7 Syawaluddin Hutaean (Vol.20 No.2) Hal 143-152.pub

ISSN 0853-2982
Syawaluddin Hutahaean
Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil
Persamaan Momentum untuk Aliran Berakselerasi Tinggi dengan Aplikasi
pada Pemodelan Gelombang Pendek
Syawaluddin Hutahaean
Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi Bandung
Jl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail: [email protected]
Abstrak
Pada penelitian ini dikembangkan persamaan momentum untuk aliran berakselerasi tinggi. Persamaan dikembangkan dengan mengerjakan diferensial ruang untuk aliran berakselerasi tinggi pada persamaan momentum dari
Euler. Dengan metoda ini, percepatan tidak hanya diakibatkan oleh gaya penggerak pada arah sumbu yang
bersangkutan, tetapi juga diakibatkan oleh gaya-gaya penggerak dari arah sumbu lainnya. Selanjutnya persamaan
yang diperoleh digunakan untuk memodelkan gelombang pendek dengan persamaan muka air yang digunakan
adalah merupakan superposisi antara persamaan kekekalan masa dengan persamaan kekekalan energi. Persamaan
diselesaikan secara numeris, dimana hasil eksekusi model numeris menunjukkan bahwa model dapat mensimulasikan shoaling dan breaking dengan baik, dengan panjang gelombang yang dihasilkan jauh lebih pendek dari
panjang gelombang hasil teori gelombang linier.
Kata-kata Kunci: Aliran berakselerasi tinggi.
Abstract
In this reserach, momentum equation for high accelerated flow is developed. The equation is developed by using
spatial differentiation for high accelerated flow in Euler’s momentum equation. With this method, fluid acceleration not only excited by force on its direction but also but also forces from other directions. The resulted momentum equation is used to short water wave modeling, where as surface water equation is a superposition between
continuitya and energy coservtion equations. The equation is solved numerically where execution of the model
show that the model can simulate wave shoaling and breaking where the resulted wave length is much smaller than
wave length of linear’s water wave theory.
Keyword: High accelerated flow.
1. Pendahuluan
Pemahaman mengenai hidrolika pantai atau dinamika
gelombang dikawasan pantai adalah merupakan suatu
hal yang penting dalam merencanakan suatu bangunan
pantai. Berbagai informasi mengenai kondisi gelombang diperairan pantai antara lain tinggi gelombang,
arus littoral dan sebagainya merupakan parameter
penting dalam merencanakan suatu bangunan pantai.
Sehubungan dengan hal itu maka diperlukan suatu
model dinamika gelombang dikawasan pantai yang
sekiranya dapat menggambarkan berbagai perilaku
gelombang diperairan pantai.
Model transformasi gelombang dari perairan dalam
menuju perairan dangkal telah banyak dikembangkan.
Hutahaean (2008a, 2008c) telah mengembangkan model transformasi gelombang yang dapat memodelkan
gelombang breaking, tetapi model tersebut bukan
merupakan model runut-waktu (time-series). Dengan
model runut-waktu, berbagai perubahan gelombang
dari waktu ke waktu dapat diamati sehingga dapat di-
peroleh pemahaman yang lebih baik mengenai dinamika gelombang dikawasan perairan pantai.
Terdapat banyak terdapat contoh dialam bahwa gaya
penggerak pada suatu arah sumbu tidak hanya memberikan percepatan pada arah sumbu yang bersangkutan. Sebagai contoh, gelombang dilaboratorium
dibangkitkan dengan memberikan gaya horisontal,
dimana pada contoh ini menunjukkan adanya perubahan gaya horisontal menjadi gaya vertikal. Karena
itu gaya penggerak pada persamaan momentum,
semestinya tidak hanya gaya penggerak pada arah
sumbu yang bersangkutan, tetapi juga berasal dari
gaya penggerak pada arah sumbu yang lain.
2. Persamaan
Momentum
Berakselerasi Tinggi
Untuk
Aliran
a. Persamaan Euler
∂u  ∂u
∂u
∂u 
1 ∂p
+  u + v + w  = −
∂t  ∂x
∂y
∂z 
ρ ∂x
Vol. 20 No. 2 Agustus 2013
(1)
143
Persamaan Momentum untuk Aliran Berakselerasi Tinggi dengan Aplikasi pada...
1 ∂p
∂v  ∂v
∂v
∂v 
+  u + v + w  = −
∂t  ∂x
∂y
∂z 
ρ ∂y
(2)
1 ∂p
∂w  ∂w
∂w
∂w 
+  u
+v
+ w  = −
−g
∂t  ∂x
∂y
∂z 
ρ ∂z
(3)
p pada Persamaan 1 dan 2 terdiri atas dua komponen,
yaitu komponen hidrostatis (phs) dan komponen hidrodinamis (phd), p = phs + phd, dimana bentuk dari kedua
jenis tekanan tersebut akan dibahas pada bagian lain.
z
y
θ
ξ
Gambar 1. Sistem sumbu
Pada saat air diam, maka Persamaan 3 menjadi
1 ∂p
1 ∂p hs 1 ∂p hd
− g = 0 atau −
−
−g =0
ρ ∂z
ρ ∂z ρ ∂z
1 ∂phs
1 ∂p hd
−g =0
Pada air diam, −
= 0 , maka −
ρ ∂z
ρ ∂z
−
Substitusi persamaan ini ke Persamaan 3, persamaan
momentum-z menjadi
(4)
Jadi gaya penggerak air pada arah vertikal-z adalah
gaya hidrodinamis saja. Untuk selanjutnya sebagai persamaan momentum-z adalah Persamaan 4, sedangkan
yang dimaksudkan dengan ∂p/∂z pada bagian selanjutnya adalah ∂phd/∂z, mengingat gaya penggerak arah
vertikal adalah ∂phd/∂z.
b. Percepatan konvektif yang memperhitungkan
percepatan lokal
Ruas kiri persamaan Euler terdiri dari percepatan lokal,
suku ke 1, dan percepatan konvektif atau percepatan
spasial, suku dalam kurung. Secara umum percepatan
total pada ruas kiri persamaan dapat ditulis dalam bentuk
 ∂u
Du  ∂u 
∂u
∂u 
= 
+  u
+ v + w 
dt  ∂t  lokal  ∂x
∂y
∂z  konvektif
Pada perumusan percepatan tersebut, pada ∂u/∂x, ∂u/∂y
dan ∂u/∂z tidak diperhitungkan bahwa u sedang
mengalami perubahan terhadap waktu dengan cepat.
144 Jurnal Teknik Sipil
Hutahaean (2008b), (2012), dalam merumuskan persamaan kontinuitas untuk aliran dengan akselerasi besar
mendapatkan diferensial ruang yang memperhitungkan
percepatan lokal untuk suatu fungsi f = f(x,y,z,t), yaitu
∂f
∂f
∂f  1
δf  ∂f
=  + u + v + w 
δx  ∂t
∂x
∂y
∂z  u
(5)
∂f
∂f
∂f  1
δf  ∂f
=  + u + v + w 
δy  ∂t
∂x
∂y
∂z  v
(6)
∂f
∂f
∂f  1
δf  ∂f
=  + u + v + w 
δz  ∂t
∂x
∂y
∂z  w
(7)
Dengan bentuk diferensial ruang ini, didefinisikan percepatan total pada arah sumbu-x adalah,
x
∂w  ∂w
∂w
∂w 
1 ∂phd
+  u
+v
+ w  = −
∂t  ∂x
∂y
∂z 
ρ ∂z
Aliran pada gelombang air tergolong pada aliran
dengan akselerasi yang besar, karena itu perlu diperhitungkan adanya percepatan terhadap waktu pada
diferensial ruang.
 δu
δu
δu 
Du  ∂u 
=   +  u + v + w 
dt  ∂t lokal  δx
δy
δz  konvektif
(8)
Substitusi persamaan-persamaan diferensial ruang yang
memperhitungkan percepatan lokal pada percepatan
konvektif, maka percepatan total adalah
Du
∂u  ∂u
∂u
∂u 
= 4 + 3 u + v + w 
dt
∂t
∂y
∂z 
 ∂x
(9)
Dengan cara yang sama dapat diperoleh percepatan
total pada arah sumbu-ydan pada arah sumbu-z adalah,
Dv
∂v  ∂v
∂v
∂v 
= 4 + 3 u + v + w 
dt
∂t
∂y
∂z 
 ∂x
(10)
Dw
∂w  ∂w
∂w
∂w 
=4
+ 3 u
+v
+ w 
dt
∂t
∂y
∂z 
 ∂x
(11)
c. Gaya penggerak
Gaya penggerak adalah perbedaan tekanan, dimana
pada persamaan Euler dinyatakan oleh
dan
1 ∂p , 1 ∂p
ρ ∂x ρ ∂y
1 ∂p
Mengingat tekanan p adalah fungsi dari flukρ ∂z
tuasi muka air h = h(x,y,z,t), dan kecepatan u = u
(x,y,z,t), v = v(x,y,z,t), dan w = w(x,y,z,t), yang berubah
sangat cepat, maka p = p(x,y,z,t), juga akan berubah
sangat cepat, sehingga diferensial ruang untuk tekanan
p adalah
∂p
∂p
∂p  1
δp  ∂p
=  + u + v + w 
δx  ∂t
∂x
∂y
∂z  u
(12)
Syawaluddin Hutahaean
∂p
∂p
∂p  1
δp  ∂p
=  + u + v + w 
δy  ∂t
∂x
∂y
∂z  v
(13)
∂p
∂p
∂p  1
δp  ∂p
=  + u + v + w 
δz  ∂t
∂x
∂y
∂z  w
(14)
Substitusi Persamaan 12 ke Persamaan 9, Persamaan 13 ke Persamaan 10 dan Persamaan 14 ke
Persamaan 4 maka diperoleh persamaan momentum
arah-x, arah-y dan arah-z secara berurutan adalah,
4
∂u  ∂u
∂u
∂u 
+ 3 u + v + w  =
∂t
∂y
∂z 
 ∂x
−
1  ∂p
∂p
∂p
∂p  1
 + u
+ v + w 
2 ρ  ∂t
∂x
∂y
∂z  u
1  ∂p
∂p
∂p
∂p  1
 + u + v + w 
2 ρ  ∂t
∂x
∂y
∂z  v
∂w  ∂w
∂w
∂w 
+ 3 u
+v
+ w  =
∂t
∂y
∂z 
 ∂x
1  ∂p
∂p
∂p
∂p  1
 + u + v + w 
−
2 ρ  ∂t
∂x
∂y
∂z  w
(15)
(16)
(17)
atau
1  1 ∂p  w 2  ∂p  v w 2  ∂p 
 + +

−
+ 1 +
(20)
8 ρ  u ∂t  u 2  ∂x  u uv  ∂y 
∂v 3  ∂v
∂v
∂v 
+  u + v + w  =
∂t 4  ∂x
∂y
∂z 
1  1 ∂p  u w 2  ∂p  w 2  ∂p 
 + 1 + 2 
−
+ +
(21)
8 ρ  v ∂t  v uv  ∂x 
v  ∂y 
Persamaan momentum-z
∂w 3  ∂w
∂w
∂w 
1 1 ∂p
+  u
+ v + w  = −
8ρ w ∂t
∂t 4  ∂x
∂y
∂z 
(22)
Pada persamaan-persamaan momentum tersebut terdapat variabel, v/u, w2/u2 dan lain sebagainya, yang
merupakan variabel tidak berdimensi. Untuk mendapatkan bentuk persamaan dari variabel tersebut, digunakan
teori potensial aliran. Potensial aliran gelombang yang
bergerak pada arah-x (Gambar 1) adalah (Hutahaean,
(2008a), (2008c), (2010b)),
φ (ξ , z , t ) = Ge kh β ( z ) cos kξ sin σt
dimana,
β = αe k ( h + z ) + e − k ( h + z )
(18)
Persamaan keseimbangan momentum ini dapat ditulis
sebagai persamaan momentum-z dan dikerjakan persamaan Euler dan Persamaan 4,
1 ∂p hd
1 ∂p w 1 ∂p w
=
+
ρ ∂z
ρ ∂x u ρ ∂y v
∂p
∂p w 2 ∂p w 2 ∂p  1
1  ∂p
 + u

+v +
+
∂x
∂y u ∂x v ∂y  u
8 ρ  ∂t
Dengan cara yang sama, persamaan momentum-y
adalah
Adanya faktor 1/2 pada ruas kanan adalah hasil percobaan bahwa persamaan memberikan hasil yang baik
bila dikalikan dengan faktor tersebut. Terlihat pada
gaya penggerak pada arah-x terdapat kontribusi dari
gaya penggerak pada arah-y, ∂p/∂y, dan pada arah-z, ∂
p/∂z, begitu juga sebaliknya. Selain itu terlihat bahwa
perubahan tekanan ∂p/∂t dapat menjadi gaya penggerak. Bahwa terdapat perubahan gaya horisontal menjadi gaya vertikal atau sebaliknya serta gaya pada
horisontal arah-x diubah menjadi gaya pada horisontal
arah-y dan sebaliknya, dapat diperjelas dengan persamaan keseimbangan momentum yaitu (Hutahaean
(2008b), (2012)),
−
∂u 3  ∂u
∂u
∂u 
+  u + v + w  =
∂t 4  ∂x
∂y
∂z 
∂u 3  ∂u
∂u
∂u 
+  u + v + w  =
∂t 4  ∂x
∂y
∂z 
4
 ∂u
∂u
∂u
∂u  1


+u
+v
+w
+
∂
t
∂
x
∂
y
∂ z  u

 ∂v
∂v
∂v
∂v  1


+u
+v
+w
∂x
∂y
∂ z  v
 ∂t
 ∂w
∂w
∂w
∂w  1

 =0
+u
+v
+w
∂x
∂y
∂ z  w
 ∂t
Relasi pada Persamaan 19, disubstitusikan kepersamaan momentum, Persamaan 15, 16 dan 17 serta persamaan dibagi dengan 4,
−
∂v  ∂v
∂v
∂v 
4 + 3 u + v + w  =
∂t
∂y
∂z 
 ∂x
−
Persamaan ini menyatakan bahwa gaya penggerak pada
arah sumbu-z adalah berasal dari gaya penggerak pada
arah sumbu-x dan dari gaya penggerak pada arah sumbu
-y.
(19)

 1+
1
α =
2
1−

∂h
1−
∂ξ
+
∂h
1+
∂ξ
,
β 1 = αe k ( h + z ) − e − k ( h + z )
∂h
∂ξ
∂h
∂ξ


 dimana ∂h adalah

∂ξ


kemiringan dasar perairan pada arah-ξ. G adalah suatu
konstanta dan k adalah bilangan gelombang sedangkan
Vol. 20 No. 2 Agustus 2013
145
Persamaan Momentum untuk Aliran Berakselerasi Tinggi dengan Aplikasi pada...
h adalah kedalaman perairan terhadap muka air diam.
Dengan ξ = xcosθ +ysinθ, dimana θ adalah arah
gelombang terhadap sumbu-x (Gambar (1)), maka
persamaan potensial aliran gelombang menjadi,
φ ( x, y, z , t ) = Ge kh β ( z ) cos k (x cos θ + y sin θ )sin σt
∂φ
u=−
= k cosθ Gekhβ (z) sink( x cosθ + y sinθ ) sinσt
∂x
∂φ
v=−
= k sinθ Gekh β ( z) sin k (x cosθ + y sinθ )sinσt
∂y
u cos θ
Dari kedua persamaan tersebut diperoleh,
=
v sin θ
v sin θ v dan u adalah merupakan suatu
dan
=
u cosθ u
v
koefisien distribusi. v/u adalah faktor distribusi yang
mendistribusikan gaya penggerak pada arah-y menjadi
gaya penggerak pada arah-x, sedangkan u/v adalah
sebaliknya, maka harus berharga positif
u cosθ
v
sin θ
dan
=
=
v
sin θ
u cosθ
(23)
Selanjutnya akan dirumuskan bentuk dari w/u dan w2/u2
∂φ
= − Gke kh β 1 ( z ) cos k (x cos θ + y sin θ )sin σt
∂z
− Gkekh β1 ( z) cos k (x cosθ + y sinθ )sin σt
w
=
u k cosθGekh β ( z) sin k ( x cosθ + y sinθ ) sin σt
− β1 ( z ) cos k ( x cosθ + y sin θ )
=
cos θβ ( z ) sin k ( x cos θ + y sin θ )
1 ∂p hs 1 ∂η
Dimensi dari u, yaitu (m/dt),
= g
uρ ∂t
u ∂t
saling menghilangkan dengan dimensi dari ∂h/∂t, yang
juga berdimensi (m/dt). Sehingga dimensi akhir dari
1 ∂η
adalah (m/dt2) yang sama dengan dimensi dari
g
u ∂t
∂u/∂t. Dari persamaan potensial aliran dan dengan
mengambil harga positif, diperoleh
1
1
1
1
=
dan =
u cosθβ ( z )
v sin θβ ( z )
(26)
Dalam hal cosθ = 0, maka hal ini menunjukkan bahwa
tidak ada aliran pada arah sumbu-x atau u = 0, maka
tidak ada gaya penggerak pada arah-x. Maka dalam hal
ini harga-harga koefisien distribusi gaya pada arah-x
adalah nol, yaitu
1 w w2 w2
= = = = 0 Begitu juga dalam hal sinθ = 0
u u u2 uv
dimana v = 0 tidak ada gaya penggerak pada arah-y,
maka
1 w w2 w2
= =
=
=0
v v v2
uv
w=−
w/u dalam hal ini adalah suatu koefisien distribusi yang
mengubah gaya pada arah-x menjadi gaya pada arah-z,
pada suatu titik pada kedalaman z tertentu, jadi harus
berharga positif dan bukan merupakan fungsi dari posisi
(x, y).
β12 ( z )
β1 ( z )
w
dan
=
==
cos 2 θβ 2 ( z )
u
cosθβ ( z )
(24)
Dengan cara yang sama dapat diperoleh,
β1 ( z ) ,
β12 ( z )
w
==
=
v
sin θβ ( z )
sin 2 θβ 2 ( z )
dan
β12 ( z )
=
cosθ sin θβ 2 ( z )
w2
=
uv
(25)
1/u dan 1/v adalah merupakan faktor distribusi ∂p/∂t
pada suatu kedalaman-z. Pada Persamaan 27),
ditunjukkan bahwa
146 Jurnal Teknik Sipil
1 ∂ p hs
∂η
= g
∂t
∂t
ρ
maka
3. Gaya Penggerak Hidrostatis dan Hidrodinamis
Seperti telah disebutkan pada bagian terdahulu bahwa
p terdiri dari tekanan hdrostatis dan hidrodinamis yaitu
p = phs + phd, dengan bentuk seperti yang akan dibahas
pada bagian berikut.
a. Gaya Penggerak Hidrostatis
Bentuk dari tekanan hidrostatis sudah banyak dikenal
yaitu gaya berat air (Dean (1984)), yaitu phs = pg(η-z).
Maka gaya penggerak hidrostatis adalah,
1
ρ
1
ρ
∂p hs
∂η
1 ∂p hs
∂η dan
,
=g
=g
∂x
∂x
ρ ∂y
∂y
∂p hs
∂η
=g
∂t
∂t
(27)
b. Gaya Penggerak Hidrodinamis
Gaya hidrodinamis akan dirumuskan dengan menggunakan persamaan kontinuitas untuk gelombang panjang, yaitu ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 Persamaan ini
dikalikan dengan dz dan diintegrasikan terhadap kedalaman, dimana integrasi suku ke 3 dapat dengan mudah
diselesaikan. Selanjutnya persamaan hasil integrasi
ditulis menjadi persamaan untuk kecepatan vertikal w
dan diturunan terhadap waktu t,
Syawaluddin Hutahaean
η
η
∂wη
∂w
∂ ∂u
∂ ∂v
dz + ∫ dz +
=
∫
∂t z ∂x
∂t z ∂y
∂t
∂t
(28)
Dimana η adalah elevasi muka air akibat gelombang
terhadap muka air diam (Gambar (5.1)), w adalah
kecepatan vertikal pada suatu posisi kedalaman z, wη
adalah kecepatan vertikal pada permukaan air.
Substitusi ∂w / ∂t kepersamaan momentum-z,
Persamaan (4),
η
η
∂wη
∂ ∂u
∂ ∂v
1 ∂p hd
dz + ∫ dz +
−
=
∫
∂t z ∂x
∂t z ∂y
∂t
ρ ∂z
 ∂w
∂w
∂w 
+v
+ w 
+  u
∂y
∂z 
 ∂x
(29)
Tekanan
hidrodinamis
diperoleh
dengan
mengintegrasikan persamaan tersebut terhadap
kedalaman dan dengan mengerjaan syarat batas
dinamik permukaan pη = 0, pengerjaan sifat aliran tidak
berotasi pada suku ke 4 pada ruas kanan, yaitu
 ∂w ∂v 
 ∂u ∂w 
−  = 0
 −
 = 0 dan 
∂
y
∂z 
 ∂z ∂x 

η
η
η
η
 ∂ ∂u 
 ∂ ∂v 
∂w
= ∫  ∫ dz dz + ∫  ∫ dz dz + η (η − z )
∂t z ∂x 
∂t z ∂y 
∂t
ρ
z
z
p hd
η
1  ∂u 2 ∂v 2 ∂w 2 
dz
+ ∫ 
+
+
2 z  ∂z
∂z
∂z 
(30)
Gaya penggerak hidrodinamis pada arah-x,
η
η
η
η
1 ∂p hd
∂  ∂ ∂u 
∂  ∂ ∂v 
=
dz
dz
+
dz
ρ ∂x
∂x ∫z  ∂t ∫z ∂x 
∂x ∫z  ∂t ∫z ∂y 

∂w
∂ 2 wη
dz + η ∂η +
(η − z )

∂
t
∂
x
∂
x
∂
t

η
1 ∂  ∂u 2 ∂v 2 ∂w 2 

dz
+
+
+
2 ∂x ∫z  ∂z
∂z
∂z 
(31)
η
η
η
η
1 ∂p hd
∂  ∂ ∂u 
∂  ∂ ∂v 
=
dz dz + ∫  ∫ dz 
ρ ∂y
∂y ∫z  ∂t ∫z ∂x 
∂y z  ∂t z ∂y 
η
∂wη
1 ∂p hd
=
ρ ∂x
∂t
∂wη
1 ∂p hd
=
∂t
ρ ∂t
∂η , 1 ∂p hd ∂wη ∂η
=
dan
∂x
ρ ∂y
∂t ∂y
∂η
∂t
(33)
Jadi gaya penggerak hidrodinamis pada Persamaanpersamaan (31) dan (32), adalah gaya hidrodinamis
permukaan, dengan distribusi terhadap kedalaman z
ditentukan oleh suku-suku 1,2,4 dan 5. Koreksi atau
distribusi gaya penggerak hidrodinamis permukaan terhadap kedalaman z dapat digantikan dengan faktorfaktor distribusi seperti yang telah dibahas terdahulu
yaitu w/u, w2/u2, w/v, w2/v2 dan w2/uv yang merupakan
fungsi dari kedalaman z. Dengan demikian Persamaanpersamaan (31) dan (32) dapat digantikan dengan gaya
penggerak hidrodinamis permukaan dikalikan dengan
suatu faktor distribusi. Dengan demikian, persamaan
momentum-x adalah
 ∂wη  ∂η
1
1
∂u 3 ∂ 2
+
u + v 2 + w 2 = − 8 cosθβ(z)  g + ∂t  ∂t


∂t 8 ∂x
2
∂w  ∂η
β1 ( z ) 
1
 g + η 
− 1 +
2
2
8  cos θβ ( z ) 
∂t  ∂x
(
)
β12 ( z )
1  sin θ
− 
+
8  cosθ cos θ sin θβ 2 ( z )

∂w
 g + η


∂t

 ∂η

 ∂y
(34)
Sedangkan persamaan momentum-y adalah
∂v 3 ∂ 2
1
1  ∂wη  ∂η
g +

+
(
u + v 2 + w2 ) = −
8 sinθβ(z) 
∂t  ∂t
∂t 8 ∂y
Dengan cara yang sama akan diperoleh gaya penggerak
hidrodinamis pada arah-y adalah
 ∂wη ∂η ∂ wη
1 ∂  ∂u ∂v ∂w 
dz+
+
(
)
+
η
−
z
∫z  ∂z + ∂z + ∂z dz

2
∂
y
∂
t
∂
y
∂
y
∂
t

2
Bila Persamaan (31) dan (32) dikerjakan pada
permukaan air, pada z = η (catatan, dari Persamaan
(30), pada z = η, phd,η = 0, sesuai dengan syarat batas
dinamik permukaan), maka suku dalam integral pada
ruas kanan persamaan menjadi nol, begitu juga suku ke
4 juga menjadi nol. Gaya penggerak hidrodinamis
menjadi,
2
2
2
(32)

∂w
β12 ( z )
1  cosθ
 g + η
− 
+
2
8  sin θ
∂t
cos θ sin θβ ( z ) 
∂w  ∂η
β12 ( z ) 
1
 g + η 
− 1 +
2
2
8  sin θβ ( z ) 
∂t  ∂y
 ∂η

 ∂x
(35)
sedangkan persamaan momentum-z,
∂ wη  ∂ η

∂w 3 ∂ 2 2
1
 g +

+
u + v + w2 = −
8β1 (z) 
∂ t  ∂ t
∂t 8 ∂z
(
)
(36)
∂w/∂ tpada Persamaan (36) disubstitusi dengan Persamaan (28),
Vol. 20 No. 2 Agustus 2013
147
Persamaan Momentum untuk Aliran Berakselerasi Tinggi dengan Aplikasi pada...
η
η
∂wη 3 ∂ 2
∂ ∂u
∂ ∂v
dz + ∫ dz +
u + v 2 + w2 =
+
∫
∂t z ∂x
∂t z ∂y
∂t
8 ∂z
−
(
∂w
1 
 g + η
8β 1 ( z ) 
∂t
)
 ∂η

 ∂t
Pada diferensial waktu suku ke 5, 6 dan 7 dikerjakan
operasi diferensial parsial dan persamaan dibagi 4,
Pada perairan dangkal, dimana distribusi kecepatan
pada sepanjang kedalaman hampir seragam, suku 4
pada ruas kiri berharga sangat kecil sehingga dapat
diabaikan. Selanjutnya persamaan dikerjakan pada z =
h, maka suku ke satu dan ke dua ruas kiri persamaan
menjadi nol dan
∂wη
∂t
∂wη
∂t
=−
=−
∂w
1 
 g + η
8β1 (η ) 
∂t
 ∂η

atau
 ∂t
∂η
∂η  ∂t

 8β1 (η ) +

∂t 

g
(37)
4. Persamaan Muka Air
Persamaan kontinuitas yang digunakan adalah
persamaan kontinuitas yang disuperposisikan dengan
persamaan kekekalan energi, Hutahaean (2007a),
(2009),
 ∂u ∂v ∂w   ∂Ek ∂uEk ∂vEk ∂wEk 
 + +  + 
 =0
+
+
+
∂x
∂y
∂z 
 ∂x ∂y ∂z   ∂t
(38)
dimana berlaku persamaan kekekalan masa,
 ∂u ∂v ∂w 
 + +
 = 0
 ∂x ∂y ∂z 
(39)
serta persamaan kekekalan energi,
 ∂E k ∂uEk ∂vEk ∂wE k

+
+
+
∂x
∂y
∂z
 ∂t
Ek =

 = 0

(40)
u +v +w
= energi kinetik. Pada persamaan
2g
2
2
persamaan kekekalan energi ini juga dikerjakan
diferensial ruang yang memperhitungkan adanya percepatan terhadap waktu,
∂Ek ∂uEk ∂vEk ∂wEk 1 ∂uEk 1 ∂vEk
+
+
+
+
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
u ∂t
v ∂t
1 ∂wE k u ∂vE k u ∂wE k v ∂uEk v ∂wEk
+
+
+
+
+
+
u ∂y w ∂y
w ∂t
v ∂x
w ∂x
148 Jurnal Teknik Sipil
∂E k 1  ∂uEk ∂vEk ∂wE k Ek ∂u
+
+
+ 
+
+
∂t
4  ∂x
∂y
∂z
u ∂t
E ∂v E k ∂w u ∂vEk u ∂wEk 

+ k
+
+
+
v ∂t w ∂t v ∂x
w ∂x 
1  v ∂uEk v ∂wEk w ∂uEk w ∂vEk
+ 
+
+
+
4  u ∂y
w ∂y
u ∂z
v ∂z

 = 0

(41)
Untuk selanjutnya ∂wη / ∂t pada persamaan momentum, dihitung dengan menggunakan Persamaan (37).
2
w ∂uE k w ∂vE k
+
=0
u ∂z
v ∂z
Persamaan (41) ini adalah persamaan kekekalan energi yang digunakan pada pemodelan. Ek/u mempunyai
dimensi dt dimana dimensi ini hilang oleh dimensi ∂u/
∂t sehingga suku Ek/u ∂u/∂t mempunyai dimensi m/dt,
dimensi ini adalah sama dengan dimensi dari ∂Ek/∂t.
Jadi dalam hal ini Ek/u dapat dipandang sebagai
bilangan yang tidak berdimensi atau suatu koefisien.
Begitu juga halnya dengan Ek/v dan Ek/w. Sedangkan u/
v, u/w dan lain sebagainya terlihat jelas sebagai
bilangan tidak berdimensi. Dengan mengerjakan
berbagai koefisien pada suku diferensial tersebut pada
z = h, dan dikerjakan sifat potensial aliran seperti pada
bagian 2.d, diperoleh
E k E kη β 2 (η ) + β 2 (η ) + β12 (η ) ,
=
=
u
uη
2 gβ (η )
E k E kη β 2 (η ) + β 2 (η ) + β12 (η )
=
=
v
vη
2 gβ (η )
E k E kη β 2 (η ) + β 2 (η ) + β12 (η )
=
=
w
wη
2 gβ1 (η )
(42)
u uη cosθ , u uη
β (η ) ,
=
=
=
=
v vη sin θ
w wη β1 (η )
v vη sin θ , v vη
β (η ) ,
=
=
=
=
u uη cos θ
w wη β1 (η )
w wη β1 (η ) , w wη β1 (η )
=
=
=
=
u uη
β (η ) v vη
β (η )
(43)
Sebenarnya harga berbagai koefisien tersebut dapat
diambil pada suatu kedalaman z = z0, tetapi hasil
penelitian menunjukkan hasil yang baik bila dikerjakan
pada z = h.
Syawaluddin Hutahaean
∂η ∂UH ∂VH
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
5. Integrasi Terhadap Kedalaman
Untuk mengubah problem 3 dimensi menjadi problem
2 dimensi, berbagai persamaan dasar tersebut diintegrasikan terhadap kedalaman. Integrasi dilakukan dengan mengerjakan aturan Leibniz, serta dengan
menggunakan kecepatan rata-rata kedalaman (Dean
(1984). Mengingat keterbatasan ruang, maka proses
integrasi tidak diuraikan
Hasil integrasi terhadap kedalaman persamaan kekekalan energi, dengan anggapan distribusi kecepatan pada
seluruh kedalaman adalah seragam adalah,
η
∂HE k 1  ∂UE k H ∂VE k H E k ∂u
dz +
+ 
+
+
4  ∂x
u −∫h ∂t
∂t
∂y
η
η
E k ∂v
E k ∂w 
dz
+
dz 
v −∫h ∂t
w −∫h ∂t 
1  u ∂VEk H u ∂WEk H v ∂UEk H v ∂WEk H 

+ 
+
+
+
w ∂x
u ∂y
w ∂y 
4  v ∂x
5.1 Persamaan kontinuitas yang terintegrasi terhadap kedalaman.
Integrasi persamaan kontinuitas terhadap kedalaman,
Persamaan (39), menghasilkan
∂η ∂β uUH ∂β vVH
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
z
w
1
+  (wη E k ,η − w−h Ek , − h ) + (uη Ek ,η − u −h E k , − h ) +
u
4
w

(45)
+ (vη E k ,η − v− h E k , − h ) = 0
v

SWL
η
x
(44)
Selanjutnya sebagaimana halnya pada Hutahaean
(2007a), sebagai persamaan muka air adalah superposisi
antara Persamaan (44) dengan Persamaan (45),
h
∂η ∂UH ∂VH
+
+
∂y
∂t
∂x
Gambar 2. Fluktuasi muka air akibat
gelombang
η
∂HE k 1  ∂UE k H ∂VE k H E k ∂u
+ 
+
+
dz +
dimana
∂t
4  ∂x
∂y
u −∫h ∂t
h = elevasi muka air terhadap muka air diam (Gambar
η
η
(2))
Ek ∂v
Ek ∂w  1  u ∂VEk H u ∂WEk H
dz
dz + 
+
+
+
U = kecepatan rata-rata kedalaman pada arah-x,
v −∫h ∂t
w −∫h ∂t  4  v ∂x
w ∂x
η
1
v ∂UEk H v ∂WEk H  1 
U=
u dz
 +  (wη Ek ,η − w−h Ek ,−h ) +
+
+
β u H −∫h
u ∂y
w ∂y  4 
+
V = kecepatan rata-rata kedalaman pada arah-y,
V=
+
η
1
v dz
β v H −∫h
w
(uη Ek ,η − u −h Ek ,− h ) + w (vη Ek ,η − v−h Ek ,−h ) = 0
u
v

(46)
η
H = kedalaman total = h + η (Gambar (2))
h = kedalaman perairan terhadap muka air diam
(Gambar (2))
Mengingat persamaan akan dikerjakan pada perairan
dangkal, dimana distribusi kecepatan hampir seragam
pada seluruh kedalaman, maka dapat diambil koefisien
η
1
∂u
η
∂v
∫ ∂t dz , ∫ ∂t dz
−h
−h
η
dan
∂w
∫ ∂t dz disubstitusi dengan
−h
hasil integrasi persamaan momentum-x, y dan z, dengan
bentuk berbagai koefisien pada suku diferensial adalah
seperti pada Persamaan-persamaan (43) dan (44).
a. Persamaan momentum-x
η
1
integrasi bu = bv = 1, dimana U = H ∫ u dz dan v = H −∫hv dz
−h
Persamaan (3.7a) diintegrasikan terhadap kedalaman,
serta persamaan kekekalan masa yang terintegrasi terhadap kedalaman adalah
∂U
3 ∂
+
U 2H +V 2H + W 2H =
∂t
8 H ∂x
(
)
Vol. 20 No. 2 Agustus 2013
149
Persamaan Momentum untuk Aliran Berakselerasi Tinggi dengan Aplikasi pada...
∂wη  ∂η η 1

 g +

dz
∂t  ∂t −∫h β ( z )

∂wη  ∂η η 
β12 ( z ) 
1 

dz


−
g+
1+
8 H 
∂t  ∂x −∫h cos 2 θβ 2 ( z ) 
1
−
8 H cosθ
∂w

 g + η
∂t

 ∂η

 ∂y
6. Hasil Persamaan
η
 sin θ
β 12 ( z )

+
∫  cos θ cos θ sin θβ 2 ( z )
− h

dz


−
1
8H
−
U ∂η 3  2 2
∂η
∂h 
−  uη + vη + wη2
− u−2h + v−2h + w−2h 
H ∂t 8H 
∂x
∂x 
(
)
(
)
(47)
b. Persamaan momentum-y
Persamaan (3.7b) diintegrasikan terhadap kedalaman,
(
)
∂V
3 ∂
+
U 2H +V 2H +W 2H =
∂t 8 H ∂y
∂w  ∂η η 1

1
 g + η 
−
dz
8H sin θ 
∂t  ∂t −∫h β ( z )

∂wη  ∂η η  cosθ
β12 ( z)
1 
dz
 g +
 ∫ 
−
+
2

8H 
∂t  ∂x −h sinθ cosθ sinθ β ( z) 
∂wη  ∂η η 
β12 ( z ) 
1 

dz


−
g+
1+
8H 
∂t  ∂y −∫h sin 2 θ β 2 ( z ) 
−
Persamaan muka air dan persamaan momentum yang
terintegrasi terhadap kedalaman diselesaikan secara
numeris, dimana diferensial ruang diselesaikan dengan
metoda selisih hingga, dengan panjang grid ± 1/40 panjang gelombang. Diferensial waktu diselesaikan dengan
metoda prediktor-korektor berbasis integrasi numeris
dari Newton-Cote (Hutahaean (2007a)), dengan
langkah waktu δt = 1/300 perioda gelombang.
Model dikerjakan pada suatu profil batimetri seperti
pada Gambar 3 dimana kedalaman mula-mula adalah
15 m, pada jarak 150 m, kedalaman menjadi 1.0 m dan
selanjutnya datar dengan kedalaman 1.0 m. Gelombang
yang digunakan adalah gelombang sinusoidal dengan
perioda 8 detik dengan amplitudo 0.8 m atau tinggi
gelombang 1.6 m (Gambar 4).
Pada Gambar 5, pada garis lintasan puncak gelombang, terlihat bahwa semula terjadi pembesaran tinggi
gelombang (shoaling) selanjutnya terjadi penurunan
tinggi gelombang atau breaking. Pada peralihan
kemiringan dasar perairan yaitu pada jarak 150 m, terlihat terjadi lonjakan muka air dan kemudian menurun
dengan cepat. Pada peralihan kemiringan tersebut terjadi breaking yang kedua. Pada perairan dangkal, profil
gelombang tidak lagi berbentuk sinusoidal tetapi menjadi berbentuk gelombang cnoidal, sebagaimana yang
dihasilkan pada Hutahaean (2011) dan (2012).
V ∂η 3  2 2 2 ∂η 2 2
∂h 
−  uη + vη + wη
− u−h + v−h + w−2h 
H ∂t 8H 
∂y
∂y 
(
)
(
)
(48)
c. Persamaan momentum-z
Persamaan (3.7c) diintegrasikan terhadap kedalaman,
∂W
3
+
uη2 + vη2 + wη2 − u −2h + v−2h + w−2h =
∂t 8H
∂w  ∂η η 1
1 
W ∂η
 g + η 
(49)
−
dz −
∫
8H 
∂t  ∂t −h β1 ( z )
H ∂t
((
) (
))
Gambar 3. Profil dasar perairan untuk simulasi
uh, vh dan wh adalah kecepatan pada arah-x, arah-y dan
arah-z pada permukaan air, sedangkan u-h, v-h dan w-h
adalah kecepatan pada dasar perairan, sedangkan integrasi pada ruas kanan persamaan dapat diselesaikan
secara numeris, pada penelitian in digunakan integrasi
numeris dari Newton-Cote (Hutahaean (2005),
(2010a)).
Gambar 4. Profil gelombang mula-mula
150 Jurnal Teknik Sipil
Syawaluddin Hutahaean
Gambar 5. Profil gelombang pada kedalaman 1 m
Hal lain yang perlu diperhatikan adalah panjang gelombang menjadi sangat pendek (Gambar 4) yaitu pada
kedalaman 15 m panjang gelombang sekitar 25-30 m,
dimana panjang gelombang dari teori gelombang linier
untuk perioda gelombang 8 detik, pada kedalaman 15
m adalah 81 m. Hasil pengukuran panjang gelombang
memang tidak tersedia.Tetapi bila diamati secara visual
terlihat bahwa profil gelombang adalah cukup curam.
Banyaknya perahu yang terbalik oleh gelombang,
menunjukkan curamnya profil gelombang atau
pendeknya panjang gelombang, begitu juga olahraga
selancar air dapat dilakukan karena profil muka gelombang yang curam.
Dari hasil eksekusi model ini, didapatkan bahwa persamaan yang dikembangkan dapat mensimulasikan
shoaling dan breaking dengan lebih baik dari hasil
penelitian sebelumnya yaitu (Hutahaean (2012)) .
7. Kesimpulan
1. Pada penelitian ini dihasilkan suatu persamaan momentum, dimana percepatan tidak hanya disebabkan gaya penggerak pada arah sumbu yang bersangkutan, tetapi juga oleh gaya penggerak pada
arah sumbu lain, yaitu gaya penggerak pada arah
sumbu-x tidak hanya ∂p/∂x saja, tetapi terdapat juga
peranan ∂p/∂y dan ∂p/∂z. Hal ini sesuai dengan
yang terjadi dialam, sebagai contoh angin yang bertiup pada permukaan air laut dapat membangkitkan
gelombang dimana hal ini menunjukkan adanya
fenomena perubahan gaya horisontal menjadi gaya
vertikal, begitu juga gelombang yang ditimbulkan
oleh kapal yang bergerak adalah berasal dari gaya
horisontal dari dinding kapal. Selain itu terdapat
gaya penggerak berupa perubahan tekanan terhadap
waktu ∂p/∂t.
2. Model yang dihasilkan dapat mensimulasikan
shoaling dan breaking dengan baik. Panjang gelombang yang dihasilkan jauh lebih pendek dari panjang
gelombang dari teori gelombang linier, dimana teori
gelombang linier dirumuskan dengan anggapan
gelombang panjang. Mengenai panjang gelombang
ini memang tidak terdapat data hasil pengukuran,
tetapi bila diamati dialam bahwa profil muka air
akibat gelombang terlihat curam, maka panjang
gelombang memang seharusnya pendek. Dengan
panjang gelombang seperti pada teori gelombang
linier maka profil gelombang akan sangat landai.
3. Hutahaean (2012), mengembangkan model gelombang pendek dengan tekanan hidrodinamis yang
dirumuskan dengan menggunakan persamaan kontinuitas untuk aliran fluida berkakselerasi tinggi,
dimana model tersebut juga dapat mensimulasikan
breaking, tetapi tidak dapat memodelkan breaking
untuk tinggi gelombang yang besar dan dengan
panjang gelombang yang masih cukup besar yaitu
kurang lebih separuh panjang gelombang teori
gelombang linier. Begitu juga pada penelitian ini,
pengembangan adalah dilakukan dengan memperbaiki tekanan hidrodinamis. Jadi untuk mengembangkan model gelombang yang lebih baik lagi adalah dengan memperbaiki tekanan atau gaya penggerak hidrodinamis pada persamaan momentum.
4. Pada penelitian ini, maupun pada Hutahaean (2012),
tekanan hidrodinamis masih dirumuskan dengan
menggunakan persamaan kontinuitas yang tidak
memperhitungkan adanya percepatan. Hal ini
dikarenakan masih belum didapatkan metoda integrasi yang lebih baik ataupun interpretasi yang lebih
baik pada persamaan tersebut. Jadi prospek pengembangan lebih lanjut adalah dengan mengembangkan
persamaan
tekanan
hidrodinamis
dengan
menggunakan persamaan kontinuitas untuk aliran
berakselerasi tinggi.
Vol. 20 No. 2 Agustus 2013
151
Persamaan Momentum untuk Aliran Berakselerasi Tinggi dengan Aplikasi pada...
Daftar Pustaka
Dean, R.G., and Dalrymple, 1984, Water Wave
Mechanics for Engineers and Scientists.
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Hutahaean, S.. 2005, Integrasi Numeris Dengan
Menggunakan Polinomial Lagrange, Jurnal
Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan
Lingkungan, ITB, Volume 12 No.2, April 2005
Hutahaean, S., 2007a, Pemodelan Dinamika Gelombang Dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi, Jurnal Teknik Sipil, Fakultas Teknik
Sipil dan Lingkungan, ITB Volume 14 No.1,
Januari 2007.
Hutahaean, S., 2008a, Persamaan Gelombang Nonlinier
Pada Dasar Perairan Miring, Jurnal Teknik Sipil,
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB,
Volume 15 No.1, April 2008.
Hutahaean, S., 2008b, Momentum Equlibrium Equation Application in Airy’s Long Wave Equation,
Jurnal Infrastruktur dan Lingkungan Binaan,
Volume IV, No. 1, 2008, Fakultas Teknik Sipil
dan Lingkungan, ITB.
Hutahaean, S., 2008c, Model Refraksi-Difraksi Gelombang Oleh Batimetri, Jurnal Teknik Sipil,
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB,
Volume 15 No.2, Agustus 2008.
Hutahaean, S., 2009, Model Refraksi-Difraksi Gelombang Air Oleh Batimetri dengan Mengerjakan
Persamaan Kekekalan Energi, Jurnal Teknik
Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan,
ITB, Volume 16 No.1, April 2009.
Hutahaean, S., 2010a, Penyelesaian Persamaan Vibrasi
Dengan Integrasi Newton-Cote, Jurnal Teknik
Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan,
ITB, Volume 17 No.1, April 2010.
Hutahaean, S., 2010b, Pengerjaan Metoda Inversi Integral pada Perumusan Persamaan Muka Air
Gelombang Air Nonlinier, Jurnal Teknik Sipil,
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB,
Volume 17 No.2, Agustus 2010.
Hutahaean, S., 2011, Deformasi Gelombang Air
Sinusoidal Menjadi Gelombang Cnoidal, Jurnal
Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB, Volume 18 No.2, Agustus 2011.
Hutahaean,S., 2012, Pemodelan Gelombang dengan
Menggunakan Tekanan Hidrodinamis yang dirumuskan dari Persamaan Kontinuitas untuk
Fluida Berakselerasi, Jurnal Teknik Sipil,
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB,
Volume 19 No.2, Agustus 2012.
152 Jurnal Teknik Sipil