Penelitian Operasional II Program Bilangan Bulat 37 Siana Halim

Penelitian Operasional II
Program Bilangan Bulat 37
3. PROGRAM BILANGAN BULAT
(INTEGER PROGRAMMING)
3.1 PENDAHULUAN : Formulasi Program Bilangan Bulat dan Aplikasinya
Program Linear (LP)
Program Linear biasa diformulasikan secara matematis dengan cara sebagai
berikut :
(LP)
max cX
kendala :
AX ≤b
X ≥0
atau secara singkat dapat dituliskan menjadi :
max { cX : AX ≤ b, X ∈ R+n }
Program Linear Bilangan Bulat
Linear Integer Programming (ILP)
Program linear bilangan bulat memiliki formulasi mirip dengan (LP) hanya saja
kendala bahwa peubah bebasnya merupakan bilangan real positif diubah menjadi
bilangan bulat positif, yaitu :
(ILP)
max cX
kendala :
AX ≤b
X ≥0
X Bilangan Bulat
Atau secara singkat dapat dituliskan menjadi :
max { cX : AX ≤ b, X ∈ Z+n }
Bila batasan bahwa X harus merupakan bilangan bulat diubah menjadi X ∈ {0,1},
maka permasalahan ini menjadi Program Linear Bilangan Biner (Linear Binary
Integer Programming – LBIP)
Program Linear Bilangan Bulat Campuran
Linear Mixed Integer Programming (MIP)
Bila sebagian dari permasalahan memerlukan pemecahan dalam bilangan real dan
sebagian lagi dalam bilangan bulat, maka model matematik yang harus dibuat
merupakan campuran dari (LP) dan (ILP) , ini sebut sebagai (MIP), yaitu :
(MIP) max { cX + hY: AX + G Y ≤ b, X ∈ Z+n , Y ∈ R+n }
dimana A : matriks berukuran m x n
G : matriks berukuran m x p
c : vektor berukuran n
h : vektor berukuran p
b : vektor berukuran m
Penyelesaian dari (MIP) merupakan penyelesaian yang layak bila penyelesaian ini
berada dalam himpunan layak :
S = { (x,y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x integer, A x + G y ≤ b }
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
Program Bilangan Bulat 38
Penelitian Operasional II
Dan penyelesaiannya dikatakan optimal bila:
(xo, yo) ∈ S sedemikian hingga ∀(x,y) ∈S : c x + h y ≤ c xo + h yo
(MIP) dikatakan tak terbatas (unbounded) jika :
∀ L ∈ R; ∃ (x,y ) ∈ S : c x + h y > L
Beberapa aplikasi khusus dalam (LP) selalu memperoleh penyelesaian bilangan
bulat yang optimal, misalnya : malalah aliran pada jaringan pipa (Network –
Flow), Matching
TETAPI secara umum hal ini TIDAK BENAR !!!
Contoh 3.1 :
S
.
.
.
.
Peny. Optimal (IP)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Peny. Optimal (LP)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
|
|
|
|
|
|
|
Contoh 3.2 : Masalah Ransel (Knapsack Problem, 0-1)
Masalah ini diilhami dari seorang petualangan yang hendak bepergian dengan
membawa satu ransel. Dia harus menentukan barang-barang apa saja yang
hendak dibawanya dengan mengingat kapasitas dari ransel yang mampu
disandangnya terbatas. Selain itu masalah ini juga dikenal dengan permasalah
dengan satu fungsi tujuan dan satu kendala saja, karena itu ia memerlukan
penyelesaian khusus.
Pada dunia industri hal ini seringkali muncul ketika orang hendak menentukan
proyek apa yang harus dikerjakan jika diketahui bahwa anggaran total yang
dimilikinya terbatas. Permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai berikut :
Misalkan terdapat j buah proyek, j = 1,…, n
aj ≥ 0 : biaya dari proyek j
cj ≥ 0 : nilai dari proyek j
b > 0 : dana yang tersedia
Masalah : pilihlah proyek yang akan dikerjakan sedemikian hingga jumlah dari
nilai proyek tersebut maksimal dan biaya yang dikeluarkan tidak
melebihi dana yang tersedia.
Model :
1, jika proyek j dilaksanakan
Xj = 
j = 1,...., n
0, lainnya
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
Penelitian Operasional II
Program Bilangan Bulat 39
n
∑c X
Max
j
j
j=1
n
Kendala :
∑a X
j
j
≤b
j=1
Xj ∈ {0,1} , j = 1,…, n
Contoh 3.3:The Facility Location Problem
Diketahui
N = {1,2,..,n} adalah himpunan facility location yang potensial
M={1,2,…,m} adalah himpunan dari pengguna (clients)
cj : biaya untuk memilih sebuah fasilitas di lokasi j, j ∈ N
hij: biaya untuk memenuhi permintaan dari pengguna i dari sebuah
fasilitas yang diletakkan di j, dimana i ∈ I , j ∈ N (asumsi :
tiap pengguna hanya memiliki satu permintaan untuk suatu
fasilitas tertentu)
Masalah : Pilihlah lokasi di N dimana fasilitas tersebut akan diletakkan dan
tugaskanlah pengguna-pengguna yang ada pada fasilitas tersebut
sedemikian hingga total biaya yang diperlukan minimum.
Model :
1 jika sebuah fasilitas diletakkan di lokasi j
Xj = 
 0 lainnya, j = 1,2,..., n
Kendala :
(a) Permintaan dari pengguna i terpenuhi
∑ Yij = 1
j∈N
Yij : Bagian permintaan dari pengguna i yang dipenuhi oleh fasilitas j
(b) Pengguna i hanya dapat dilayani dari lokasi j, jika fasilitasnya
diletakkan di lokasi j
Yij – Xj ≤ 0 ∀i ∈ I, j ∈ N
Pemodelan :
Min ∑ c j X j + ∑∑ h ij Yij
j∈N
s.d.h
∑Y
ij
=1 ,
i∈I j∈N
∀i ∈ I
j∈N
Yij – Xj ≤ 0
∀i ∈ I, j ∈ N
(MIP)
∀i ∈ I, j ∈ N
Yij ≥ 0
Xj ∈ {0,1} , j ∈ N
Contoh 3.4 : The Capacitated Facility Location Problem
Masalah ini hampir sama dengan masalah pada contoh 3.3 cuman saja kapasitas
dari tiap lokasi dibatasi, sehingga model di atas akan sedikit berubah.
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
Program Bilangan Bulat 40
Diketahui
Penelitian Operasional II
N = {1,2,..,n} adalah himpunan facility location yang potensial
M={1,2,…,m} adalah himpunan dari pengguna (clients)
uj : kapasitas dari sebuah fasilitas yang berlokasi di j, j ∈ N
bi : permintaan dari pengguna i, i ∈ I
cj : biaya untuk memilih sebuah fasilitas di lokasi j, j ∈ N
hij: biaya untuk memenuhi permintaan dari pengguna i dari sebuah
fasilitas yang diletakkan di j, dimana i ∈ I , j ∈ N (asumsi :
tiap pengguna hanya memiliki satu permintaan untuk suatu
fasilitas tertentu)
Model :
Min ∑ c j X j + ∑∑ h ij Yij
j∈N
s.d.h
i∈I j∈N
∑Y
ij
= bi
∀i ∈ I
,
j∈N
Yij – uj Xj ≤ 0 ∀i ∈ I, j ∈ N
Yij ≥ 0
∀i ∈ I, j ∈ N
Xj ∈ {0,1} , j ∈ N
(MIP)
Contoh 3.5 : Travelling Salesman Problem (TSP)
Diketahui :
V = {1,2,..,N} himpunan Vertex /Kota
E : himpunan Edge, merupakan pasangan terurut antara satu kota
dengan yang lain yang memiliki hubungan dalam jaringan
yang ada.
cij : waktu tempuh untuk melakukan perjalanan dari kota i ke kota j;
i,j ∈ V dan (i,j) ∈ E
Masalah : Mencari sebuah tour yang dimulai dari kota pertama sedemikian hingga
:
(1) Tiap kota harus dikunjungi sekali dan pada akhir perjalanan harus
kembali lagi ke kota yang pertama
(2) Total waktu yang diperlukan minimum.
Model :
1 jika kota j langsung dikunjungi dari kota i pada tour ini
Xij 
 0 lainnya , (i, j) ∈ E
Kendala :
(a) Tiap kota hanya dituju satu kali :
j
Dari kota
menuju kota
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
Penelitian Operasional II
∑X
{i : ( i , j)∈E}
Program Bilangan Bulat 41
=1 , j∈ V
ij
(b) Tiap kota hanya ditinggalkan satu kali :
j
∑X
{ j : ( i , j)∈E}
ij
= 1 ,i ∈ V
Kendala (a) dan (b) tidaklah cukup untuk mendefinisikan sebuah tour,
karena kendala-kendala ini juga memenuhi untuk sebuah subtour, yaitu
4
1
2
5
3
6
Pengamatan : Untuk sebarang tour pasti terdapat edge dari {1,2,3} ke
{3,4,5} dan sebuah edge dari {4,5,6} ke {1,2,3}.
(c)
∑ X ij ≥ 1 ∀ u ⊂ V, 2 ≤ u ≤ V − 2
{( i , j)∈E ,i∈u , j∈V \ u }
(TSP) :min
∑c X
ij
ij
( i , j)∈E
s.d.h (a), (b), (c) terpenuhi
Xij ∈{0,1}, (i,j) ∈ E
Contoh 3.6: The Assignment Problem (Matching Problem)
Diketahui
: N = {1,2,…,n} adalah himpunan pekerja
M = {1,2,…,m} adalah himpunan pekerjaan
cij adalah biaya jika pekerja j mengerjakan pekerjaan i.j ∈N, i ∈M.
Masalah
Model
: menentukan penugasan yang tepat untuk pekerja-pekerja yang
ada pada pekerjaan-pekerjaan yang tersedia sehingga biaya
keseluruhan untuk menyelesaikan pekerjaan-pekerjaan yang ada
minimum.
:
1 jika orang j melakukan pe ker jaan i
Xij = 
 0 lainnya
m
Min
n
∑∑ c X
ij
ij
i =1 j=1
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
Program Bilangan Bulat 42
Penelitian Operasional II
s.d.h
n
∑X
j=1
ij
= 1, ∀i ∈ M
tiap orang harus melakukan pekerjaan
ij
≤ 1, ∀j ∈ N
tiap orang dapat melakukan pekerjaan
m
∑X
i =1
sebanyak-banyaknya satu
Xij ∈{0,1}, i∈ M, j ∈ N.
3.2 PROGRAM LINEAR RELAKSASI
Bentuk program linear yang diperoleh dengan mengabaikan pembatas bilangan
bulat disebut sebagai progral linear (LP) relaksasi. Pada (LP) relaksasi ini daerah
layak untuk (LIP) merupakan sub-ruang dari daerah layak (LP).
3.3 MENYELESAIKAN PERSOALAN(LIP-murni) DENGAN
MENGGUNAKAN TEKNIK BRANCH-AND-BOUND
• Teknik ini mencari penyelesaian optimal dari suatu persoalan LIP dengan
mengenumerasi titik-titik dalam daerah layak dari suatu sub-persoalan.
• Jika penyelesaian dari LP relaksasi memiliki seluruh peubah yang berharga
bilangan bulat, maka penyelesaian optimal dari LP relaksasi merupakan juga
penyelesaian optimal dari LIP.
• Prosedur Branch-and-Bound :
(1) Jika pencabangan dari suatu subpersoalan tidak diperlukan, maka
subpersoalan ini disebut Fathomed. Ada 3 situasi yang mungkin yaitu :
(a) Apabila subpersoalan itu tidak layak
(b) Apabila subpersoalan itu memberikan penyelesaian yang optimal
dimana seluruh peubahnya berharga bilangan bulat.
(c) Apabila nilai z-optimal untuk sub-persoalan itu tidak lebih baik dari
nilai z-optimal dari subpersoalan yang lain.
(2) Suatu subpersoalan dapat diabaikan atau dieliminasi dari pertimbangan
selanjutnya, apabila :
(a) Tidak layak
(b) Batas bawah yang menyatakan nilai z dari calao solusi terbaik
sekurang-kurangnya berharga sama besar dengan nilai z dari
subpersoalan yang bersangkutan.
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
Penelitian Operasional II
Program Bilangan Bulat 43
3.4 MENYELESAIKAN PERMASALAHAN (MIP) DENGAN BRANCHAND-BOUND
Teknik penyelesaian dari permasalahan ini hampir sama dengan teknik
penyelesaian yang telah dibahas pada sub.bab 3.3, hanya saja pencabangan hanya
dilakukan pada peubah-peubah yang harus berharga bilangan bulat.
3.5 MENYELESAIKAN PERMASALAHAN RANSEL DENGAN BRANCHAND-BOUND
Permasalahan Ransel (Knapsack Problem) dapat dituliskan secara mamemtis
dalam bentuk sebagai berikut :
Max z = c1X1 + c2X2 + … + cnXn
s.d.h
a1X1 + a2X2 + … + anXn ≤ b
Xi ∈ {0,1} ∀i = 1,2,..,n
Dua aspek pendekatan branch-and-bound:
(1) karena tiap peubah harus berharga nol atau satu maka pencabangan pada Xi
akan menghasilkan cabang Xi = 0 dan Xi = 1.
(2) LP relaksasi dilakukan dengan memeriksa nilai ci /ai yang merupakan
perwujudan dari manfaat yang diperolah dari tiap unit sumber yang digunakan
oleh barang ke-I
3.6 MENYELESAIKAN PERMASALAHAN IP DENGAN METODE
ENUMERASI IMPLISIT
Digunakan untuk menyelesaikan permasalahan BIP (LIP 0-1). Ada 3 hal pokok
yang akan dilakukan yaitu :
(1) Melakukan penyempurnaan terbaik bagi suatu node dengan cara :
(a) dilakukan dengan menjadikan peubah bebas berharga 0 atau 1 sedemikian
hingga diperoleh nilai fungsi tujuan optimal
(b) jika penyempurnaan node ini layak, maka pencabangan berikutnya tidak
perlu dilakukan
(2) Mengeliminasi suatu node dari pertimbangan selanjutnya.
(a) Suatu node akan diabaikan apabila setelah dilakukan penyempurnaan
terbaik terhadap node itu, diperoleh nilai fungsi tujuan yang lebih buruk
daripada nilai fungsi tujuan calon penyelesaian sebelumnya.
(3) Menguji ada tidaknya penyempurnaan yang layak dari suatu node
(a) Apabila penyempurnaan suatu node tidak memenuhi pembatas yang ada,
maka pasti tidak akan ada penyempurnaan yang layak dari node tersebut
terhadap permasalahan semula
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
Program Bilangan Bulat 44
Penelitian Operasional II
3.7 MENYELESAKAN PERMASALAHAN (LIP) DENGAN TEKNIK CUTTING
PLANE
Pada teknik ini pendekatan yang digunakan adalah membuat pembatas tambahan yang
memotong ruang layak dari LP relaksasi sehingga dapat mengeliminasi penyelesaian
yang bukan merupakan bilangan bulat. TETAPI tidak semua permasalahan dapat
diselesaikan dengan teknik ini, karena itu teknik ini jarang digunakan.
3.7.1 Algoritma Pecahan (Bilangan bulat murni)
Syarat : Semua koefisien pembatas dan ruas kanannya harus merupakan bilangan bulat
Alasan: Koefisien pecahan pada pembatas akan menyebabkan harga dari peubah slack
akan menjadi pecahan juga.
Algoritma :
(1) Selesaikan permasalahan dengan LP
(2) Jika penyelesaian optimum sudah merupakan bilangan bulat -! Berhenti
(3) Jika tidak lakukan langkah berikut :
Perhatikan Tabel Optimum dari LP :
Xi
… Xm
Basis X1 …
Z
0
…
0
…
0
X1
.
.
.
Xi
.
.
.
Xm
1
.
.
.
0
.
.
.
0
…
…
…
…
…
0
.
.
.
1
.
.
.
0
…
W1
C1
α1
.
.
.
αi1
.
.
.
αm1
1
0
.
.
.
0
.
.
.
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Wj
Cj
α1
.
.
.
αij
.
.
.
αmj
j
…
…
…
…
…
…
…
Wn
Cn
α1n
.
.
.
αin
.
.
.
αmn
Solusi
β0
β1
βi
βm
Peubah-peubah Xi : basis,
i = 1,2,…, m
Wj : nonbasis j = 1,2,…,n
Asumsikan
Xi bukan bilangan bulat
Xi = β i -
n
∑α W
j
i
j=1
(1)
j
Misalkan : β i = [β i] + fi ,[ β i] : bilangan bulat tersebesar sedemikian hingga
[β i] ≤ β i
j
j
αi =[αi ] + fij , 0 < fi < 1 , 0 < fij < 1
Maka persaman (1) berubah menjadi :
∑ [α ]W − ∑ f
n
Xi = [β i] + fi -
n
j
i
j=1
j
n
f i − ∑ f ij W j
j=1
ij
Wj
j=1
∑ [α ]W
n
= Xi - [β i] +
j=1
j
i
j
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
Penelitian Operasional II
Program Bilangan Bulat 45
Ruas kiri harus merupakan bilangan bulat demikian pula dengan ruas kanan.
fij ≥0 , Wj ≥ 0 berarti
n
∑f
j=1
ij
Wj ≥ 0
n
fi -
∑f
j=1
ij
Wj ≤ f i
ij
Wj < 1
ij
Wj ≤ 0
n
karena fi < 1 berarti
fi -
∑f
j=1
n
merupakab bil. bulat
fi -
∑f
j=1
Tambahkan peubah slack didapat :
n
fi -
∑f
ij
W j + Si = 0
j=1
n
SI =
∑f
ij
W j - fi inilah yang disebut sebagai fractional cut
j=1
Karena pada tabel akhir didapat bahwa Wj = 0 berarti Si = fi menjadi tidak layak karena
itu gunakan metode dual simplex untuk menyelesaikannya.
Jika penyelesaiannya sudah merupakan bilangan bulat -! berhenti, jika belum ulang
kembali prosedur ini.
Contoh 3.7
Selesaikan permasalahan berikut :
Max Z = 7 X1 + 9 X2
Kendala : - X1 + 3 X2 ≤ 6
7 X1 + X2 ≤ 35
X1, X2 bilangan bulat tak negatif
Penyelesaian :
Tabel Simplex LP:
X2
X3
X4
Solusi
Basis
X1
Z
0
0
28/11
15/11
63
X2
0
1
7/22
1/22
7/2
X1
1
0
-1/22
3/22
9/2
Terlihat bahwa X1 dan X2 bukan bilangan bulat, karena itu pilihlah pertidaksamaan yang
‘kuat’ untuk mempercepat pencapaian penyelesaian bilangan bulat optimum, yaitu :
Misalnya : terdapat 2 pertidaksamaan
n
∑f
j=1
ij
Wj ≥ f i
n
∑f
j=1
kj
dan
Wj ≥ f k
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
(2)
(3)
Program Bilangan Bulat 46
Penelitian Operasional II
Persamaan (2) lebih kuat dari persamaan (3) jika :
fi ≥ fk
fij ≤ fkj ∀j
Definisi ‘kekuatan’ ini digunakan pada pembatas baru yang diturunkan dari baris
yang mempunyai :
(a) max ( fi ) ! baris dengan pecahan terbesar
i
(b) max
i
fi
! baris dengan rasio
n
∑f
ij
j=1
fi
terbesar
n
∑f
ij
j=1
Pada contoh soal di atas :
β1 = 9/2 ! 4+ ½
β2 = 7/2 !3 + ½ berarti f1 = f2 = ½ ( aturan (a) tidak berlaku)
Gunakan aturan (b)
α23 = 7/22 = 0 + 7/22 ! f23 = 7/22
α24 = 1/22 = 0 + 1/22 ! f24 = 1/22
α13 = -1/22 =-1+21/22 ! f13 = 21/22
α14 = 3/22 = 0 + 3/22 ! f14 = 3/22
f
1/ 2
1/ 2
=
>
max n i
i
7 / 22 + 1 / 22 21 / 22 + 3 / 22
∑ f ij
j=1
berarti pilih persamaan X2 = 7/22 X3 + 1/22 X4 ≥ ½
X2 + 7/22 X3 + 1/22 X4 = 3 ½
X2 +(0+ 7/22) X3 + (0+1/22) X4 = 3 + ½
Persamaan pembatas baru :
S1 - 7/22 X3 - 1/22 X4 = - ½
Tabel Simpleks baru :
Basis
Z
X2
X1
S1
X1
0
0
1
0
X2
0
1
0
0
X3
28/11
7/22
-1/22
-7/22
X4
15/11
1/22
3/22
-1/22
S1
0
0
0
1
X4
1
0
1/7
1/7
S1
8
1
-1/7
-22/7
Solusi
63
7/2
9/2
-1/2
Dengan Dual Simpleks di dapat :
Basis
Z
X2
X1
X3
X1
0
0
1
0
X2
0
1
0
0
X3
0
0
0
1
Solusi
59
3
4 1/7
1 4/7
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
Penelitian Operasional II
Program Bilangan Bulat 47
Masih terdapat penyelesaian yang bukan bilangan bulat , buat lagi pembatas baru :
X1 + (0 + 1/7) X4 + (-1 + 6/7) S1 = 4 + 4/7
S2 – 1/7 X4 – 6/7 S1 = -4/7
Basis
Z
X2
X1
X3
S2
X1
0
0
1
0
0
X2
0
1
0
0
0
X3
0
0
0
1
0
X4
1
0
1/7
1/7
-1/7
S1
8
1
-1/7
-22/7
-6/7
S2
0
0
0
0
1
Solusi
59
3
4 1/7
1 4/7
-4/7
X4
0
0
0
0
1
S1
2
1
-1
-4
6
S2
7
0
1
1
-7
Solusi
55
3
4
1
4
Hasil dari dual Simpleks
Basis
Z
X2
X1
X3
X4
X1
0
0
1
0
0
X2
0
1
0
0
0
X3
0
0
0
1
0
Penyelesaian akhir di dapat hasil bilangan bulat dengan X1 = 4, X2 = 3 dan Z = 55
3.7.2. Algoritma Campuran
Asumsi : Xk peubah bilangan bulat dari masalah campuran
Xk = βk -
n
∑ α kj Wk = [βk] + fk j=1
n
∑α
j=1
j
k
Wj
n
Xk - [βk] = fk -
∑α
j=1
j
k
Wj
Ingat : beberapa peubah Wj bukan merupakan bilangan bulat. Supaya Xk berharga
bilangan bulat maka :
Xk ≤ [βk] atau
Xk ≥ [βk] +1
Berarti :
n
∑α
j=1
j
k
W j ≥ fk
(4)
j
k
W j ≤ fk – 1
(5)
n
∑α
j=1
Tentukan : J+ : himpunan dari subskrip j untuk α kj ≥ 0
J- : himpunan dari subskrip j untuk α kj < 0
Dari (4) dan (5) didapat
∑ α kj Wj ≥ f k
j∈J +
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra
(6)
Program Bilangan Bulat 48
Penelitian Operasional II
fk
∑ α kj Wj ≥ f k
f k − 1 j∈J −
(7)
Semua pembatas ini tidak terjadi secara simultan maka persamaan (6) dan (7)
dapat dikombinasi menjadi :
fk
Sk – { ∑ α kj W j +
α kj W j } = -fk (Potongan Campuran)
∑
f k − 1 j∈J −1
j∈J +
Gunakan dual simpleks (Karena Wj = 0 ! tidak layak)
Contoh 3.8
Dari contoh 3.7 di atas, misalakan X1 harus merupakan bilangan bulat
X1 – 1/22 X3 + 3/22 X4 = ( 4+ ½)
J- = {3}; J+ = {4}, f1= ½
Potongan campuran :
1/ 2
(-1/22) X3 } = -1/2
S1 – {3/22 X4 +
1/ 2 − 1
S1 – 1/22 X3 – 3/22 X4 = -1/2
Tabel :
Basis
Z
X2
X1
S1
X1
0
0
1
0
X2
0
1
0
0
X3
28/11
7/22
-1/22
-7/22
X4
15/11
1/22
3/22
-1/22
S1
0
0
0
1
X1
0
0
1
0
X2
0
1
0
0
X3
23/11
10/33
-1/11
1/3
X4
0
0
0
1
S1
10
-1/3
1
-22/4
Solusi
63
7/2
9/2
-1/2
Dual Simpleks :
Basis
Z
X2
X1
X4
Solusi
58
10/3
4
11/3
Penyelesaian optimal : X1 = 4, X2 = 10/3 Z = 58
Siana Halim – T.Industri – UK. Petra