𝐵𝐶 + 𝐶𝑁
𝐶𝐿 = 𝐶𝐴 + 𝐴𝐿
Maka:
𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝑁 + 𝐶𝐴 + 𝐴𝐿
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 2.
𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝑁 + 𝐶𝐴 + 𝐴𝐿
𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴) + (𝐵𝑀 + 𝐶𝑁 + 𝐴𝐿)
1
2
𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 + 𝐶𝐿 = (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴) + (𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 + 𝐴𝐵)
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 = 0 (bangun tertutup)
𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 + 𝐴𝐵 = 0 (bangun tertutup)
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 3.
ABCD adalah segiempat dimana P dan Q berada pada titik tengah diagonal AC dan BD.
Tunjukkanlah bahwa 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 4𝑃𝑄
Digambar bangun ABCD:
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 3.
𝐴𝐵 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵
𝐴𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷
𝐶𝐵 = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵
𝐶𝐷 = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 3.
𝐴𝐵 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵
𝐴𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷
𝐶𝐵 = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵
𝐶𝐷 = 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷
Dijumlahkan semua vektornya
𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵 + 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐷 + 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵 + 𝐶𝑃 + 𝑃𝑄 +
𝑄𝐷
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 3.
𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 4𝑃𝑄 + 2𝐴𝑃 + 2𝐶𝑃 + 2𝑄𝐵 + 2𝑄𝐷
𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 4𝑃𝑄 + 2(𝐴𝑃 +𝐶𝑃) + 2(𝑄𝐵 + 𝑄𝐷)
𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐶𝐷 = 4𝑃𝑄 + 0 + 0 = 4𝑃𝑄
𝐴𝑃 +𝐶𝑃 = 0, karena P adalah titik tengah AC  AP = PC
𝐶𝑃 = -𝑃𝐶 = -𝐴𝑃
𝐴𝑃 +𝐶𝑃 = 𝐴𝑃 - 𝐴𝑃 = 0
karena Q adalah titik tengah BD  𝑄𝐷 = -𝑄𝐵
𝑄𝐵 +𝑄𝐷 = 𝑄𝐵 - 𝑄𝐵 = 0
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 4.
Buktikanlah dengan cara vektor bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dari dua sisi
segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan setengah panjang sisi tersebut.
Misalkan D dan E masing-masing merupakan titik tengah AB dan AC.
Didapatkan 𝐷𝐸 = 𝐷𝐴 + 𝐴𝐸
Komponen-Komponen Vektor yang Diketahui
Contoh 4.
Didapatkan 𝐷𝐸 = 𝐷𝐴 + 𝐴𝐸
Sekarang dinyatakan 𝐷𝐴 dan 𝐴𝐸 masing-masing dalam suku-suku 𝐵𝐴 dan 𝐴𝐶 kemudian
coba dilihat apakah diperoleh hasil-hasil yang diinginkan.
𝐷𝐸 = 𝐷𝐴 + 𝐴𝐸
𝐷𝐸 =
ഥ
1𝐵
2𝐴
𝐷𝐸 =
1
𝐵𝐶
2
1
2
+ 𝐴𝐶 =
1
2
𝐵𝐴 + 𝐴𝐶
Maka dapat disimpulkan bahwa 𝐷𝐸 adalah sejajar dengan 𝐵𝐶 dan memiliki magnitude
setengah dari 𝐵𝐶