math06. FUNGSI

MATEMATIKA EKONOMI
PTE 4109, Agribisnis UB
1
Materi yang dipelajari
•
•
•
•
Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi
Jenis- jenis fungsi
Penggambaran fungsi Linear
Penggambaran fungsi non linear
- Penggal
- Simetri
- Perpanjangan
- Asimtot
- Faktorisasi
PTE 4109, Agribisnis UB
2
Definisi
• Fungsi : suatu bentuk hubungan matematis
yang menyatakan hubungan ketergantungan
(hub. fungsional) antara suatu variabel dengan
variabel lain.
• y = a + bx
Independent variable
Dependent
variable
Koefisien var. x
Konstanta
PTE 4109, Agribisnis UB
3
Jenis--jenis fungsi
Jenis
Fungsi
Fungsi aljabar
Fungsi
irrasional
Fungsi non-aljabar
(transenden)
Fungsi rasional
F. Polinom
F. Linier
F. Kuadrat
F. Kubik
F. Bikuadrat
F.Pangkat
PTE 4109, Agribisnis UB
F. Eksponensial
F. Logaritmik
F. Trigonometrik
F. Hiperbolik
4
Jenis--jenis fungsi
Jenis
• Fungsi polinom : fungsi yang mengandung
banyak suku (polinom) dalam variabel
bebasnya.
y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn
• Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat satu (fungsi berderajat satu).
y = a 0 + a1 x
a1 ≠ 0
PTE 4109, Agribisnis UB
5
Jenis--jenis fungsi
Jenis
• Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat dua, sering juga disebut fungsi
berderajat dua.
y = a0 + a1x + a2x2
a2 ≠ 0
• Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat
tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n
(n = bilangan nyata).
y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn
an ≠ 0
PTE 4109, Agribisnis UB
6
Jenis--jenis fungsi
Jenis
• Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel
bebasnya berpangkat sebuah bilangan
nyata bukan nol.
y = xn n = bilangan nyata bukan nol.
• Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel
bebasnya merupakan pangkat dari suatu
konstanta bukan nol.
y = nx n > 0
PTE 4109, Agribisnis UB
7
Jenis--jenis fungsi
Jenis
• Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari
fungsi eksponensial, variabel bebasnya
merupakan bilangan logaritmik.
y = nlog x
• Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik :
fungsi yang variabel bebasnya merupakan
bilangan-bilangan goneometrik.
persamaan trigonometrik
y = sin x
persamaan hiperbolik
y = arc cos x
PTE 4109, Agribisnis UB
8
Jenis--jenis fungsi
Jenis
• Berdasarkan letak ruas variabelvariabelnya : fungsi eksplisit dan implisit
PTE 4109, Agribisnis UB
9
Jenis--jenis fungsi
Jenis
Linear
y
y
y = a0 + a1x
Kuadratik
y = a0 + a1x + a2x2
(Kasus a2 < 0)
Kemiringan = a1
a0
a0
0
x
0
x
(b)
(a)
PTE 4109, Agribisnis UB
10
Jenis--jenis fungsi
Jenis
y Kubik
y
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
Bujur sangkar hiperbolik
y=a/x
(a > 0)
a0
0
x
0
(c)
x
(d)
PTE 4109, Agribisnis UB
11
Jenis--jenis fungsi
Jenis
y
y
Eksponen
Logaritma
y = bx
y = logb x
(b > 1)
0
x
0
(e)
x
(f)
PTE 4109, Agribisnis UB
12
Penyimpangan Eksponen
• xn = x x x x…..x x
n suku
• Aturan I : xm x xn = xm+n
Contoh : x3 x x4 = x7
• Aturan II : xm / xn = xm-n
Contoh : x4 / x3 = x
• Aturan III : x-n = 1/xn (x ≠ 0)
PTE 4109, Agribisnis UB
13
Penyimpangan Eksponen ©
• Aturan IV : x0 = 1 (x ≠ 0)
• Aturan V : x1/n =
• Aturan VI : (xm)n = xmn
• Aturan VII : xm x ym = (xy)m
PTE 4109, Agribisnis UB
14
Fungsi Dari Dua Atau
Lebih Variabel Bebas
•
•
•
•
z = g (x, y)
z = ax + by
z = a0 + a1x + a2x2 + b1y + b2y2
Fungsi g membuat peta dari suatu titik dalam
ruang dua dimensi, ke satu titik pada garis
ruas (titik dalam ruang satu dimensi), seperti :
dari titik (x1,y1) ke titik z1
dari titik (x2, y2) ke titik z2
PTE 4109, Agribisnis UB
15
Fungsi Dari Dua Atau
Lebih Variabel Bebas
y
z
g
z1
y1
y2
0
(x1, y1)
(x2, y2)
x1
x2
PTE 4109, Agribisnis UB
z2
x
16
Fungsi Dari Dua Atau
Lebih Variabel Bebas
z
(x2, y2, z2)
y
(x2, y2, z2)
y1
y2
x1
x2
x
PTE 4109, Agribisnis UB
17
Penggal
• Penggal sebuah kurva adalah titik-titik
potong kurva tersebut pada sumbusumbu koordinat. Penggal pada sumbu x
dapat dicari dengan memisalkan y = 0
(berlaku sebaliknya).
• Contoh :
y = 16 – 8x + x2
penggal pada sumbu x : y = 0 x = 4
penggal pada sumbu y : x = 0 y = 16
PTE 4109, Agribisnis UB
18
Simetri
• Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap
sebuah garis apabila garis tersebut berjarak
sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus
teradap segmen garis yang
menghubungkannya.
• Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap
titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak
persis di tengah segmen garis yang
menghubungkan kedua titik tadi.
PTE 4109, Agribisnis UB
19
Simetri
y
y
y
(x,y)
(x,y)
(x,y)
(-x,y)
0
x
0
x
0
x
(-x,-y)
(x,-y)
Titik (x, y) adalah simetrik terhadap titik :
(x, -y) sehubungan dengan sumbu x
(-x, y) sehubungan dengan sumbu y
(-x, -y) sehubungan dengan titik pangkal
PTE 4109, Agribisnis UB
20
Simetri
y
y
y
(x,y)
(-x,y)
0
x
(x,y)
0
(x,y)
x
x
(-x,-y)
(x,-y)
Kurva dari suatu persamaan f (x, y) = 0 adalah simetrik terhadap :
Sumbu x jika f(x, y) = f(x, -y) = 0
Sumbu y jika f(x, y) = f(-x, y) = 0
Titik pangkal jika f(x, y) = f(-x, -y) = 0
PTE 4109, Agribisnis UB
21
Perpanjangan
• Konsep perpanjangan menjelaskan apakah
ujung-ujung sebuah kurva dapat terus
menerus diperpanjang sampai tak terhingga
(tidak terdapat batas perpanjangan) ataukah
hanya dapat diperpanjang sampai nilai x atau
y tertentu.
• Coba selidiki apakah terdapat batas
perpanjangan bagi kurva yan dicerminkan
oleh persamaan :
x2 – y2 – 25 = 0 dan x2 + y2 – 25 = 0
PTE 4109, Agribisnis UB
22
Asimtot
• Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis
lurus yang jaraknya semakin dan
semakin dekat dengan salah satu ujung
kurva tersebut.
• Jarak tersebut tidak akan menjadi nol.
• Tidak akan terjadi perpotongan antara
garis lurus dan kurva.
• Penyelidikan asimtot berguna untuk
mengetahui pola kelengkungan kurva
yang akan digambarkan
PTE 4109, Agribisnis UB
23
x
x
y = - a - bx
y = - a - bx
y
y
y=
f(x)
y=
f(x)
x
x
y=k
y
x=k
y
24
PTE 4109, Agribisnis UB
Faktorisasi
• Faktorisasi fungsi maksudnya ialah
menguraikan ruas utama fungsi tersebut
menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama
dari dua fungsi yang lebih kecil.
• f(x, y) = g(x, y). h(x, y)
• Persamaan 2x2 – xy – y2 = 0
faktorisasi persamaan di atas menghasilkan :
(x – y) (2x + y) = 0
PTE 4109, Agribisnis UB
25
Latihan
• Gambarkan kurva dari persamaan
– y2 = 0
• Gambarkan kurva dari persamaan
y3 + xy2 – xy – y2 = 0
PTE 4109, Agribisnis UB
2x2 – xy
26
TERIMAKASIH
SELAMAT BELAJAR
PTE 4109, Agribisnis UB
27