bab i konsep dasar persamaan diferensial

BAB I
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Definisi
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabelvariabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel
bebas. Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial:
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
𝑥
−
6𝑥
+ 10𝑦 = 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
(1)
𝑦 ′ = 𝑒 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥
(2)
𝑑2𝑄
𝑑𝑄
−
3
+ 10𝑄 = 4 𝑠𝑖𝑛 2𝑡
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
(3)
𝜕2𝑉
𝜕2𝑉
+
= 0
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
(4)
2
Persamaan diferensial (disingkat PD) dibagi dalam dua kelas yaitu biasa
dan parsial. Persamaan diferensial biasa (ordinary differential
equation) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan hanya
satu variabel bebas. Jika diambil y(x) sebagai suatu fungsi satu variabel,
dengan x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas,
maka suatu persamaan diferensial biasa (disingkat PDB) dapat dinyatakan
dalam bentuk:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , 𝑦 𝑛 ) = 0
Persamaan diferensial parsial (disingkat PDP) adalah suatu persamaan
diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel bebas. Jadi
persamaan (1), (2), (3) adalah PDB sedangkan (4) adalah PDP.
Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi
dalam persamaan tersebut, contoh:
𝑥
𝑑𝑦
– 𝑦2 = 0
𝑑𝑥
𝑑2𝑦
𝑥𝑦 2 – 𝑦 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0
𝑑𝑥
adalah PDB orde satu
adalah PDB orde dua
𝑑3𝑦
𝑑𝑦
−
𝑦
+ 𝑒 4𝑥 = 0 adalah PDB orde tiga
3
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Definisi Linieritas dan Homogenitas.
Persamaan differensial biasa order n dikatakan linier bila dapat
dinyatakan dalam bentuk. (A linear differential equation is any differential
equation that can be written in the following form.)
a0 ( x) y ( n )  a1 ( x) y ( n1)  ......  an1 ( x) y ' an ( x) y  F ( x)
dengan
a0 ( x )  0
.
1. Jika tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier.
2. Jika koefisien
a0 ( x), a1 ( x),....., an ( x)
konstan maka disebut persamaan
differensial linier dengan koefisien konstan, jika
persamaan differensial linier dengan koefisien variable.
3. Jika
jika
F ( x)  0 , maka disebut persamaan
F ( x)  0 disebut tidak homogen.
tidak
disebut
differensial linier homogen,
Solusi (Penyelesaian) PDB.
Definisi: Tinjau suatu PDB
dy
dn y

F  x, y, ,..., n   0
dx
dx 

dy
dny
x, y, ,...., n .
dx
dx
1. Jika
adalah fungsi real yang terdefinisi untuk semua
f
interval real
Fungsi
dengan F fungsi real dengan (n+2) argumen
I
x
dalam
dan mempunyai derivative ke-n untuk semua
xI .
I jika memenuhi
F x, f ( x), f ' ( x),..., f ( x) terdefinisi untuk semua x  I , dan
f
disebut solusi eksplisit PDB di atas pada
(n)
F x, f ( x), f ' ( x),..., f ( n ) ( x)  0
2. Suatu relasi
g ( x, y)  0
untuk semua
xI
disebut solusi implisit dari PDB di atas jika
dapat ditransformasi ke minimal satu fungsi
f
dengan variable
g
xI
sedemikian sehingga
f
merupakan solusi eksplisit dari PDB pada
interval tersebut.
3. Kedua penyelesaian yaitu penyelesaian implicit dan penyelesaian
eksplisit biasanya secara singkat disebut penyelesaian PDB.
Secara umum kedua solusi tersebut masih dikategorikan lagi dalam tiga
jenis solusi yaitu:
1. Solusi
Umum
mengandung
(Penyelesaian
konstanta
Umum):
misalnya
mempunyai penyelesaian umum
solusi
C atau c .
PDB
yang
Contoh:
masih
y'  3
y  3x  C .
2. Solusi Khusus/Partikulir (Penyelesaian Khusus/Partikulir): solusi yang
tidak mengandung konstanta karena adanya syarat awal pada suatu
y '  3 dengan
khususnya adalah y  3 x  1
PDB. Contoh:
syarat
y(0)  1,
maka penyelesaian
3. Solusi Singular (Penyelesaian Singular): solusi yang tidak diperoleh
dari hasil mensubstitusikan suatu nilai pada konstanta pada solusi
umumnya. Contoh:
( y' ) 2  xy '  y ,
y  Cx  C 2
adalah solusi umum dari PDB
namun demikian disisi lain PDB tersebut mempunyai
penyelesaian singular
1
y   x2 .
4
Metode Penyelesaian.
Metoda yang digunakan untuk mencari solusi (menyelesaikan) Persamaan
Differensial antara lain:
1. Metoda Analitik: Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi
yaitu bentuk eksplisit dan implicit yang dicari melalui teknik deduktif
analogis
dengan
menggunakan
konsep-konsep
matematik.
Kelebihannya dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak
cukup fleksibel untuk masalah-masalah yang komplek. Dengan
komputer dapat diselesaikan dengan software MATLAB atau MAPLE_
Prosedur dalam MATLAB ditulis sebagai berikut:
%Menggunakan fungsi dsolve
>>dsolve(‘Dy = 3*y + 1, y(0)=1’)
2. Metoda Kualitatif: Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran
secara geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan
mengamati pola grafik gradien “field” (direction field) maka dapat
diestimasi solusi PDB itu. Keunggulannya dapat memahami secara
mudah kelakuan solusi suatu PDB namun fungsi asli dari solusinya
tidak diketahui dan juga kurang fleksibel untuk kasus yang komplek
3. Metoda Numerik. Pada saat sekarang metoda ini merupa-kan metoda
yang fleksibel. Metoda ini berkembang sesuai dengan perkembangan
computer, dan dapat menyelesaikan PDB dari level yang mudah sampai
pada level yang kompleks. Meskipun fungsi tidak solusi tidak diketahui
secara eksplisit maupun implicit namun data yang diberikan dapat
divisualisir dalam bentuk grafik sehingga dapat dianalisis dengan baik.
Metoda ini berdasarkan prinsip-prinsip pendekatan (aproksimasi)
sehingga solusi yang diperoleh adalah solusi hampiran (solusi
pendekatan).
Pembentukan Persamaan Diferensial
Secara matematis, persamaan diferensial muncul jika ada konstanta
sembarang dieliminasikan dari suatu fungsi tertentu yang diberikan, lihat
contoh berikut:
Bentuklah persamaan diferensial dari fungsi berikut:
𝑦 = 𝑥 +
Penyelesaian:
𝑦 = 𝑥 +
𝐴
𝑥
𝐴
= 𝑥 + 𝐴𝑥 −1
𝑥
𝑑𝑦
𝐴
= 1 − 𝐴𝑥 −2 = 1 − 2
𝑑𝑥
𝑥
dari fungsi yang diberikan (soal) konstanta sembarang A adalah:
sehingga
𝐴
= 𝑦 − 𝑥
𝑥
∴ 𝐴 = 𝑥(𝑦 − 𝑥)
𝑑𝑦
𝑥(𝑦 – 𝑥)
= 1 − 𝐴𝑥 −2 = 1 −
𝑑𝑥
𝑥2
(𝑦 – 𝑥)
𝑥– 𝑦 + 𝑥
2𝑥 − 𝑦
= 1 −
=
=
𝑥
𝑥
𝑥
𝑑𝑦
2𝑥 – 𝑦
𝑑𝑦
2𝑥 – 𝑦
=
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥
=
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑥
∴
Satu contoh lagi, bentuklah persamaan diferensial untuk:
𝑦 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥
Penyelesaian:
𝑑𝑦
= 2𝐴𝑥 + 𝐵
𝑑𝑥
𝑑2𝑦
= 2𝐴
𝑑𝑥 2
1 𝑑2𝑦
∴ 𝐴 =
2 𝑑𝑥 2
substitusikan konstanta A ke:
𝑑𝑦
= 2𝐴𝑥 + 𝐵
𝑑𝑥
sehingga
𝑑𝑦
1 𝑑2𝑦
𝑑2𝑦
= 2
𝑥 + 𝐵 = 𝑥 2+ 𝐵
𝑑𝑥
2 𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑2𝑦
∴ 𝐵 =
− 𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
dengan mensubstitusikan A dan B pada persamaan:
𝑦 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥
kita dapatkan:
1 𝑑2𝑦 2
𝑑𝑦
𝑑2𝑦
𝑦 =
𝑥 + (
− 𝑥 2) 𝑥
2 𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
1 2 𝑑2𝑦
𝑑𝑦
𝑑2𝑦
2
= 𝑥
+ 𝑥
− 𝑥
2 𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
1 2 𝑑2𝑦
= 𝑥
− 𝑥
𝑑𝑥
2 𝑑𝑥 2
hasil akhir penyelesaian di atas adalah persamaan diferensial orde dua.
Jadi fungsi dengan satu konstanta sembarang menghasilkan persamaan
diferensial orde satu, sedangkan fungsi dengan dua konstanta sembarang
menghasilkan persamaan diferensial orde dua. Sehingga berlaku kaidah:
Persamaan Diferensial orde ke n diturunkan dari fungsi yang
mempunyai n buah konstanta sembarang.
Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
Penyelesaian Persamaan Diferensial adalah pencarian fungsi yang
memenuhi persamaan diferensial tersebuat dengan cara manipulasi
persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan harga
menyisakan hubungan antara x dan y.
Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung
Jika persamaan dapat disusun dalam bentuk
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 (𝑥) , maka
persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana.
Contoh1:
maka
𝑑𝑦
= 3𝑥 2 − 6𝑥 + 5
𝑑𝑥
𝑦 = ∫(3 𝑥 2 − 6𝑥 + 5)𝑑𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑐
Contoh2:
𝑥
𝑑𝑦
= 5𝑥 3 + 4
𝑑𝑥
maka
𝑑𝑦
4
= 5𝑥 2 +
𝑑𝑥
𝑥
sehingga
𝑦 =
5 3
𝑥 + 4𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐
3
Nilai c tidak dapat ditentukan kecuali jika dalam persamaan di atas diberi
keterangan syarat (sebuah nilai y untuk x tertentu). Solusi dengan nilai
konstanta sembarang atau c disebut solusi umum/primitif, sedangkan
solusi disebut khusus jika nilai c dapat dihitung.
Contoh3:
Tentukan solusi khusus persamaan berikut jika y=3 untuk x=0:
𝑒𝑥
Penyelesaian
𝑑𝑦
= 4
𝑑𝑥
𝑒𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
= 4 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎
= 4𝑒 −𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
maka
𝑦 = ∫ 4𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = −4𝑒−𝑥 + 𝑐
dengan mengetahui y=3 untuk x=0 dapat dihitung nilai c yaitu
𝑦 = −4𝑒−𝑥 + 𝑐 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 3 = −4 + 𝑐 ; 𝑐 = 7
sehingga solusi khusus adalah:
𝑦 = ∫ 4𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = −4𝑒−𝑥 + 7
Metode 2: Pemisahan variabel
Jika persamaan diferensial berbentuk
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦), yaitu persamaan yang
ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi
x dan fungsi y, maka penyelesaian PD dengan cara memisahkan
variabelnya sehingga faktor’y’ bisa kita kumpulkan dengan ‘dy’ dan
faktor’x’ dengan ‘dx’.
contoh: selesaikan PD berikut
𝑑𝑦
= (1 + 𝑥)(1 + 𝑦)
𝑑𝑥
maka jika kita pisahkan berdasarkan variabelnya menjadi:
1
𝑑𝑦 = (1 + 𝑥)𝑑𝑥
(1 + 𝑦)
jika kita integrasikan kedua ruas menjadi:
∫
1
𝑑𝑦 = ∫(1 + 𝑥)𝑑𝑥
(1 + 𝑦)
𝑙𝑛(1 + 𝑦) = 𝑥 +
1 2
𝑥 + 𝑐
2
Metode 3: Persamaan Homogen substitusi y=vx
tinjau persamaan diferensial berikut:
𝑑𝑦
𝑥 + 3𝑦
=
𝑑𝑥
2𝑥
persamaan di atas tidak dapat diselesaikan dengan cara memisahkan
variabelnya. Dalam hal ini kita lakukan substitusi y =vx, dengan v adalah
fungsi x. Sehingga penyelesaiannya:
dari y = vx dideferensialkan menjadi
𝑑𝑦
𝑑𝑣
= 𝑣 +𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
sehingga
𝑥 + 3𝑦
1 + 3𝑣
=
2𝑥
2
Persamaan sekarang menjadi:
𝑣 +𝑥
𝑥
𝑑𝑣
1 + 3𝑣
=
𝑑𝑥
2
𝑑𝑣
1 + 3𝑣
1 + 𝑣
=
−𝑣 =
𝑑𝑥
2
2
2
1
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
1+𝑣
𝑥
kedua ruas diintegrasikan menjadi:
∫
2
1
𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑥
1+𝑣
𝑥
2𝑙𝑛(1 + 𝑣) = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
(1 + 𝑣)2 = 𝑐. 𝑥
substitusi v=y/x didapatkan
𝑦
(1 + )2 = 𝑐. 𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑐. 𝑥 3
𝑥