pertemuan x - Untukmu Sahabatku

PERTEMUAN X
RUANG –RUANG VEKTOR UMUM
Tujuan Materi :
Setelah menyelesaikan pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat :

Menentukan ruang vektor umum dari sekumpulan vektor.

Menentukan sub ruang vektor dari sekumpulan vektor.

Menyatakan kombinasi linear dari sekumpulan vektor.

Menentukan apakah suatu kumpulan vektor membangun atau tidak
membangun.

Menentukan Bebas Linear dari suatu kumpulan vektor.

Menentukan apakah sekumpulan vector merupakan Basis atau bukan.
10.1. Ruang ruang Vektor Real.
Pada bagian ini, akan lebih jauh lagi dipelajari tentang konsep vektor. Akan
dinyatakan pula serangkaian aksioma yang jika dipenuhi oleh sekelompok objek,
akan memberi hak kepada objek tersebut untuk disebut sebagai “vektor”.
Definisi :
Anggap V adalah sebarang himpunan tak kosong dari objek di mana dua operasi
didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Jika aksioma berikut ini dipenuhi oleh semua vektor u,v dan w dalam V dan semua
skalar k dan l, maka V disebut Ruang Vektor :
1. Jika u dan v adalah vector dalam V, maka u + v berada dalam V pula.
2. u + v = v + u
3. u + ( v + w) =( u + v) + w
4. Ada suatu objek 0 dalam V, yang disebut vektor nol untuk V, sedemikian
sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V.
5. Untuk setiap u dalam V, terdapatlah suatu objek –u dalam V yang disebut
negatif dari u, sedemikian sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0.
6. Jika k adalah sebarang skalar, dan u adalah sebarang vektor dalam V,
maka ku berada dalam V.
7. k(u+v) = ku + kv
8. (k +l)u = ku + lu
9. k(lu) = (kl) u
10. 1u = u
Contoh contoh berikut ini akan mengilustrasikan berbagai kemungkinan ruang
vektor. Pada setiap contoh, akan ditentukan suatu himpunan tak kosong V dan dua
operasi : penjumlahan dan perkalian scalar, kemudian akan dibuktikan bahwa
sepuluh aksioma vektor terpenuhi, yang oleh karena itu memberi hak pada V,
dengan operasi operasi yang telah ditetapkan, untuk disebut sebagai suatu ruang
vektor.
Contoh 1 : Anggap V = R2 dan didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar biasa, maka selidiki apakah V merupakan ruang vektor di R2.
Jawab
: Andaikan u = (u1,u2 ) , v = (v1,v2 ) dan w=(w1,w2),di mana u1,u2,v1,v2
,w1,w2 anggota bilangan real, maka :
1. u + v = (u1+v1,u2+v2) di dalam V, karena sifat penjumlahan
bilangan real.
2. u + v = (u1+v1,u2+v2)= (v1+u1,v2+u2)=v + u
3. u+(v+w)=(u1,u2)+(v1+w1,v2+w2)=(u1+(v1+w1),u2+(v2+w2))
=
(u1+v1+w1,u2+v2+w2)= ((u1+v1)+w1,(u2+v2)+w2 )= (u+v)+w
4. Ada vektor 0 = (0,0) sedemikian sehingga: 0 +u = (0,0) + ( u1,u2 )=
( u1,u2 ) + (0,0) =(u1,u2 ) = u.
5. Untuk setiap u = (u1,u2 ), ada - u = (-u1,-u2 ), sedemikian sehingga
: u+(- u)= (u1,u2 )+ (-u1,-u2 )= (-u1,-u2 ) + (u1,u2 ) =(-u) +u= 0
6. ku= k (u1,u2 )= (k u1,k u2 ) berada dalam V juga, karena ku1 , ku1 
R.
7. k(u+v)=k(u1+v1,u2+v2)=(ku1+k1v1,ku2+kv2)=
(ku1,ku2)+(kv1,kv2)=k(u1,u2)+k(v1,v2)=ku+kv
8. (k+l)u=(k+l)(u1,u2)=(ku+lu1,ku2+lu2)=
(ku1,ku2)+(lu1,lu2)=k(u1,u2)+l(u1,u2)=ku+lu
9. k(lu)=k(l(u1,u2))=k(lu1,lu2)=(klu1,klu2)=kl(u1,u2)=klu
10. 1u=1(u1,u2)=(u1,u2)= u
Karena setiap syarat untuk menjadi ruang vektor dipenuhi, maka dapat
disimpulkan bahwa V = R2 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar biasa, adalah merupakan ruang vektor di R2.
Contoh 2
: Jika V = R2 dan didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar
sebagai berikut :
u + v = (u1+v1,u2+v2), dan jika k adalah sebarang bilangan real , maka
didefinisikan : ku = (ku1,0). Selidikilah apakah V merupakan ruang
vektor di R2
: Operasi penjumlahan adalah operasi penjumlahan standard pada R2,
Jawab
tetapi operasi perkalian skalar bukanlah perkalian skalar standar. Dalam latihan,
silahkan dibuktikan bahwa 9 sifat yang pertama terpenuhi, akan tetapi sifat no 10,
tidak terpenuhi , yaitu : 1u = 1(u1,u2)= (1u1,0)=(u1,0) ≠ u
Sifat sifat Ruang Vektor :
Jika V adalah suatu ruang vektor dan u adalah suatu vektor dalam V, serta k adalah
suatu skalar, maka:
a. 0 u = 0
b. k 0 = 0
c. (-1)u =- u
d. Jika ku = 0, maka k =0, atau u = 0
10.2. Sub Ruang
Adalah mungkin bagi suatu ruang vektor untuk tercakup dalam ruang vektor lain
yang lebih besar.
Definisi : Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut suatu sub
ruang dari V, jika, W sendiri adalah suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan
perkalian skalar, yang didefinisikan pada V.
Definisi : Jika W adalah suatu himpunan satu atau lebih vektor dari suatu ruang
vektor V, maka W adalah suatu sub ruang dari V jika dan hanya jika syarat syarat
berikut terpenuhi :
a. Jika u dan v adalah vektor vektor dalam W, maka u + v ada di dalam W
b. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalamW, maka ku ada
dalam W
Contoh 1 : Tentukan apakah himpunan vektor V berbentuk (a,0,0) merupakan sub ruang
dari R3
Jawab : Andaikan vektor u =(u1,0,0) dan v = (v1,0,0), maka :
a. u + v = (u1+v1,0,0) berada dalam V
b. Jika k adalah sebarang skalar, maka ku = k(u1,0,0)=(ku1,0,0) berada dalam
V
Karena kedua sifat terpenuhi, maka dapat dikatakan himpunan vektor V
merupakan sub ruang dari R3
Contoh 2 : Tentukan apakah himpunan vektor V berbentuk (a,1,1) merupakan sub ruang
dari R3
Jawab : Andaikan vektor u =(u1,1,1) dan v = (v1,1,1), maka :
a. u + v = (u1+v1,1+1,1+1)= (u1+v1,2,2) tidak berada dalam V
Karena sifat yang pertama tidak terpenuhi, maka dapat dikatakan himpunan
vektor V berbentuk (a,1,1) bukan merupakan sub ruang dari R3
10.3. Kombinasi Linear
Suatu vektor w disebut Kombinasi Linear dari vektor vektor v1,v2, …vn, jika
dapat dinyatakan dalam bentuk :
w=k1v1+k2v2+k3v3 +…+knvn
dengan k1,k2, …,kn adalah skalar.
Contoh 1: Setiap vektor v = (a,b,c) dalam R3 dapat dinyatakan sebagai suatu
kombinasi linear dari vektor vektor satuan .
Jawab
: v = (a,b,c) = a ( 1,0,0 ) + b(0,1,0) + c(0,0,1)=ai + bj + ck
Contoh 2
: Tinjau vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2) dalam R3. Tunjukkan
bahwa w = (9,2,7) adalah kombinasi linear dari u dan v, dan x = (4,-1,8)
bukan kombinasi linear dari u dan v
Jawab
: Agar w menjadi suatu kombinasi linear, dari u dan v, haruslah ada
skalar k1,k2, sedemikian sehingga w = k1u +k2v , yaitu:
(9,2,7 ) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2 )
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, kita akan
mendapatkan :
k1 + 6k2 = 9
2k1 + 4k2 = 2
-k1 + 2k2 = 7
Menyelesaikan persamaan ini, akan dihasilkan : k1 = -3 dan k2 = 2,
sehingga : w = k1u + k2v. Ini berarti w merupakan kombinasi linear dari
u dan v .
Demikian juga, agar x menjadi suatu kombinasi linear, dari u dan v,
haruslah ada skalar k1,k2, sedemikian sehingga x = k1u +k2v , yaitu:
(4,-1,8 ) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2 )
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, kita akan
mendapatkan :
k1 + 6k2 = 4
2k1 + 4k2 = -1
-k1 + 2k2 = 8
Sistem persamaan ini tidak konsisten ( silahkan dibuktikan sendiri ),
sehingga tidak ada skalar k1 dan k2 yang memenuhinya.
Sehingga terbukti , x bukanlah suatu kombinasi linear dari u dan v
10.4. Ruang Membangun / Merentang
Jika S = { v1,v2, …,vn } adalah suatu himpunan vektor dalam suatu ruang vektor
V, maka sub ruang W dari V yang mengandung semua kombinasi linear dari
vektor vektor dalam S disebut ruang Membangun oleh v1,v2, ….,vn, dan kita
katakan bahwa vektor vektor v1,v2, ….,vn adalah membangun W.
Contoh 1 : Tentukan apakah himpunan S = { i,j,k } membangun vektor x=(9,2,3 )
Jawab
: Untuk menyelediki apakah himpunan S, yang terdiri dari vektor
satuan, membangun vektor x atau tidak, dapat dilakukan dengan penyelidikan
apakah vektor x merupakan kombinasi linear dari himpunan S, sehingga
diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang memenuhi persamaan :
x= k1i + k2j + k3 k
(9,2,3)= k1(1,0,0 ) + k2(0,1,0) +k3 (0,0,1)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, kita akan
mendapatkan :
k1 = 9
k2 = 2
k3 = 3
Sehingga dapat disimpulkan bahwa x adalah kombinasi linear dari himpunan
vektor S, atau S membangun terhadap vektor x
Contoh 2 : Tentukan apakah himpunan S = { i,j,k } membangun di setiap vektor
di R3
Jawab
: Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu u = (u1,u2,u3)
Maka harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap vektor di R3. Hal ini dapat
dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor u merupakan kombinasi linear dari
himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang memenuhi
persamaan :
u= k1i + k2j + k3 k
(u1,u2,u3)= k1(1,0,0 ) + k2(0,1,0) +k3 (0,0,1)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, kita akan
mendapatkan :
k1 = u1
k2 = u2
k3 = u3
Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap vektor di R3 adalah kombinasi linear
dari himpunan vektor S, atau S membangun di setiap vektor di R3.
Contoh 3 : Tentukan apakah himpunan S = { u,v,w } di mana u = (1,1,2),
v=(1,0,1) dan w =(3,1,3) membangun di setiap vektor di R3.
Jawab
: Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu x =
(x1,x2,x3). Maka harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap vektor di R3. Hal
ini dapat dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor x merupakan kombinasi.
linear dari himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang
memenuhi persamaan :
x= k1u + k2v + k3 w
(x1,x2,x3)= k1(1,1,2 ) + k2(1,0,1) +k3 (3,1,3)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan didapatkan :
k1+k2+3k3 = x1
k1+k3 = x2
2k1+k2+3k3 = x3
Sistem Persamaan Linear yang terjadi adalah SPL dengan 3 persamaan dan 3
variabel. Telah dipelajari, agar penyelesaian dari SPL ini ada ( dalam hal ini,
penyelesaiannya adalah nilai dari variabel k1,k2,dan k3), atau agar jenis
penyelesaian SPL konsisten, maka nilai determinannya tidak sama dengan nol,
atau :
1 1 3
1 0 1=1
2 1 3
Karena nilai dari determinannya tidak sama dengan nol, maka SPL konsisten, atau
nilai dari variabel k1,k2,dan k3 ada. Karena nilai dari variabel k1,k2,dan k3 ada ,
maka dapat dikatakan x merupakan kombinasi linear dari himpunan vektor S, atau
S membangun x. Karena x diambil dari sebarang vektor di R3, maka dapat
disimpulkan himpunan vektor S = himpunan S = { u,v,w } di mana u = (1,1,2),
v=(1,0,1) dan w =(3,1,3) membangun di setiap vektor di R3.
Contoh 4 : Tentukan apakah himpunan S = { u,v,w } di mana u = (1,1,2),
v=(1,0,1) dan w =(2,1,3) membangun di setiap vektor di R3.
Jawab
: Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu x =
(x1,x2,x3). Maka harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap vektor di R3. Hal
ini dapat dilakukan dengan penyelidikan apakah vektor x merupakan kombinasi.
linear dari himpunan S, sehingga diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang
memenuhi persamaan :
x= k1u + k2v + k3 w
(x1,x2,x3)= k1(1,1,2 ) + k2(1,0,1) +k3 (2,1,3)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan didapatkan :
k1+k2+2k3 = x1
k1+k3 = x2
2k1+k2+3k3 = x3
Sistem Persamaan Linear yang terjadi adalah SPL dengan 3 persamaan dan 3
variabel. Telah dipelajari, agar penyelesaian dari SPL ini ada ( dalam hal ini,
penyelesaiannya adalah nilai dari variabel k1,k2,dan k3), atau agar jenis
penyelesaian SPL konsisten, maka nilai determinannya tidak sama dengan nol,
atau :
1 1 2
1 0 1=0
2 1 3
Karena nilai dari determinannya sama dengan nol, maka SPL tidak konsisten, atau
nilai dari variabel k1,k2,dan k3 tidak ada. Karena nilai dari variabel k1,k2,dan k3
tidak ada , maka dapat dikatakan x bukanmerupakan kombinasi linear dari
himpunan vektor S, atau S tidak membangun x. Karena x diambil dari sebarang
vektor di R3, maka dapat disimpulkan himpunan vektor S = { u,v,w } di mana u =
(1,1,2), v=(1,0,1) dan w =(2,1,3) tidak membangun di setiap vektor di R3.
PERHATIKAN : Untuk menyelidiki apakah suatu himpunan vektor yang terdiri atas n
anggota, membangun di setiap vektor di Rn dapat dipermudah dengan hanya menyelidiki
harga dari determinannya.
10.5. Kebebasan Linear.
Pada bagian sebelumnya sudah dipelajari bahwa suatu himpunan vektor S ={
v1,v2, …,vn } membangun suatu ruang vektor V yang diberikan jika setiap vektor
dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi Linear dari vektor vektor
dalam S. Secara umu, mungkin ada lebih dari satu cara untuk menyatakan suatu
vektor dalam V sebagai suatu kombinasi linear dari vektor vektor dalam suatu
himpunan rentang. Dalam bagian ini kita akan mempelajari syarat syarat di mana
setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor
vektor rentang dalam tepat satu cara. Himpunan himpunan rentang dengan sifat
ini memainkan peran mendasar dalam ruang vektor.
Definsi : Jika S = { v1,v2, …,vn }adalah suatu himpunan vektor vektor tak
kosong, maka persamaan vektor :
k1 v1 + k2v2 + … + kn vn =0
mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaitu :
k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0, …, kn = 0
Jika ini adalah satu satunya penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan yang
bebas secara linear. Jika ada penyelesaian penyelesaian lainnya, maka S disebut
himpunan yang tak bebas secara linear.
Contoh 1 : Apakah himpunan vektor S = { i,j,k }, dimana i =(1,0,0), j = (0,1,0),
k=(0,0,1) merupakan himpunan bebas linear ?
Jawab
: Untuk menentukan apakah himpunan S merupakan himpunan bebas
linear, harus digantikan pada persamaan :
k1 i + k2 j + k3 k = 0
k1 ( 1, 0, 0 ) + k2 ( 0,1,0) + k3 ( 0,0,1) = ( 0,0,0)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan
didapatkan :
k1 = 0
k2 = 0
k3 = 0
Karena ini adalah satu satunya penyelesaian, maka himpunan S
merupakan himpunan bebas linear.
Contoh 2 : Apakah himpunan vektor S = { u, v, w }, dimana u =(1,-2,3), v =
(5,6,-1), w=(3,2,1) merupakan himpunan bebas linear ?
Jawab
: Untuk menentukan apakah himpunan S merupakan himpunan bebas
linear, harus digantikan pada persamaan :
k1 u + k2 v + k3 w = 0
k1 ( 1, -2, 3 ) + k2 ( 5,6,-1) + k3 ( 3,2,1) = ( 0,0,0)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan
didapatkan :
k1 + 5k2 + 3 k3 = 0
-2k1 + 6k2 + 2 k3 = 0
3k1 - k2 + k3 = 0
Untuk menyelidiki apakah SPL Homogen ini, mempunyai
penyelesaian k1 = k2 = k3 = 0, sebagai satu satunya penyelesaian,
atau yang sudah dikenal sebagai penyelesaian Trivial, maka dicoba
untuk menyelidiki nilai determinan dari SPL tersebut :
1
5
3
2
6
2
3
=0
1 1
Karena nilai determinannya sama dengan nol, maka SPL Homogen
ini akan mempunyai penyelesaian non Trivial selain penyelesaian
Trivial. Ini berarti, k1 = k2 = k3 = 0, bukan satu satunya penyelesaian,
sehingga dapat dikatakan, himpunan S bukan merupakan himpunan
bebas linear.
Contoh 3 : Apakah himpunan vektor S = { u, v, w }, dimana u =(2,2,2), v =
(0,0,3), w=(0,1,1) merupakan himpunan bebas linear ?
Jawab
: Untuk menentukan apakah himpunan S merupakan himpunan bebas
linear, harus digantikan pada persamaan :
k1 u + k2 v + k3 w = 0
k1 ( 2, 2, 2 ) + k2 ( 0,0,3) + k3 ( 0,1,1) = ( 0,0,0)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan
didapatkan :
2k1 = 0
2k1 + k3 = 0
2k1 +3 k2 + k3 = 0
Untuk menyelidiki apakah SPL Homogen
ini, mempunyai
penyelesaian k1 = k2 = k3 = 0, sebagai satu satunya penyelesaian,
atau yang sudah dikenal sebagai penyelesaian Trivial, maka dicoba
untuk menyelidiki nilai determinan dari SPL tersebut :
2 0 0
2 0 1
= -6
2 3 1
Karena nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka SPL
Homogen ini akan mempunyai penyelesaian Trivial saja. Ini berarti,
k1 = k2 = k3 = 0, merupakan satu satunya penyelesaian, sehingga
dapat dikatakan, himpunan S merupakan himpunan bebas linear.
PERHATIKAN : Untuk menyelidiki apakah suatu himpunan vektor yang terdiri atas n
anggota, dalam ruang berdimensi n, bebas linear atau tidak, dapat dilakukan dengan
menyelidiki harga dari determinannya. Jika harga dari determinannya sama dengan nol,
maka bukan merupakan himpunan bebas linear, sedang jika harga dari determinannya
tidak sama dengan nol, maka merupakan himpunan bebas linear
10.6. BASIS
Definisi : Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = { v1,v2, …,vn }adalah
suatu himpunan vektor vektor dalam V, maka S disebut suatu basis untuk V jika
dua syarat berikut ini dipenuhi :
a. S bebas linear
b. S membangun V
Contoh 1 : Selidikilah apakah S = { v1,v2, v3 }di mana v1 = ( 1,2,1), v2=(2,9,0) dan
v3=(3,3,4) merupakan basis untuk R3
Jawab
: Untuk menyelidiki apakah himpunan S merupakan basis atau bukan,
maka harus diselidiki terlebih dahulu kedua syarat yang harus
dipenuhi, yaitu
a. S bebas linear
b. S membangun V
Penyelidikan untuk syarat (a) :
Untuk menentukan apakah himpunan S merupakan himpunan bebas
linear, harus digantikan pada persamaan :
k1 u + k2 v + k3 w = 0
k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2,9,0) + k3 ( 3,3,4) = ( 0,0,0)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan
didapatkan :
k1 +2 k2 + 3 k3 = 0
2k1 +9 k2 +3 k3 = 0
k1 +4 k3 = 0
Untuk menyelidiki apakah SPL Homogen ini, mempunyai
penyelesaian k1 = k2 = k3 = 0, sebagai satu satunya penyelesaian,
atau yang sudah dikenal sebagai penyelesaian Trivial, maka dicoba
untuk menyelidiki nilai determinan dari SPL tersebut :
1 2 3
2 9 3
= -1
1 0 4
Karena nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka SPL
Homogen ini akan mempunyai penyelesaian Trivial saja. Ini berarti,
k1 = k2 = k3 = 0, merupakan satu satunya penyelesaian, sehingga
dapat dikatakan, himpunan S merupakan himpunan bebas linear.
Penyelidikan untuk syarat (b) :
Ambil sebuah vektor sebarang di R3, andaikan vektor itu x =
(x1,x2,x3). Maka harus dibuktikan bahwa S membangun di setiap
vektor di R3. Hal ini dapat dilakukan dengan penyelidikan apakah
vektor x merupakan kombinasi linear dari himpunan S, sehingga
diselidiki, apakah ada k1,k2,dan k3 yang memenuhi persamaan :
x= k1u + k2v + k3 w
(x1,x2,x3)= k1(1,2,1) + k2(2,9,0) +k3 (3,3,4)
Dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan, akan
didapatkan :
k1+2k2+3k3 = x1
2k1+9k2+3k3 = x2
k1 +4k3 = x3
Sistem Persamaan Linear yang terjadi adalah SPL dengan 3
persamaan dan 3 variabel. Telah dipelajari, agar penyelesaian dari
SPL ini ada ( dalam hal ini, penyelesaiannya adalah nilai dari variabel
k1,k2,dan k3), atau agar jenis penyelesaian SPL konsisten, maka nilai
determinannya tidak sama dengan nol, atau :
1 2 3
2 9 3
= -1
1 0 4
Karena nilai dari determinannya tidak sama dengan nol, maka SPL
konsisten, atau nilai dari variabel k1,k2,dan k3 ada. Karena nilai dari
variabel k1,k2,dan k3 ada , maka dapat dikatakan x merupakan
kombinasi linear dari himpunan vektor S, atau S membangun x.
Karena x diambil dari sebarang vektor di R3, maka dapat disimpulkan
himpunan vektor S = himpunan S = { u,v,w } di mana u = (1,2,1),
v=(2,9,0) dan w =(3,3,4) membangun di setiap vektor di R3.
Karena syarat a dan b terpenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan
S merupakan basis untuk R3
PERHATIKAN : Untuk menyelidiki apakah suatu himpunan vektor yang terdiri atas n
anggota dalam ruang berdimensi n, basis atau tidak, dapat dilakukan dengan menyelidiki
harga dari determinannya. Jika harga dari determinannya sama dengan nol, maka
bukan merupakan basis, sedang jika harga dari determinannya tidak sama dengan
nol, maka merupakan basis.
10.7. Latihan Soal
1. Pada soal no a - e diberikan sebuah himpunan vektor bersama dengan operasi
penjumlahan dan perkalian skalarnya. Tentukan himpunan manakah yang
meruapakan ruang vektor di bawah operasi yang diberikan. Untuk himpunan
yang bukan meruapakan ruang vektor, sebutkan semua sifat yang tidak
terpenuhi.
a. Himpunan semua pasangan vektor (x,y,z) dengan operasi penjumlahan biasa,
dan perkalian skalar k(x,y,z) =(kx,y,z).
b. Himpunan semua pasangan vektor (x,y,z) dengan operasi penjumlahan biasa,
dan perkalian skalar k(x,y,z) =(0,0,0).
c. Himpunan semua pasangan vektor (x,y) dengan operasi penjumlahan biasa,
dan perkalian skalar k(x,y) =(2kx,2ky).
d. Himpunan semua pasangan vektor (x,0) dengan operasi penjumlahan biasa,
dan perkalian skalar biasa pada R2
e. Himpunan semua pasangan vektor (x,y) dengan operasi penjumlahan
(x,y) + (x’,y’) = (x+x’+1,y+y’+1) dan k(x,y) =(kx,ky)
2. Tentukan manakah dari yang berikut ini, yang merupakan sub ruang di R3
a. semua vektor berbentuk (a,1,1)
b. semua vektor berbentuk (a,b,c) dengan b=a+c
c. semua vektor berbentuk (a,b,c) dengan b=a+c+1
3. Manakah dari yang berikut ini adalah kombinasi linear dari u=(0,2,-2) dan
v=(1,3,-1)?
a. (2,2,2)
b. (3,1,5)
c. (0,4,5)
d. (0,0,0)
4. Nyatakan yang berikut ini sebagai kombinasi linear dari u=(2,1,4), v =(1,-1,3),dan
w=(3,2,5):
a. (-9,-7,-15)
b. (6,11,6)
c. (0,0,0)
d. (7,8,9)
5.
Pada setiap soal , tentukan manakah himpunan vektor S= {v1,v2,v3} yang
membangun di setiap titik dalam R3?
a. v1=(2,2,2), v2 = (0,0,3) , v3 = (0,1,1)
b. v1=(2,-1,3), v2 = (4,1,2) , v3 = (8,-1,8)
6.
Pada setiap soal , tentukan manakah himpunan vektor S= {v1,v2,v3} yang
merupakan himpunan bebas linear di dalam R3?
a. v1=(-3,0,4), v2 = (5,-1,2) , v3 = (1,1,3)
b. v1=(2,-2,0), v2 = (6,1,4) , v3 = (2,0,-4)
c. v1=(-6,7,2), v2 = (3,2,4) , v3 = (4,-1,2)
7.
Manakah dari himpunan vektor vektor di bawah ini yang merupakan basis
untuk R2:
a. u=(1,2), v=(0,3), w=(2,7)
b. u=(2,1), v=(3,0)
c. u=(4,1), v=(-7,-8)
d. u=(0,0), v=(1,3)
e. u=(3,9), v=(-4,-12)
8.
Manakah dari himpunan vektor vektor di bawah ini yang merupakan basis
untuk R3:
a. u=(1,0,0), v=(2,2,0), w=(3,3,3)
b. u=(3,1,-4), v=(2,5,6), w=(1,4,8)
c. u=(2,-3,1), v=(4,1,1), w=(0,-7,1)
d. u=(1,6,4), v=(2,4,-1), w=(-1,2,5)
9. Untuk nilai k manakah, agar vektor di bawah ini merupakan basis pada R3 ?
v1= ( k , -½, -½ ) ; v2 = (-½, k , -½ ); v3 = (-½,-½, k ).
10. Diketahui vektor vektor :
v1 = ( 2, 5, 4 )
v2 = ( 1, 3, 2 )
v3 = ( 2, 7,4 )
v4 = ( 1, 1, 0 )
Kelompokkanlah vektor vektor di atas ke dalam sebuah himpunan vektor, yang
terdiri dari 3 vektor, sehingga membentuk BASIS