Materi bilangan bulat dan pecahan

Page |1
PENDAHULUAN
Pernahkah kalian mengalami masalah saat berbelanja, misalnya saat kalian ingin
membeli pizza, satu loyang pizza harganya Rp 30000, sementara uang yang kalian punya
adalah Rp 15000. Apakah kalian dapat membeli pizza tersebut ?. Bagaimana Caranya agar
kalian dapat membeli pizza tersebut ?. Ada beberapa alternatif yang dapat kalian lakukan.
Pertama, kalian kembali ke rumah dan meminta kekurangan uang yang kalian butuhkan.
Kedua, jika pizza tersebut dipotong menjadi 4 bagian sama besar dan bisa membeli
perpotongnya maka kalian dapat membeli setengah bagian dari pizza tersebut atau dengan
kata lain kalian mendapatkan dua potong pizza.
Menurut kalian bagaimana dua alternatif tersebut dapat muncul ?. Bagaimana cara
menghitungnya ?. Untuk mengetahui jawabannya maka dibuatlah modul ini agar kalian dapat
memecahkan beberapa masalah matematika seperti ilustrasi di atas dengan menggunakan
sifat-sifat operasi bilangan bulat dan pecahan.
Dengan mempelajari modul ini kalian diharapkan dapat :
1.
2.
3.
4.
memahami operasi hitung bilangan bulat seperti dan sifat-sifatnya
memahami cara menggunakan garis bilangan
memahami bilangan pecahan
memecahkan masalah matematika dengan menggunakan sifat-sifat operasi hitung
bilangan bulat dan pecahan
Beberapa operasi hitung bilangan bulat yang akan kalian pelajari adalah penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian. Sementara sifat-sifatnya adalah tertutup, komutatif,
asosiatif, distributif, identitas, dan invers. Namun setiap operasi hitung bilangan bulat
mempunyai sifat-sifat yang berbeda. Dalam modul ini juga kalian akan mempelajari tentang
pengertian pecahan, jenis-jenis bilangan pecahan, mengubah bentuk pecahan menjadi bentuk
lain.
Sebelum mempelajari modul ini kalian akan diberikan ilustrasi dalam kehidupan
sehari-hari yang berhubungan dengan materi operasi hitung bilangan bulat dan pecahan agar
kalian tidak bosan dalam mempelajarinya karena materi tersebut sangat dekat dengan
kehidupan kalian sehari-hari. Dalam modul ini juga terdapat ringkasan materi disertai contoh
soal dengan harapan kalian mudah dalam memahami materi ini. Ringkasan materi yang
diberikan juga menggunakan kalimat yang sederhana agar kalian mudah mencerna maksud
dan memahami materi ini dengan baik. Untuk membantu lebih memahami materi ini, kalian
akan diberikan beberapa soal yang harus kalian kerjakan sesuai petunjuk pengerjaan soal.
Modul ini dapat dipelajari sendiri oleh kalian tanpa bantuan guru, karena sebelum kalian
mengerjakannya kalian akan diberikan petunjuk pengerjaan soal agar kalian lebih mudah
mengerjakannya, setelah kalian mengerjakan soal-soal tersebut kalian dapat mengecek
jawaban kalian benar atau salah dengan mencocokan jawaban kalian dengan kunci jawaban
yang telah tersedia dalam modul ini. Tidak hanya itu saja, modul ini juga dilengkapi dengan
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
Page |2
glosarium yang dapat membantu kalian yang kurang memahami beberapa istilah-istilah dari
materi ini.
Dalam membuat modul ini kami menggunakan beberapa sumber yang sangat baik,
mudah dipahami oleh siswa, dan banyak menggunakan soal-soal yang baik dan dekat dengan
kehidupan sehari-hari. Sumber yang kami gunakan terlampir pada bagian akhir pada referensi
buku.
Sebelum kami mengakhiri bagian pendahuluan dari modul ini, kami sebagai penyusun
modul mengharapkan semoga buku ini dapat dimanfaatkan dengan baik dan membatu
mempermudah siswa memahami materi tersebut khususnya, juga meningkatkan mutu
pendidikan di Indonesia pada umumnya.
Inderalaya,
Oktober 2012
Tim Penyusun
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
Page |3
Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
P
ermasalahan sering terjadi dalam hidup kita, seperti permasalahan dalam
keluarga, dalam lingkungan masyarakat ditempat tinggal kita, dalam lingkungan
sekolah, dan dalam lingkungan lainnya dengan berbagai macam permasalahan. Terkadang
sulit untuk kita dapat mengungkapkan apa sebenarnya permasalahan yang kita hadapi itu tapi
lebih mudah untuk kita rasakan.
Permasalahan itu merupakan
suatu keadaan yang terjadi
dimana keadaan itu tidak sesuai
dengan apa yang kita harapkan.
Ternyata
dari
sejumlah
permasalahan yang ada dalam
kehidupan
kita
sehari-hari,
ternyata banyak diantaranya yang
berkaitan dengan bilangan bulat,
misalnya saja pada permasalahan
berikut ini:
Sumber: Google
“Zeni baru mengerjakan 100 soal ujian. Setelah diperiksa, 82 soal : benar, 13 soal : salah,
dan 5 soal sisanya tidak dijawab. Jika Bobot jawaban yang benar = 4, bobot jawaban yang
salah = -2, bobot jawaban kosong = 0. Berapa nilai yang diperoleh Zeni? “ .
Cerita diatas sering kita temui pada waktu ujian atau seleksi disuatu sekolah atau
instansi tertentu. Cerita seperti ini dapat menjadi masalah ketika kita tidak dapat
menyelesaikannya atau kita tidak mendapatkan hasil berapa nilai yang diperoleh oleh Zeni.
Agar dapat memecahkan masalah seperti yang telah diberikan tadi, kita dapat
menggunakan beberapa operasi hitung bilangan bulat dengan sifat-sifatnya. Untuk lebih
jelasnya, mari kita simak dan pahami penjelasan berikut ini!
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
Page |4
1. Penjumlahan Bilangan Bulat
Sifat-sifat pada penjumlahan bilangan bulat, yaitu:
a. Sifat tertutup
Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu
menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat
dituliskan sebagai berikut :
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku 𝑎 +
𝑏 = 𝑐; dengan c juga bilangan bulat.
Contoh :
a. – 16 + 25 = 9
– 16 𝑑𝑎𝑛 25 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡.
9 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡.
b. 24 + (– 8) = 16
24 𝑑𝑎𝑛 – 8 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡.
16 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡.
b. Sifat komutatif
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran.
Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh
hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut
dipertukarkan tempatnya.
Contoh :
a.
6 + 5 = 5 + 6 = 11
b.
c.
(– 7) + 4 = 4 + (– 7) = – 3
8 + (– 12) = (– 12) + 8 = – 4
d.
(– 9) + (– 11) = (– 11) + (– 9) = – 20
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku
𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎
c. Mempunyai unsur identitas
Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada
penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat
apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu
sendiri.
Contoh :
a. 6 + 0 = 0 + 6 = 6
Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku
𝑎+0= 0+𝑎
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
Page |5
d. Sifat asosiatif
Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan.
Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Contoh :
a.
Untuk setiap bilangan bulat a,b dan c, berlaku :
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑎 + 𝑏)
(4 + (– 5)) + 6 = – 1 + 6 = 5
4 + ((– 5) + 6) = 4 + 1 = 5
𝐽𝑎𝑑𝑖, (4 + (– 5)) + 6 = 4 + ((– 5) + 6).
b.
(– 3 + (– 9)) + 10 = – 12 + 10 = – 2
– 3 + ((– 9) + 10) = – 3 + 1 = – 2
𝐽𝑎𝑑𝑖, (– 3 + (– 9)) + 10 = – 3 + ((– 9) + 10).
e. Mempunyai invers
Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan
tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers
jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut
dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur
identitas (0 (nol)).
Catatan:
Dengan kata lain, untuk setiap bilangan
bulat selain nol pasti mempunyai
lawan, sedemikian sehingga berlaku :
a + (–a) = (–a) + a = 0.
Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a
adalah a
2. Pengurangan Bilangan Bulat
Sifat yang berlaku pada pengurangan bilangan bulat, yaitu:
a. Sifat Tertutup
Contoh:
Pada pengurangan bilangan bulat, selalu
menghasilkan bilangan bulat juga.
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku:
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 , dengan c juga merupakan bilangan bulat
a. 7 – 3 = 4
b. -6 – 5 = -11
c. 5 – (-2) = 7
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
Page |6
Sifat-sifat yang tidak berlaku pada pengurangan bilangan bulat, yaitu:
a. Sifat Komutatif
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran.
Pengurangan dua bilangan bulat tidak diperoleh
hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut
dipertukarkan tempatnya.
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka :
𝑎−𝑏 ≠𝑏−𝑎
Contoh:
a. 5 – 6 = -1
6–5=1
Jadi, 5 – 6 ≠ 6 – 5
b. -1 – 3 = - 4
3 – (-1) = 4
Jadi, - 1 – 3 ≠ 3 – (-1)
b. Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan.
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, maka :
(𝑎 − 𝑏) − 𝑐 ≠ 𝑎 − (𝑏 − 𝑐)
Contoh:
a. ( 3 – 2) – 4 = -3
3 – (2 – 4) = 5
Jadi, (3 – 2 ) – 4 ≠ 3 – (2 – 4)
b. ( -1 – 6) – 2 = - 9
(-1) – ( 6 – 2) = -5
Jadi, ( -1 – 6 ) – 2 ≠ (-1) – (6 – 2)
3. Perkalian pada Bilangan Bulat
Sifat – sifat pada perkalian bilangan bulat, yaitu :
a. Sifat tertutup
Untuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan
hasil perkalian berikut.
3 x 8 = ....
(–3) x 8 = ....
3 x (–8) = ....
(–3) x (–8) = ....
Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakan bilangan bulat?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p dan q, maka berlaku
𝑝 × 𝑞 = 𝑟, dengan r juga bilangan bulat
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
Page |7
a. Sifat komutatif
Untuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan
hasil perkalian berikut.
2 x (–5) = ....
(–3) x(–4) = ....
(–5) x 2 = ....
(–4) x (–3) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku
p x q = q x p.
b. Sifat asosiatif
Untuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan
hasil perkalian berikut.
3 x (–2 x 4) = ....
(–2 x 6) x 4 = ....
(3 x (–2)) x 4 = ....
–2 x (6 x 4) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku
(p x q) x r = p x (q x r).
c. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, salin dan tentukan
hasil perkalian berikut.
2 x (4 + (–3)) = ....
(–3) x (–8 + 5) = ....
(2 x 4) + (2 x (–3)) = ....
((–3) x (–8)) + (–3 x 5) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku
p x (q + r) = (p x q) + (p x r).
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
Page |8
d. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, salin dan tentukan
hasil perkalian berikut.
5 x (8 – (–3)) = ....
6 x (–7 – 4) = ....
(5 x 8) – (5 x (–3)) = ....
(6 x (–7)) – (6 x 4) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku
p x (q – r) = (p x q) – (p x r).
e. Memiliki elemen identitas
Untuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulis dan tentukan hasil perkalian
berikut.
3 x 1 = ....
1 x 3 = ....
(–4) x 1 = ....
1 x (–4) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku
p x 1 = 1 x p = p.
Elemen identitas pada perkalian adalah 1.
4. Pembagian Bilangan Bulat
Contoh:
a. 15 : 7 = 2
Sifat – sifat pembagian bilangan bulat
1
7
15 dan 7 merupakan bilangan bulat
1
2 7 bukan bilangan bulat
a. Sifat Tertutup (tidak berlaku)
b. 10 : (-3) = - 3
a dan b, bilangan bulat, maka berlaku: a : b = c,
dengan c tidak selalu bilangan bulat
1
3
10 dan (-3) merupakan bilangan bulat
1
−3 3 bukan bilangan bulat
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
Page |9
b. Sifat Komutatif (tidak berlaku)
Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu
berlaku
p:q ≠q:p
Contoh:
a. 2 : 4 = ½
4:2=2
Jadi, 2 : 4 ≠ 4 : 2
b. 6 : (-4) = 1
(-4) : 6 = -
1
2
2
3
jadi, 6 : (-4) ≠ (-4) : 6
c. Sifat Asosiatif (tidak berlaku)
a, b, dan c , bilangan bulat, maka:
(a : b ) : c ≠ a : (b : c)
Contoh :
a. ( 12 : 6 ) : 2 = 1
12 : ( 6 : 2 ) = 4
Jadi, (12 : 6 ) : 2 ≠ 12 : ( 6 : 2 )
b. (24 : (-2)) : 2 = -6
24 : ((-2) : 2) = -24
Jadi, (24 : (-2)) : 2 ≠ 24 : ((-2) : 2)
d. Pembagian dengan bilangan nol
Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan nol (0), ingat
kembali perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol.
Untuk setiap a bilangan bulat berlaku
ax0=0↔0:a=0
Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi
e. Menghitung hasil pembagian bilangan bulat
Coba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Dari sifat tersebut, diperoleh
kesimpulan berikut.
Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q ≠ 0 dan memenuhi
p : q = r berlaku
i.
jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;
ii.
jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan
bulat negatif.
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 10
Contoh Soal
1. Ani memiliki 12 lembar uang lima ribuan sedangkan Budi memiliki 8 lembar uang lima ribuan
Berapa jumlah uang mereka?
Jawab:
Jumlah uang mereka = uang Ani + uang Budi
= 12 x Rp 5.000,- + 8 x Rp 5.000,= (12 + 8) x Rp5.00000 (sifat distributif)
= 20 x Rp5.000,= Rp 100.000,Jadi, jumlah uang mereka adalah Rp 100.000,2. Ruang tamu rumah Pak Moko berbentuk persegi panjang berukuran 5 m x 4 m. Lantai ruangan
dipasang keramik dengan ukuran 25 cmx 25 cm. Berapa banyak keramik yang menutupi lantai
ruangan?
Jawab :
Lantai ruang tamu berukuran
panjang (p) : 5 m = 500 cm
lebar (l) : 4 m = 400 cm
Keramik berukuran 25 cm x 25 cm
Banyak keramik
=
=
𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑖 𝑟𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑚𝑢
𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑘𝑒𝑟𝑎𝑚𝑖𝑘
=
((25 x 20) x ( 25 x 16))𝑐𝑚2
(25 x 25)𝑐𝑚2
500 𝑐𝑚 x 400 𝑐𝑚
=
25 𝑐𝑚 x 25 𝑐𝑚
(25 x 25 ) x (20 x 16)
25 x 25
(sifat asosiatif)
= 20 x 16 = 320
Jadi, banyak keramik yang menutupi ruangan itu adalah 320 buah.
3. Seorang pedagang mempunyai 1.080 kg beras yang akan dimasukkan sama banyak kedalam 30
karung. Jika harga 1 kg beras adalah Rp 4.200,- . Berapa harga tiap karung?
Jawab :
Harga tiap karung
= (1.080 kg : 30 karung) x Rp 4.200,= 36 kg/karung x Rp 4.200,= Rp 151.200,Atau
Harga tiap karung
= (1.080 kg x Rp 4.200,-) : 30 karung
= Rp 4.536.000,- : 30
= Rp 151.200,Sehingga berlaku sifat komutatif
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 11
Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Pecahan
Sebuah gelas jika terkena getaran
dapat pecah berkeping-keping. Bagian
pecahannya lebih kecil daripada ketika
gelas masih utuh. Menurut kalian,
samakah jumlah seluruh pecahan gelas
dengan satu gelas utuh?
Mari kita pelajari materi pecahan ini 
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 12
1. Penjumlahan Bilangan Pecahan
Sifat-sifat pada penjumlahan bilangan pecahan, yaitu:
a. Sifat tertutup
Pada penjumlahan bilangan pecahan, selalu
menghasilkan bilangan pecahan juga. Hal ini dapat
dituliskan sebagai berikut :
𝑎
Contoh :
𝑏
𝑐
𝑚
𝑑
𝑛
+ =
; dengan
𝑚
𝑛
+2=4
1
3
1
4
𝑑𝑎𝑛 2 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑐𝑎ℎ𝑎𝑛.
3
4
𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑐𝑎ℎ𝑎𝑛.
1
𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑, berlaku
𝑎
1
4
juga bilangan pecahan
b. Sifat komutatif
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran.
Penjumlahan dua bilangan pecahan selalu diperoleh
hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut
dipertukarkan tempatnya.
𝑎
Contoh :
a.
b.
1
4
1
5
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
5
+ = + =
+ = + =
3
4
7
10
𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑, berlaku
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎
+𝑑 =𝑑+𝑏
𝑏
c. Mempunyai unsur identitas
Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada
penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan
pecahan apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah
bilangan itu sendiri.
Contoh :
6
6 6
+0=0+ =
7
7 7
𝑎
Untuk sebarang bilangan pecahan 𝑏, selalu berlaku
𝑎
𝑎 𝑎
+0=0+ =
𝑏
𝑏 𝑏
d. Sifat asosiatif
Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan.
Untuk setiap bilangan bulat a,b dan c, berlaku :
𝑎 𝑐
𝑒 𝑎
𝑐 𝑒
( + )+ = +( + )
𝑏 𝑑
𝑓 𝑏
𝑑 𝑓
Contoh :
1 1
1
1
1 1
5
( + )+ = +( + )=
4 2
2
4
2 2
4
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 13
e. Mempunyai invers
Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan
tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers
jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut
dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur
identitas (0 (nol)).
𝑎
Catatan:
Dengan kata lain, untuk setiap bilangan
bulat selain nol pasti mempunyai
lawan, sedemikian sehingga berlaku :
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
+ (− ) = (− ) + = 0
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑎
Lawan dari 𝑏 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ − 𝑏 , sedangkan lawan dari
𝑎
− 𝑏 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
𝑎
𝑏
2. Pengurangan Bilangan Pecahan
Sifat yang berlaku pada pengurangan bilangan
pecahan, yaitu:
Contoh:
1
2
−4=4
a. Sifat Tertutup
1
2
𝑑𝑎𝑛 4 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑐𝑎ℎ𝑎𝑛.
1
4
𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑐𝑎ℎ𝑎𝑛.
Pada pengurangan bilangan pecahan, selalu
menghasilkan bilangan pecahan juga.
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑, berlaku 𝑏 − 𝑑 =
1
1
1
𝑚
; dengan
𝑛
𝑚
𝑛
juga bilangan
pecahan
Sifat-sifat yang tidak berlaku pada pengurangan
bilangan bulat, yaitu:
Contoh :
1
2
1
4
a. Sifat Komutatif
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran.
Pengurangan dua bilangan pecahan tidak
diperoleh hasil yang sama walaupun kedua
bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya.
𝑎
1
1
−4=4
1
1
− 2 = − 4 ; Jadi,
1 1 1 1
− ≠ −
2 4 4 2
𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑, berlaku
𝑎
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
−𝑑 ≠𝑑+𝑏
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 14
c. Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan.
Untuk setiap bilangan bulat a,b dan c, berlaku :
𝑎 𝑐
𝑒 𝑎
𝑐 𝑒
( − )− ≠ −( − )
𝑏 𝑑
𝑓 𝑏
𝑑 𝑓
Contoh :
1 1
1
3
( − )− =−
4 2
2
4
1
1 1
1
−( − )=
4
2 2
4
1 1
1 1
1 1
( − )− ≠ −( − )
4 2
2 4
2 2
3. Perkalian pada Bilangan Pecahan
Sifat – sifat pada perkalian bilangan pecahan, yaitu :
a. Sifat tertutup
Untuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilangan pecahan , salin dan tentukan
hasil perkalian berikut.
1 3
× =⋯
2 4
3
1
× (− ) = ⋯
4
2
Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakan bilangan pecahan?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
𝑎
𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑, berlaku
𝑎
𝑏
𝑐
×𝑑 =
𝑚
𝑛
; dengan
𝑚
𝑛
juga bilangan pecahan
b. Sifat komutatif
Untuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilangan pecahan, salin dan
tentukan hasil perkalian berikut.
1 3
× =⋯
2 4
3 1
× =⋯
4 2
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 15
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
𝑎
𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑, berlaku
𝑎
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
×𝑑 =𝑑×𝑏
c. Sifat asosiatif
Untuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan
hasil perkalian berikut.
1 1
1
( × )× =⋯
4 2
2
1
1 1
×( × )=⋯
4
2 2
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan pecahan di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
𝑎 𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 , 𝑑 𝑑𝑎𝑛
𝑎
𝑐
𝑒
𝑎
𝑐
𝑒
𝑓
berlaku :
𝑒
(𝑏 × 𝑑) × 𝑓 = 𝑏 × (𝑑 × 𝑓)
d. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, salin dan tentukan
hasil perkalian berikut.
1
1 3
×( + )=⋯
2
4 4
1 1
1 3
( × )+( × )=⋯
2 4
2 4
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan pecahan di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
𝑎 𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 , 𝑑 𝑑𝑎𝑛
𝑎
𝑐 𝑒
𝑎 𝑐
𝑎 𝑒
×( + )= ( × )+( × )
𝑏
𝑑 𝑓
𝑏 𝑑
𝑏 𝑓
𝑒
𝑓
berlaku :
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 16
e. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
1
1 3
×( − )=⋯
2
4 4
1 1
1 3
( × )−( × )=⋯
2 4
2 4
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan pecahan di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
𝑎 𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 , 𝑑 𝑑𝑎𝑛
𝑎
𝑐 𝑒
𝑎 𝑐
𝑎 𝑒
×( − )= ( × )−( × )
𝑏
𝑑 𝑓
𝑏 𝑑
𝑏 𝑓
𝑒
𝑓
berlaku :
f. Memiliki elemen identitas
Untuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulis dan tentukan hasil perkalian
berikut.
3
×1= ⋯
4
1×
3
=⋯
4
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian di atas?
Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan pecahan, selalu berlaku
𝑎
𝑎
𝑎
×
1
=
1
×
=
𝑏
𝑏
𝑏
Elemen identitas pada perkalian adalah 1.
g. Pembagian Bilangan Pecahan
Contoh:
Sifat – sifat pembagian bilangan pecahan :
1
2
1
1
𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑐𝑎ℎ𝑎𝑛.
4
2
a. Sifat Tertutup (tidak berlaku)
𝑎
𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑, b,d ≠ 0
𝑎
𝑐
berlaku 𝑏 ÷ 𝑑 =
𝑚
𝑛
; dengan
𝑚
𝑛
1
÷4= 2
2 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡
juga bilangan pecahan
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 17
b. Sifat Komutatif (tidak berlaku)
𝑎
𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑑, b,d ≠0
berlaku
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎
÷𝑑 ≠𝑑÷𝑏
𝑏
Contoh:
1 1
3
÷ =
4 3
4
1 1 4
÷ =
3 4 3
1 1 1 1
÷ ≠ ÷
4 3 3 4
c. Sifat Asosiatif (tidak berlaku)
𝑎 𝑐
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 , 𝑑 𝑑𝑎𝑛
𝑎
𝑐
𝑒
𝑎
𝑐
𝑒
𝑓
b,d,f
𝑒
≠0 berlaku : (𝑏 ÷ 𝑑) ÷ 𝑓 = 𝑏 ÷ (𝑑 ÷ 𝑓)
Contoh :
1
1
(2 ÷ 3) ÷ 3 =
1
1
1
1
÷ (3 ÷ 3) =
2
1
1
1
9
2
1
2
1
1
1
(2 ÷ 3) ÷ 3 ≠ 2 ÷ (3 ÷ 3)
d. Pembagian dengan bilangan nol
Untuk menentukan hasil pembagian bilangan pecahan dengan bilangan nol (0), ingat
kembali perkalian bilangan pecahan dengan bilangan nol.
𝑎
Untuk setiap bilangan pecahan 𝑏 berlaku
𝑎
𝑏
𝑎
×0=0 ↔0÷𝑏 =0
Hal ini tidak berlaku jika b = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 18
Contoh Soal
1
1. Rina membawa air minum 250 ml ke sekolah. Jika Rina meminum 5 bagian sebelum masuk
kelas dan sisanya diminum setelah masuk kelas. Berapa ml air minum yang diminum Rina
setelah masuk kelas.
Jawab :
5
1
4
Air minum yang diminum Rina setelah masuk = 5 − 5 = 5 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛
4
Banyaknya air minum yang diminum Rina setelah masuk = 5 × 250 𝑚𝑙 = 200 𝑚𝑙
1
2
2. Tita membuat kue dengan komposisi 2 𝑘𝑔 𝑡𝑒𝑙𝑢𝑟, 2 𝑜𝑛𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑖𝑛 𝑑𝑎𝑛 4 𝑘𝑔 𝑔𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑖𝑟.
Berapa kg jumlah bahan-bahan yang digunakan Tita untuk membuat kue.
Jawab :
Telur
= ½ kg
1
Margarin = 2 ons = 5 𝑘𝑔
2
Gula Pasir = 4 𝑘𝑔
(Telur + Margarin) + Gula Pasir = Telur (Margarin + Gula)  Asosiatif
1 1
2
7 2 14 + 10 24
6
( + )+ =
+ =
=
𝑑𝑖𝑠𝑒𝑑𝑒𝑟ℎ𝑎𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑔
2 5
4
10 4
20
20
5
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 19
Rangkuman
Sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat dan pecahan adalah sebagai berikut :
1. Penjumlahan Bilangan Bulat dan Pecahan
a.
b.
c.
d.
e.
Tertutup
Komutatif
Asosiatif
Invers
Identitas
2. Pengurangan Bilangan Bulat dan Pecahan
a. Tertutup
b. Tidak Komutatif
c. Tidak Asosiatif
3. Perkalian Bilangan Bulat dan Pecahan
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Tertutup
Komutatif
Asosiatif
Invers
Identitas
Distributif
4. Pembagian Bilangan Bulat dan Pecahan
a. Tidak Tertutup
b. Tidak Komutatif
c. Tidak Asosiatif
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 20
Latihan
Pilihan Ganda :
1. Pak Abel memelihara 300 ekor ayam. Karena virus flu burung, 96 ekor ayamnya
mati. Namun ada 137 telur ayam yang menetas. Berapa jumlah ayam Pak Abel
sekarang?
a. 340
c. 342
b. 341
d. 343
2. Pada hari senin, jumlah bunga Mawar yang mekar adalah 12 bunga, pada suatu pagi
di hari selasa bertambah x bunga sehingga jumlahnya menjadi 25. Pada siang hari di
hari selasa, bunga-bunga tersebut di petik oleh sekelompok anak sehingga masingmasing anak mendapatkan 1 bunga. Kemudian dipetik lagi oleh 5 anak dan masingmasing anak mendapatkan 1 bunga. Jumlah bunga mawar yang tersisa adalah 10.
Maka banyak anak dalam kelompok pertama yang memetik bunga adalah . .
a. 10
c. 13
b. 12
d. 5
3. Ibu Irine ingin membuat kue. Tiap 3 kg terigu membutuhkan 12 butir telur. Berapa
butir telur yang dibutuhkan, jika Ibu Irine akan mengolah 15 kg terigu?
a. 27
c. 45
b. 180
d. 60
4. Pada saat penerimaan siswa baru di sebuah SMP swasta, terdapat 500 pendaftar. Dari
jumlah itu, hanya ¾ yang memenuhi kriteria. Berapakah jumlah siswa yang tidak
masuk kriteria?
a. 215
c. 375
b. 125
d. 225
5. Suatu malam, Ayu meletakkan 1 loyang kue bolu di atas meja. Karena ketiduran, kue
tersebut di makan tikus dan kue bolu yang tersisa hanya 3/7 bagian. Berapakah bagian
yang di makan tikus?
a. 3/7
c. 7/3
b. 7/4
d. 4/7
Uraian :
1. Suatu Permainan diketahui nilai tertingginya adalah 50 dan nila terendahnya adalah 100. Seorang anak bermain sebanyak 6 kali dan memperoleh nilai berturut-turut 30, 40, -20, 35, y, dan -25. Jika jumlah nilai anak tersebut seluruhnya adalah 40, tentukan
nilai y yang memenuhi.
2. Pak Togar seorang buruh di sebuah perusahaan. Setiap harinya ia menerima gaji
Rp80.000,00. Dari gaji tersebut 1/5 bagian akan digunakan untuk kebutuhan rumah
tangga, 5/8 bagian untuk pendidikan anak-anaknya dan 3/8 bagian untuk ditabung.
Berapakah jumlah uang Pak Togar yang ditabung?
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 21
Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Apabila kalian telah mengerjakan latihan, cocokkanlah jawaban kalian dengan kunci
jawaban latihan yang terdapat pada bagian akhir unit ini, kemudian hitunglah jumlah
jawaban kalian yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi ini.
Rumus:
Tingkat Penguasaan =
Jumlah jawaban yang benar
Jumlah keseluruhan soal yang dikerjakan
x 100%
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:
90% − 100% = baik sekali
80% − 89% = baik
70% − 79% = cukup
< 70%
= kurang
Bila tingkat penguasaan kalian mencapai 80% ke atas, kalian dapat melanjutkan
dengan mempelajari materi berikutnya, Bagus! Tetapi, bila tingkat penguasaan kalian kurang
dari 80%, kalian harus membaca kembali uraian pada materi ini, terutama pada bagian yang
belum kalian kuasai.
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 22
Kunci dan Skoring
Pilihan Ganda :
1. B
: Gunakan sifat asosiatif penjumlahan bilangan bulat. (Skor 2)
2. D
: Gunakan sifat perkalian bilangan bulat. (Skor 2)
3. C
: Gunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan bulat. (Skor 2)
4. B
: Gunakan rumus-rumus perkalian pada pecahan yang telah dipelajari.
(Skor 2)
5. D
: Gunakan rumus-rumus perkalian dan sifat-sifat pada perkalian pada
pecahan. (Skor 2)
Uraian :
1. y = 60
Jadi, nilai y yang memenuhi adalah 60.
Skor 25
2. Jumlah uang yang ditabung dari hasil gaji Pak Togar adalah Rp10000
Skor 25
Penilaian (Skoring) :
Pilihan Ganda : Total Skor x 10
Uraian
: Total Skor x 2
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 23
Daftar Pustaka
Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya Untuk
SMP/MTs Kelas VII. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Raharjo, Maarsudi. 2001. Pecahan : Bahan Penataran Guru. Yogyakarta : PPPG Matematika
Wagio, Suratii.2008. Pegangan Belajar Matematika SMP VII. Jakarta : Pusat Perbukuan,
Departemen Pendidikan Nasional.
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan
P a g e | 24
Glosarium
 Bilangan Bulat
 Invers
 Pecahan
 Sifat Asosiatif
 Sifat Distributif
 Sifat Komutatif
Bilangan yang terdiri atas bilangan asli (bilangan bulat positif),
bilangan nol dan lawan bilangan asli (bilangan bulat negatif)
Operasi kebalikan dari suatu operasi tertentu
Bilangan yang menggambarkan bagian dari suatu keseluruhan,
bagian dari suatu daerah, benda atau himpunan
Cara pengelompokan tiga bilangan untuk dijumlahkan atau
dikalikan tidak mengubah jumlah atau hasil kalinya. Untuk
sembarang bilangan a,b dan c , (a + b) + c = a + (b + c) dan (ab)
c = a (bc)
Untuk mengalikan suatu jumlah dengan suatu bilangan, kalikan
masing-masing bilangan yang dijumlahkan dengan bilangan
diluar kurung untuk setiap bilangan a,b dan c, a(b+c) = ab+ac
dan a(b - c) = ab – ac
Urutan dua bilangan dijumlahkan atau dikalikan, tidak
mengubah jumlah atau produknya. Untuk setiap bilangan a dan
b, a + b = b + a dan ab = ba
Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan