Ruang Hasil kali Dalam

Ruang Hasil kali Dalam
(INNER PRODUCT SPACE)
Yang di bahas :
• Hasil kali dalam
• Panjang vektor, jarak vektor dan besar sudut
dalam RHD
• Basis ortonormal : Metode Gramm-Schimdt
• Perubahan basis
 Hasil kali dalam
Definisi : adalah fungsi yang mengkaitkan setiap pasangan
vektor di ruang vektor V ( misalkan vektor u dan v
dengan notasi <u,v> )dengan bilangan riel, dan
memenuhi 4 aksioma berikut ini :
1. Simetris
: <u,v> = <v,u>
2. Aditivitas
: <u+v, w> = <u,w> + <v,w>
3. Homogenitas : <ku,v> = k<u,v> , k : scalar
4. Positivitas
: <u,v> ≥ 0 dan
( <u,u> = 0
u = 0)
Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam disebut :
Ruang hasil kali dalam yang disingkat RHD
Contoh soal :
1. Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik standar di R3
merupakan hasil kali dalam !
Jawab :
Misalkan : a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3) dan c(c1, c2, c3) berada dalam R3.
Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi 4 aksioma
hasil kali dalam yaitu :
1. Simetri :
<a, b> = (a.b)
= (a1b1 + a2b2 + a3b3)
= (b1a1 + b2a2 + b3a3)
= <b,a>
(terpenuhi)
2. Aditivitas :
<a+b, c> = ((a + b) . c)
= ((a1+b1, a2 + b2, a3 + b3) . (c1, c2, c3))
= ((a1c1 + b1c1) + (a2c2 + b2c2) + (a3c3 + b3c3))
= (a1c1 + a2c2 + a3c3) + (b1c1 + b2c2 + b3c3)
= <a,c> + <b,c>
(terpenuhi)
3. Homogenitas :
<ka, b> = (ka.b)
= (ka1b1 + ka2b2 + ka3b3)
= k(a1b1 + a2b2 + a3b3)
= k(a.b)
= k< a,b >
(terpenuhi)
4. Positivitas :
<a, a> = (a.a)
= (a12 + a22 + a32)≥ 0
dan
<u,u> = (a12 + a22 + a32)= 0
terpenuhi)
u =(0,0,0) = 0
(terpenuhi)
2. Diketahui <u,v> = ad + cf dengan u = (a,b,c) dan
v = (d,e,f). Apakah <u,v> tersebut merupakan hasil
kali dalam ?
Jawab :
Akan ditunjukkan apakah <u,v> memenuhi 4 aksioma
hasil kali dalam berikut ini :
1. Simetri
<u,v> = ad + cf
= da + fc
= <v, u>
(terpenuhi)
2. Aditivitas
Misalkan w = (g,h,i)
<u + v, w> = ((a + d, b + e, c + f), (g,h,i))
= (a + d)g + (c + f)i
= (ag + ci) + (dg + fi)
= <u,w> + <v,w>
(terpenuhi)
3. Homogenitas
<ku,v> = (kad + kcf)
= k(ad + cf)
= k<v,u>
(terpenuhi)
4. Positivitas
<u ,u> = (u.u) = (a2 + c2) ≥0
(terpenuhi)
dan
<u,u> = (a2 + c2) = 0 tidak selalu
u =(0,0,0), karena nilai
u =(0,b,0) dengan b ≠0, maka nilai <u,u> = 0 tidak terpenuhi
Karena aksioma positivitas tidak terpenuhi, maka <u,v> = ad+ cf
dengan dengan u = (a,b,c) dan v = (d,e,f) bukan merupakan hasil
kali dalam
Panjang vektor, jarak antar vektor dan
besar sudut dalam RHD
Jika V merupakan ruang hasil kali dalam, u,v dalam V,
maka :
a. Panjang u = <u,u>1/2
b. Jarak u dan v : d(u,v) = <u – v, u – v >1/2
c. Misalkan sudut θ dibentuk antara u dan v dalam RHD,
maka : cos  
 u, v 
u v
jika u dan v saling tegak lurus, maka
uv  u  v
2
2
2
Bukti :
u  v  u  v, u  v 
2
 u  v, u    u  v, v 
 u , u    v, v  2  u , v 
u  v
2
2
Contoh soal :
Diketahui V adalah RHD dengan hasil kali dalam
<u,v> = (u1v1 + 2 u2v2 + u3v3) dengan u =(u1,u2,u3),
v =(v1,v2,v3). Jika vektor-vektor a, b dalam V dengan
a = (1,2,3) dan b = ( 1,2,2), tentukan :
a. Besar cos Ѳ dengan Ѳ adalah sudut antara a dan b
b. Jarak antara a dan b !
Jawab :
a. cos  
 a, b 

a b

1.1  2.(2.2)  2.3
12  2.22  32

12  2.22  22
15
15


18 13
234
b. Jarak a dan b : d(a,b) = <a – b, a – b >1/2
(a – b ) = (0,0,1)
d (a, b)  a  b, a  b 
1
2
 0.0  2.(0.0)  1.1  1

Basis ortonormal
Diketahui V ruang hasil kali dalam
dan v1, v2 ……., vn adalah vektor-vektor dalam V
Beberapa definisi penting
a. H = {v1, v2 ……., vn} disebut himpunan ortonormal
bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu
<vi, vj> = 0 untuk i ≠ j dan i,j = 1,2,…..,n
b. G = {v1, v2 ……., vn} disebut himpunan ortonormal
bila :
- G himpunan ortogonal
- Norm dari vi = 1, i = 1,2,….n atau <vi,vi>=1
Proyeksi ortogonal vektor terhadap ruang yang
dibangun oleh himpunan vektor.
H = {v1, v2, ….., vn} adalah himpunan vektor bebas linier
dari ruang vektor dengan dim≥n dan S = {w1, w2, ….., wn}
merupakan himpunan yang ortonormal.
Jika W adalah ruang yang dibangun oleh w1, w2, …., wn,
maka untuk setiap vektor z1 dalam w1 dapat dituliskan
sebagai :
z1 = k1w1 + k2w2 + …. + knwn
dengan k1, k2, …., kn :skalar.
Jika u adalah sembarang vektor dalam V, maka dapat
dinyatakan sebagai jumlah dari 2 vektor yang saling tegak
lurus :
u = z1 + z2.
Karena z1 dalam W, maka z1 merupakan proyeksi ortogonal
u terhadap W. Sedangkan z2 merupakan komponen u yang
tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z1 perlu
ditentukan nilai k1 yang merupakan panjang u terhadap w1.
Proyeksi ortogonal u terhadap w1 adalah :
proy w1(u) = <u, w1>
w1, w2, ……, wn merupakan vektor-vektor ortonormal.
Jadi penulisan proyeksi ortogonal u terhadap W adalah :
Proyw (u) = z1
= <u, w1>w1 + <u, w2>w2 + …… + <u, wn>wn
(w1, w2, ……, wn merupakan himpunan vektor ortonormal)
Komponen u yang tegak lurus terhadap W dituliskan
sebagai :
z2 = u – z1
= u – <u, w1>w1 + <u, w2>w2 + …… + <u, wn>wn
 Metode Gramm – Schmidt
 Mengubah suatu himpunan vektor yang bebas linier
menjadi himpunan yang ortonormal
Syarat : Himpunan yang ditransformasikan ke himpunan
ortonormal adalah yang bebas linier.
 Jika yang ditransformasikan adalah himpunan vektor
yang merupakan basis dari ruang vektor V, maka
metode Gramm – Schmidt akan menghasilkan basis
ortonormal untuk V
Jika diketahui K = {v1, v2, …..,vn} merupakan himpunan
yang bebas linier, maka K dapat diubah menjadi himpunan
S = {w1, w2, …..,wn} yang ortonormal dengan
menggunakan metode Gramm – Schimdt yaitu :
v1
1. w1 
, ini proses normalisasi yang paling sederhana
v1
karena melibatkan hanya 1 vektor saja.
Pembagian dengan v1 bertujuan agar w1 memiliki
panjang = 1, pada akhir langkah ini diperoleh bahwa
w1 ortonormal
v2   v2 , w1  w1
2. w2 
v2   v2 , w1  w1
Pada akhir langkah ini diperoleh dua vektor w1 dan w2
yang ortonormal.
v3   v3 , w1  w1   v3 , w2  w2
3. w3 
v3   v3 , w1  w1   v3 , w2  w2
.
.
.
vn   vn , w1  w1   vn , w2  w2  ....  vn , wn1  wn1
n. wn 
vn   vn , w1  w1   vn , w2  w2  ....  vn , wn1  wn1
vi  proyw (vi )
Secara umum : wi 
vi  proyw (vi )
W merupakan ruang yang dibangun oleh w1, …., wi-1
Pada metode ini, pemilihan v1, v2, …., vn tidak harus mengikuti
urutan vektor karena basis suatu ruang vektor tidak tunggal.
Jadi dengan mengubah urutan v1, v2, …., vn sangat
memungkinkan diperoleh jawaban yang berbeda-beda.
Pemilihan urutan dari v1, v2, …., vn yang disarankan adalah yang
mengandung hasil kali dalam yang bernilai 0 yaitu <vi, vj>= 0.
Dalam kasus ini bisa diambil v1 = vi dan v2 = vj dan seterusnya.
Contoh soal :
Diketahui H = {a, b, c} dengan a = (1, 1, 1), b = ( 1, 2, 1)
dan c (- 1, 1, 0). a) Apakah H basis R3 ? b) Jika ya,
transformasikan H menjadi basis ortonormal dengan
menggunakan hasil kali dalam Euclides !
Jawab :
a) Karena dim (R3) = 3 dan jumlah vektor dalam H = 3,
maka untuk menentukan apakah H merupakan basis R3
atau bukan yaitu dengan cara menghitung determinan
matrik koefisien dari SPL Ax = b dengan b adalah
sembarang vektor dalam R3. Jika det = 0 berarti H bukan
merupakan basis R3, sedangkan jika det ≠ 0, maka
vektor-vektor di H bebas linier dan membangun R3,
sehingga H merupakan basis R3.
Matrik koefisien dari SPL adalah : 1 1 -1
1 2 1 


1 1 0 
Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga,
didapatkan : 1 1 -1
1 2 1
1 1 0
1 -1

1 -1
2 1 1 1
 3 2 1
Karena det = 1, berarti H merupakan basis dari R3
b) Hasil kali dalam antara a, b dan c
<a,b>=4, <a,c> 0, <b,c> = 1
Untuk memilih basis yang perhitungannya lebih
sederhana dapat diambil : v1 = a, v2 = b, v3 = c
a
(1,1,1)
1. w1 

a
3
c  c, w1  w1 c (1,1,0)
2. w2 
 
c  c, w1  w1 c
2
{Karena <a,c> = 0 maka
<c,w1>
 c, a   a, c 

0 }
a
a
b  b, w1  w1   b, w2  w2
3. w3 
b  b, w1  w1   b, w2  w2
b  13  b, a  a  12  b, c  c

b  13  b, a  a  12  b, c  c
1 
1
 1  1 6 
 1
4  1   1  1 


1
1
b  3  b, a  a  2  b, c  c   2  1   1   6   6  1 
3
2
1 
1
 0 - 1 3 
-2
6
1
b   b, a  a   b, c  c 

6
6
1
3
1
2
 1
Jadi w3  16  1  s
 -2 
Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan
ortonormal
Diketahui V RHD dan H = {v1, v2, …., vn} dalam V merupakan
ortogonal dengan v1≠ 0, maka bisa diperoleh himpunan ortonormal
yang didefinisikan sebagai : S = { s1, s2, …., sn} dengan
vi
si 
, i  1, 2,......n
vi
Kalau dicermati, sebenarnya ini adalah rumusan Gramm – Schimdt
yang telah direduksi yaitu untuk nilai proyw(vi) = 0, akibat dari
v1, v2, …. vn yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan
vektor yang ortonormal disebut menormalisasikan vektor.
Jika dim (V) = n, maka S juga merupakan basis ortonormal dari V
Contoh soal :
Diketahui a, b, c dalam R3 dengan a = (2,-1,1), b = (2, 5, 1)
dan c =(-1,0,2). Jika R3 merupakan RHD Euclides, transformasikan a, b, c ke basis ortonormal !
Jawab : <a,b> = 0, <a,c> = 0, <b,c> = 0
a  22  (1)2  12  6
b  22  52  12  30
c  (1)2  02  22  5
Misalkan H = {a,b,c} maka H merupakan himpunan
ortonormal. Dim (R3) = 3 jadi dapat ditentukan basis
ortonormal untuk R3.
Misalkan :
a
s1  
a
1
6
(2, 1,1)
c
s3  
c
1
5
(1, 0, 2)
b
s2  
b
1
30
(2,5,1)
Basis ortonormal untuk R3 adalah :

1
6
(2, 1,1),
1
30
(2,5,1),
1
5

(1, 0, 2)
Perubahan basis
 Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis
 Jika terdapat sembarang vektor x dalam ruang vektor
V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai
basisnya, maka x tentunya merupakan kombinasi
linier dari vektor A dan B
y
y
u1
v2
x
u2
6v1
v1
x
-v2
x
x
3u2
(a)
(b)
Gambar di atas menunjukkan 2 sistem koordinat dalam R2 yang
berbeda yaitu : basis B = {u1, u2} dan basis C = {v1, v2}
Dengan :
-1
2
1
1

u1  


 
 

, u2    , v1    , v1   

2
-1
0
1
Untuk vektor x yang sama pada setiap sistem koodinat, maka
penulisan koordinat vektor x yang sesuai dengan B dan C adalah :
 x B
1 
   dan
3
 x C
 6
 
-1 
Untuk menghitung x dengan mengunakan  x B diperoleh :
-1
 2   5
x = u1 + 3 u2 =    3     
 2
-1 -1
Dengan menuliskan bentuk u1 dan u2 ke v1 dan v2 diperoleh :
 2
1  1
-1
1 
1
u1     3    2    3v1  2v2 dan u2     3       3v1  v2
-1
0 1
 2
0
1
 6
x = (-3v1 + 2v2) + 3(3v1 –v2) = 6v1 – v2
 x C   
-1
Jika V ruang vektor, S={s1, s2, ….,sn} merupakan basis V,
maka untuk sembarang x dalam V dituliskan:
x = k1s1 + k2s2 +……+ kxsn
dengan k1, k2, ….kn skalar yang juga disebut koordinat x
relatif terhadap basis S
 k1 
k 
2

 x s    disebut matrik x relatif terhadap basis S
 
 k n 
Jika S merupakan basis ortonormal, maka :
  x, s1  
  x, s  
2


x

 s 



  x, sn  
Jika A ={x1,x2} dan B = {y1, y2} berturut-turut merupakan
basis dari V, maka untuk sembarang z dalam V didapatkan :
 z A dan  z B
Bagaimana hubungan  z A dan  z B ?
Misalkan :  x1 B
a 
c 
   dan  x2 B   
b 
d 
Dari  x1 B
a 
   didapatkan x1  ay1  by2
b 
(1)
Dari  x2 B
c 
   didapatkan x2  cy1  dy2
d 
(2)
Untuk  z A
 k1 
   didapatkan z  k1 x1  k2 x2
 k2 
(3)
Dengan mensubstitusikan persamaan (1) dan (2) ke (3)
diperoleh :
z  k1 (ay1  by2 )  k2 (cy1  dy2 )
 (k1a  k2c) y1  (k1b  k2 d ) y2
Ini berarti :
 z B
 k1a  k2c   a c  k1 


 P  z A




 k1b  k2 d  b d  k2 
P disebut matrik transisi dari basis A ke basis B.
Secara umum, jika A = {x1, x2, …xn} dan B = {y1, y2, ….yn}
berturut-turut merupakana basis dari ruang vektor V,
maka matrik transisi basis A ke basis B adalah :
P   x1 B
 x2 B
 xn B
Jika P dapat dibalik, maka P-1 merupakan matrik transisi
dari basis B ke basis A
Contoh soal :
Diketahui : A = { v, w} dan B = {x, y} berturut-turut
merupakan basis R2 dengan v =(2,2), w = (3,-1), x = (1,3)
dan y = (-1,-1).
Tentukan :
a. Matrik transisi dari basis A ke basis B
b. Hitung
 -1 
  
 3   A
c. Hitung
 -1 
   dengan menggunakan hasil dari b
 3   B
d. Matrik transisi dari basis B ke basis A
a. Misalkan vB
a 
 2 1 -1   a 
a  0
   , maka    
didapatkan     



b 
 2 3 -1 b 
b  -2
c 
 3 1 -1  c 
c  -2
Dan untuk  wB  d  , maka -1  3 -1 d  didapatkan d   -5
 
  
 
   
Jadi matrik transisi dari basis A ke basis B adalah :
 0 -2 
P

-2
-5


 -1 
 k1 
b. Misalkan       maka didapatkan
 3   A  k 2 
 k1   1
 k   -1
 2  
c. Dari (a) dan (b) didapatkan P   0 -2 dan  -1    1
-2 -5 
 3   A -1
 -1 
 -1 
0 -2  1  2

sehingga     P     
 



 3   B
 3   A -2 -5  -1 3 
d. Matrik transisi dari basis B ke basis A adalah P-1
dengan P merupakan matrik transisi terhadap basis
A ke basis B.
-5 2 
merupakan matrik transisi
Jadi P  - 

 2 0
1
1
4
dari basis B ke basis A
Perhitungan perubahan basis suatu matrik dengan
metode Gauss-Jordan
Anggap B = {u1….., un} dan C = {v1….., vn} merupakan basis dari ruang
vektor V dan P adalah matrik transisi basis B ke C.
Kolom ke i dari P adalah :
ui C
 P1i 


 
 Pni 
Sehingga : ui = p1i v1 + …. + pni vn . Jika ε adalah sembarang basis di V,
maka : ui    p1i v1  .....  pni vn   p1i v1   ......  pni vn 
Dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut :
 p1i 


 v1  ...... vn  
   ui 
 pni 
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan eliminasi
Gauss – Jordan dari matrik augmented :
 v1  ...... vn 
Diperoleh hasil :
ui  ......un   = C
C
B
I
P
B
Contoh soal :
Dalam M22 diketahui basis B = {E11, E21, E12, E22} dan
basis C = {A, B, C, D} dengan :
1 0 
1 1 
1 1
1
A
, B
, C   , D  


0 0
0 0
1 0
1
1
1
Tentukan matrik transisi dari basis B ke basis C !
Jawab :
Jika ε adalah basis sembarang untuk M22 merupakan
basis standar, maka dapat diperoleh :
PB 
1
0

0

0
0 0 0
0 1 0
1 0 0

0 0 1
dan PC 
1
0

0

0
1 1 1
1 1 1
0 1 1

0 0 1
Dengan metode Gauss – Jordan diperoleh :
1
0
C B   
0

0
1 1 1 1 0 0 0 
1 1 1 0 0 1 0 
0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1
1
0

0

0
0 0 0 1 0 -1 0 
1 0 0 0 -1 1 0 
0 1 0 0 1 0 -1 

0 0 1 0 0 0 1
Jadi matrik transisi P diperoleh :
1
0
P
0

0
0 -1 0 

-1 1 0 
1 0 -1 

0 0 1
Soal latihan :
1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam
atau bukan :
a. <u,v> = u12+u2 v22 di R2
b. <u,v>= u1 v1 + 2 u2v2 – u3v3 di R3
c. <u,v>= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3
d. <u,v>= 2u1v1 +u2v2 +3u3v3
2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 )
adalah ortogonal dalam ruang Euclides
3. W merupakan subruang RHD euclides di ℜ3 yang dibangun
oleh vektor (1,1,0) dan (1,0,-1)
Tentukan proyeksi ortogonal vektor (-1,1,2) pada W
4. Diketahui B={u1, u2} dan C ={v1, v2} adalah basis ruang vektor V
dengan u1 =(2, 2), u2= (4, -1), v1=(1, 3) dan v2= (-1, -1).
Tentukan matrik transisi P dari basis B ke basis C