bias persamaan simultan

PERSAMAAN SIMULTAN
Pada kenyataannya banyak situasi dimana
hubungan sebab akibat tidak hanya terjadi satu
arah, tetapi terjadi dua arah. Seperti pada saat
tertentu naik turunnya harga. Secara matematis
ditunjukkan oleh:
Y = f(X)
X = f(Y)
Untuk kasus seperti ini, pendugaan koefisien
fungsi dengan menggunakan model persamaan
tunggal akan menyebabkan bias dan tidak konsisten.
Sehingga untuk menduga model seperti itu
digunakan model persamaan simultan.
Misalnya fungsi permintaan dan penawaran sbb:
Penawaran :
q  p 
Permintaan :
q  p  y 
s
t
1
t
1
t
t
d
t
2
t
t
Keseimbang an : qts  qtd  qt
Maka :
 1 pt   t   1 pt   2 y t   t
 1 pt   1 pt   2 y t   t   t
(  1   1 ) pt   2 y t   t   t
2
  t
pt 
yt  t
 1  1
 1  1
 2
t   t 
   t
qt   1 
yt 
 1  1 
  1  1

    1 t  1 t   1 t
qt  1 2 y t  1 t

 1  1
 1  1
 1  1
qt 
12
    1 t
yt  1 t
 1  1
 1  1
Beberapa contoh persamaan simultan adalah:
Model permintaan dan penawaran.
Qtd   0  1 Pt   2Yt  1t
Qts   o  1 Pt   2Tt   2t
Qtd  Qts
Dimana : Qd = kuantitas yang diminta Qs = kuantitas yang ditawarkan
P = Harga
Y = Pendapatan
T = Teknologi
t = waktu
Model Keynes untuk menetapkan pendapatan
Ct   0  1Yt  t
Yt  Ct  I t ( St )
C = Belanja konsumsi
Y = Pendapatan
I = Investasi (diasumsikan bersifat eksogen)
S = Tabungan
t = waktu
Model Upah Harga.
(Berdasarkan model jenis Philips)
Wt   0  1U t   2 Pt  u1t
Pt  0  1Wt   2 Rt  3M t  u2t
Dimana:
W
: tingkat perubahan upah
U
: tingkat pengangguran
P
: tingkat perubahan harga
R
: tingkat perubahan biaya modal
M
: tingkat perubahan bahan baku yang diimpor
t
: waktu
Variabel-variabel dalam model persamaan simultan
Variabel endogen (endogeneous variable) adalah
variabel dalam persamaan simultan yang nilainya
ditentukan di dalam sistem persaman. Variabel ini
dapat berupa variabel independen atau variabel
dependen.
Variabel predetermine adalah variabel yang nilainya
ditentukan diluar sistem atau ditentukan terlebih
dahulu. Variabel predetermine meliputi konstanta,
variabel eksogen dan lag variabel (baik lag
endogenenus variable maupun lag exogeneous
variable).
Variabel eksogen (exogeneous varible) adalah variabel
yang nilainya tidak ditentukan di dalam sistem, tetapi
di luar sistem, misalnya ditentukan oleh suatu policy
atau faktor lain. Variabel ini mempengaruhi variabel
endogen di dalam sistem.
Model persamaan simultan dapat berupa:
Model persamaan struktural
Model persamaan reduced form.
Model persamaan struktural atau tingkah laku (structural or
behavioral Equations) adalah model sistem persamaan yang
menggambarkan struktur hubungan antara variabel ekonomi yang satu
dengan variabel ekonomi yang lainnya.
Model struktural ini menggambarkan variabel endogen sebagai fungsi dari
variabel variabel endogen lainnya, variabel predetermine dan unsur
random.
Koefisien setiap persamaan struktural disebut parameter struktural
(structural parameters), yang menunjukkan pengaruh langsung (direct
effect) dari setiap variabel independen terhadap variabel dependen.
Sebagai contoh adalah sebagai berikut:
Ct   0  1Yt  1t
I t   0  1Yt   2Yt 1  2t
Yt  Ct  I t  Gt
Model persamaan reduced form adalah persamaan yang
dibentuk dari persamaan struktural sedemikian rupa
sehingga masing-masing variabel endogen dalam model
merupakan fungsi dari semua variabel predetermined dan
error.
Tujuan dibentuknya persamaan reduced form adalah untuk
menduga parameter atau koefisien fungsi dalam persamaan
struktural.
ct  1 yt  1t
it  1 yt   2 yt 1   2t
yt  ct  it  g t
Dari model di atas maka persamaan reduced form :
ct   11 yt 1   12 gt
it   21 yt 1   22 gt
yt   31 yt 1   32 gt
Persamaan struktural
ct  1 yt  1t
it  1 yt   2 yt 1   2t
yt  ct  it  g t
Jika pers ct dan it di masukkan dalam persamaan yt, hasil
sebagai berikut:
yt  1 yt  1 yt   2 yt 1  gt
yt  1 yt  1 yt   2 yt 1  gt
yt (1  1  1 )   2 yt 1  gt
yt 
2
1
yt 1 
gt
1  1  1
1  1  1
Jika persamaan reduced form yt dimasukkan dalam
persamaan ct maka


2
1
ct  1 
yt 1 
gt 
1  1  1 
1  1  1
ct 
1  2
1
yt 1 
gt
1  1  1
1  1  1
Jika persamaan reduced form yt dimasukkan dalam
persamaan it maka diperoleh hasil sebagai berikut:


2
1
it  1 
yt 1 
gt    2 yt 1
1  1  1 
1  1  1
1 2
1
yt 1 
gt   2 yt 1
1  1  1
1  1  1
 (1  1 )
1
it  2
yt 1 
gt
1  1  1
1  1  1
it 
Persamaan reduced form sebagai berikut:
ct   11 yt 1   12 gt
it   21 yt 1   22 gt
yt   31 yt 1   32 gt
di mana
1 2
1  1  1
 (1  1 )
 21  2
1  1  1
2
 31 
1  1  1
 11 
1
1  1  1
1
 22 
1  1  1
 12 
 32 
1
1  1  1
Jika model persamaan simultan diduga dengan metode OLS
akan menyebabkan terjadinya bias yang dinamakan ”bias
persamaan simultan”, yaitu suatu keadaan di mana terjadi
‘over estimation atau under estimation’
Bias tersebut disebabkan karena variabel endogen dalam
model yang juga merupakan variabel independent berkorelasi
dengan error, sehingga terjadi pelanggaran asumsi OLS
MASALAH IDENTIFIKASI
Pada saat menduga fungsi permintaan dan penawaran, tidak
dapat dijamin bahwa yang dihasilkan adalah fungsi permintaan
atau fungsi penawaran. Mengapa?
Dalam keadaan keseimbangan, data jumlah yang diminta dan
data jumlah yang ditawarkan adalah sama, demikian juga
halnya dengan data hargaPerlu identifikasi
Tujuan identifikasi model adalah untuk menentukan apakah
nilai πij yang diduga dari persamaan reduced form dapat
digunakan untuk menduga parameter dalam model persamaan
struktural atau tidak ?
Jika persamannya dapat diduga, metode pendugaan model
apa yang dapat digunakan ?
Contoh : Model persamaan permintaan dan penawaran :
Qtd  01Pt   2 I t  u1t
Qts   0 1Pt  u2t
Qtd  Qts
Persamaan struktural permintaan dan penawaran tersebut
terdiri dari dua variabel endogen, Qt dan P, serta satu variabel
eksogen, I. Persamaan reduced form nya:
Pt  10  11I t  vt
Qt   20   21I t  wt
di mana
10 
0   0
2
    0 1

, 11  
,  20  1 0
,  21   2 1
1  1
1  1
1  1
1  1
Dari persamaan reduced form dapat dihitung koefisien fungsi
penawaran β0 dan β1 sebagai berikut
 0   20  110
1 
 21
11
Hasil Identifikasi
Just atau exact identification: kondisi di mana koefisien
fungsi penawaran dapat ditentukan secara tepat dari koefisien
persamaan reduced form. Metode yang digunakan untuk
menduga model adalah Indirect Least Square (ILS)
Under identification (tidak dapat diidentifikasikan). Kondisi di
mana dari persamaan reduced form tidak dapat digunakan
untuk menduga koefisien model struktural (Contoh di atas
fungsi permintaannya). Model tidak dapat diduga
Over identification : kondisi di mana dari koefisien persamaan
reduced form dapat menghasilkan lebih dari satu nilai salah
satu koefisien persamaan struktural. Metode yang digunakan
untuk menduga model adalah Two Stage Least Square
(2SLS=TSLS)
Untuk melakukan identifikasi suatu model persamaan
struktural dilakukan dengan order condition dan rank condition
Order Condition. Order condition merupakan syarat yang
harus dipenuhi untuk identifikasi, tetapi belum mencukupi.
Untuk melakukan identifikasi dengan order kondition dapat
digunakan rumus sebagai berikut:
(K−M) ≥ (G−1)
di mana:
G :banyaknya persamaan dalam model
K :banyaknya variabel (variabel endogen dan predetermined)
dalam model
M : banyaknya variabel dalam persamaan tertentu
Jika (K−M) < (G−1) : under identification,
Jika (K−M) = (G−1) :Just atau exactly indentification
Jika (K−M) > (G−1) :Over indentification.
Contoh :
Model versi Keynesian untuk menentukan pendapatan
nasional, terdiri dari fungsi konsumsi, fungsi investasi, fungsi
pajak dan persamaan identitas. Dalam model terdapat empat
variabel endogen,yaitu konsumsi C, investasi I, pajak T, dan
pendapatan nasional Y, dan dua variabel predetermine, lag
pendapatan Yt-1, dan pengeluaran pemerintah G.
Fungsi Konsumsi Ct   0  1Yt   2Tt  1t
Fungsi Investasi
I t   0  1Yt   2Yt 1   2t
Fungsi Pajak
Tt   0   1Yt  3t
Identitas
Yt  Ct  I t  Gt
(1)Identifikasi Fungsi Konsumsi. Order Condition
Dalam model terdapat empat persamaan (G=4), enam
variabel, C, Y, Yt-1, T, I dan G (K=6). Dalam Fungsi
konsumsi terdapat tiga variabel, yaitu C, Y dan T (M=3)
(K – M) = (6-3)=3, (G -1)=(4-1)=3
memenuhi syarat
Rank Condition. Dalam dalam sistem persamaan yang terdiri dari
G persamaan, maka suatu persamaan memenuhi syarat identifikasi
jika dan hanya jika dapat dibentuk sekurang-kurangnya satu
determinant ordo (G-1) tidak sama dengan nol. Persamaan di atas
dapat juga dapat sajikan dalam bentuk fungsi implisit sebagai
berikut:
 Ct   0  1Yt   2Tt  1t  Ct  0 I t  0Gt   0  1Yt  0Yt 1   2Tt  1t  0
 I t   0  1Yt   2Yt 1  2t  0Ct  I t  0Gt   0  1Yt   2Yt 1  0Tt  2t  0
 Tt   0   1Yt  3t
 0Ct  0 I t  0Gt   0   1Yt  0Yt 1  Tt  2t  0
 Yt  Ct  I t  Gt
 Ct  I t  Gt  Yt  0Yt 1  0Tt  2t  0
Dari persamaan diatas koefisien fungsi dimasukkan dalam tabel berikut:
Persamaan
No.
Ct
It
Gt
Yt
Yt-1
Tt
1
-1
0
0
α1
0
α2
2
0
-1
0
β1
Β2
0
3
0
0
0
γ1
0
-1
4
1
1
1
-1
0
0
Dari Tabel tersebut nilai-nilai koefisien yang tidak tercoret
hanya dapat di bentuk satu determinan ordo 3, yaitu;
1 0 2
0
0
0 0
1
1
0
Dari determinan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi
konsumsi, walaupun memenuhi syarat order condition tetapi
tidak memenuhi syarat rank condition, sehingga dapat
disimpulkan bahwa fungsi konsumsi tersebut under
identification.
(2) Identifikasi fungsi Investasi. Order Condition
Dalam model terdapat empat persamaan (G=4), enam
variabel, C, Y, Yt-1, T, I dan G (K=6). Dalam Fungsi
konsumsi terdapat dua variabel, yaitu I, Yt-1 T (M=2)
(K – M) = (6-2)=4, (G -1)=(4-1)=3
memenuhi syarat
Persamaan No.
Ct
It
Gt
Yt
Yt-1
Tt
1
-1
0
0
α1
0
α2
2
0
-1
0
β1
Β2
0
3
0
0
0
γ1
0
-1
4
1
1
1
-1
0
0
Dari Tabel tersebut nilai-nilai koefisien yang tidak tercoret
dapat di bentuk lebih dari 1 determinan ordo 3, yaitu;
1 0  2
0
0 1  1  0
1
1
0
Model Recursive
Terdapat situasi dimana OLS dapat diterapkan
secara benar bahkan dalam hubungan persamaan
simultan. Bentuk seperti ini terjadi pada kasus
model berulang (recursive), segitiga (triangular)
atau sebab-akibat. Salah satu contoh bentuk
recursive adalah :
Y1t = β10 + γ11X1t + γ12X2t + u1t
Y2t = β20 + β21Y1t + γ21X1t + γ12X2t + u1t
Y3t = β30 + β31Y1t + β32Y2t + γ21X1t + γ12X2t + u1t
Metode Kuadrat Terkecil Tak Langsung (ILS=Indirect
Least Square)
Metode pendugaan model yang Just Identification adalah
dengan metode ILS yang meliputi tiga langkah, yakni :
1. Berdasarkan persamaan struktural dibentuk persamaan
reduced form di mana masing-masing variabel endogen
dalam model merupakan fungsi dari semua variabel
predetermined. Banyaknya persamaan reduced form sama
dengan banyaknya variabel endogen.
2. Menduga koefisien semua persamaan reduced form dalam
model dengan menggunakan metode OLS.
3. Menduga koefisien model persaman structural dengan
menggunakan koefisien yang dihasilkan dari pendugaan
persaman reduced form yang telah diduga dengan OLS.
Contoh. Model persamaan simultan dari fungsi permintaan,
fungsi penawaran dan keseimbangan pasar. Model terdiri dari
dua variabel endogen, yaitu jumlah, Q dan harga, P serta dua
variabel eksogen, yaitu pendapatan, I dan curah hujan C.
Qtd  01Pt   2 I t  u1t
Qts   0 1Pt   2Ct  u2t
Qtd  Qts
Persamaan reduced form sebagai berikut:
Qt   10   11I t   12Ct  vt
Pt   20   21I t   22Ct  wt
di mana
 0 1  1 0
 2 1
 1  2
 10 
,  11 
,  12 
,
1  1
1  1
1  1
 0  0
2
 20 
,  21 
,
1  1
1  1
 22
 2

1  1
Dari koefisien persamaan reduced form dapat ditentukan nilainilai koefisien persamaan struktural sebagai berikut:
 10 12 
 0   20   
  20  22 
12
1 
 22
 11 12 
 2   21  
  21  22 
 10 11 
0   20   
  20  21 
11
1 
 21
 12 11 
 2   22   
  22  21 
Metode Kuadrat Terkecil Dua Tahap (2SLS)
Metode yang digunakan untuk persamaan struktural yang
over-identificationi, Metode Kuadrat Terkecil Dua Tahap/
Two Stage Least Square (2SLS).
Contoh:
Fungsi permintaan dan penawaran berikut yang terdiri dari
dua variabel endogen (Q dan P) dan tiga variabel
predetermined, yaitu pendapatan (I), curah hujan (C) dan
teknologi (T)
Qtd  01Pt   2 I t  u1t
Qts   0 1Pt   2Ct   3Tt  u2t
Qtd  Qts
Persamaan reduced formnya adalah sebagai berikut :
Pt  10  11It  12Ct  13T  vt
Persamaan ini diduga dengan metode OLS, hasilnya:
Pˆt  a0  b1It  b2Ct  b3T
Pilai P dugaan yang digunakan meregresikan persamaan asli
dan diduga dengan metode OLS sebagai berikut:
Q  01Pˆt   2 I t  u1t
s
Q     Pˆ   C   T  u
d
t
t
0
1 t
2
t
3 t
2t
Contoh Pendugaan Model Simultan dengan Metode Two
Stage Least Square. Model terdiri dari dua persamaan, yaitu
persamaan permintaan dan penawaran minyak goreng sawit.
Variabel endogen yang dimasukkan dalam model adalah
jumlah minyak goreng sawit yang diminta, Qd, yang
ditawarkan ,Qs dan harga minyak goreng sawit, P. Variabel
eksogen yang masuk model adalah pendapatan nasional, I,
harga minyak goreng kelapa, S, harga CPO, R, dan trend T.
Data yang digunakan data time series dari tahun 1980 sampai
dengan tahun 2004. Modelnya sbb:
Qtd  01Pt   2 I t   t St  u1t
Qts   0 1Pt   2 Rt   3Tt  u2t
Qtd  Qts
Hasil pendugaan adalah sebagai berikut :
TH
Qd=Qs
S
P
I
R
T
1980
279
1353
4430
58701
2252
0
1981
326
1171
4632
63486
2283
1
1982
326
1301
3502
64214
2153
2
1983
342
970
4298
69681
2096
3
1984
605
1221
4831
74718
2837
4
1985
490
1885
4159
77336
2828
5
1986
588
1201
3520
81959
2864
6
1987
664
1055
3722
86317
2487
7
1988
728
1264
4131
91800
2593
8
1989
847
1551
4058
100100
2573
9
1990
969
1381
3465
109008
2289
10
1991
981
882
3434
118685
2295
11
1992
1162
1078
3883
127257
2749
12
1993
1250
1038
3467
136558
2448
13
1994
1506
1005
3888
147003
2951
14
1995
1731
1356
4134
159589
3054
15
1996
2336
1428
3787
171162
2705
16
1997
2453
1600
3830
179479
2745
17
1998
2526
2097
6810
156151
3312
18
1999
2598
1933
4298
157616
2667
19
2000
2923
1563
3419
164808
2004
20
2001
3303
1324
3175
171328
1730
21
2002
3733
1484
3305
178991
2257
22
2003
4218
1541
3617
187841
2600
23
2004
4766
1625
3292
197550
2686
24
Dependent Variable: Qd
Method: Two-Stage Least Squares
Date: 08/10/02 Time: 09:50
Sample: 1980 2004
Included observations: 25
Qd=C(1)+C(2)*P+C(3)*I+C(4)*S
Instrument list: I S R T
Coefficient
C(1)
C(2)
C(3)
C(4)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Durbin-Watson stat
-108.4937
-0.740590
0.020277
1.581350
0.814539
0.788045
610.7476
1.755240
Std. Error
t-Statistic
Prob.
1282.264
0.383885
0.003931
0.675049
-0.084611
-1.929200
5.157811
2.342569
0.9334
0.0673
0.0000
0.0291
Mean dependent var
S.D. dependent var
Sum squared resid
1666.000
1326.599
7833264.
Dependent Variable: Qs
Method: Two-Stage Least Squares
Date: 08/10/02 Time: 09:30
Sample: 1980 2004
Included observations: 25
Newey-West HAC Standard Errors & Covariance (lag truncation=2)
Qs=C(1)+C(2)*P+C(3)*R+C(4)*T
Instrument list: I S R T
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
C(1)
C(2)
C(3)
C(4)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Durbin-Watson stat
-307.1231
0.470670
-0.828368
184.1914
0.875588
0.857815
500.2266
0.680604
1233.187
0.455133
0.447164
27.76672
Mean dependent var
S.D. dependent var
Sum squared resid
-0.249048
1.034136
-1.852494
6.633531
Prob.
0.8057
0.3128
0.0781
0.0000
1666.000
1326.599
5254760.
System: UNTITLED
Estimation Method: Two-Stage Least Squares
Date: 08/10/02 Time: 09:46
Sample: 1980 2004
Included observations: 25
Total system (balanced) observations 50
Coefficient
Std. Error
C(10)
-108.4937
1282.264
C(11)
-0.740590
0.383885
C(12)
0.020277
0.003931
C(13)
1.581350
0.675049
C(20)
-307.1231
881.7674
C(21)
0.470670
0.363706
C(22)
-0.828368
0.507269
C(23)
184.1914
16.89366
Determinant residual covariance
Equation: Q=C(10)+C(11)*P+C(12)*I+C(13)*S
Instruments: I S R T C
Observations: 25
R-squared
0.814539 Mean dependent var
Adjusted R-squared
0.788045 S.D. dependent var
S.E. of regression
610.7476 Sum squared resid
Durbin-Watson stat
1.755240
Equation: Q=C(20)+C(21)*P+C(22)*R+C(23)*T
Instruments: I S R T C
Observations: 25
R-squared
0.875588 Mean dependent var
Adjusted R-squared
0.857815 S.D. dependent var
S.E. of regression
500.2266 Sum squared resid
Durbin-Watson stat
0.680604
t-Statistic
-0.084611
-1.929200
5.157811
2.342569
-0.348304
1.294093
-1.632997
10.90299
Prob.
0.9330
0.0605
0.0000
0.0240
0.7294
0.2027
0.1099
0.0000
6.38E+10
1666.000
1326.599
7833265.
1666.000
1326.599
5254761.
SIMULASI
SETELAH PERSAMAAN STRUKTUAL DAPAT DIDUGA
MAKA DAPAT DILAKUKAN SIMULASI. TUJUAN SIMULASI
ADALAH UNTUK MENGETAHUI BESARNYA PENGARUH
PERUBAHAN PEUBAH EXOGEN TERHADAP PEUBAH
ENDOGEN SECARA SIMULTAN.
TIME HORIZONS DARI SIMULASI DAPAT DIGAMBARKAN
SEBAGAI BERIKUT
Backcasting
Ex post simulation or
Historical simulation
Ex ante forecast
Ex post forecast
Time,t
T1
Estimation period
T2
T3
(Today)
Evaluasi Model Simulasi
Dalam persamaan tunggal untuk mengevaluasi apakah
model yang telah diduga dapat digunakan untuk
memprediksi dapat digunakan kreteria statistik seperti R2, F
test, t test dan lain sebagainya. Namun dalam persamaan
simultan kriteria statistik di atas belum mencukupi. Oleh
karena itu dalam persamaan simultan terdapat beberapa
kriteria yang dapat digunakan untuk mengevaluasi model
simultan dalam simulaisi . Ukuran yang sering digunakan
adalah rms(root-m ean-square) simulation error , yaitu:
1 T
rms error 
( Yt s  Yta )2

T t 1
Yt s  nilai simulasi Yt
Yta  nilai aktual Yt
T  banyaknya periode simulasi
Ukuran lain yang juga dapat digunakan adalah rms percent
error, yang didefinisikan sebagai berikut:
1  Yt  Yt

rms percent error 

T t 1  Yta
T
s
a



2
Ukuran lainnya adalah mean simulation error
1 T
mean simulation error   ( Yt s  Yta )
T t 1
dan mean percent error :
1 T  Yt s  Yta 

mean percent error   
a
T t 1  Yt

Ukuran statistik simulasi yang sangat berguna dan
berhubungan dengan rms sumilation error serta yang
diaplikasikan dalam evaluasi historical simulation adalah
Theil’s inequality coefficient, yang dirumuskan sbb:
U
1 T
s
a 2
(
Y

Y

t
t )
T t 1
T
1 T
1
s 2
a 2
(
Y
)

(
Y


t
t )
T t 1
T t 1
Nilai U berkisar antara 0 dan 1. Jika Yts  Yta untuk
semua t, maka U  0. Ini berarti bahwa hasil
simulasi sangat sempurna. tetapi jika U  1 maka
hasil simulasi sangat jelek