TEOREMA PYTHAGORAS Pythagoras adalah seorang ahli filsafat

Pythagoras adalah seorang ahli filsafat. Ia tidak
hanya mempelajari matematika, tetapi juga music dan
ilmu-ilmu lain. Ia lahir di Yunani, tetapi pergi belajar ke
Mesir dan Babilonia. Ia terkenal karena teoremanya
(Teorema Pythagoras) yang menerangkan bahwa dalam
suatu segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan
jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya.
Segitiga siku-siku yang sisinya berbanding 3 : 4 :
5 yang dipakai oleh para perentang tali di Mesir ( orang yang mengukur tanah
dengan menggunakan tali-tali bersimpul ) merupakan contoh penerapan teoremanya (
32 + 42 = 25 ). Kata orang, ia menemukan teorema itu ketika sedang mengamati ubinubin lantai rumah kawannya.
Pada suatu hari ketika sedang berjalan melewati bengkel pandai besi, ia
mendapat ide dari berbagai jenis suara yang dihasilkan dengan pukulan martil. Ia
menemukan bahwa semakin pendek pegangan martil itu, semakin timggilah frekuensi
nada yang dihasilkan. Dengan menggunakan ide ini, ia menciptakan jenis-jenis kecapi
dan seruling yang baru.
PENGERTIAN PHYTAGORAS
Di
lingkungan
sekitarmu,
kalian
sering melihat berbagai jenis segitiga
dan segitiga siku-siku dalam kehidupan
sehari-hari. Sebagian besar penggunaan
segitiga
digunakan
pada
bangunan,
misalnya atap rumah sebagian besar
terbuat dari berbagai jenis segitiga.
Pada gambar di samping, kalian bias
melihat bahwa sebagian besar tembok
Teorema Pythagoras 1 | P a g e
dan atapnya terbuat dari berbagai bentuk bangun datar seperti persegi panjang,
jajar genjang dan segitiga, khususnya segitiga siku-siku dan segitiga sama sisi.
Kalian melihat bahwa puncak atap bangunan tersebut terbuat dari segitiga sama
sisi. Jika ditarik garis tegak lurus dari puncak atapnya, maka terbentuk dua buah
segitiga siku-siku, sehingga merupakan penerapan Teorema Pythagoras juga. Dengan
demikian dapat dihitung ukuran-ukuran bangunan tersebut. Hal ini menunjukkan
bahwa Teorema Pythagoras sangat berperan dan tidak akan pernah lepas dari
kehidupan kita sehari-hari.
A. Konsep yang Berkaitan dengan Teorema Phytagoras
1. Konsep Dasar Aljabar
a. Pangkat Dua Bilangan Bulat Positif
Jika a adalah bilangan bulat positif maka pangkat dua dari a adalah sebagai
berikut :
a2 = a x a.
Contoh :
1) 122 = 12 x 12 = 144
2) 142 = 14 x 14 = 196
3) 132 = 13 x 13 = 169
b. Teori Binomial
( a + b )n = an + n an – 1 b +
𝑛 ( 𝑛−1 )
2
an – 2 b2 +
𝑛 ( 𝑛−1 )( 𝑛−2 )
6
an -3 b3 + … + bn
Untuk n = 2, maka
1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2. ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
Contoh :
1. ( x + 3 )2 = x2 + 2.x.3 + 32 = x2 + 6x + 9
2. ( 2x – 5 )2 = ( 2x)2 – 2. 2x. 5 + 52 = 4x2 – 20x + 25
c. Menyederhanakan bentuk akar
1. √𝑎𝑏 = √𝑎 x √𝑏
𝑛
𝑛
𝑛
2. √𝑎𝑚𝑛 𝑏 = am √𝑏
𝑛
𝑛
𝑎
3. √𝑏 =
𝑛
𝑛
√𝑎
𝑛
√𝑏
=
𝑛
√𝑎𝑏 𝑛−1
𝑏
Teorema Pythagoras 2 | P a g e
Contoh :
1. √48 = √16 𝑥 3 = 4√3
2. 5 √288 = 5 √25 𝑥 32 = 5 x 22 x 3 √2 = 5 x 4 x 3 √2 = 60√2
2
3. √3 =
√2
√3
x
√3
√3
=
√6
3
1
= 3 √6
d. Operasi pada bentuk akar
1) 2√3 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
2) 6√8 + √32 – √16 = 12√2 + 4√2 - 4 = 16√2 – 4
2. Konsep Geometrid an Ukuran
a. Luas Persegi
Jika panjang sisi persegi PQRS adalah s, maka luas daerah
persegi ABCD atau luas persegi ABCD dirumuskan sebagai
berikut
LPQRS = s x s = s2
Contoh :
Luas persegi disamping
= s x s
= 4 x 4 = 16 cm2
b. Luas Segitiga
Perhatikan gambar di samping. Gambar di samping adalah persegi
ABCD dengan panjang p dan lebar l, maka:
Luas daerah ABCD = Luas D ABC + Luas D ADC
= 2 x Luas D ABC
Teorema Pythagoras 3 | P a g e
Atau luas D ABC
1
= 2 x luas daerah ABCD
1
= 2 x (p x l)
1
= 2 X pl
1
Luas segitiga dapat ditulis: L
Luas segitiga siku-siku: L =
1
2
= 2 x alas x tinggi
x hasil kali sisi siku-sikunya
B. Menemukan Teorema Phytagoras
Pada kertas berpetak gambarlah segitiga PQR siku-siku di P dengan panjang PQ = 2
satuan mendatar dan panjang PR = 2 satuan tegak. Kemudian gambarlah suatu
persegi pada sisi PQ, sisi PR dan sisi QR dan berilah nama persegi I dan persegi II,
dan III. Kemudian pada persegi III, bagilah menjadi 5 bagian terdiri 4 buah
segitiga siku-siku yang berukuran sama dengan segitiga PQR seperti nampak pada
gambar di samping.
Berdasarkan gambar tersebut, nampak bahwa:
Luas daerah persegi I
Luas daerah persegi II
= 3 x 3 = 9 satuan luas
= 2 x 2 = 4 satuan luas
Luas daerah persegi III = 4 x Luas segitiga kuning + 1 buah persegi hitam
=4x(
𝟏
𝟐
x 2 x 3) + 1
= 13 satuan luas
Teorema Pythagoras 4 | P a g e
Berdasarkan gambar diperoleh:
Luas daerah persegi III = Luas daerah persegi I + Luas daerah persegi II
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, luas
persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas persegi pada dua sisi
siku-sikunya.
Pembuktian di atas juga dapat dilakukan dengan cara lain.
Perhatikan gambar di samping! Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa sebuah
persegi besar tersusun dari sebuah persegi kecil ditambah 4 buah segitiga sikusiku PQR.
Persegi besar panjang sisinya = (a + b) satuan panjang.
Persegi kecil panjang sisinya = c satuan panjang.
Segitiga siku-siku PQR panjang sisi siku-sikunya masing-masing a satuan dan b
satuan.
Dengan demikian:
Luas persegi besar
= (a + b)2
= (a + b) (a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Luas persegi kecil
=cxc
= c2
Luas 4 buah D PQR
= 4 x Luas D PQR
=4x
𝟏
𝟐
xaxb
= 2ab
Teorema Pythagoras 5 | P a g e
Berdasarkan gambar di atas, maka:
Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 x Luas daerah PQR
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + 2ab + b2 – 2ab = c2 + 2ab – 2ab
a2 + b2 = c2
Dengan demikian dapat disimpulkan:
Jumlah luas daerah persegi pada sisi-sisi segitiga siku-siku sama dengan luas daerah
persegi pada sisi miring segitiga siku-siku tersebut. Pernyataan tersebut dinamakan
Teorema Pythagoras, karena ditemukan oleh seorang ahli matematika bangsa Yunani
yang bernama Pythagoras. Terorema Pythagoras dapat dinyatakan dengan gambar
berikut:
C. Teorema Phytagoras
Perhatikan ABC siku-siku C pada gambar disamping
BC = b = sisi siku-siku
AC =a = sisi siku-siku
AB = c = sisi miring (hipotenusa)
Teorema Phytagoras dalam ABC siku-siku di C ditulis :
AB2 = BC2 + AC2
c2
= b2 + a2
Teorema Pythagoras 6 | P a g e
D. Teorema Phytagoras Untuk Sisi-sisi Segitiga
Dalam ABC siku-siku C,
1) Jika sisi a dan b diketahui, maka sisi c dihitung dengan rumus :
C2 = b2 + a2
2) Jika sisi b dan c diketahui, maka sisi a dihiutng sebagai berikut :
A2 = c2 – b2
3) Jika sisi a dan b diketahui, maka sisi b dihitung sebagai berikut:
B2 = c2 – a2
E. Menggunakan Teorema Phytagoras
1. Menghitung Panjang Sisi Segitiga Siku-siku jika sisi lain diketahui
Teorema Pythagoras dapt digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi
dari
segitiga siku-siku, jika panjang dua sisi lainnya diketahui.
Contoh :
 Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3
cm. Hitunglah panjang BC!
Jawab:
BC2 = AC2 + AB2
BC2 = 32 + 42
BC2 = 9 + 16
BC2 = 25
BC = 5 cm
 Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm.
Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
Jawab:
AC2 = AB2 + BC2
202 = (4x)2 + (3x)2
Teorema Pythagoras 7 | P a g e
400 = 16x2 + 9x2
400 = 25x2
16
= x2
4
=x
2. Kebalikan Teorema Phytagoras dan Tripel Pythagoras
i. Kebalikan Dalil Pythagoras
 Segitiga Siku-siku
Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC,
jika sudut C siku-siku maka berlaku c2= a2 + b2. Dalam
ABC, apabila c adalah sisi dihadapan sudut C, b adalah sisi
dihadapan sudut B, a adalah sisi sihadapan sudut A, maka
berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:
Jika a2 = b2 + c2 maka
ABC siku-siku di A.
Jika b2 = a2 +c2 maka
ABC siku-siku di B.
Jika c2 = a2 + b2 maka
ABC siku-siku di C.
Contoh :
Pada ABC ditentukan panjang sisi AB = 15 cm, AC = 9 cm, dan BC = 12
cm. Buktikan bahwa ABC siku-siku !
Jawab:
AB2
2
= 152
2
AC + BC
2
= 12 + 9
= 225
2
= 144 + 81
= 225
Dengan demikian AB2 = AC2 + BC2, sehingga ABC siku-siku di titik C.
 Segitiga tumpul
Suatu ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c. Sisi c merupakan sisi
terpanjang. Jika
terdapat hubungan c2 > b2 + a2, maka ABC tersebut adalah segitiga
tumpul.
Contoh :
Pada PQR, sisi PQ = 6 cm, QR = 8 cm, dan PR = 4 cm. Selidiki bahwa
PQR segitiga tumpul !
Teorema Pythagoras 8 | P a g e
Jawab:
Sisi terpanjang adalah QR, yaitu 8 cm, berarti QR2 = 8 x 8 = 64.
Sisi yang lain adalah PQ dan PR, berarti PQ2 + PR2 = 62 + 42 = 36 + 16 =
52.
QR2 > PQ2 + PR2 berarti kuadrat sisi terpanjang > jumlah kuadrat sisisisi yang lain.
Jadi, PQR adalah segitiga tumpul.
 Segitiga lancip
Suatu ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c. Sisi c merupakan sisi
terpanjang. Jika terdapat hubungan c2 < b2 + a2, maka ΔABC tersebut
adalah segitiga lancip.
Contoh :
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 7 cm, dan 8 cm. Tunjukkan
bahwa segitiga tersebut adalah segitiga lancip!
Jawab:
Sisi terpanjang adalah c = 8 cm, maka c2 = 82 = 64
A2 + b2 = 62 + 72 = 36 + 49 = 85
Karena c2 < b2 + a2, maka segitiga tersebut segitiga lancip.
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat
menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
 Jika a2 = b2 + c2 maka
 Jika a2 > b2 + c2 maka
 Jika a2 < b2 + c2 maka
ii.
ABC adalah segitiga siku-siku.
ABC adalah segitiga tumpul.
ABC adalah segitiga lancip.
Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan
“kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan
yang lain.”
Contoh
:
1. 3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab,
Teorema Pythagoras 9 | P a g e
52 = 42 + 32
25 = 25
2. 2, 3, dan 5 adalah bukan triple Pythagoras sebab,
52 = 32 + 22
25 = 13
Karena 22 + 32 ≠ 52, maka 2, 3 dan 5 bukan
merupakan Tripel Pythagoras.
3. Perbandingan sisi-sisi Segitiga Siku-siku Khusus
 Perbandingan sisi-sisi segitiga khusus sudut 600 dan 300 pada segitiga
siku-siku
Bagaimanakah panjang sisi siku terpanjangnya? Perhatikan gambar
dibawah ini, ABC siku-siku di C dengan C = 600, AC = 2a cm, dan BC = a.
berapakah panjang sisi AB ?
Menurut Teorema Pythagoras :
AB2
= AC2 – BC2
= ( 2a )2 – a2
= 4a2 – a2
= 3a2
AB
= √3𝑎2
AB
= a√3
TEOREMA :
Jika suatu segitiga sisi-sisinya berbanding 2a : a √3 : a atau 2 : √3 : 1, maka
segitiga siku-siku dengan sudut 900 menghadap sisi terpanjang (hipotenusa)
2a, sudut 300 menghadap sisi siku-siku terpanjang a√3, dan sudut 600
menghadap sisi siku-siku terpendek a.
Dari gambar di samping, diperoleh:
BC : AB : AC = a : a √3 : 2a = 1 : √3 : 2
Teorema Pythagoras 10 | P a g e
Contoh :
Pada PQR diketahui Q = 60o dan R = 30o. Jika panjang QR = 12 cm, maka
tentukan panjang PR dan PQ !
Jawab :
PR : QR = √3 : 1

PR : 12 = √3 : 1

PR = 12 √3 cm
PQ : QR = 2 : 1

PQ : 12 = 2 : 1

PQ = 24 cm
Jadi, panjang PR = 12 √3 cm dan panjang PQ = 24 cm.
 Perbandingan sisi-sisi segitiga khusus sudut 450 pada segitiga siku-siku
Segitiga siku-siku dengan salah satu sudut 45o
Segitiga di di samping adalah segitiga siku-siku sama kaki, sehingga:
AB = AC, ABC = ACB = 45O. Jika AB = 1 satuan, maka:
BC2
= AB2 + AC2
= 1 2 + 12
=2
BC
= √2
Dari hasil di atas, dapat dibuat perbandingan sebagai
berikut:
Perbandingan sisi di hadapan sudut 90o dan sisi di hadapan 450 adalah 2 :
1 atau
BC : AB : AC = √2 : 1 : 1
Contoh :
Diketahui KLM siku-siku M. Jika panjang KL = 8 √2 , hitunglah panjang
KM!
Jawab :
KM : KL
= 1 : √2
KM : 8 √2
= 1 : √2
Teorema Pythagoras 11 | P a g e
√2 KM
KM =
𝟖√𝟐
√𝟐
= 8 √2
= 8
Jadi panjang KM adalah 8 cm.
F. Penerapan Phytagoras dalam Kehidupan sehari-hari
 Penerapan dalam menyelesaikan soal
Banyak
soal
baik
dalam
matematika
dan
fisika
yang
untuk
menyelesaikannya perlu menggunakan rumus Pythagoras.
Contoh soal Pythagoras.
Tentukan diagonal ruang dari balok dengan panjang 3 cm, lebar 4 cm, dan
tinggi 5 cm. Untuk menentukan panjang diagonal ruang balok tersebut mau
tidak mau kita harus menggunakan Pythagoras.
Diagonal bidang = √(32 + 42) =√25 = 5 cm
Diagonal ruang = √(52 + 52) = √250 = 5√10 cm
 Penerapan dalam praktek nyata
Penerapan teorema Pythagoras dilakukan di banyak bidang terutama
bidang arsitektur. Arsitek menggunakannya untuk mengukur kemiringan
bangunan, misalnya kemiringan sebuah tanggul agar mampu menahan
tekanan air. Ini juga sangat membantu dalam menentukan biaya pembuatan
bangunan. Seorang tukang kayu pun untuk membuat segitiga penguat pilar
kayu menggunakan teorema Pythagoras
Contoh :
1. Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya
250 meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di
bawah layang-layang adalah 70 meter. Hitunglah ketinggian layanglayang tersebut.
Penyelesaian:
Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.
Teorema Pythagoras 12 | P a g e
Di mana AB merupakan jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah
layang-layang dan AC merupakan panjang benang. Tinggi langyang-layang dapat
dicari dengan teorema Pythagoras yakni:
BC = √(AC2 – AB2)
BC = √(2502 – 702)
BC = √(62500 – 4900)
BC = √57600
BC = 240 m
Jadi, ketinggian layang-layang tersebut adalah 240 m
Teorema Pythagoras 13 | P a g e