Model Persamaan Simultan

Model Persamaan Simultan
Dalam peristiwa ekonomi seringkali ditemukan bahwa
beberapa variabel saling mempengaruhi.
Contoh : Pendapatan akan mempengaruhi konsumsi,
artinya jika pendapatan naik maka diharapkan konsumsi
juga naik.
Kenaikan konsumsi akan mengakibatkan peningkatan
produksi (untuk memenuhi permintaan bagi keperluan
konsumsi) sehingga pendapatan juga naik sebagai balas
jasa faktor – faktor produksi
Jadi pendapatan mempengaruhi konsumsi dan konsumsi
juga mempengaruhi pendapatan
Model Persamaan Simultan
Contoh model persamaan simultan
𝐶𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑌𝑡 + 𝜀𝑡
1
𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝑆𝑡
2
Penggunaan istilah variabel bebas dan tidak bebas
tidak sesuai.
Variabel Eksogen : variabel yang nilainya ditentukan
di luar model (St)
Variabel Endogen : variabel yang nilainya ditentukan
dalam model (Ct dan Yt)
Contoh Model Persamaan Simultan
Model Permintaan dan Penawaran
Fungsi Permintaan
𝑄𝑡𝑑 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑃𝑡 + 𝜀1𝑡 ,
𝛼1 < 0
Fungsi Penawaran
𝑄𝑡𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑃𝑡 + 𝜀2𝑡 ,
𝛽1 > 0
Equilibrium
𝑄𝑡𝑑 = 𝑄𝑡𝑠
Misalkan 𝜀1 berubah (misal daya beli, selera
penduduk berubah) maka Q juga berubah.
Kurva permintaan akan bergeser ke atas jika 𝜀1
positif dan bergeser ke bawah jika 𝜀1 negatif.
Pergeseran kurva permintaan akan mengubah P
dan Q keseimbangan.
Perubahan dalam 2 (misal ada pemogoan,
demonstrasi, cuaca buruk, pembatasan impor
dll) juga akan merubah P dan Q.
terdapat ketergantungan secara simultan
antara P, Q, 1, dan 2
terdapat korelasi antar variabel penjelas
dengan error
metode OLS tidak dapat digunakan
Model dari Keynes untuk Penentuan Pendapatan
Fungsi Konsumsi:
𝐶𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑌𝑡 + 𝜀𝑡 , 0 < t <1
Persamaan pendapatan:
𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 (= 𝑆𝑡 )
Dari kedua persamaan di atas jelaslah bahwa C dan
saling berhubungan, terikat satu sama lain.
Y dan  juga berkorelasi, sebab saat  berubah maka
C berubah dan selanjutnya aka mempengaruhi Y
Klein’s model I
Fungsi Konsumsi:
𝐶𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑃𝑡 + 𝛽2 𝑊 + 𝑊′ 𝑡 + 𝛽3 𝑃𝑡;1 + 𝜀1𝑡
Fungsi Investasi:
𝐼𝑡 = 𝛽4 + 𝛽5 𝑃𝑡 + 𝛽6 𝑃𝑡;1 + 𝛽7 𝐾𝑡;1 + 𝜀2𝑡
Permintaan Tenaga Kerja
𝑊𝑡 = 𝛽8 + 𝛽9 𝑌 + 𝑇 − 𝑊′ 𝑡
+ 𝛽10 𝑌 + 𝑇 − 𝑊′ 𝑡;1 + 𝛽11 𝐾𝑡;1 + 𝜀3𝑡
Persamaan :𝑌𝑡 + 𝑇𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺𝑡
Persamaan : 𝑌𝑡 = 𝑊′𝑡 + 𝑊𝑡 + 𝑃𝑡
Persamaan : 𝐾𝑡 = 𝐾𝑡;1 + 𝐼𝑡
Keterangan :
C = konsumsi
I = Investasi
G = pengeluaran pemerintah
P = laba
W = upah swasta
W’ = Upah/gaji pemerintah
K = Stock modal
T = pajak
t = waktu
Y = Pendapatan
= error
Bentuk Persamaan Tereduksi
(Reduced Form)
Adalah persamaan yang diperoleh dengan
memecahkan sistem persamaan simultan
sedemikian hingga bisa dinyatakan setiap variabel
endogen dalam model hanya dari variabel eksogen
Reformulasi dari model tersebut disebut dengan
bentuk turunan (reduce form) dari sistem
persamaan struktural. Untuk menemukan
persamaan turunan atau reduce form maka kedua
persamaan harus diselesaikan secara simultan
untuk menemukan nilai (mis Y dan C)
Contoh:
𝐶𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑌𝑡
𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡
Persamaan kedua dimasukkan ke persamaan
pertama
𝐶𝑡 = 𝛼 + 𝛽 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡
= 𝛼 + 𝛽𝐶𝑡 + 𝛽𝐼𝑡
𝐶𝑡 − 𝛽𝐶𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝐼𝑡
𝐶𝑡 =
𝛼:𝛽𝐼𝑡
1;𝛽
= 𝐻0 + 𝐻1 𝐼𝑡 , dengan 𝐻0 = 𝛼 1 − 𝛽
𝐻1 = 𝛽 1 − 𝛽
Persamaan pertama dimasukkan ke persamaan
kedua
𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑌𝑡 + 𝐼𝑡
𝑌𝑡 − 𝛽𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝐼𝑡
1 − 𝛽 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝐼𝑡
𝛼
1
𝑌𝑡 =
+
𝐼𝑡
1−𝛽
1−𝛽
𝑌𝑡 = 𝐻2 + 𝐻3 𝐼𝑡 , dengan 𝐻2 = 𝛼 1 − 𝛽
𝐻3 = 1 1 − 𝛽
Jadi model sederhananya (reduced form) adalah
𝐶𝑡 = 𝐻0 + 𝐻1 𝐼𝑡
𝑌𝑡 = 𝐻2 + 𝐻3 𝐼𝑡
Gunakan metode kuadrat terkecil untuk
mendapatkan H0, H1, H2, H3 kemudian duga 
dan 
Identifikasi Model:
Tujuan: Mengidentifikasi model sblm dilakukan estimasi
Untuk mengetahui apakah estimasi parameter dapat dilakukan
melalui persamaan reduced-form dari sistem
persamaan simultan.
Persamaan Tidak Teridentifikasi (unidentified) jika estimasi parameter
tidak dapat dilakukan melalui persamaan reduced-form.
Persamaan Teridentifikasi (identified) jika estimasi parameter dpt
dilakukan melalui persamaan reduced-form dr sistem persamaan
simultan.
Teridentifikasi Tepat (just identfied),
Jika masing-masing nilai parameter bersifat unik (hanya
mempunyai satu nilai)
Teridentifikasi Berlebih (over identified),
Jika masing2 nilai parameter mempunyai lbh dari satu
nilai.
Masalah identifikasi timbul karena kumpulan
koefisien struktural yang berbeda mungkin cocok
dengan sekumpulan data yang sama
• Ada dua macam dalil pengujian identifikasi, yaitu
Order condition dan Rank condition. Notasi yang
dipergunakan adalah:
–
–
–
–
M = jumlah variabel endogen dalam model
m = jumlah variabel endogen dalam persamaan
K = Jumlah variabel predetermined dalam model
k = Jumlah variabel predetermined dalam persamaan
Order Conditions
Pada persamaan simultan sejumlah M persamaan (yang
tidak mempunyai predetermined variable)
M-1≥1
Jika M-1 = 1, maka persamaan tersebut identified.
Jika M-1 > 1, maka persamaan tersebut
overidentified.
Jika M-1 < 1, maka persamaan tersebut unidentified.
Contoh:
Fungsi Demand Qt = 0 + 1Pt + u1t ......... ..(1.5)
Fungsi Supply
Qt = 0 + 1Pt + u2t ............(1.6)
• Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable
endogen tanpa predetermined variable, agar
identified maka M-1 = 1, jika tidak maka tidak
identified.
• Pada kasus ini (M = 2) dan 2 – 1 = 1  identified
Pada persamaan yang memiliki predetermined variable
berlaku aturan:
K – k ≥ m –1
Jika K – k = m –1, identified .
Jika K – k > m –1, overidentified .
Jika K – k < m –1, unidentified
Contoh:
Fung Demand
Qt = 0 + 1Pt + 2 It + u1t…………………….………..1.7)
Fungsi Supply
Qt = 0 + 1Pt + u2t………………………………….….. (1.8)
Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen dan It adalah
predetermined variable.
Persamaan (1.7) : K – k < m – 1 atau 1 – 1 < 2 – 1
Unidentified
Persamaan (1.8) : M – 1 = 1 atau 2 – 1 = 1
Indentified


Persamaan yang dapat diselesaikan dengan sistem persamaan
simultan adalah persamaan yang identified dan over identified
6.Estimasi persamaan Simultan
Indirect Least Squares (ILS)
Metode ILS dilakukan dengan cara menerapkan metode OLS
pada persamaan reduced form.
Asumsi yang harus dipenuhi dalam penggunaan
prosedur ILS:
Persamaan strukturalnya harus exactly identified.
Variabel residual dari persamaan reduced form-nya harus
memenuhi semua asumsi stokastik dari teknik OLS. Jika
asumsi ini tidak terpenuhi, maka akan menyebabkan bias
pada penaksiran koefisiennya.
Contoh:
Diketahui suatu model persamaan simultan adalah sebagai berikut :
Qd= 0 + 1 P+ 2 X + v
...........................................................................................(1.13)
Qs= 0 + 1 P + 2 Pl + u .....................................................(1.14)
Dimana:
Qd = Jumlah barang yang diminta
Qs = Jumlah barang yang ditawarkan
P = harga barang
X = Income
Pl = harga Input
• Persamaan reduce form-nya adalah sebagai berikut :
• P= 0 + 1 X +  2 Pl +Ω1 ...........................................(1.15)
• Q=  3 +  4 X +  5 Pl +2 ........................................(1.16)
Persamaan Reduce Form dapat dicari dengan
langkah sebagai berikut:
Selesaikan persamaan
Qd = Qs …....................................................(1.17)
0 + 1 P+ 2 X + v
= 0 + 1 P + 2 Pl + u
1 P - 1 P = 0 - 0 - 2 X + 2 Pl + u – v
  0   2 
P =  0

 X

      
 1 1   1 1
P =
 2 
 u v 




Pl  

 1  1 
 1  1 
 0  1 X   3 Pl  
• Kemudian substitusikan persamaan P diatas dengan
salah satu persamaan Q, misalnya dengan Qd
• Qd = 0 + 1 P+ 2 X + v
Qd = 0 + 1  0  0     2  X    2  Pl   u  v 
   
     + 2 X + v
        
 1 1
 1 1
 1 1   1 1
Qd = 0 +  10  10    1 2  X   1 2 Pl   1u  1v 
            
    +  X + v
2
 1 1   1 1  1 1
 1

Qd = 0 +
 1 0  1 0   1 2 
  
  u  1v 

  
 X   1 2  Pl   1

 1  1   1  1 
 1  1 
 1  1 
+ 2 X + v
• Lalu samakan semua penyebutnya dengan
1  
Qd =
  01   0 1 

 
 1  1 
+
Qd =
 10  1 0   1 2   1 2   1u  1v 

  
 X  
 Pl  

 1  1   1  1   1  1   1  1 
 1 2  1 2 
  v   1v 

 X   1

 1  1 
 1  1 
 1 0   0 1    2 1 
  
  u  1v 

  
 X   1 2  Pl   1

1  1   1  1 
 1  1 
 1  1 
+
Qd =  3   4 X   5 Pl  
• Dari persamaan reduce form-nya diperoleh 6
koefisien reduksi yaitu: 0 1 2 3 4
dan 5 yang akan digunakan untuk menaksir
6 koefisien structural yaitu 0, 1, 2, 0, 1
dan 2