1 METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM

METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE-N DENGAN
KOEFISIEN KONSTANTA
Roki Nuari1*, Aziskhan2, Endang Lily2
1
Mahasiswa Program S1 Matematika
2
Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
*[email protected]
ABSTRACT
This paper discusses ELzaki’s transformation and its properties for scalar, polynomial
and exponential functions. Then this transformation is applied to solve an initial value
problem of linear differential equations with a constant coefficient.
Keywords: derivative, ELzaki’s transformation, linear ordinary differential equation
of n-th order with constant coefficient.
ABSTRAK
Makalah ini membahas transformasi ELzaki dan sifat-sifatnya untuk fungsi konstan,
polinomial dan eksponensial. Selanjutnya transformasi ini digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial linear orde-n koefisien konstanta dengan syarat
awal.
Kata kunci: persamaan diferensial biasa linear orde-n dengan koefisien konstanta,
transformasi ELzaki, turunan fungsi.
1. PENDAHULUAN
Persamaaan diferensial biasa linear orde-n dengan koefisien konstanta adalah
persamaan diferensial biasa linear dengan pangkat derivatif tertingginya n dan semua
koefisien pada persamaan tersebut adalah konstanta yang bentuk umumnya diberikan
oleh,
dny
d n 1 y
dy
(1)
a n n  a n 1 n 1    a1
 a 0 y  g (t ),
dt
dt
dt
dimana a0 , a1 ,... an1 , an adalah konstanta dengan an  0 . Jika g (t )  0 maka persamaan
(1) dikatakan homogen dan sebaliknya dikatakan nonhomogen.
1
Persamaaan (1) yang homogen dapat diselesaikan dengan metode karakteristik [2,
h.260], yang menghasilkan solusi umum,
(2)
y (t )  c1e r1t  c 2 e r2t    c n e rnt ,
dimana c1 , c2 , ..., cn adalah konstanta dan r1 , r2 , ..., rn adalah akar-akar karakterisitik
dari persamaan (1).
Persamaaan (1) yang nonhomogen dapat diselesaikan dengan metode koefisien
tak tentu [1, h.222], yang menghasilkan solusi umum,
(3)
y  y c (t )  y p (t ),
dengan y c (t ) merupakan solusi komplemen dan y p (t ) adalah solusi khusus.
Persamaan (1) dengan syarat awal y (0), y ' (0), ..., y (n ) (0) dapat diselesaikan
dengan menggunakan transformasi ELzaki, dan sifat-sifatnya, melalui proses
penggantian setiap turunannya dengan transformasi ELzaki. Inilah yang menjadi
pembahasan pada makalah ini yang sekaligus merupakan review dari makalah Elzaki
T.M. dan Elzaki S.M. yang berjudul On the ELzaki Transform and High Order
Ordinary Diferensial Equations [3].
2. TRANSFORMASI ELZAKI
Transformasi ELzaki adalah transformasi integral suatu fungsi yang didefinisikan
sebagai berikut.
Definisi 1 [3] Diberikan himpunan A dengan anggotanya adalah fungsi eksponensial
berpangkat, sehingga A dapat ditulis,
t /k
A  f (t ) : M , k1 , k 2  0, f (t )  Me j , if t  ( 1) j  0,   ,


dengan M adalah bilangan berhingga dan k1 , k 2 adalah bilangan berhingga atau tak
berhingga. Maka transformasi ELzaki f (t ) adalah

t
T (v)  E f t , v  v  f t  e v dt , v   k1 , k 2 , t  0.

(4)
0
Sifat-sifat transformasi ELzaki diberikan berdasarkan Teorema berikut.
Teorema 2 [3] Jika T (v) adalah transformasi ELzaki dari f (t ) , maka :
T (v )
1. E[ f ' (t )] 
 vf (0).
v
T (v )
2. E[ f " (t )]  2  f (0)  vf ' (0).
v
T (v ) n 1
3. E[ f ( n ) (t )]  n   v 2 n  k f ( k ) (0).
v
k 0
Teorema 2 digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa linear orde-n
dengan koefisien konstanta. Kemudian diperoleh solusi persamaan diferensial biasa
linear orde-n dengan koefisien konstanta dalam bentuk transformasi ELzaki.
2
Dengan menggunakan skema transformasi ELzaki, diperoleh solusi sebenarnya
dari persamaan diferensial biasa linear orde-n dengan koefisien konstanta. Dalam [4]
dinyatakan bahwa untuk f (t )  1 , maka


t
v
E (1)  v  e dt ,
0
E (1)  v 2 .
Dengan cara yang sama untuk f (t )  t , diperoleh


t
v
E (t )  v  te dt.
0
E (t )  v 3 .
Untuk kasus umum dengan f (t )  t n , jika n  0 adalah bilangan bulat, maka
E (t n )  n!v n2 .
Untuk fungsi eksponensial berbentuk f (t )  e at , diperoleh
 
(5)

E e at  v  e t ve at dt ,
0
 
v2
(6)
.
1  av
Skema transformasi ELzaki untuk fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik dapat
dinyatakan sebagai berikut [4],
av 3
E sin at 
,
1  a 2v 2
v2
E cos at 
,
1  a 2v 2
av 3
E sinh at 
,
1  a 2v 2
v2
E cosh at 
.
1  a 2v 2
E e at 
3. METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE-N DENGAN
KOEFISIEN KONSTANTA
Pada bagian ini diberikan contoh persamaan diferensial biasa linear orde-n dengan
koefisien konstanta, yang diselesaikan dengan menggunakan metode transformasi
ELzaki, kemudian akan dibandingkan dengan metode karakteristik dan metode
koefisien tak tentu.
3
Contoh 1
Temukanlah solusi dari persamaan diferensial linear orde tiga homogen dengan
koefisien konstanta sebagai berikut,
d3y d2y
dy
(7)
 2  6  0,
3
dt
dt
dt
(8)
dengan syarat awal y(0)  1, y' (0)  0 dan y" (0)  5 .
Solusi : Misalkan y  f (t ) , berdasarkan Teorema (2) diperoleh
T v  1
T v 
E  y ' ' ' y"6 y   3  y 0   y ' 0   vy" 0   2  y 0   vy ' 0 
v
v
v
T v 
6
 6vy 0   0.
(9)
v
Subsitusikan syarat awal pada persamaan (8) ke dalam persamaan (9), diperoleh
T v  1
T v 
T v 
  5v  2  1  6
 6v  0,
3
v
v
v
v
1 6 1
 1
T (v ) 3  2     v  1,
v v
v
v
v2  v4  v3
(10)
T (v ) 
,
1  v  6v 2
persamaan (10) dapat ditulis,
(11)
v2 1 v2
1 v2
T v  


.
6 3 1  3v  2 1  2v 
Dengan menggunakan skema transformasi ELzaki untuk persamaan (11), diperoleh
1 1
1
y t    e 3t  e 2t .
6 3
2
Bila digunakan metode karakteristik untuk menyelesaikan persamaan (7) dengan syarat
awal pada persamaan (8) diperoleh solusi yaitu,
1 1
1
y t    e 3t  e 2t .
6 3
2
Contoh 2
Temukanlah solusi dari persamaan diferensial linear orde tiga nonhomogen dengan
koefisien konstanta sebagai berikut,
d 3 y d 2 y dy
(12)
 2 
 y  1  t,
dt
dt 3
dt
(13)
dengan syarat awal y(0)  1 , y ' (0)  2 dan y" (0)  1.
Solusi : Misalkan y  f (t ) , berdasarkan Teorema (2) diperoleh
T (v) 1
 T (v)
  T (v)

 y(0)  y' (0)  vy"(0)   2  y(0)  vy' (0)  
 vy(0) T (v)  v 2  v3 .
(14)
3
v
v
 v
  v

Subsitusikan syarat awal pada persamaan (13) ke dalam persamaan (14), diperoleh
4
T (v) 1
T (v)
T (v)
  2  v  2  1  2v 
 v  T (v)  v 2  v 3 ,
3
v
v
v
v
1
1 1 1 
T (v) 3  2   1  v 2  v 3   1,
v 
v
v
v
 v5  v6  v2  v3 
,
T (v)  
(15)
2
3 
 1 v  v  v 
persamaan (15) dapat ditulis,
v2
T (v)  v 3 
.
(16)
1  v
Dengan menggunakan skema transformasi ELzaki untuk persamaan (16), diperoleh
yt   t  e t .
Bila digunakan metode koefisien tak tentu untuk menyelesaikan persamaan (12) dengan
syarat awal pada persamaan (13) diperoleh solusi yaitu,
yt   t  e t .
Berdasarkan Contoh 1 dan 2 terlihat bahwa transformasi ELzaki dapat digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial linear yang homogen dan nonhomogen dengan
syarat awal yang diberikan, sedangkan metode karakteristik hanya dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen dan metode koefisien tak tentu
hanya dapat menyelesaikan persamaan diferensial nonhomogen. Disamping itu solusi
yang didapat dengan transformasi ELzaki sama dengan solusi yang didapat dengan
metode karakteristik dan metode koefisien tak tentu. Selanjutnya dengan menggunakan
strategi yang sama dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear
orde-n yang homogen dan nonhomogen dengan syarat awal diberikan.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Abell, M.L & J.P. Braselton. Differential Equations with Mathematica, 3th Edition.
Elsevier Academic Press. USA.
[2] Boyce, W.E & R. Diprima. 2001. Elementary Differensial Equations and Boundary
Value Problems, 7th Edition. John Wiley and Sons. New York.
[3] Elzaki, T.M & S.M. Elzaki. 2011. On the Elzaki Transform and Higher Ordinary
Differensial Equations, Advances in Theoretical and Applied mathematics, 6(1). pp.
107-113.
[4] Elzaki, T.M. 2011. The New Integral Transform “Elzaki Transform”, Global
Journal of Pure and Applied Mathematics, 7(1). pp. 57-64.
5