3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya
kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana
telah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real
dengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk
fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep
limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini.
3.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu
Biasanya, notasi
lim f (x) = L
x→c
dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut
1. Jika
x
mendekati
f (x)
dekat pula
f (x)
2. Nilai-nilai
c
f (x)
maka
kepada
adalah dekat dengan
Pada pernyataan pertama, dekatnya
c.
mendekati
L,
x
semakin dekat
kepada
c
semakin
L.
L
untuk
x
dekat dengan
c.
f (x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepada
Pernyataan ini banyak diambil sebagai denisi limit khususnya bagi mereka yang
belum belajar analisis. Padahal sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk denisi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria dekatnya
terhadap
L
memberikan kriteria dekatnya
x
kepada
c.
Kemudian, setiap
c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f (x) dekat dengan L.
dengan
x
f (x)
yang dekat
Sebelum masuk ke
denisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit (cluster point )
suatu himpunan.
Denisi 3.1. [Titik Limit] Misalkan A ⊂ R.
A
jika setiap persekitaran
c,
selain
Sebuah titik
Vδ (c) := (c − δ, c + δ)
c∈R
dikatakan
titik limit
memuat paling sedikit satu anggota
A
atau
(c − δ, c + δ) ∩ A \ {c} =
6 ∅, ∀δ > 0.
Catatan 1.
anggota
A
Titik limit
A
boleh jadi anggota
A
atau bukan anggota
dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit
A.
Sebaliknya, suatu
A.
Sebelum diberikan contoh diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalam
A
yang konvergen ke titik limit
Teorema 3.1.
dalam
A
A
yang dapat dijadikan kriteria titik limit.
c ∈ A titik limit A bila hanya bila
setiap n ∈ N sehingga lim(an ) = c.
Sebuah bilangan
dengan
an 6= c
untuk
terdapat barisan
(an )
c titik limit. Untuk setiap n ∈ N, bentuk persekitaran radius δ := n1 ,
1
1
yaitu V 1 (c) = (c− , c+ ). Selalu ada an ∈ A∩V 1 dengan an 6= c. Karena berlaku
n
n
Bukti.
Misalkan
n
|an − c| <
1
n maka disimpulkan
n
lim(an ) = c.
1
Sebaliknya, diketahui terdapat barisan
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
(an ) dalam A, an 6= c dan lim(an ) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A.
Karena diketahui lim(an ) = c maka untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli K
sehingga |an − c| < δ untuk setiap n ≥ K . Ini berarti, khususnya aK ∈ A, aK 6= c
dan aK ∈ Vδ yaitu A ∩ Vδ \ {c} =
6 ∅. Terbukti c titik limit A.
Contoh 3.1.
Diberikan himpunan
A
yang didenisikan sebagai
A = {−1} ∪ {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} ∪ {2}.
Tentukan himpunan semua titik limit
A.
Penyelesaian.
Diperhatikan bahwa setiap x ∈ [0, 1] dan setiap δ > 0 maka berlaku (x −
δ, x + δ) ∩ A \ {x} =
6 ∅. Jadi setiap x ∈ [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikan
x = −1 ∈ A. Kita dapat memilih δ1 > 0 sehingga (−1 − δ1 , −1 + δ1 ) ∩ A = {−1}
sehingga (−1 − δ1 , −1 + δ1 ) ∩ A \ {−1} = ∅, jadi x = −1 bukan titik limit A.
Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit A
adalah [0, 1].
Gambar 3.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan
Diperhatikan pada contoh ini,
2
bukan titik limit
sekaligus titik limit
A.
A.
1 ∈
/ A
tetapi
1
titik limit
Bilangan di dalam interval
[0, 1)
A.
Sebaliknya
2 ∈ A
kesemuanya anggota
tetapi
A
dan
Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit:
I
Himpunan yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit.
I
Himpunan bilangan asli
I
Himpunan bilangan rasional
tidak mempunyai titik limit.
N
Q
mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal ini
disebabkan sifat kepadatan bilangan rasional di dalam
I
Himpunan
A=
1
satupun anggota
n
:n∈N
A
menjadi titik limitnya.
R.
hanya mempunyai titik limit
0.
Dalam kasus ini tidak
Selanjutnya denisi limit fungsi diberikan sebagai berikut.
Denisi 3.2. [Limit Fungsi] Misalkan A ⊆ R dan f
L
dikatakan limit fungsi
f
di
c,
: A −→ R, c titik limit A.
ditulis
L = lim f (x)
x→c
adalah bilamana diberikan
Bilangan
>0
terdapat
δ>0
(3.1)
sehingga berlaku
0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| < .
(3.2)
δ biasanya bergantung pada nilai yang diberikan sehingga kadangkadang ditulis sebagai δ() untuk menunjukkan ketergantungan δ pada yang diberikan.
Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis,
dapat dikatakan f (x) mendekati L bilamana x mendekati c. Ukuran dekat f (x)
terhadap L diberikan oleh , dan kedekatan x dengan c diukur oleh δ . Pada ekspresi
Pada denisi ini, nilai
2
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
diberikan
V(L)
L- |f(x) -L|< L
L- terdapat
V (c)
c+ c c+
Gambar 3.2: Ilustrasi denisi limit fungsi
(3.3) kita dapat membuat
dengan
f (x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekat
c.
0 < |x − c| < δ
|f (x) − L| < tidak memperhitungkan
x yang sama dengan c. Artinya pada denisi limit, nilai f (c) tidak perlu ada. Ingat, titik
limit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grak
denisi limit menggunakan dot ◦” di titik x = c.
Ilustrasi denisi limit fungsi diberikan pada Gambar 3.2. Pernyataan
pada (3.3) menunjukkan bahwa untuk berlakunya
Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di
x = c, seperti diungkapkan berikut
ini.
Denisi 3.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A . Fungsi
f dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan > 0 terdapat δ > 0 sehingga
berlaku
|x − c| < δ → |f (x) − f (c)| < .
Kontinu pada himpunan
Dalam kasus
c ∈ A
dan
A
berarti kontinu di setiap
c
titik limit
A
(3.3)
c ∈ A.
maka kedua pengertian limit dan kekontinuan
sangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut.
Teorema 3.2.
Misalkan
A⊆R
dan
f : A −→ R, c ∈ A.
Bila
c
titik limit
A
maka kedua
pernyataan berikut ekuivalen.
(i) f
kontinu di
c
(ii) limx→c f (x) = f (c)
Bukti.
Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut
E1 := {x ∈ A : 0 < |x − c| < δ}, E2 := {x ∈ A : |x − c| < δ}.
E2 ⊂ E1 . Diketahui f kontinu di c berarti x ∈ E2 → |f (x) − f (c)| < .
Misalkan x ∈ E1 maka x ∈ E2 atau x = c. Bila x ∈ E2 maka (3.2) berlaku dengan
L = f (c). Untuk kemungkinan x = c berlaku |f (x) − f (c)| = |f (c) − f (c)| = 0 < sehingga (3.2) juga dipenuhi. Terbukti limx→c f (x) = f (c). Sebaliknya, diketahui
limx→c f (x) = f (c) yaitu x ∈ E1 → |f (x) − f (c)| < . Karena E2 ⊂ E1 maka
berlaku x ∈ E2 → |f (x) − f (c)| < , yaitu f kontinu di c.
Jadi
3
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Contoh 3.2.
Misalkan
f
fungsi konstan pada
c ∈ R,
Buktikan untuk sebarang
kontinu di
R,
katakan
limx→c b = b.
berlaku
f (x) = b
x ∈ R.
bahwa f
untuk setiap
Kemudian simpulkan
c.
Penyelesaian.
Diberikan
>0
sebarang, ambil
δ := 1
maka diperoleh
0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| = |b − b| = 0 < .
Jadi terbukti
limx→c f (x) = f (c). Karena c ∈ R merupakan titik limit maka dengan
f kontinu di c.
teorema 3.2 maka disimpulkan
Catatan 2.
Pengambilan
δ
pada pembuktian di atas dapat selain
boleh. Pembuktian ini menggunakan pola
p→q
Contoh 3.3.
c ∈ R, limx→c x = c.
bahwa
Buktikan untuk sebarang
f (x) := x
Penyelesaian.
kontinu di
Untuk setiap
q
dimana
1,
bahkan berapapun
sudah dipastikan benar.
Kemudian simpulkan
c.
>0
yang diberikan, ambil
δ := .
Diperoleh
0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| = |x − c| < δ = .
Karena itu terbukti
limx→c x = c. Karena berlaku limx→c f (x) = f (c)
f kontinu di c.
dan
c
titik
limit maka disimpulkan
Contoh 3.4.
Bukti.
Misalkan
Misalkan
c ∈ R.
f (x) = x2 , x ∈ R.
Buktikan
f
kontinu pada
R.
Kita perhatikan dulu penjabaran berikut
|f (x) − f (c)| = |x2 − c2 | = |x + c||x − c|.
Karena sudah ada suku
|x + c|.
|x − c|
maka kita perlu melakukan estimasi pada suku
Untuk itu diasumsikan dulu
|x − c| < 1,
maka berlaku
||x| − |c|| ≤ |x − c| < 1 → −1 < |x| − |c| ≤ 1 → |x| ≤ |c| + 1.
|
{z
}
Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada
|x + c|,
yaitu
|x + c| ≤ |x| + |c| ≤ 2|c| + 1.
Secara keseluruhan diperoleh estimasi
|f (x) − f (c)| = |x + c||x − c| < (2|c| + 1) |x − c|. (∗)
Agar kuantitas terakhir ini kurang dari
|x − c| <
maka haruslah
. (∗∗)
2|c| + 1
|x − c| <
δ = δ() := min 1,
.
2|c| + 1
Karena sudah diasumsikan
maka diambil
|x − c| < 1
maka agar
2|c|+1 juga dipenuhi
0 < |x − c| < δ maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan |f (x) −
f (c)| < . Jadi, limx→c f (x) = f (c), dan terbukti f kontinu di c.
Jadi jika
c dikarenakan ia tidak terdenisi
c ada maka fungsi tersebut dapat
Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik
di
c,
yaitu
f (c)
tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di
diperluas menjadi fungsi kontinu.
4
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Contoh 3.5.
Diberikan fungsi
f (x) =
x2 −1
x−1 , x
6= 0
tidak kontinu di
1
karena
f (1)
tidak
ada. Namun, berlaku
x2 − 1
= lim (x + 1) = 2.
x→1 x − 1
x→1
lim f (x) = lim
x→1
Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada
(
f (x) =
x2 −1
x−1
R
sebagai berikut
6= 0
untukx = 0.
untukx
2
3.2 Kriteria Barisan untuk Limit dan Kekontinuan
Untuk mengetahui limit dan kekontiunuan fungsi di suatu titik dapat dideteksi melalui
limit barisan yang sudah dipelajari pada bab sebelumnya.
Teorema 3.3.
Misalkan
f : A −→ R
dan
c
titik limit
A.
Maka kedua pernyataan berikut
ekuivalen.
(i) limx→c f (x) = L
(ii)
(xn ) di dalam A yang konvergen
barisan (f (xn )) konvergen ke L.
Untuk setiap barisan
n ∈ N,
Bukti.
maka
ke
c, xn 6= c
untuk setiap
(i)→(ii). Diberikan
> 0 sebarang. Karena diketahui limx→c f (x) = L, maka
δ > 0 sehingga jika 0 < |x − c| < δ berlaku |f (x) − L| < . Misalkan
lim(xn ) = c, xn 6= c. Berdasarkan denisi limit barisan, untuk δ > 0 sebelumnya
terdapat K ∈ N sehingga |xn − c| < δ untuk setiap n ≥ K . Karena xn 6= c maka
dapat ditulis 0 < |xn − c| < δ , sehingga berlaku |f (xn ) − L| < untuk setiap
n ≥ K . Ini menunjukkan bahwa barisan (f (xn )) konvergen ke L.
(ii)→(i). Dibuktikan melalui kontraposisinya. Diketahui limx→c f (x) 6= L, berarti
ada 0 > 0 sehingga setiap δ > 0 terdapat xδ ∈ A, 0 < |x − xδ | < δ tetapi
|f (x) − xδ | ≥ 0 . Bila diambil para δ > 0 tersebut sebagai δ := n1 > 0 untuk
1
setiap n ∈ N maka terbentuk barisan (xn ) dengan sifat 0 < |xn − c| <
n , xn ∈ A
tetapi |f (xn ) − L| ≥ 0 untuk setiap n ∈ N. Ini berarti barisan (f (xn )) tidak
mungkin konvergen ke L. Jadi ada barisan (xn ) dalam A, xn 6= c tetapi (f (xn ))
tidak konvergen ke L. Pernyataan (ii) salah. Bukti teorema selesai.
terdapat
Dengan demikian diperoleh kriteria divergen sebagai berikut:
(a) limx→c f (x) 6= L
konvergen ke
(b) limx→c f (x)
c
tetapi barisan
f (xn )
dalam
dan
Buktikan
(yn )
konvergen ke
limx→0
A
dengan
xn 6= c, (xn )
(xn ) dalam A dengan xn 6= c, (xn )
tidak konvergen.
(xn ), (yn ) dalam A
lim (f (xn )) 6= lim (f (yn )).
tidak ada bila hanya bila ada dua barisan
xn , yn 6= c, (xn )
Contoh 3.6.
(xn )
lim (f (xn )) 6= L.
bila hanya bila ada barisan
tetapi barisan
tidak ada bila hanya bila ada barisan
konvergen ke
(c) limx→c f (x)
c
c
tetapi
dengan
1
x tidak ada.
f (x) = x1 . Ambil barisan (xn ) dengan xn := n1 . Jelas barisan ini konvergen ke 0, xn 6= 0. Sekarang perhatikan barisan (f (xn )) =
1
= (n) = (1, 2, 3, · · · ) tidak konvergen. Berdasarkan kriteria (b) maka ter1/n
bukti limitnya tidak ada.
Bukti.
Di sini kita mempunyai
5
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Contoh 3.7.
Diberikan fungsi signum yang didenisikan sebagai berikut


+1
sgn(x) : =
0


−1
Buktikan
limx→0 sgn(x)
untuk
untuk
untuk
x > 0,
x = 0,
x < 0.
tidak ada.
(xn ) dan (yn ) dengan xn := n1 dan yn := − n1 . Jelas kedua
barisan ini konvergen ke 0 dan setiap sukunya tidak ada yang sama dengan 0. Diper
1
hatikan barisan (sgn(xn )) = sgn
= (1) = (1, 1, · · · ) konvergen ke 1, tetapi
n
(sgn(yn )) = sgn(− n1 ) = (−1) = (−1, −1, · · · ) konvergen ke −1. Berdasarkan
kriteria (c) maka terbukti limitnya tidak ada.
Bukti.
Ambil dua barisan
Cara lain dapat menggunakan sifat bahwa sgn(x)
=
x
|x| untuk
(−1)n
bil xn :=
maka barisan (xn ) konvergen ke 0,
n
(−1)n
sgn
= (−1)n = (−1, +1, −1, · · · ) divergen.
n
Teorema 3.4.
Misalkan
f : A −→ R
dan
(xn )
A
c ∈ A.
x 6= 0.
xn 6= 0.
Dengan mengam-
Tetapi
(sgn(xn )) =
Maka kedua pernyataan berikut
ekuivalen.
(i) f
(ii)
kontinu di
c
Untuk setiap barisan
konvergen ke
Bukti.
Gunakan fakta
L := f (c).
di dalam
yang konvergen ke
c,
maka barisan
(f (xn ))
f (c).
f
kontinu di
c
bila hanya bila
limx→c f (x) = f (c)
Selanjutnya gunakan teorema kriteria barisan untuk limit.
to be continued...........
6
dan ambil