SIMULASI PERHITUNGAN INTEGRAL NON LINIER

SIMULASI PERHITUNGAN INTEGRAL NON LINIER MENGGUNAKAN
MONTE CARLO
(Studi Kasus Ekonomi Total Biaya)
Kharisma Wiati Gusti1, Rinda Cahyana2, Luthfi Nurwandi3
Jurnal Algoritma
Sekolah Tinggi Teknologi Garut
Jl. Mayor Syamsu No. 1 Jayaraga Garut 44151 Indonesia
Email : [email protected]
1
[email protected]
[email protected]
3
[email protected]
2
Abstrak – Pada umumnya, pendekatan perhitungan biaya tetap menggunakan pendekatan linier
yang memiliki sifat kebergantungan, apabila salah satu variabel naik, maka variabel lainnya juga
naik proporsional. Pada dunia nyata, kejadian biaya total lebih banyak memiliki ciri non linier, yang
dicirikan dengan naiknya suatu variabel tidak selalu proporsional dengan kenaikan variabel lainnya.
Memperhatikan kondisi tersebut, perlu dilakukan suatu pendekatan secara matematika, untuk
mendapatkan nilai biaya total. Pendekatan non linier bisa diselesaikan dengan kalkulus, yang
memanfaatkan persamaan non linier yang berbentuk kurva untuk mendapatkan nilai total biaya.
Pendekatan non linier dengan Kalkulus memiliki kelemahan dalam melakukan perhitungan area di
bawah kurva, pada kejadian biaya, galat yang dihasilkan dimungkinkan memiliki nilai yang besar
secara signifikan. Maka penting diupayakan suatu pendekatan yang lebih teliti, salah satunya
dengan menggunakan simulasi. Metode Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk
mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika, sehingga nilai variabel yang
bersifat non linier dapat diperkirakan dengan menggunakan bilangan random dengan metode Monte
Carlo. Tulisan ini dibahas mengenai pendekatan Monte Carlo untuk penyelesaian perhitungan
integral dengan pendekatan perhitungan luas area di bawah kurva untuk studi kasus ekonomi untuk
total biaya.
Kata Kunci – Simulasi, Monte Carlo, Ekonomi, Total Biaya, Integral non linier
I.
PENDAHULUAN
Ekonomi dan bisnis tidak pernah terlepas dari laba, karena tujuan utama bisnis adalah
memperoleh laba sebesar-besarnya [4]. Laba adalah selisih antara total pendapatan dan total biaya,
pada dasarnya laba dijadikan ukuran untuk menunjukkan keberhasilan suatu usaha [3].
Guna mendapatkan laba, maka penting menentukan dahulu total biaya yang dikeluarkan
oleh sebuah perusahaan. Total biaya terdiri dari biaya tetap dan biaya variabel. Biaya tetap adalah
biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan setiap waktu tertentu, dan tidak terpengaruh oleh jumlah
produksi. Sedangkan biaya variabel adalah biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan dan terpengaruh
pada jumlah produksi, sehingga jumlahnya berubah-ubah [9].
Pada umumnya pendekatan perhitungan biaya tetap, menggunakan pendekatan linier yang
memiliki sifat kebergantungan, apabila salah satu variabel naik, maka variabel lainnya juga naik
proporsional. Pada dunia nyata kejadian biaya total, lebih banyak memiliki ciri non linier, yang
dicirikan dengan naiknya suatu variabel, tidak selalu proporsional dengan kenaikan variabel lainnya
[7]. Memperhatikan kondisi tersebut, perlu dilakukan suatu pendekatan secara matematika, untuk
mendapatkan nilai biaya total. Pendekatan non linier bisa diselesaikan dengan kalkulus, yang
memanfaatkan persamaan non linier, yang berbentuk kurva untuk mendapatkan nilai total biaya.
ISSN : 2302-7339 Vol. 09, No. 1, 2012
Pendekatan non linier dengan Kalkulus memiliki kelemahan dalam melakukan perhitungan
area di bawah kurva. Perhitungan dengan menggunakan Kalkulus pada dasarnya menggunakan
histogram, yang memiliki kelemahan yaitu terdapat celah antara historgam dan garis kurva yang
merupakan persamaan non linier. Apabila nilai optimasi berada di daerah luar histogram, maka
perhitungan dilakukan tepat di garis histogram, sehingga terjadi error atau galat dalam perhitungan
nilai optimal. Pada kejadian biaya, galat yang dihasilkan dimungkinkan memiliki nilai yang besar
secara signifikan. Hal ini dapat menyebabkan kesalahan dalam perkiraan perhitugan nilai optimal,
sehingga penting diupayakan suatu pendekatan yang lebih teliti, salah satunya dengan
menggunakan simulasi [6].
Pemecahan masalah luas dibawah kurva, dengan menggunakan simulasi yaitu dengan
membuat sebaran titik secara random pada luas di bawah kurva, pada interval tertentu sehingga
menghasilkan nilai total biaya yang lebih teliti [5]. Pada tugas akhir ini akan dipakai metode Monte
Carlo, yang memanfaatkan bilangan random guna mendapatkan nilai optimal, untuk mendapatkan
total biaya.
I.
HASIL PEMBAHASAN
A.
Kriteria kinerja
Kriteria kinerja yang diinginkan dalam penelitian sesuai dengan rumus perhitungan luas area
di bawah kurva, yaitu:
Area dibawah kurva ≈ jumlah titik yang dihitung dibawah kurva
Area persegi panjang
total jumlah titik acak
atau
AREA = M*(b-a)*COUNTER/n
…(1)
Rumus perhitungan luas area di bawah kurva ini didapat dari Algoritma Monte Carlo.
B.
Aturan keputusan
Aturan keputusan untuk simulasi ini adalah kondisi terbaik disaat sistem memenuhi kriteria
kinerja berupa rumus/ formula perhitungan luas area di bawah kurva. Ketika perhitungan dilakukan
dengan bilangan n yang berbeda, dan menghasilkan nilai yang berbeda. Maka keputusan untuk nilai
yang diambil adalah nilai yang mendekati rumus (1).
C.
1.
2.
3.
Parameter sistem
Parameter dari sistem simulasi ini adalah:
M = konstanta yang mengikat fungsi
a = panjang interval x min
b = panjang interval x max
Parameter ini didapat dari rumus perhitungan luas area dibawah kurva dan rumus (1).
Dimana luas area di bawah kurva y = f(x) berada di dalam persegi panjang dengan tinggi M dan
lebar a sampai b (a ≤ xi ≤ b).
D.
Mengembangkan model komputerisasi
Tahap ini dilakukan untuk mentransformasikan model dari rumus dan algoritma secara
terkomputerisasi sehingga dapat dibuat sebuah program dalam komputer. Berdasarkan algoritma
Monte Carlo, maka model simulasi dapat digambarkan (dijelaskan lebih rinci) dalam Flowchart
berikut:
http://jurnal.sttgarut.ac.id
2
Jurnal Algoritma Sekolah Tinggi Teknologi Garut
Start
Memasukkan nilai
integral
Menentukan
jumlah percobaan
(n)
Menghitung
nilai batas y
maks (M)
Menentukan
nilai koordinat
random y (yi)
Menentukan
nilai koordinat
random x (xi)
Menghitung
nilai integral x
(f(xi))
Menghitung
luas area
integral (A)
Menghitung
total biaya (T)
End
Gambar 1 Flowchart Algoritma Luas Monte Carlo
START
READ
s, t, u, v,
b = batas fungsi x max
f = s*(b^3) + t*(b^2) + u*b + v
M = f + 10
PRINT
M
RETURN
Gambar 2 Flowchart Perhitungan Nilai Batas y Maks (M)
3
© 2012 Jurnal STT-Garut All Right Reserved
ISSN : 2302-7339 Vol. 09, No. 1, 2012
Gambar 1 berdasarkan Algoritma Monte Carlo, dan gambar 2 merupakan pengembangan dari
gambar 1. Pada gambar ini, proses perhitungan lebih detail karena sudah menuju tahap teknis
pelaksanaan simulasi. Nilai M didapat dari perkalian nilai input dengan pangkat dari b (nilai batas
fungsi x maks) lalu ditambah dengan 10, karena M = f(b) + 10. Untuk perhitungan koordinat
random x akan digambarkan oleh flowchart berikut ini:
START
READ
a = batas fungsi x min
r1 = nilai random x
x ß (b-a)*r1 + a
PRINT
x
RETURN
Gambar 3 Flowchart Perhitungan Nilai Koordinat xi
Flowchart pada gambar 3 menghasilkan poin acak dalam interval (a, b). Sedangkan untuk
menghasilkan nilai koordinat y digambarkan pada pemodelan Flowchart pada gambar 4, yaitu:
START
READ
M,
r2 = nilai random y
y ß r2*M
PRINT
y
RETURN
Gambar 4 Flowchart Perhitungan Nilai Koordinat yi
http://jurnal.sttgarut.ac.id
4
Jurnal Algoritma Sekolah Tinggi Teknologi Garut
Pada perhitungan nilai koordinat ini, nilai M diambil dari gambar 2. sedangkan untuk
perhitungan integral digambarkan pada gambar 5 berikut:
START
READ
x
f ß (s*(x^3)) + (t*(x^2)) + (u*x) + v
PRINT
f
RETURN
Gambar 5 Flowchart Perhitungan Nilai Integral (f(xi))
Karena perhitungan integral dibatasi sampai integral pangkat tiga (3), maka nilai koordinat x di
pangkatkan tiga, lalu dikalikan nilai yang diinputkan (s), begitu pula dengan nilai yang lainnya
dikalikan dengan nilai x yang sudah dipangkatkan sesuai dengan nilainya. Sedangkan untuk
menghitung luas area di bawah kurva digambarkan pada gambar 6 berikut:
5
© 2012 Jurnal STT-Garut All Right Reserved
ISSN : 2302-7339 Vol. 09, No. 1, 2012
START
READ
n, M, x, y, f
c=0
i=0
iß i+1
c
T
If
y <= f
Y
T
cß c+1
If
i=n
Y
d ß M*(b-a)*c
A ß d/n
PRINT
A
RETURN
Gambar 6 Flowchart Perhitungan Luas Area di Bawah Kurva (A)
Perhitungan luas area ini sesuai dengan algoritma Monte Carlo, dan rumus (1). Sedangkan
untuk mengubah luas area di bawah kurva menjadi nilai total biaya, maka digambarkan pada
gambar 7 berikut:
http://jurnal.sttgarut.ac.id
6
Jurnal Algoritma Sekolah Tinggi Teknologi Garut
START
READ
A, nominal rupiah
T ß A * nominal rupiah
PRINT
T
END
Gambar 7 Flowchart Perhitungan Total Biaya
E.
Hasil Simulasi
Dilakukan lagi simulasi perhitungan dengan menggunakan penambahan sebaran titik (n),
untuk melihat jumlah titik optimum. Simulasi ini dilakukan dengan memberikan input fungsi, nilai
a, b, n, dan nominal rupiah, dengan nilai:
Fungsi (f(x))
= x2
a (batas x1)
=0
b (batas x2)
=1
M (batas y2)
=4
n (sebaran titik)
= 10 dan 30
Nominal
= Rp 10.000
Tabel 1 Analisis Perbandingan
No
Kasus
Hasil
Analitis
Hasil percobaan dengan bilangan
random (n)
10
1.
x2
0,367 36700
1,1
30
11000
0,366667
3666,667
Percobaan dengan sebaran titik 30 lebih mendekati kenyataan dari pada percobaan dengan
sebaran titik 10. Karena hasil dari integral x2 adalah 0,33333. Sehingga yang lebih mendekati adalah
7
© 2012 Jurnal STT-Garut All Right Reserved
ISSN : 2302-7339 Vol. 09, No. 1, 2012
percobaan dengan nilai sebaran titik 30. Semakin besar bilangan n atau semakin banyak sebaran
titiknya, maka semakin mendekati kenyataan.
Gambar 8 Interface Simulasi dengan sebaran titik 10
Gambar 9 Interface Simulasi dengan sebaran titik 30
II.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil kajian dan tinjauan teori yang ada, serta hasil yang didapatkan dari proses
simulasi, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
a.
Simulasi perhitungan luas area dibawah kurva dengan menggunakan Monte Carlo dalam
studi kasus ekonomi, dapat dilakukan. Akan tetapi perlu dilakukan simulasi yang lebih
banyak untuk melihat hasil yang optimal dengan cara menambah jumlah sebaran titik (n),
sehingga dapat dilakukan perbandingan yang lebih jelas.
http://jurnal.sttgarut.ac.id
8
Jurnal Algoritma Sekolah Tinggi Teknologi Garut
b.
Aplikasi program simulasi perhitungan luas area di bawah kurva untuk kasus ekonomi,
masih belum berjalan dengan baik. Nilai tergantung pada nilai random yang dihasilkan,
sehingga apabila nilai fungsi x lebih kecil dari nilai koordinat y, maka nilai yang dihasilkan
akan sering memunculkan nilai 0. Sehingga perlu dilakukan beberapa kali proses
perhitungan.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bowen, Earl. K, Prichett, Gordon D., Saber, Jhon C., 1987. Mathematics with Applications in
Management and Economics. Irwin Homewood, Illinois.
[2] Giordano, Frank R., Weir, Maurice D., and Fox, W. 1997. A First course in Mathematical
Modeling 2nd ed. Brooks/Cole Publishing Company.
[3] HB Dahlia. 2011. Analisis biaya-volume-laba sebagai alat bantu dalam perencanaan laba
PT Pabrik Gula Takalar. Skripsi Manajemen. Universtas Hasanudin Makasar. Diperoleh 4
September
2012,
dari
http://repository.unhas.ac.id/bitstream/handle/123456789/441/Analisis%20biaya.pdf?sequenc
e=1
[4]Hapsari, EA. 2007. Analisis Rasio Keuangan untuk Memprediksi Pertumbuhan Laba (Studi
Kasus: Perusahaan Manufaktur yang terdaftar di Bursa Efek Jakarta periode 2001
sampai dengan 2005). Tesis Magister Manajemen, Universitas Diponegoro. Diperoleh 4
September 2012, dari http://eprints.undip.ac.id/17412/1/Epri_Ayu_Hapsari.pdf
[5]Haryono, Nugroho Agus. 2009. Perhitungan Integral Lipat menggunakan Metode Monte
Carlo. Jurnal Informatika Vol 5 No 2, Universitas Kristen Duta Wacana. Diperoleh 6
September 2012, dari http://ti.ukdw.ac.id/ojs/index.php/informatika/article/view/76
[6]Rachmadi, TI. 2006. Analisis Perbandingan Metode Romberg, Metode Gaus-Legendre,
Metode Simulasi Monte Carlo dan Quasi-Monte Carlo dalam Perhitungan Integral
Tertentu. Skripsi teknik Informatika dan Statistika, Universitas Bina Nusantara. Diperoleh 4
September 2012, dari http://eprints.binus.ac.id/902/
[7]Rahmawati, 2005. Relevansi Nilai Earnings dengan Pendekatan Terintegrasi: Hubungan
Nonlinier. JAAI Vol 9 No 1. Unversitas Sebelas Maret. Diperoleh 4 September 2012, dari
http://journal.uii.ac.id/index.php/JAAI/article/view/814/738
[8]Sridadi, B. 2009. Pemodelan dan Simulasi Sistem. Bandung: Informatika.
[9]Taylor, Bernard W. 2011. Terjemahan Sains Manajemen Introduction to Management Science
Pendekatan Matematika untuk Bisnis. Salemba Empat.
9
© 2012 Jurnal STT-Garut All Right Reserved