MODUL DERIVATIF A. KONSEP DASAR TURUNAN Turunan

Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
MODUL DERIVATIF
A. KONSEP DASAR TURUNAN
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh
dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x  0.
y
Jika y = f ( x ), maka
y = f
x
( xo +
∆x ) - f ( xo )
x
y / x
merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan
menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ),
dirumuskan :
y = f (x) = limy/x = lim
x  0
x  0
f (x + x) – f (x)
x
Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :
1. Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y = 0
Contoh : y = 5 maka y’ = 0
2. Diferensiasi fungsi linier
Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y = b
Contoh : y = 29 + 15x maka y’ = 15
3. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = axn , dimana a adalah konstanta, maka y = n.a xn –1
Contoh : y = 8x7 maka y’ = 8.7x7-1 =54x6
4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi
Jika y = u  v , dimana u = g (x) dan v = n (x), maka y = u  v
Contoh :
y = 8x3 – 8x2
u = 8x3  u’ = 8.3x3-1 = 24x2
v = – 8x2  v’ = -8.2x2-1 = -16x1
karena y = u  v
maka y’ = 24x2 – 16x
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = k.u , dimana u = g (x), maka y = k.u
Contoh : y = 8.7x2
u = 7x2  u’ = 7.2x1 = 14x
karena y = k.u
maka y’ = 8.14x = 112x
b. Perkalian fungsi
Jika y = u.v ,
dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v + u.v
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Contoh : y = ( 2x6 – 2 )( 3x3 – 7 )
u = ( 2x6 – 2 )  u’ = 2.6x6-1 = 12x5
v = ( 3x3 – 7 )  u’ = 3.3x3-1 = 9x2
karena
y = u.v + u.v
maka y’
= (12x5)(3x3 – 7) + (2x6 – 2)(9x2)
= 36x8 – 84x5 + 18x8 – 18x2
y’
= 54x8 – 84x5 – 18x2
6. Diferensiasi hasil bagi fungsi
Jika y =u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v – u.v
v
v2
2
3
2
Contoh : y = (9x – 5) maka y’ = (18x)(4x – 6) – (9x – 5)(12x3)
(4x3 – 6)
(4x3 – 6)2
y’ = 72x4 – 108x – 108x5 + 60x3
(4x3 – 6)2
5
y’ = -108x – 72x4 – 60x3 -108x
(16x6 – 48x3 + 36)
7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai )
Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka
dy = dy . du
dx
du . dx
contoh : y = ( 6x2 + 4 )2
misalkan : u
= 6x2 +4 , sehingga y = u2
du / dx
= 12x
dy / du = 2u
maka dy = dy . du = 2u . 12x = 2 (6x2 + 4) (12x) = 144x3 + 96x
dx
du dx
contoh: y = √3x2 + 4x – 5
y = (3x2 + 4x - 5)1/2
misalkan : u
= 3x2 + 4x -5 , sehingga
y = u1/2
du/dx = 6x + 4
dy/du = ½ u-1/2
maka dy = dy . du
dx
du dx
= ½ u-1/2 . (6x + 4)
= ½ (3x2 + 4x -5) -1/2 . (6x + 4)
=1.
1_____ . (6x + 4)
2 √3x2 + 4x – 5
=
6x + 4__
2√3x2 + 4x – 5
8. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan
mendiferensiasikan
sebanyak n kali.
dny atau fn (x) atau dn (y)
dxn
dx
5
4
3
2
Contoh : y = 5x + 4x + 3x + 2x +x maka
y’ atau dy / dx = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1
y’’atau d2y/d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ………..dst
Derivatif ke-n dilambangkan :
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
9. Diferensiasi implisif
Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku
demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan
tersebut ditentukan nilai dy/dx .
Contoh :
xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :
1.y2 + x.2y dy/dx – 2x + dy / dx = 0
( 2xy + 1 ) dy/dx
= - y2 + 2x
dy/dx
= - y2 + 2x
2xy + 1
10. Derivatif fungsi logaritmik
 y = ln x

dy/dx = 1/x
y = ln u , dimana u = g (x)
dy = du . 1 = u
dx
dx
u
u
a
 y = log x

dy/dx = 1/ aln a
Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx
u = 3 – 3x2
du / dx = u’ = -6x
dy = u’ =
-6x__
dx u
3 – 3x2
11. Derivatif fungsi eksponensial
 y = ex 
dy/dx = ex
x
 y = a 
dy/dx = ax ln a
12. Derivatif fungsi trigonometrik
Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :
 y = sin x

dy/dx = cos x
 y = cos x

dy/dx = - sin x
 y = tg x

dy/dx = sec2 x
 y = ctg x

dy/dx = - cosec2 x
 y = sec x

dy/dx = sec x . tg x
 y = cosec x 
dy/dx = - cosec x . ctg x
 Catatan : sec x = 1 / cos x
cos x = 1 / sin x
B. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal
Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah :
1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo )
2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x)
3. Cari Garis singgung dengan rumus :
y - yo = m (x – xo)
4. Cari Garis Normal dengan rumus :
y - yo = -1 ( x – xo )
m
 Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis
Singgung kurva
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0
2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0
3. Nilai stasioner
Jika diketahui y = f (x) , maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai
Stasioner
Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :
 Jika f  (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum
 Jika f  (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum
 Jika f  (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok
Contoh : Diketahui TR = 100Q - 5Q2 , tentukanlah nilai maksimum
atau minimum dari fungsi tsb !
Jawab : Karena Tr’ = 0
Maka TR’
= 100 – 10Q = 0
10Q = 100 jadi Q = 10
TR = -10 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum)
Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q2
= 100(10) - (10)2
= 900
C. APLIKASI DERIVATIF DALAM BISNIS DAN EKONOMI
1. ELASTISITAS
a. Elastisitas Harga
Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan
relatif dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang
digunakan, yaitu :
1. Elastisitas Titik ( Point Elasticity )
 = Q/Q = Q .
P/P
P
P
Q
2. Elastisitas Busur ( Arc Elasticity )
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.
Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.

=
P1
.
Q
Q1
P

=
P2
. Q
Q2
P

=
P1 + P2 . Q
Q1 + Q2
P
Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung :
a. Elastisitas harga Permintaan, d < 0 (negatif)
b. Elastisitas harga Penawaran, s > 0 (positif)
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Dari hasil
 
 
 
 
 
perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :
> 1
 Elastis
< 1 atau 0<n<1
 Inelastis (elastis sebagian)
= 1
 Unitary Elastis (elastis sempurna)
= 0
 Inelastis Sempurna
= ∞
 Elastis Tak Hingga
b. Elastisitas Permintaan
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta
akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f
( P ), maka elastisitas permintaannya
d = Qd. P
Qd
Contoh :
Maka
Fs. permintaan Qd = 100 – 5P2. tentukan elastisitas pada P = 10
Qd’ = -10P
d = Qd . P = (-10P ) . P =
Qd
( 100 – 5P2 )
P = 10 maka d = -10(10)2_ = 10
100-2(10)2
-10P2
( 100 – 5P2 )
c. Elastisitas Penawaran
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang
ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan
dengan Qs = f ( P ), maka elastisitas penawarannya :
s = Qs. P
Qs
Contoh :
Fs Penawaran Qs = 5P2 – 100. Hitunglah elastisitas pada P = 15
Qs’ = 10P
s = Qs . P_
= 10P . P
=
10P2 _
Qs
5P2 – 100
5P2 – 100
2
P = 15 maka, s
=
10(15)
= 2,4
2
5(15) – 100
d. Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (
output ) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan ( input ) yang
digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f ( x ), maka elastisitas
produksinya :
p = P. X
P
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Contoh :
Fs Produksi P = 4x2 – 2x3. Hitunglah elastisitas pada x = 10
P’ = 8x – 6x2
p = P . X
= ( 8x – 6x2 ) . X
= 8x2 – 6x3
P
4x2 – 2x3
4x2 – 2x3
2
3
X = 10 maka p = 8(10) – 6(10)
= 3,25
2
3
4(10) – 2(10)
2. BIAYA
o
Biaya Total ( TC )
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan
sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya
variabel.
TC = f (Q) atau TC = FC + VC
o
Dimana :
(Q)
TC = Total cost
VC = Variabel cost
FC = Fixed cost
Q = Kuantitas
Biaya Rata – rata ( AC )
Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau
jasa pada tingkat produksi total.
AC = TC / Q
o
Biaya Marginal ( MC )
Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat
pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tungkat produksi tertentu.
MC = TC = dTC / dQ
Contoh :
Diketahui TC = 400 + 50Q2 , Tentukan AC dan MC pada Q = 80 ?
AC = TC / Q = (400+50Q2) / Q = (400+50(80)2) / 80 = 4005
MC = TC = 100Q = 100(80) = 8000
3. PENERIMAAN
o
Penerimaan Total ( TR )
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.
TR = f (Q) = P . Q
o
Penerimaan Rata - rata ( AR )
Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu
barang / jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan
fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
AR = TR / Q = (P.Q) / Q = P
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
o
Penerimaan Marginal ( MR )
Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan
penjualan satu unit barang / jasa pada suatu kuantitas tertentu.
MR = TR = dTR / dQ
Contoh :
Diketahui TR = 6Q2 + 15Q + 1000, tentukan AR dan MR pada Q = 50 !
Jawaban :
AR = TR / Q
= 6Q + 15 + 1000 / Q
= 6(50) + 15 + 1000 / 50
= 335
MR = TR
= 12Q + 15
= 12(50) + 14
= 614
Contoh Soal :
1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 20 - 7P2 .
Tentukan elastisitas permintaan pada saat harga Rp 3 / unit. Bagaimana sifat elastis
permintaan tersebut, analisislah !
Dik :
Qd = 20 - 7P2  Qd = -14P
P = Rp 3 / unit
Jawab :
d
= Qd . P
Qd
= -14P . P_
20 - 7P2
= -14 (3) . 3_
20 - 7 (3)2
= -126 = 2,93  Elastis
-43
Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 2,93 pada saat harga produk sebesar
Rp 3 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun
sebanyak 2,93 %
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P2 = 45 + Qs .
Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 5 / unit. Bagaimana sifat
elastisitas penawaran tersebut, analisislah !
Dik :
P2 = 45 + Qs  Qs = P2 - 45  Qs = 2P
P = Rp 5 / unit
Jawab : s
= Qs . P
Qs
= 2P
. P
P2 - 45
= 2 (5) . 5
(5)2 - 45
= 50 = - 2,5  Inelastis
- 20
Analisis : Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 2,5 pada saat harga produk sebesar Rp
5 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang ditawarkan akan
bertambah sebanyak 2,5 %.
3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 4P = 80 - Q .
Tentukanlah tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga
jualnya, hitunglah penerimaan jika terjual 15 unit, analisislah !
Dik :
4P = 80 - Qd  P = 20 - 0,25 Qd
Jawab : TR
= P . Q
= (20 – 0,25Q) . Q
= 20Q - 0,25Q2
TR max,
TR = 0
20 – 0,5Q
= 0
0,5Q
= 20 unit
TR jika Q
= 40 unit
TR max
= 20Q - 0,25Q2
= 20(40) - 0,25(40)2
= 800 – 400 = Rp. 400,* P max
= TRmax
Qmax
= 400
= Rp. 10,40
* TR jika Q = 15 unit
TR
= 20Q - 0,25Q2
= 20(15) - 0,25(15)2
= 300 – 56,25 = Rp. 243,75
Analisis : Berawal dari tingkat penjualan sebesar 40 unit dan diperoleh penerimaan
maksimal sebesar Rp.400,- dengan harga maksimal Rp.10,-, jika barang yang dijual
sebanyak 15 unit, maka penerimaan total yang diperoleh sebesar Rp.243,75.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Contoh kasus 1 :
Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 100 - 5P2 .
Tentukan elastisitas permintaan pada saat harga Rp 11 / unit. Bagaimana sifat elastis
permintaan tersebut, analisislah !
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE MATEK 2
1. Buka aplikasi Matek 2
Gambar 1.1 Tampilan aplikasi Matek 2
2. Pilih Materi, Derivatif lalu Aplikasi
Gambar 1.2 Tampilan menu awal
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
3. Pilih Elastis Permintaan
Gambar 1.3 Tampilan menu awal Derivatif
4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
Gambar 1.4 Tampilan untuk Input
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.
Masukkan angka-angka yang diketahui:
Koefisien Q^2 = -5
Koefisien Q^1 = 0
Konstanta
= 100
P
= 11
Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear
6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Gambar 1.5 Tampilan input dan output Kasus 1
Hasilnya elastis permintaan = 2,396 = 2,4 bersifat elastis (Ed > 1).
Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 2,4 pada saat harga produk sebesar Rp
11 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun
sebanyak 2,4 %.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Contoh Kasus 2 :
Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 35 - Q . Tentukanlah
tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, hitunglah penerimaan jika
terjual 10 unit, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marjinal, analisislah !
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE MATEK 2
1. Buka aplikasi Matek 2
Gambar 1.1 Tampilan aplikasi Matek 2
2. Pilih Materi, Derivatif lalu Aplikasi
Gambar 1.2 Tampilan menu awal
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
3. Pilih Fungsi Penerimaan
Gambar 1.3 Tampilan menu awal Derivatif
Karena P = 35 –Q , maka TR = P . Q = (35 – Q) . Q = 35Q – Q2
4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
Maka akan muncul tampilan di bawah ini.
Masukkan angka-angka yang diketahui:
Koefisien Q^2 = -1
Koefisien Q^1 = 35
Konstanta
=0
Q
= 10
Kemudian tekan Enter, Maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Gambar 1. 4 Tampilan hasil Output Kasus 2
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Hasilnya total penerimaan TR = 250
Penerimaan rata-rata AR = 25
Penerimaan marjinal MR = 15
Analisis : Jadi penerimaan total pada saat perusahaan menjual 10 unit adalah 250,
penerimaan rata-rata sebesar 25, dan penerimaan marjinal sebesar 15 yang berarti
terjadi penambahan penerimaan sebesar 15 setiap penambahan penjualan.
4. LABA MAKSIMUM
Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu :
1. Pendekatan Totalitas (totality approach)
2. Pendekatan Rata-rata (average approach)
3. Pendekatan Marginal (marginal approach)
Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan
Pendekatan Marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan
membandingkan biaya marginal (MC) dan pendapatan marginal (MR). Laba maksimum
akan tercapai pada saat MR = MC.
Laba() = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi (δ π
/δQ) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai turunan pertama TR (δTR/ δQ atau
MR) dikurangi nilai turunan pertama TC (δTC/ δQ atau MC). Sehingga MR – MC = 0.
Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian
minimum) bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.
Contoh:
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -150Q + 10000
dengan biaya variabel yang berupa persamaan VC = 20
– 3000Q +1000. Biaya tetap
yang dikeluarkan perusahaan sebesar Rp. 25.000, serta besarnya penerimaaan marginal
dicerminkan oleh persamaan : MR = -5000Q + 15.000. Tentukanlah :
A. Pada tingkat penjualan berapa laba perusahaaan maks dan berapa besarnya laba
tersebut
B. Analisis
Dik : P
= -150Q + 10000
VC
= 20 - 3000Q + 1000
FC
= 25.000
MR
= -5000Q + 15000
Dit : Q pada saat laba maks? Analisis?
Jawab:
TR = P x Q
= (-150Q + 10000). Q
= -150 + 10000Q
TC = VC + FC
= (20 - 3000Q + 1000) + 25.000
= 20 - 3000Q + 26000
Laba = TR – TC
= (-150 + 10000Q) – (20 - 3000Q + 26000)
= -170 + 13000Q – 26000
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Laba maks = laba’
= -340Q + 13000
340Q = 13000
Q = 38,23  38
Q = 38 → Laba
= -170 + 13000Q – 26000
= -170 (382) + 13000 (38) – 26000
= - 245.480 + 494.000 – 26000
= 222.520
Analisis :
Berawal dari tingkat penjualan sebesar 38 unit, diperoleh laba sebesar Rp. 222.520,-.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
INTEGRAL TAK TENTU
KONSEP DASAR INTEGRAL
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan
integral tertentu.
Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan
proses penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui (
kebalikan dari derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ).
A. INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau
turunan antinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan
pada nilai konstantanya.
Bentuk umum :
∫ f(x) dx
= F(x) + c
∫ un. du
= Un+1 + c,
n +1
n ≠ -1
Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu.
Contoh :
∫ f(x) dx
= F(x) + c
∫ f(x) dx
= F(x) + c
3
2
∫ 12x + 9x – 2x + 2 dx
= 12x3+1 + 9x2+1 - 2x1+1 – 2x +c
3+1
2+1
1+1
= 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + c
Bila c = 4, maka F(x) = 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + 4
PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI
Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu
variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi
marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses
sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total).
Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi :
Fungsi Biaya
Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :
F(Q) = ∫ f (Q) dQ
TC = ∫ MC dQ
Dan Biaya rata-rata (AC) :
AC = TC / Q
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Contoh:
Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q2, maka carilah
fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 4 ?
Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut
TC = ∫ MC dQ
= ∫ 12Q - 9Q2 dQ
= 6Q2 – 3Q3 + c
Jika c = 4
TC = 6Q2 – 3Q3 + 4
AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q
Analisa : dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total
adalah TC = 6Q2 – 3Q3 + 4 dan fungsi biaya rata-rata adalah AC = TC /
Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q.
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut
Pada tampilan awal matek 2, pilih materi lalu integral tak tentu seperti
ditunjukkan oleh gambar dibawah ini
Akan tampil pilihan dari menu integral tak tentu kemudian pilih fungsi biaya
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Di Output Fungsi Biaya akan terlihat fungsi biaya total dan fungsi biaya rata
– rata, jika kita ingin mengetahui total biaya dan rata – rata biaya maka
masukkan nilai Q setelah itu klik calculate
Fungsi Penerimaan
Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).
F(Q) = ∫ f(Q) dQ
TR = ∫ MR dQ
Contoh :
Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan
totalnya (TR), jika c = 0 ?
Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut
TR
= ∫ MR dQ
= ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ
= 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c
jika c = 0
TR
= 5Q3 + 5Q2 – 5Q
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut
Pada tampilan menu pilih fungsi penerimaan seperti gambar di bawah ini
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Di Output Fungsi Penerimaan akan terlihat fungsi penerimaan total dan
fungsi penerimaan rata – rata, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.
Fungsi Produksi
Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q = masukan
Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’(Q)
Produk Total adalah integral dari produk marginal.
P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ
Contoh :
Diketahui produk marginalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?
Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut
P = ∫ MP dQ = ∫ 2Q2 + 4
= 2/3 Q3 + 4Q + c
jika c = 0,
P = 2/3 Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi
adalah P = 2/3 Q3 + 4Q
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut
Pada tampilan menu pilih fungsi produksi seperti gambar di bawah ini
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Di Output Fungsi Produksi akan terlihat fungsi produksi total dan fungsi
produksi rata – rata, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.
Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam
fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + bY
MPC = C’ = dC/dY = f’(Y) = b = turunan dari C
S = g(Y) = -a + (1-b)Y
MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1-b) = turunan dari S
Y=C+S
Y = [ a + bY ] + [ -a + (1-b)Y ]
MPC + MPS = 1
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan
(S) adalah integral dari MPS.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + c
S = ∫ MPS dY = G(Y) + c
a. k = a = Autonomous Consumption
: konsumsi otonom menunjukkan
besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol
b. k = a = Autonomous Saving
: Tabungan otonom menunjukkan besarnya
tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).
c. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya
perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang
mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.
d. MPS (Marginal Propensity to Saving) : Perbandingan antara besarnya
perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang
mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.
1 > MPC > ½
Keterangan :
MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan
digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya
yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.
MPC > ½, menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan
untuk konsumsi.
MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.
Contoh :
Dimana C = ∫ MPC dY = 0.7 dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi
autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan
Nasionalnya adalah…
Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut
C = ∫ MPC dY = ∫0.7 dY + c = 0.7Y + 50
S = Y – ( 0.7 Y + 50 ) = Y – 50 – 0.7Y
S = 0.3 Y – 50
Atau S = Y – C
S = ∫ MPS dY = ∫ 0.3 dY – c = 0.3Y – 50
Y=C+S
Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 )
Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah
C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y – 50, dan fungsi
pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 ).
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut
Pada tampilan menu pilih fungsi konsumsi seperti gambar dibawah ini
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Di Output Fungsi konsumsi akan terlihat fungsi konsumsi dan fungsi
tabungan, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.
Contoh :
Dimana S = ∫ MPS dY = 0.3 dY – c, bila pendapatan = 0 dan tabungan
autonomosnya adalah 50, maka fungsi tabungan, konsumsi dan Pendapatan
Nasionalnya adalah…
Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut
S = ∫ MPS dY = ∫0.3 dY = 0.3Y – 50
Mencari fungsi konsumsi
C= Y – S
= Y – (0.3Y – 50)
= Y – 0.3Y + 50
= 0.7Y + 50
Jadi pendapatan nasional adalah
Y=C+S
Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 )
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah
C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y – 50, dan fungsi
pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 ).
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut
Pada tampilan menu pilih fungsi tabungan seperti gambar dibawah ini
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Di Output Fungsi Tabungan akan terlihat fungsi tabungan dan fungsi
konsumsi, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
MODUL INTEGRAL TERTENTU
KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses
pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan.
Rumus Integral tertentu :
b
 f x  dx  F  x 
b
a
 F b   F a 
a
Keterangan :
a = x = batas minimum
b = x = batas maksimum
dimana a < b
Contoh :
Hitunglah luas daerah persamaan 2x + 5 dibatasi oleh a=2 dan b=5 !
Jawab
2
5
 2 x  5 dx  [ x
 5 x ]2
 [5 2  5(5)]  [ 2 2  5( 2)]
 36
PENERAPAN INTEGRAL TERTENTU DALAM EKONOMI
1. Surplus Konsumen
Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh konsumen
tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus
konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan ( P=f ( Q ) )
tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe).

Qe
Cs 
P
 f (Q) dQ  Qe  Pe   f ( P) dP
0
Pe
Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar
Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

P = Tingkat harga pada saat Q=0
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Contoh :
1. Jika fungsi permintaan suatu barang Pd = 38 – Q dan fungsi penawaran Ps = 10Q
+ 5, berapakah surplus Mr. Edward sebagai konsumen cabe rawit ? analisis dan
grafik !
Dik : Pd = 38 – Q , Ps = 10Q + 5
Dit : Cs ?
Jawab :
Pd = Ps
Qe = 3
Pe = 38 - Q
38 - Q = 10Q + 5
Pe = 38 - 3
11Q=33
Pe = 35
Qe = 3

Pd = 38 – Q
Cara 1 :
Qd = 38 – P
Cs
Q=0
P=0
P = 38
Q = 38
=
=
Cara 2:
=
2
=
]–
= 109,5 – 0 – 105
= 4,5
Cs
=
2
] – 105
=
=
=
= 722 – 717,5
= 4,5
Analisis : Mr. Edward memperoleh surplus sebesar Rp 4,5 karena Mr.Edward dapat
membelicabe rawit dengan harga Rp 35,-. Padahal Mr.Edward sanggup
membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Cara pengerjaan di software matek 2 dengan rumus 1 surplus konsumen
 Pilih materi integral tentu => aplikasi => surplus konsumen (rumus 1)
Gambar 3.3
Aplikasi Materi Intergral Tertentu

Input Data Sesuai Soal :
Gambar 3.4
Output Integral Tertentu
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Contoh :
2. Hitunglah surplus konsumen yang didapatkan Tn.Putra disaat fungsi permintaan
suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 550 – 5P dan tingkat harga
keseimbangan pasarnya Rp 100,- ! analisis dan grafik !
Dik : Q = 550 – 5P, Pe = 10
Dit : Cs ?
Analisis : Tn.Putra memperoleh surplus sebesar Rp 250,- karena konsumen dapat
Membeli barang tersebut dengan harga Rp 100,- , padahal Tn.Putra
sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
2. Surplus Produsen
Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen
Tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan.
Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva penawaran
(P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe), rentang wilayahnya dibatasi oleh
Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.
Qe
Pe
Ps  Qe  Pe   f (Q) dQ   f ( P ) dP

0
P
Dimana :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar
Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar
= Tingkat harga pada saat Q=0
Contoh :
1. Bila diketahui fungsi penawaran Ps = 4Q + 1 dan fungsi permintaan Pd = 16 - Q.
Carilah surplus PT.Harapan Jaya sebagai produsen dengan dua cara, analisislah
dan gambarkan grafik !
Cara 1 :
=1
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Cara pengerjaan di software matek 2 dengan rumus 1 surplus produsen.
 Pilih materi integral tentu => aplikasi => surplus produsen (rumus 1)

MATEK 2
Input data sesuai soal,seperti tampilan pada software :
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Cara 2 :
Analisa : PT.Harapan Jaya sebagai produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp.18,dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 13,- padahal
sebenarnya ia dapat menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga
keseimbangan
Contoh :
2. Bila diketahui fungsi penawaran P = 6Q + 3 dan tingkat kuantitas keseimbangan pasar
adalah 8. Carilah surplus PT.The Reds sebagai produsen ! analisislah dan gambarkan
grafik !
Dik :
Dit :
Jawab :
Analisa : PT.The Reds sebagai produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp192,dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 51,padahal sebenarnya ia dapat menjual dengan harga yang lebih rendah
dari harga keseimbangan pasar.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL
 Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan.
 Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang.
 Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik,
fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional.
 Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi
logaritmik.
A. Fungsi Eksponensial
Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas.
 Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah :
di mana
n > 0
x
y=n
 Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah :
di mana
n  0
y = ne kx + c
e = 2,71828
k , c merupakan konstanta
Contoh Soal :
Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e 0.5x - 1 , pada masing-masing
sumbu dan hitunglah f (2) !
Jawab :
 Pada sumbu x ; y = 0
e 0,5x
= 1
Ln e 0,5x
= Ln 1
0,5x Ln e = Ln 1
Ln e = 1
0,5x
= 0
Ln 1 = 0
x
= 0
Titik potongnya
(0 ; 0)
 Pada sumbu y ; x = 0
y = e 0,5x - 1
y = e 0,5 (0) - 1
y = e0 - 1
y=1 -1
y=0
Titik potongnya
(0 ; 0)
 Untuk x = 2
y = e 0,5x - 1
y = e 0,5 (2) - 1
y = e1 – 1
y = 2,72 – 1
y = 1,72
Titik potongnya
( 2 ; 1,72 )
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Grafik 1
Kurva Eksponensial pada y
= e 0.5x - 1
B. Fungsi Logaritmik
Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.
 Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :
y = n log x
di mana
n > 0
n  1
 Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :
di mana
x > -1
y = a ln (1 + x) + b
Contoh soal :
Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) –1, pada masingmasing sumbu dan hitunglah f (3) !
Jawab :
 Pada sumbu x ; y = 0
-0,5 Ln (1 + x) = 1
Ln (1 + x)
= -2
1 + x
= e –2
1 + x
= 0,14
x
= - 0,86
Titik potongnya
(-0,86 ; 0 )
 Pada sumbu y ; x = 0
y = -0,5 Ln (1 + x) –1
y = -0,5 Ln (1 + 0) –1
y = -0,5 Ln 1 –1
y = -0,5 .0 – 1
y = –1
Titik potongnya
( 0 ; -1 )
 Untuk x = 3
y = -0,5 Ln (1 + x) –1
y = -0,5 Ln (1 + 3) –1
y = -0,5 Ln 4 –1
y = -0,69 –1
y = -1,69
Titik potongnya
( 3 ; -1,69 )
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Grafik 2
Kurva Logaritmik pada y = - 0,5 Ln (1 + x) = 1
C. Penerapan Ekonomi
Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi
eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan
dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial
dan fungsi logaritmik tersebut antara lain :
1. Model Bunga Majemuk
Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah
sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lain
merupakan bentuk fungsi eksponensial.
Fn = P(1 + i)n
atau
Fn = P(1 +
i
m
) m.n
di mana :
Fn = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun.
P = Jumlah sekarang (tahun ke-0).
i = Tingkat bunga pertahun.
m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.
n = Jumlah tahun
Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai
variabel bebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip
penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan atas model ini.
Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus)
dalam setahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan
cara :
Fn ≈ Pei.n
di mana
e = 2,71828
Contoh Soal :
Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal
yang dibutuhkan sekitar Rp 10.000.000,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke
Bank Konvensional dengan bunga pinjaman 10 % pertahun dan diperhitungkan
secara bulanan (1 tahun = 12 bulan) untuk jangka waktu 5 tahun. Hitunglah
jumlah yang harus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat
pinjamannya jatuh tempo !
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Jawab:
A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa
1). Tanpa Menggunakan Logaritma
F5
F5
F5
F5
=
=
=
=
10.000.000 (1 + 0.10/12 )
10.000.000 (1,008) 60
10.000.000 (1,613)
16.130.000,-
12.5
i
Fn = P(1 +
m)
m.n
2). Dengan Menggunakan Logaritma
F5 = 10.000.000 (1,008) 60
Log F5 = log 10.000.000 + 60 log 1,613
Log F5 = 7 + 0,208
Log F5 = 7,208
F5 = 16.130.000,B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung
1). Tanpa Menggunakan Logaritma
Fn ≈ Pe i.n
F5 ≈ 10.000.000. e 0,10 . 5
F5 ≈ 10.000.000 (e 0.5) ≈ 10.000.000 (1,65)
≈ 16.500.000,2). Dengan Menggunakan Logaritma
F5 ≈ 10.000.000 (e 0,50)
Ln F5 ≈ Ln 10.000.000 + 0,5 Ln e
Ln F5 ≈16,12 + 0,5
Ln F5 ≈16,52 ≈ 16.500.000,-
Ln e = 1
Analisis :
“Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh
tempo adalah sebesar Rp 16.130.000,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam
jangka waktu 5 tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp 6.130.000,-.”
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Langkah-langkah menggunakan software :
1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi.
2. Pilih model bunga majemuk pada Fungsi Transdental.
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul
jawaban dibawah data diketahui.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Catatan :
Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan
bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan
pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma.
2. Model Pertumbuhan
Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Model
semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi
dapat juga diterapkan untuk menaksir variabel – variabel lain, berkenaan
dengan pertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut :
Pt = P1. R t-1
R=1+r
di mana :
Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t.
t = Jumlah tahun.
P1 = Jumlah penduduk sekarang.
r = Tingkat pertumbuhan
Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam
variable dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan,
maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi :
Nt = N1.R t-1
R=1+r
di mana :
N = Variabel yang diamati.
r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu.
t = Indeks waktu.
Contoh Soal :
Mulia Sejahtera Networking (MS Net) merupakan salah satu perusahaan
yang bergerak dalam bidang MLM (Multilevel Marketing) di Indonesia, mulai
beroperasi tahun 2003. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan
Personal Marketing / sales sebanyak 100 orang untuk seluruh Indonesia. Dan
diperkirakan pertumbuhan Personal Marketingnya sebesar 15 % pertahun.
Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing dalam jaringan MS Net pada tahun
2010 ? dan analisislah !
Jawab :
 Diketahui :
N = 100 orang
t = 8 tahun
R = 1 + 0,15
r = 0,15
 Ditanya
:
N8 = ….. ?
 Jawab
:
Nt = N1.R t-1
N8 = 100 (1,15) 8 -1
N8 = 100 (2,66)
N8
= 266 orang
Analisis :
“ Dalam kurun waktu 8 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personil Marketing
(sales) akan meningkat menjadi 266 orang, dengan peningkatan sebesar 166
orang. Peningkatan ini tergolong kecil atau belum optimal peningkatannya.”
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Langkah-langkah menggunakan software :
1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi.
2. Pilih model pertumbuhan majemuk pada Fungsi Transdental.
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul
jawaban dibawah data diketahui.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Catatan :
Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan
bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan
pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma.
3. Kurva Gompertz
Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara
eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat
kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.
N= ca
r
t
di mana
:
N = Jumlah variabel yang diamati.
c = Batas jenuh pertumbuhan.
a = Proporsi pertumbuhan awal.
r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r <1).
t = Indeks waktu.
Contoh Soal :
Perusahaan “MQ Enterprise” merupakan produsen produk VCD penyejuk Qolbu yang
sudah beroperasi selama 3 tahun. Produksi awal perusahaan sebanyak 7.500 buah,
terjual laris di pasar . jika tingkat rata-rata pertumbuhannya pertahun sekitar 20 %,
dengan batas maksimum produksi sebanyak 30.000 buah, hitunglah berapa jumlah
produksi VCD pada tahun ketiga dan analisislah !
Jawab :
Diketahui : C = 30.000 buah
r = 0,20
A = X = 7.500 = 0,25
t=3
C
30.000
Ditanya : N untuk tahun ke–3 atau N3
= …….?
Jawab : Untuk t = 3
N = 30.000. ( 0,25 ) 0,20 ^ 3
Log N = log log 30.000 + 0,20 3 log 0,25
Log N = 4,477 + 0,008 . ( - 0,602 )
Log N = 4,477 – 0,0048
Log N = 4,4722
N = 29.661 buah
Analisis : Dengan produksi awal sebesar 7.500 buah. Ditambah rata - rata
pertumbuhan sekitar 20 % pertahun didapatkan jumlah produksi tahun
ke – 3 sebesar 29.661 buah. Jumlah produksi tahun ke- 3 masih dibawah
produksi maksimum perusahaan yaitu 30.000 buah”.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Langkah-langkah menggunakan software :
1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi.
2. Pilih Kurva Gomvertz pada Fungsi Transdental.
3. Pilih pertanyaan yang akan dicari, dalam kasus ini adalah “Cari N” . Masukkan
data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban
dibawah data diketahui.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Catatan :
Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan
bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan
pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma.
4. Kurva Belajar ( Learning Curve)
Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk
menggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel
waktu.
 Bentuk dasar :
k, m, s > 0
-kx
y = m - se
Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai.
 Prilaku Produksi :
P = Pm - Ps . e - r. t
di mana :
P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu.
Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu.
Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi
(pada t = 0).
t = Indeks waktu.
r = Tingkat pertumbuhan produksi.
 Perilaku Biaya :
C = Cm - Cs . e - r. t
di mana :
C = Biaya total persatuan waktu.
Cm =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran
persatuan waktu.
Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0).
t = Indeks waktu.
r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu.
yang
disediakan)
Contoh Soal :
Percetakan “Adil Sejahtera” mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksi
hingga 10.000 cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi
(pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 60 % dari kapasitas yang tersedia.
Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 5 % setiap
bulannya. Maka :
a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan tersebut !
b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya !
c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan perbulannya setelah pabrik
beroperasi selama 1 tahun (12 bulan) !
d. Analisislah !
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2



Diketahui : Pm = 10.000
r = 0,05
Ps = 40 % (10.000) = 4.000
t = 1 tahun (12 bulan)
Jawab :
a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan.
P = Pm - Ps . e - r. t
P = 10.000 – 4.000 . e – 0,05. t
b. Jumlah perdana cetakan / produksi.
60 % x 10.000 = 6.000 cetakan
c. Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan).
P = 10.000 – 4.000 . e – 0,05. t
= 10.000 – 4.000 . e – 0,05. 12
= 10.000 – 4.000 . ( 0,549 )
= 10.000 – 2196
P = 7.804 cetakan.
Analisis :
“Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah sebanyak
7804 cetakan, di mana dari 6000 cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti ada
peningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 1 tahun (12 bulan) sebesar 1804
cetakan.”
Langkah-langkah menggunakan software :
1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi.
2. Pilih Kurva Belajar pada Fungsi Transdental.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
3. Pilih pertanyaan yang akan dicari, dalam kasus ini adalah “Cari N” . Masukkan
data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban
dibawah data diketahui.
Catatan :
Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di
karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma
sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang
koma.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
MODUL BREAK EVEN POINT
A. FUNGSI BIAYA
Biaya dalam pengertian ekonomi adalah segala sesuatu yang harus dibayar produsen
untuk menghasilkan barang atau jasa, sampai barang atau jasa tersebut siap dikonsumsi
konsumen. Oleh karena itu, besar kecilnya biaya yang dikeluarkan tergantung pada
besar kecilnya barang atau jasa yang dihasilkan. Dalam matematika dapat dikatakan
bahwa biaya merupakan fungsi dari jumlah produksi. Secara rumus dapat ditulis :
TC = a + f (Q)
Dimana TC = Total Cost ( jumlah biaya ), sedangkan Q = jumlah produksi.
Jadi fungsi biaya adalah suatu fungsi yang menunjukkan hubungan antara biaya
dan jumlah barang yang diproduksi. Fungsi biaya dapat digambarkan dalam bentuk
kurva. Maka yang dimaksud dengan kurva biaya adalah suatu kurva yang
menggambarkan titik – titik kemungkinan besarnya biaya di berbagai tingkat produksi.
Elemen – elemen fungsi biaya
Menurut analisa jangka pendek, pengertian biaya ini dapat dibedakan menjadi
beberapa macam, yaitu :
TC
= Total Cost ( Jumlah biaya keseluruhan )
TFC
= Total Fixed Cost ( Jumlah Biaya tetap )
TVC
= Total Variable Cost ( Jumlah biaya variabel)
VC
= Variabel Cost ( Biaya variable yang digunakan perusahaan )
AC
= Average Cost ( Biaya Rata – rata )
MC
= Marginal Cost (perubahan biaya karena adanya perubahan produksi
per unit)
Bentuk umum rumus fungsi biaya dan kurva biaya :

TC
=
=
TFC
TFC
+
+
TVC
VC ( Q )



TVC
MC
AC
=
=
=
VC per unit X Q
 TC /  Q
TC / Q
P
TC
TVC
TFC
Q
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Contoh :
Diketahui suatu perusahaan “CLAYSTATION” yang bergerak dalam bidang penjualan
aksesoris wanita mempunyai biaya tetap 500.000, biaya variabel 20.000 dengan
Quantitas 20 unit. Berapa TC dan AC ?
Diketahui
:
FC
= 500.000
VC
= 20.000
Q
= 20 Unit
Ditanya
:
TC serta AC?
Jawab
:
TC
= TFC + VC ( Q )
= 500.000 + 20.000 ( 20 ) = 900.000
AC
= TC / Q
= 900.000 / 20 = 45.000
P
TC
TVC
500.000
TFC
Q
Klik ini
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Isi sesuai yang diketahui di soal.
Setelah itu Enter.
Analisis : jadi, total biaya dan biaya rata-rata yang dikeluarkan “CLAYSTATION”
masing-masing sebesar Rp 900.000 dan Rp 45.000
B. FUNGSI PENERIMAAN
Apabila barang hasil produksi telah dijual kepada konsumen, maka uang hasil
penjualan barang tersebut dinamakan jumlah pendapatan dan dapat pula disebut “Total
Revenue”. Oleh karena itu, besarnya Total Revenue sama dengan harga perunit dikalikan
jumlah unit yang terjual. Secara matematika dapat dirumuskan :
TR
=
P
X
Q
Elemen – elemen fungsi penerimaan :
TR = Total Revenue (Jumlah pendapatan yang diterima secara keseluruhan)
AR = Average Revenue (Rata – rata penerimaan)
P = Price ( Harga per unit barang )
MR= Marginal Cost ( Perubahan penerimaan karena adanya perubahan produksi perunit )
P
TR
Q
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Contoh Soal :
Perusahaan “UMMI” menjual 50 unit produknya dengan harga sebesar 40.000. Berapa
besarnya TR dan AR ?
Diketahui
:
Q = 50 unit
P = 40.000
Ditanya
:
TR serta AR ?
Jawab
:
TR
= P X Q
= 40.000 X 50 = 2.000.000
AR
= TR / Q
= 2.000.000 / 50
= 40.000
P
TR
40.000
Klik ini
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Isi sesuai yang diketahui di soal.
Setelah itu Enter.
Analisis : Jadi, perusahaan “UMMI” memiliki total penerimaan Rp 2.000.000 dengan
penerimaan rata-rata Rp 40.000
C. BREAK EVEN POINT
Berdasarkan TR dan TC diatas, dapat ditemukan bahwa pada suatu saat perusahaan
berada disalah satu kemungkinan dari ketiga kemungkinan dibawah ini, yaitu :
TR
<
TC
-------------Rugi
TR
=
TC
-------------BEP
TR
>
TC
-------------Laba
Bentuk umum BEP
P
X
TR
Q
=
=
TC
TFC + TVC
BEP Dalam unit :
FC
Q
=
P –
VC
BEP Dalam rupiah :
FC
P
=
1 – VC / P
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
TR
TC
P
TVC
TFC
Q
Contoh :
Lely House memproduksi sepatu batik dengan harga jual Rp 80.000,- per pasang.
Diketahui biaya tetap dan biaya varibelnya masing-masing adalah Rp 2.000.000,- dan Rp
40.000,- per pasang sepatu. Hitunglah :
a) Berapa unit dan rupiah agar perusahaan tidak mengalami untung maupun rugi!
b) Kenaikan BBM mengakibatkan kenaikan untuk biaya variabel per pasang sepatu
sebesar Rp 30.000,-. Berapa BEP unit dan BEP rupiah setelah kenaikan BBM !
c) analisa !
Dik
:
P
FC
VC
Dit
:
a) BEP dalam Unit, BEP dalam rupiah?
b) BEP dalam Unit & BEP rupiah, setelah adanya kenaikan VC sebesar
Rp. 30.000?
a) BEP dalam Unit
2.000.000
Q
=
=
50 unit
Jawab :
= Rp 80.000,- per pasang
= Rp 2.000.000,= Rp 40.000,- per pasang
80.000-40.000
BEP dalam Rupiah
P
=
2.000.000
= 4.000.000
1- 40.000/80.000
b) BEP Unit setelah ada kenaikan VC sebesar Rp 30.000
2.000.000
Q
=
=
200 unit
80.000-70.000
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
BEP Rupiah setelah ada kenaikan VC sebesar Rp 30.000
P
=
2.000.000
= 16.000.000
1- 70.000/80.000
Analisis : agar tidak untung/tidak rugi, Lely House harus memproduksi 50 pasang sepatu
dengan BEP dalam rupiah sebesar Rp 4.000.000. Sementara kenaikan biaya
variabel sebesar 30.000 menyebabkan perubahan BEP unit dan BEP rupiah
masing-masing menjadi 200 unit dan Rp 16.000.000
Klik ini
Isi sesuai yang diketahui di
soal. Setelah itu Enter.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Klik change value, Kemudian pilih VC dan P
dimana VC sudah ditambahkan 30.000
menjadi 70.000 dan P tetap. Dan pilih OK.
D. PENJUALAN MINIMAL ( MINIMAL SALES )
Dalam penjualan minimal ini perusahaan ingin mengetahui berapa unit yang harus
dijual jika perusahaan mentargetkan laba yang harus dicapai.
Bentuk umum untuk penjualan minimal :
FC
Q
+
laba
=
P
–
VC
Contoh :
Jika “CLAYSTATION” menargetkan laba sebesar 100.000 dimana biaya tetap dan biaya
variabel masing-masing sebesar 400.000 dan 20.000 dengan harga 40.000, maka
berapakah penjualan minimal perusahaan tersebut ?
Diketahui
:
FC
= 400.000
P
= 40.000
VC
= 20.000
Laba = 100.000
Ditanya
:
Berapa penjualan minimal . . . . . . . . . . . ?
Jawab
:
FC
+
Laba
Q
=
P – VC
400.000 +
Q
100.000
=
=
25 unit
40.000 – 20.000
Analisis : Jika perusahaan “CLAYSTATION” ingin mencapai target maka penjualan
minimal adalah 25 unit.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Klik ini
Isi sesuai yang diketahui di
soal. Setelah itu Enter.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA
Modul Praktikum
Matematika Ekonomi 2
Kemudian isi Laba yang diinginkan sesuai
dengan soal di atas sebesar 100.000
Kemudian Enter dan hasilnya seperti di bawah ini,
Daftar Pustaka :
Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, 1995.
MATEK 2
Hal.
Periode ATA