Sesi 1.indd

KTSP
&
K-13
FIsika
KINEMATIKA
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu menjelaskan hubungan antara
vektor posisi, vektor kecepatan, dan vektor percepatan untuk gerak benda dalam bidang
datar.
Kinematika adalah ilmu yang mempelajari tentang gerak tanpa memperhatikan aspek
penyebabnya. Pembahasan tentang gerak benda akan sangat berhubungan dengan kedudukan
benda, kecepatan, percepatan, dan waktu. Benda diumpamakan sebagai partikel, yaitu benda
dengan massa tetap dan ukurannya diabaikan.
A.
VEKTOR POSISI
Vektor posisi merupakan vektor yang menggambarkan keberadaan suatu titik terhadap
titik lainnya. Vektor posisi dapat dijabarkan dengan koordinat kartesius. Posisi partikel
pada bidang datar dinyatakan oleh vektor posisi r, yaitu vektor yang ditarik dari titik
pusat koordinat sampai ke posisi partikel tersebut. Vektor posisi dinyatakan dengan
menggunakan vektor satuan i dan j . Vektor satuan i menyatakan vektor dalam sumbu-x
dan j menyatakan vektor dalam sumbu-y.
1
K
e
l
a
s
XI
Y ( j ) ĵ
Vektor posisi A adalah rA = xi + yj .
Panjang vektornya dapat ditentukan dengan rumus:
rA = x 2 + y 2
X ( i )
Contoh Soal 1
Perhatikan gambar berikut.
Y ( j )
X ( i )
Persamaan dan panjang vektor posisi titik B adalah ....
Pembahasan:
Posisi titik B jika dinyatakan dengan vektor posisi adalah rB = xi + yj = 5i +12j .
Panjang vektornya adalah rB = 52 +122 = 13 satuan
B.
VEKTOR PERPINDAHAN
Benda dikatakan berpindah jika posisi benda mengalami perubahan terhadap titik acuan.
Vektor yang menyatakan perubahan posisi ini disebut sebagai vektor perpindahan.
Perhatikan ilustrasi berikut.
r1 = x1 i + y1j
r = x i + y j
2
2
2
2
Vektor perpindahannya, ∆r = r2 – r1 = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j
Besar perpindahannya, ∆r = ∆x 2 + ∆y 2
Contoh Soal 2
Sebuah titik materi bergerak pada suatu bidang x–y dengan persamaan vektor posisi
r = ( 2 + 6t )i + ( 3t ) j m. Tentukan besar perpindahan titik materi antara t = 1 s dan t = 2 s.


Pembahasan:
Diketahui:
r = ( 2 + 6t )i + ( 3t ) j m


t1 = 1 s
t2 = 2 s
Ditanya: besar perpindahan, |∆r| =…?
Dijawab:
Saat t1 = 1 s, maka r1 = ( 2 + 6.1)i + ( 3.1) j = 8i + 3j


Saat t2 = 2 s, maka r2 = ( 2 + 6.2 )i + ( 3.2 ) j = 14i + 6j


Vektor perpindahan:
∆r = r2 – r1
= xi + yj
= (14 – 8)i + (6 – 3)j
= 6i + 3j
Besar perpindahan:
∆r = (62 + 32 )
= 45
= 3 5 meter
∆r = (62 + 32 )
= 45
meter.
Jadi, besar perpindahannya adalah
= 3 5 meter
C.
∆r r2 − r1 ∆y y 2 − y1 ∆x x 2 − x1
;
=
=
;
=
∆t t 2 − t1 ∆t t 2 − t1 ∆t t 2 − t1
Kecepatan rata-rata merupakan hasil bagi perpindahan posisi dengan selang waktu yang
ditempuhnya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
KECEPATAN RATA-RATA ( v )=
3
v=
∆r r2 − r1 ∆y y 2 − y1 ∆x x 2 − x1
;
=
=
;
=
∆t t 2 − t1 ∆t t 2 − t1 ∆t t 2 − t1
Contoh Soal 3
Sebuah titik materi bergerak pada suatu bidang x–y dengan persamaan posisi
r = ( 2 + 6t )i + ( 3t ) j m . Tentukan besar kecepatan rata-rata titik materi antara t = 1 s dan


t = 2 s.
Pembahasan:
Diketahui:
r = ( 2 + 6t )i + ( 3t ) j m


t1 = 1 s
t2 = 2 s
∆r r − r ∆y y 2 − y1 ∆x x 2 − x1
Ditanya: besar kecepatan rata-rata, | v |==…?= 2 1 ;
=
;
=
∆t t 2 − t1 ∆t t 2 − t1 ∆t t 2 − t1
Dijawab:
Saat t1 =1 s, maka r1 = ( 2 + 6.1)i + ( 3.1) j = 8i + 3j


Saat t2 =2 s, maka r2 = ( 2 + 6.2 )i + ( 3.2 ) j = 14i + 6j


Vektor perpindahan:
∆r = r2 – r1
= ∆xi + ∆yj
= xi + yj
= (14 – 8)i + (6 – 3)j
= 6i + 3j
Vektor kecepatan rata-rata:
v=
∆r r2 − r1 6i + 3j
=
=
= 6i + 3j
2 −1
∆t t2 − t1
Besar kecepatan rata-rata:
v = 62 + 32 = 45 = 3 5 m / s
m/s.
Jadi, besar kecepatan
v rata-ratanya
= 62 + 32 =adalah
45 = 3 5 m
/s
4
Contoh Soal 4
Saat t = 0 sekon, sebuah benda berada pada koordinat (2, 4) dan saat t = 2 sekon, benda
tersebut berada pada koordinat (8, 6). Hitung vektor kecepatan rata-rata benda tersebut
dan tentukan besarnya.
Pembahasan:
Diketahui:
t = 0 sekon, koordinatnya (2, 4)
t = 2 sekon, koordinatnya (8, 6)
∆r r −∆r1 ∆ry2 − r1y 2 ∆−yy1 y∆2x− yx1 2 ∆−xx1 x 2 − x1
Ditanya: v =dan |=v |=2= …?
= ;
=
=;
= ;
=;
t 2t − t1t 2 ∆
∆t t 2 −∆t1 ∆t 2t − t1t 2 ∆−tt1 ∆
−tt1 t 2 − t1
Dijawab:
Saat t = 0 s, maka r = x i + y j = 2i + 4j
1
1
1
Saat t = 2 s, maka r2 = x 2 i + y 2 j = 8i + 6j
Vektor perpindahan:
∆r = r2 – r1
= ∆xi + ∆yj
= (8 – 2)i + (6 – 4)j
= 6i + 2j
Vektor kecepatan rata-rata:
v=
∆r 6i + 2j  
=
= 3i + j
∆t 2 − 0
Besar kecepatan rata-rata:
v = 32 +12 = 10 m / s
(
)
m/s.
Jadi, vektor kecepatan rata-ratanya v = 3i + j m/svdan
= besarnya
32 +12 = 10 m
/s
D.
KECEPATAN SESAAT (v)
Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu yang
mendekati nol. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
∆r
∆y
∆x
; lim
; lim
∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
v = lim v = lim
∆t → 0
5
Kecepatan sesaat juga merupakan turunan pertama dari fungsi posisi r, y, dan x terhadap
waktu t. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
v=
dr
dy
dx
; vy =
; vx =
dt
dt
dt
Contoh Soal 5
Sebuah titik materi bergerak pada suatu bidang x-y dengan persamaan posisi
r = ( t 2 )i + ( 3t ) j m . Tentukan besar kecepatan titik materi tersebut saat t = 2 .


Pembahasan:
Diketahui:
r = ( t 2 )i + ( 3t ) j m


t=2s
Ditanya: |v| = …?
Dijawab:
Kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi posisi sehingga:
dr
dt
d ( t 2 )i + ( 3t ) j

= 
dt
= 2ti + 3j
v=
(
)
Saat t = 2 s, maka vektor kecepatan sesaatnya adalah sebagai berikut.
(
)
= ( 2 ( 2 )i + 3j )
v = 2t i + 3j
= 4 i + 3j
Dengan demikian, besar kecepatan titik materi tersebut adalah sebagai berikut.
v = 4 2 + 32 = 25 = 5 m/s
Jadi, saat t = 2, besar kecepatan sesaatnya adalah 5 m/s.
6
Contoh Soal 6
Sebuah benda dilempar vertikal ke atas dengan persamaan lintasan y = (10t – 2,5t2) m.
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai oleh benda tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
y = (10t – 2,5t2) m
Ditanya: ketinggian maksimum =…?
Dijawab:
Mula-mula, tentukan dahulu persamaan kecepatannya. Oleh karena kecepatan merupakan
turunan pertama dari fungsi lintasan, maka:
v=
=
dy
dt
d (10t − 2,5t 2 )
dt
= 10 − 5t
Benda mencapai titik tertinggi pada saat v = 0, sehingga:
v = 10 – 5t
0 = 10 – 5t
t=2s
Subtitusikan t = 2 s ke persamaan lintasan, sehingga diperoleh:
(
y = 10.2 − 2,5 ( 2 )
2
)
= 20 − 10
= 10 m
Jadi, tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh benda tersebut adalah 10 meter.
E.
PERCEPATAN RATA-RATA ( a )
Percepatan rata-rata merupakan hasil bagi perubahan kecepatan dengan selang waktu
tempuhnya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
a=
∆v v 2 − v1
=
∆t
t2 − t1
7
Contoh Soal 7
Sebuah titik materi bergerak pada suatu bidang x–y dengan persamaan vektor kecepatan
v = ( 6t + 4 )i + ( 2t ) j m/s. Tentukan besar percepatan rata-rata titik materi tersebut


antara t = 1 s dan t = 2 s.
Pembahasan:
Diketahui:
v = ( 6t + 4 )i + ( 2t ) j m/s


t1 = 1 s
t2 = 2 s
Ditanya: | a | = …?
Dijawab:
Saat t1 = 1 s, maka v1 = ( 6.1+ 4 )i + ( 2.1) j = 10 i + 2j


Saat t2 = 2 s, maka v 2 = ( 6.2 + 4 )i + ( 2.2 ) j = 16 i + 4j


Perubahan kecepatan:
∆v = v 2 − v1
= (16 − 10 )i + ( 4 − 2 ) j
= 6 i + 2j
Percepatan rata-rata:
a=
∆v v 2 − v1
=
∆t
t2 − t1
6 i + 2j 

=
2 −1
= 6 i + 2j
Besar percepatan rata-rata:
a = 62 + 22 = 2 10 m / s2
a = 62adalah
+ 22 = 2 10 m / s2
Jadi, besar percepatan rata-ratanya
F.
PERCEPATAN SESAAT (a)
Percepatan sesaat didefinisikan sebagai percepatan rata-rata untuk selang waktu ∆t yang
mendekati nol. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
8
a = lim a = lim
∆t → 0
∆t → 0
∆v
∆t
Percepatan sesaat juga dapat dikatakan sebagai turunan pertama dari fungsi kecepatan
atau turunan kedua dari fungsi posisi terhadap waktu t. Secara matematis dapat dituliskan
sebagai berikut.
a=
dv d2r
=
dt dt 2
Contoh Soal 8
Sebuah titik materi bergerak pada suatu bidang x–y dengan persamaan vektor kecepatan
v = ( t 2 − 1)i + ( 2t ) j m / s . Tentukan besar percepatan titik materi tersebut saat t = 1 s.


Pembahasan:
Diketahui:
v = ( t 2 − 1)i + ( 2t ) j m / s


t=1s
Ditanya: |a| = …?
Dijawab:
Percepatan sesaat merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan, sehingga:
dv
dt
d ( t 2 − 1)i + ( 2t ) j

= 
dt
= ( 2t )i + 2j 


a=
Saat t = 1 s, maka vektor percepatan sesaatnya:
a = ( 2t )i + 2j 




= 2 (1) i + 2j
(
)
= 2 i + 2j
9
Besar percepatan sesaat:
a = 22 + 22
= 2 2 m / s2
a = 22 + 22
m/s².
Jadi, besar percepatan sesaatnya adalah
=2 2m
/ s2
Contoh Soal 9
Perpindahan sebuah benda sebagai fungsi waktu dinyatakan dengan y = t2(t – 1) m.
Tentukan percepatan benda setelah bergerak selama 0,5 sekon.
Pembahasan:
Diketahui:
y = t2(t – 1) m
t = 0,5 s
Ditanya: a =…?
Dijawab:
Oleh karena percepatan sesaat merupakan turunan kedua fungsi posisi, maka:
2
2
2
dv d 2 y d t ( t − 1)  d 3t − 2t 
a=
=
=
=
= ( 6t − 2 )
dt dt 2
dt 2
dt
Saat t = 0,5 s, maka:
a = (6t – 2) = (6(0,5) – 2) = 1 m/s2
Jadi, percepatan bendanya adalah 1 m/s².
G.
MENENTUKAN POSISI DARI FUNGSI KECEPATAN
Fungsi posisi dapat ditentukan dari fungsi kecepatan dengan metode integrasi. Berdasarkan
grafik fungsi (v–t), besarnya perpindahan benda/partikel dapat ditentukan dari luas daerah
di bawah kurva (v–t) tersebut. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
t
1
x = x 0 + ∫v x dt = x 0 + v 0x t + at 2
2
0
t
1
y = y 0 + ∫v y dt = y 0 + v 0y t + at 2
2
0
10
Dengan demikian, vektor posisi bendanya adalah sebagai berikut.
r = x i + yj
Contoh Soal 10
Sebuah partikel bergerak pada bidang x-y dengan kedudukan awal pada koordinat (1, 0).
Jika komponen kecepatannya vx = (2t) m/s dan vy = (1 + 3t2) m/s, maka:
a.
tentukan persamaan umum vektor posisi partikel; dan
b.
tentukan besarnya posisi partikel saat t = 2 sekon.
Pembahasan:
Diketahui:
vx = (2t) m/s
vy = (1 + 3t2) m/s
Kedudukan awal (1, 0)
x0 = 1
y0 = 0
a. r =…?
Ditanya
b. |r| saat t = 2 s
Dijawab:
Fungsi posisi dapat diperoleh dari fungsi kecepatan dengan metode integrasi sebagai
berikut.
t
t
0
0
t
t
0
0
x = x 0 + ∫v x dt = 1+ ∫ ( 2t ) dt = (1+ t 2 ) m
y = y 0 + ∫v y dt = 0 + ∫ (1+ 3t 2 ) dt = ( t + t 3 )m
a.
Persamaan umum vektor posisi partikel:
r = x i + y j
= (1+ t 2 )i + ( t + t 3 ) j m


b.
Posisi partikel pada saat t = 2 sekon:
r = (1+ t 2 )i + ( t + t 3 ) j


2
3
= (1+ 2 )i + ( 2 + 2 ) j




= 5i +10j


11
Besarnya posisi partikel:
r = 52 +102 = 5 5 m
2
52 +10
=5 5m
m.
Jadi, besarnya posisi partikel pada saat t = r2 =
sekon
adalah
H.
MENENTUKAN KECEPATAN DARI FUNGSI PERCEPATAN
Fungsi kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integrasi.
Berdasarkan grafik fungsi (a–t), besarnya kecepatan benda/partikel dapat ditentukan dari
luas daerah di bawah kurva (a–t) tersebut. Secara matematis dapat dituliskan sebagai
berikut.
t
v = v 0 + ∫a dt
0
= v0 + a t
Contoh Soal 11
Sebuah benda bermasa 2 kg bergerak dengan kelajuan awal 5 m/s. Jika diketahui gaya yang
bekerja pada benda F = (8 + 2t) N, maka kecepatan benda saat t = 1,5 sekon adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
m = 2 kg
v0 = 5 m/s
F = (8 + 2t) N
t = 1,5 sekon
Ditanya: v (t = 1,5 s) = …?
Dijawab:
Mula-mula, tentukan fungsi percepatannya. Berdasarkan hukum II Newton, diperoleh:
a=
F ( 8 + 2t )
=
= ( 4 + t ) m/s2
m
2
Oleh karena fungsi kecepatan merupakan integral dari fungsi percepatan, maka:
t
v = 5 + ∫ ( 4 + t ) dt
0
1
= 5 + 4t + t 2
2
12
Saat t = 1,5 sekon, maka:
1
v = 5 + 4t + t 2
2
1
2
= 5 + 4 (1,5 ) + . (1,5 )
2
= 12,125 m/s
Jadi, kecepatan benda saat t = 1,5 sekon adalah 12,125 m/s.
Contoh Soal 12
Sebuah benda bergerak dari keadaan diam dengan percepatan a = ((6t – 2)i + 6j) m/s².
Berapakah jarak yang ditempuh oleh benda setelah t = 2 sekon? 10 = 3,2
(
)
Pembahasan:
Diketahui:
a = ((6t – 2)i + 6j) m/s²
t = 2 sekon
Ditanya: |x| = …?
Dijawab:
Oleh karena fungsi kecepatan merupakan integral dari fungsi percepatan, maka:
t
v = v 0 + ∫a dt
0
t
(
)
= 0 + ∫ ( 6t − 2 )i + 6j dt
0
= ( 3t 2 − 2t )i + ( 6t ) j
Oleh karena fungsi posisi merupakan integral dari fungsi kecepatan, maka:
t
x = x 0 + ∫v dt
0
t
= 0 + ∫ ( 3t 2 − 2t )i + jdt
0
= ( t 3 − t 2 )i + ( 3t 2 ) j
Saat t = 2 sekon, maka:
x = ( t 3 − t 2 )i + ( 3t 2 ) j
= ( 23 − 22 )i + ( 3.22 ) j
= 4 i +12j
13
Dengan demikian, jarak yang ditempuh oleh benda setelah t = 2 sekon adalah sebagai
berikut.
x = 4 2 +122
= 160
= 4 10
= 12, 8 m
Jadi, jarak yang ditempuh selama t = 2 s adalah 12,8 m.
14