PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER

PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Pertemuan 1 dan 2
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam
metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai contoh, derivative
dari fungsi
berturut-turut diberikan oleh
dst
Dimana
dan
seterusnya.
Kita
juga
telah
diperkenalkan dengan aturan dan metode mendiferensialkan fungsi dari dua
variable atau lebih. Derivatifnya disebut derivative parsial. Persamaan yang
memuat derivative parsial disebut persamaan diferensial parsial. Misalkan
, derivatifnya terhadap x dan y berturut-turut diberikan
oleh
Pengertian: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan
hubungan fungsi yang tidak di ketahui dan turunan-turunannya.
Definisi : Misalkan
interval [
mendefinisikan sebuah fungsi dari x pada suatu
]
yang memuat derivative dari
Contoh :
∫
∫
. Persamaan diferensial adalah persamaan
.
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
∫
∫
B. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Biasa
(PDB). Contoh PDB adalah sebagai berikut:
Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih peubah bebas, maka disebut
Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Misalkan :


BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA :
di mana solusi atau penyelesaian dari PD tersebut merupakan suatu
fungsi eksplisit
.
Bentuk PDB orde n :
Bentuk Persamaan diferensial orde satu :
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Bentuk persamaan diferensial orde 2 :
Masalah Nilai awal
Misalkan kita akan mencari penyelesaian dari y=y(x) dari PDB orde satu
Yang memenuhi
Contoh :
a.
b.
Pertemuan 3
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
Pada bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik penyelesaian Persamaan
Diferensial Biasa (PDB) orde satu. Untuk PDB orde satu yang berbentuk
, dimana
mengintegralkan
fungsi kontinu dari satu peubah bebas x, maka kita dapat
secara
langsung
kedua
ruas
untuk
memperoleh
penyelesainnya. Selanjutnya akan dicari penyelesaian PDB order satu
Bentuk umum :
............(1)
Dimana
fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan y. Penyelesainnya tidak
dapat diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung. Untuk meyelesaikan
PDB orde satu ada beberapa langkah :
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
1. PD dengan peubah terpisah
Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan (1), terlebih dahulu
kita pisahkan peubah x dan y, sehingga kita peroleh fungsi
Persamaan (1) berubah menjadi
Atau dapat di tulis
Sehingga ∫
∫
maka akan ditemukan solusi umum PD tersebut
Contoh :
Selesaikan
Penyelesaian :dengan memisahkan peubahnya
Integralkan kedua ruas:
∫
∫
+C
Sehingga kita peroleh penyelesaian umumnya adalah
latihan
Selesaikan soal berikut dengan pemisah peubah.
a.
b.
c.
d.
e.
2. Masalah Syarat Awal dan Eksistensi Solusi Persamaan Diferensial Orde
Satu
Definisi 2.1. Misal Persamaan diferensial orde satu dengan bentuk derivatif
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
(2.1)
dengan
f kontinu pada domain
penyelesaian
dan
. Masalah mencari
yang terdefinisi pada interval I yang memuat
dari persamaan
(2.1) dan memenuhi syarat awal
disebut masalah syarat awal dan ditulis sebagai berikut :
Contoh :
Selesaikan masalah syarat awal berikut :
Penyelesaian :
Persamaan diferensial tersebut mempunyai solusi umum
Dengan memberikat syarat y(3)=4 pada penyelesaian umum, maka diperoleh
atau c2= 25. Jadi diperoleh penyelesaian masalah syarat awalnya
Teorema 2.1. Jika persamaan diferensial
(2.2)
memenuhi :
a. Fungsi f kontinu pada domain
b.
Derivatif partial
dan
kontinu pada domain D.
, maka terdapat penyelesaian tunggal
yang terdefinisi pada suatu interval [
memenuhi syarat
.
Contoh :
Pandang masalah syarat awal
dari persamaan (2.2)
] dimana h cukup kecil dan
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Dari masalah ini diperoleh
dan
domain
berarti titikl (1,3) pasti termuat
Karena syarat awal
kontinu pada
pada domain D tadi. Dengan teorema 2.1 diperoleh suatu penyelesaian tunggal
dari persamaan diferensial
yang terdefinisi pada interval [1-h, 1+h]
dan memenuhi
LATIHAN
Selesaikan masalah MNA berikut:
a.
b.
c.
Pertemuan 4 dan 5
PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK DAN FAKTOR INTEGRASI
a. Persamaan Diferensial Eksak
Definisi : Misalkan F fungsi dua variabel yang mempunyai derivatif partial orde
satu kontinu pada Domain D. Diferensial total dF dari fungsi F di definisikan :
𝒅𝑭 𝒙 𝒚
𝝏𝑭 𝒙 𝒚
𝒅𝒙
𝝏𝒙
Untuk setiap
Contoh :
Misal F fungsi dua variabel dengan rumus :
𝝏𝑭 𝒙 𝒚
𝒅𝒚
𝝏𝒚
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Maka mempunyai diferensial total :
Bentuk persamaan diferensial eksak :
𝑴 𝒙 𝒚 𝒅𝒙
𝑵 𝒙 𝒚 𝒅𝒚
Disebut diferensial eksak pada domain D jika terdapat fungsi dua variabel F
sehingga diferensial diatas merupakan diferensial total F untuk setiap
. Dengan kata lain terdapat fungsi F sehingga
dan
.
Jika
merupakan diferensial eksak maka persamaan diferensial
orde satu
disebut persamaan diferensial eksak.
Teorema 3.1. misalkan persamaan diferensial
(2.3)
mempunyai derivatif parsial orde satu kontinu pada D.
Persamaan diferensial (2.3) eksak pada D jika dan hanya jika
𝝏𝑴 𝒙 𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝑵 𝒙 𝒚
𝝏𝒙
Contoh :
Persamaan Diferensial
(1.1)
Merupakan persamaan diferensial eksak karena diperoleh
(
(
))
(
Sehingga
)
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Karena
maka Persamaan diferensial (1.1)
memenuhi persamaan diferensial eksak
Teorema 3.2. Misalkan persamaan diferensial
eksak pada D
dan
fungsi dua variabel F memenuhi :
untuk setiap
, maka penyelesaian umum persamaan diferensial eksak tersebut adalah
dan C konstanta sembarang.
∫
Sehingga
Dan harus memenuhi
di peroleh fungsi
Sehingga solusi umum penyelesaian persamaan diferensial eksak adalah
Contoh :
1. Persamaan diferensial
Apakah merupakan persamaan diferensial eksak? Jika ya, maka selesaikan
persamaan diferensial tersebut
2. Selesaikan persamaan diferensial
3. Selesaikan masalah syarat awal :
dengan y(0) = 2
Latihan :
1.
2. Tentukan masalah syarat awal berikut:
, y(0) = 1
b. Persamaan Diferensial Non Eksak
Dalam persamaan diferensial bentuk
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
...........(1)
yang memenuhi persamaan diferensial eksak. Apabila syarat awal persamaan
diferensial eksak tidak terpenuhi, dimana
𝑴 𝒙 𝒚 𝒅𝒚
𝑵 𝒙 𝒚 𝒅𝒙
Maka perlu adanya faktor tambahan yang biasa di sebut dengan faktor integrasi
𝒆∫ 𝑷 𝒙
𝝁 𝒙
𝒅𝒙
, dimana 𝑷 𝒙
atau 𝑷 𝒙
𝟏
𝝏𝑵 𝒙 𝒚
𝝏𝑴 𝒙 𝒚
𝑴 𝒙𝒚
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝟏
𝝏𝑴 𝒙 𝒚
𝝏𝑵 𝒙 𝒚
𝑵 𝒙𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Sehingga bentuk persamaan (1) akan berubah menjadi:
Untuk langkah mencari solusi umumnya sama dengan PD eksak.
Contoh 1 :
Selesaikan persamaan diferensial berikut
.........(1)
Answer:
Jika dilihat dari bentuk persamaan diferensial tersebut mengarah ke persamaan
diferensial eksak bentuk:
Tetapi untuk menguji persamaan diatas eksak atau bukan harus memnuhi syarat awal
1 dan
2 karena
∫
maka perlu adanya faktor integrasi
sehingga
ubah menjadi:
∫
dimana
sehingga persamaan (1) di
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Setelah menemukan faktor integrasi lakukan uji ulang untuk membuktikan eksak
atau bukan. (bukti sebagai latihan mahasiswa)
Contoh 2
Selesaikan persamaan diferensial
Apakah merupakan Persamaan Diferensial Eksak?
a. Jika ya tentukan solusi umumnya
b. Jika tidak carilah faktor integrasinya.
c. Tentukan solusi umum dari PD di atas.
Jawab :
dan
karena
∫
maka perlu adanya faktor integrasi
(lanjutan di kerjakan oleh mahasiswa)
Latihan soal
i.
Kerjakan nomor 10
untuk x> 0
ii.
Nomor 19
dimana
pada buku Elementary Differential Equations & boundary value Problems hal
100.(Dikumpulkan)
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Petemuan 5 dan 6
PERSAMAAN DIFERENSIAL SEPARABEL DAN HOMOGEN
A. Persamaan Diferensial Separabel
Definisi. Persamaan diferensial dengan bentuk:
𝐹 𝑥 𝐺 𝑦 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 𝑑𝑦
disebut persamaan separabel.
.....................persamaan (4.1)
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Secara umum persamaan diferensial separabel tidak eksak, tetapi mempunyai
faktor integrasi yang jelas yaitu:
sehingga persamaan (4.1) menjadi
..................................(4.2)
Persamaan (4.2) merupakan persamaan diferensial eksak karena
(
)
(
)
Persamaan (4.2) terlihat bahwa variabel-variabel x dan y dapat dipisahkan
sehingga mengelompok. Oleh karena itu penyelesaian persamaan diferensial
(4.1) adalah
∫
∫
.......................................(4.3)
Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial
Penyelesaian :
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel dengan
membagi
diperoleh
Dengan mengintegralkan diperoleh penyelesaian umum
Latihan. Selesaikan persamaan
dengan syarat awal
Penyelesaian :
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel karena dengan
membagi
diperoleh
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Dengan mengintegralkan diperoleh
Sehingga solusi umum persamaan diferensialnya adalah
Dengan memberikan
dan
diperoleh C= 2. Jadi penyelesaian masalah
syarat awalnya
Latihan soal
a. Selesaikan masalah syarat awal
,
b. Selesaikan masalah syarat awal
,
B. Persamaan Diferensial Homogen.
Definisi. Persamaan diferensial
disebut homogen jika
dapat ditulis dalam bentuk derivatif
sehingga
, maka terdapat fungsi g
.
Contoh 1.
Persamaan diferensial
=0 homogen, karena apabila
ditulis dalam bentuk derivatif
( )
Yang ruas kanan berbentuk fungsi
Contoh 2.
.
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Persamaan diferensial
homogen, karena apabila
ditulis dalam bentuk derivatif
(
√
)
√
√
√
Yang ruas kanan berbentuk fungsi
Teorema. Jika persamaan diferensial
......................................(5.1)
Homogen, maka dengan memisalkan y=vx persamaan diferensial (5.1) berubah
menjadi persamaan diferensial separabel.
Contoh 3.
Selesaikan persamaan diferensial
=0
Penyelesaian
Telah ditunjukkan bahwa persamaan tersebut homogen dan dapat ditulis dalam
bentuk derivatif
( )
Misalkan
, di peroleh
dan
(
(
sehingga
)
)
(
)
Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Di kembalikan ke variabel semula diperoleh
Jika
dapat ditulis menjadi
Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial
√
Dengan syarat awal
Penyelesaian :
√
√
√
Misalkan y=vx, sehingga diperoleh
√
√
√
Merupakan persamaan diferensial separabel dan diintegralkan diperoleh
√
√
Dikembalikan ke variabel semula diperoleh
√
√
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Jika syarat awal y = 0 untuk x = 1, maka diperoleh c = 1. Jadi penyelesaian
masalah syarat awal adalah
3. Persamaan
Teorema 6. Misal persamaan diferensial
................................(6.1)
Dengan
a. Jika
konstanta di R
, maka dengan transformasi
Dimana (h,k)merupakan penyelesaian dari sistem:
Persamaan (6.1) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v
sebagai berikut:
b. Jika
, maka dengan transformazi
persamaan
(6.1) menjadi persamaan separabel dalam variabel x dan z
c. Jika
, maka persamaan (6.1) merupakan persamaan
diferensial dengan penyelesaian
, untuk sembarang konstanta C.
Contoh: Selesaikan persamaan diferensial
..........................(6.2)
Penyelesaian
Dari persamaan diferensial (6.2) diperoleh
Sehingga merupakan kasus 1 dari teorema 6. Penyelesaian dari sistem
Adalah
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
|
|
|
,
|
|
|
|
|
dengan transformasi
persamaan (6.2) menjadi persamaan homogen dalam variabel u dan v
sebagai berikut
Persamaan tersebut dapat di tulis dalam bentuk derivatif menjadi
Misalkan v = wu (mahasiswa yang melanjutkan)
Latihan
Selesaikan persamaan diferensial
Dengan syarat awal y(-2) = 2
Pertemuan 7
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU
Definisi 7.1. Persamaan diferensial linier orde satu dengan variabel tak
bebas y dan variabel bebas x, dapat di tulis dalam bentuk :
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝑷 𝒙 𝒚
𝑸 𝒙
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Contoh : persamaan
Dapat ditulis menjadi
(
)
Persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis dalam bentuk diferensial
menjadi
(
)
Sehingga di peroleh
Maka
Jadi persamaan diferensial linier orde satu bukan persamaan
diferensial eksak dan karena pada persamaan terakhir memuat hanya
variabel x saja, maka dapat diasumsikan mempunyai faktor integral yang
hanya tergantung x saja, misalkan
(
, maka diperoleh
)
Dengan mengingat definisi faktor integral diperoleh
[
(
)]
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel yang
penyelesaiannya adalah
∫
Jelas
, sehingga
merupakan faktor integral dari persamaan
diferensial linier orde satu sehingga
∫
(
)
∫
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Dari uraian diatas dapat disimpulkan dalam suatu teorema berikut :
Teorema. Persamaan diferensial linier orde satu
Mempunyai faktor integral
∫
Penyelesaian umum persamaan diferensialnya
Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial
Linier Orde satu adalah sebagai berikut :
Langkah 1 : tuliskan bentuk Persamaan Diferensial linier orde satu tersebut
dalam bentuk standar
Langkah 2. Tentukan faktor integralnya.
∫
Langkah 3. Kalikan Q(x) dengan
dan integralkan
∫
Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum
∫
Atau
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
∫
Contoh :
Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial
Penyelesaiannya :
Dari persamaan diferensial tersebut diperoleh
Dan bentuk persamaan diferensialnya
(
)
Sehingga dengan teorema diatas faktor integralnya
∫
∫
Cara I :
Kalikan
dengan
dan integralkan, sehingga diperoleh
∫
∫
=∫
Jadi penyelesaian umumnya adalah
∫
atau
Cara II :
Diperoleh persamaan diferensial eksaknya
Yang mempunyai penyelesaian umum dengan metode pengelompokkan
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Latihan :
Selesaikan Persamaan diferensial linier orde satu berikut
a.
b.
c.
.
Selesaikan Masalah Nilai Awal berikut
a.
b.
c.
Pertemuan 8 dan 9
PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNAULLI DAN RICCATI
A. Persamaan Diferensial Bernaulli
Definisi 8.1. Persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk
Disebut persamaan diferensial bernaulli.
Teorema. 8.1. Apabila
, maka dengan transformasi
bernaulli berubah menjadi PD linier tingkat satu
persamaan
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Dengan penyelesaian umum berbentuk
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Contoh :
Selesaikan
Penyelesaian
Dengan substitusi
diperoleh
Sehingga penyelesaian umumnya adalah
.
(
Latihan :
a.
b.
c.
d.
e.
B. Persamaan Diferensial Riccati
)
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Pertemuan 10 dan 11
PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN
1. Persamaan Diferensial Homogen
Banyak Permasalahan di bidang teknik, Fisika, pemodelan matematika yang
melibatkan Persamaan Diferensial Homogen Orde 2. Oleh sebab itu mengetahui
mekanisme pemecahan masalah Persamaan Diferensial Homogen Orde 2
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
sangatlah membantu kita untuk mencari solusinya. Salah satu bentuk Persamaan
Diferensial Homogen Orde 2 adalah
pertama mari kita misalkan f(x) = 0, dengan nilai a, b, dan c konstan, maka Pers.1
menjadi
Persamaan (2) adalah bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen Orde 2
dimana ruas kanannya sama dengan 0. Apabila ruas kanan tidak sama dengan 0
maka, persamaan itu dikatakan Persamaan diferensial inhomogen orde 2.
Misalkan y = u dan y = v (dimana u dan v adalah fungsi x yang menjadi dua solusi
dari persaman
dan
tambahkan Persamaan (3) dan (4)
(
)
dimana
dan
jadi dapat ditulis
maka substitusikan (gantikan) y = u+v
(
)
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
dan y = u+v
jika a = 0, maka Pers. 1 menjadi Pers differential liniar orde satu (PDL01)

dimana k = c/b
integralkan persamaan diatas
∫
∫
kita dapatkan
Ln y = -kx +c
kita gantikan -k dengan m, maka
Pers.(5) tidak hanya solusi untuk PDL01 tetapi juga bisa menjadi solusi untuk
Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dimana
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Pers.2 dapat ditulis
bagi dengan
kita dapat
.........(6)
yang merupakan persamaan kuadrat, yang akar-akar kuadratnya m = m1 dan m
= m2 dimana kita sudah lihat jika y = u dan y = v adalah dua solusi untuk
Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dan juga y = u+v. Jika
dan
,
maka solusi untuk Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 dapat ditulis
+
.........(7)
persamaan kuadrat ini dikatakan persamaan tambahan (Auxiliary Equation)
solusi Persamaan Diferensial Homogen Orde 2 sangat tergantung dari jenis akarakar persamaan tambahan. Ada tiga jenis solusi untuk Persamaan Diferensial
Homogen Orde 2, yaitu :
a.
Akar real dan berbeda (Determinan > 0)
b.
Akar real dan sama (Determinan = 0)
c.
Akar kompleks (Determinan < 0)
Dimana 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝐷
𝑏
𝑎𝑐
jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah
+
a. Akar real dan Berbeda.
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah
+
Contoh :
persamaan tambahannya adalah
faktorkan persamaan diatas
m = -2 dan m = -3
maka akarnya real dan berbeda. Jadi
solusi untuk persamaan diferensial
homogen orde 2 kita adalah
+
b. Akar real dan sama
Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah
+
Contoh :
persamaan tambahannya adalah
faktorkan persamaan diatas
m = -3 dan m = -3
maka akarnya sama atau kembar
jadi solusi untuk persamaan diferensial homogen orde 2 kita adalah
+
atau
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
c. Akar kompleks/imaginer
Rumus untuk akar kompleks atau imaginer adalah
akar kompleks adalah akar yang didalamnya terdapat tanda negativ. Untuk lebih
jelasnya lihat contoh dibawah ini.
Persamaan tambahannya adalah
persamaan kuadrat diatas tidak bisa diselesaikan dengan pemfaktoran. Maka
digunakan rumus ABC sebagai solusinya
√
√
√
√ √
√
√
maka α=-2 dan β=√
maka solusinya adalah
√
√
coba kerjakan contoh ini sebagai latihan
di samping 3 bentuk akar diatas, ada beberapa bentuk khusus Persamaan
Diferensial
Homogen
Orde
2.
Ada
dua
bentuk
khusus
yaitu
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
maka solusinya
y = A Cosh nx + B Sinh nx
maka solusinya
y = A Cos nx + B Sin nx
Contoh :
maka n2= -16 , n = + j4
solusinya
y = A Cos 4x + B Sin 4x
Latihan soal
1.
2.
3.
4.
5.
Pertemuan 12
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2 NON HOMOGEN
Definisi : Persamaan Diferensial Orde 2 Non Homogen
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Jika
maka substitusi
+
akan membuat sisi kiri diatas
sama dengan nol. Maka :
+
, X = fungsi tambahan.
+
fungsi komplementer
 integral khusus
Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial
Penyelesaian :
-
Fungsi komplemen sehingga f(x) = 0
Maka akar-akar karakteristiknya : m = 2 dan m = 3
Sehingga
-
Integral khusus  fungsi derajat dua
Misal
Substitusikan ke persamaan



Penyelesaian Umum = fungsi komplemen + Integral Khusus
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
=
Menentukan nilai-nilai konstanta
Jika
Asumsikan
atau
atau
Latihan soal
1. Selesaikan persamaan diferensial
2. Tentukan nilai A dan B
jika
dan
Pertemuan 13 dan 14
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN DENGAN
KOEFISIEN KONSTAN.
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Bentuk Persamaan diferensial orde dua
(
)
Dimana f adalah suatu fungsi, sehingga persamaan diferensial (1) merupakan
persamaan diferensial linier orde dua
1. Metode Penyelesaian
a. Metode Koefisien tak tentu
b. Metode Variasi Parameter.
C. PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI
Pada Bab ini, dibicarakan beberapa tipe persamaan diferensial linier orde tinggi
dan beberapa metode untuk menyelesaikannya. Hal-hal yang dibahas adalah
reduksi order, persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan,
metode variasi parameter, dan persamaan Cauchy- Euler. Untuk membahas ini
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
semua diperlukan beberapa teori dasar tentang persamaan diferensial linier
orde tinggi, yang akan disajikan tanpa disertai bukti.
D. PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL.
E. TRANSFORMASI LAPLACE.
KONTRAK BELAJAR
NO
KOMPONEN
PERSENTASE
(%)
1
Kehadiran
10
KETERANGAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Sifat ujian close book dilakukan 2 kali
2
Ujian Sisipan
10
(1 kali sebelum UTS dan 1 kali
sesudah UTS)
3
Tugas
25
4 kali (pertemuan ke 4, 6, 10, 12)
4
UTS
25
Sifat ujian close book
5
UAS
30
Sifat ujian open book
Jumlah
100