BAB 1 Vektor - Afief Dias Pambudi

BAB 1 Vektor
Fisika
Tim Dosen
Fisika 1, Ganjil 2016/2017
Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi
Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
Sub Pokok Bahasan






Definisi Vektor
Penjumlahan Vektor
Vektor Satuan
Penjumlahan Vektor secara Analitis
Perkalian Skalar
Perkalian Vektor
Sasaran Pembelajaran

Mahasiswa mampu menentukan besar
dan arah sebuah vector

Mahasiswa mampu menyelesaikan
operasi-operasi vector, seperti operasi
jumlah, operasi titik, operasi silang dua
buah vektor
Definisi Vektor

Besaran Vektor adalah besaran yang terdiri dari dua
variable, yaitu BESAR dan ARAH. Contoh besaran vector
adalah perpindahan.

Sebuah besaran vector dapat dinyatakan oleh huruf dicetak
tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal
𝐴).

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor 𝑅
𝑅
a
b
Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vector 𝑅 yang menyatakan perpindahan
a ke b dan vector 𝑆 yang menyatakan perpindahan b
ke c menghasilkan vector 𝑇 yang menyatakan
b
perpindahan a ke c.
𝑅
a

𝑇=𝑅 +𝑆
𝑇
𝑆
c
Cara menjumlahkan dua buah vector dengan
mempertemukan ujung vector pertama, vector 𝑅 ,
dengan pangkal vector kedua, vector 𝑆 . Maka
resultan vektornya, vector 𝑇, adalah menghubungkan
pangkal vector pertama dan ujung vector kedua.
Besar Vektor Resultan

Jika besar vector 𝑅 dinyatakan oleh R dan besar
vector 𝑆 dinyatakan oleh S, maka besar vector 𝑇
sama dengan :
T= 𝑅2 + 𝑆 2 − 2𝑅𝑆 cos 𝜃
(1.1)
θ
𝑅
𝑇=𝑅 +𝑆
𝑇
𝑆
Sudut 𝜃 menyatakan sudut yang dibentuk antara
vector 𝑅 dan vector 𝑆.
Pengurangan Vektor
Untuk pengurangan vector, missal 𝐴 – 𝐵 dapat
dinyatakan sebagai penjumlahan dari 𝐴 + (- 𝐵).
 Vektor -𝐵 atau negatif dari vektor 𝐵 adalah sebuah
vektor yang besarnya sama dengan vektor 𝐵 tetapi
arahnya berlawanan.

𝐶
𝐶=𝐴–𝐵
𝐴
–𝐵
𝐵
Contoh

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian
bergerak ke Barat sejauh 40 km. Selanjutnya bergerak ke
Selatan sejauh 10 km. Tentukan besar perpindahan mobil
tersebut !
N
B
S
U
20 km
10 km
E
40 km
Jawab :
Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor 𝐴,
perpindahan kedua dinyatakan vector 𝐵, dan
perpindahan ketiga dinyatakan vector 𝐶 , maka
perpindahan total dinyatakan vector 𝐷.
40 km
𝐵
10 km
𝐶
𝐴
20 km
10 km
40 km
Panjang vector 𝐷 adalah :
|D| =
402 + 102 = 10 17 m
Vektor Satuan
𝑅
 Vektor satuan didefenisikan sebagai : r =
(1.2)
𝑅
Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan
besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas,
sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai
besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor
satuan r menyatakan arah dari vektor R.
 Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat
Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing
sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.

◦ Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif
◦ Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif
◦ Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif
Penulisan Vektor secara Analitis
Rz
R
Ry
Rx
vektor dalam dua dimensi

Vektor 𝑅 dinyatakan oleh 𝑅 = Rxi + Ryj + Rzk

Besar vector 𝑅 adalah 𝑅 =

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat
dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor
komponen masing-masing sumbu koordinat.
𝑅𝑥 2 + 𝑅𝑦 2 + 𝑅𝑧 2
Contoh

Ry
Sebuah vector perpindahan dari titik (2,2) ke
titik (-2,5). Tentukan :
a) Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis
b) Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X
c) Panjang vector
Jawab :
y
a) vector perpindahan :
(-2,5)
ujung
R = (Xujung – Xpangkal)i + (Yujung –Ypangkal)j
= (-2-2)i + (5-2)j
(2,2)

= -4i + 3j
pangkal
x
Rx
y
(-2,5)
ujung
Ry
(2,2)

pangkal
x
Rx
b)
Sudut yang dibentuk :
  tan
c)
1
3
 tan    37 o
Rx
4
Ry
1
Besar vektor 𝑅
R  Rx  R y  32  4 2  5satuan
2
2
Penjumlahan Vektor secara
Analitis


Jika diketahui :
vektor 𝐴 = XAi + YAj dan vektor 𝐵 = XBi + YBj,
maka penjumlahan vektor 𝐴 + 𝐵 = (XA + XB)i + (YA + YB)j
Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku:
𝑅 = (X0 +…+Xi +… +Xn)i + (Y0 +…+Yi +… +Yn)j
(1.3)
yA + y B
yB
yA
𝐵
𝐵
𝐴
xBxA
𝐴
xA + x B
Contoh

Diketahui dua buah vektor.
𝐴 = 3i + 2j
𝐵 = 2i  4j
Tentukan :
a. 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 + 𝐵
b. 𝐴 - 𝐵 dan 𝐴 - 𝐵
Jawab :
a. 𝐴 + 𝐵= 3i + 2j + 2i  4j
= 5i  2j
𝐴 + 𝐵 = 52 + −2 2 = 29
b. 𝐴 - 𝐵= 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j
𝐴 - 𝐵 = 12 + 62 = 37
-B
A
B
A
B
Perkalian Skalar



Perkalian scalar atau sering disebut perkalian titik dari dua
buah vektor menghasilkan besaran scalar dimana berlaku :
𝐴 . 𝐵 = AB cos 
(1.4)
Jika diketahui 𝐴 = ax i + ay j + az k dan
𝐵 = bx i + by j + bz k, maka :
𝐴 . 𝐵 = axbx + ayby + azbz
(1.5)
Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga
potensial, fluks magnet, dan lain-lain.
Perlu diperhatikan dan diingat dalam
perkalian titik adalah:
𝐴
i.i=j.j=k.k=1
i.j=j.k=k.i=0
𝐵
Contoh
Diketahui dua buah vektor,
𝐴= 3i + 4j dan 𝐵 = 4i  2j.
Tentukan sudut antara vektor 𝐴 dan 𝐵 !
Jawab :
Untuk menentukan sudut antara vektor
𝐴 dan 𝐵 dapat menggunakan
persamaan (1.4).
𝐴∙𝐵
cos 𝜃 =
𝐴𝐵
𝐴 ∙ 𝐵= (3i + 4j) . (4i  2j)
= 3.4 + 4.(-2) = 4
Besar vector 𝐴 = 32 + 42 = 5
Besar vector 𝐵 = 42 + (−2)2 = 20

Cos
𝜃 =
𝐴∙𝐵
=
𝐴𝐵
4
2
4
=
=
10
5
5 20
125
A

B
Dengan demikian
𝜃 = 79.7°
Perkalian Vektor

Perkalian vector atau perkalian silang dari dua buah vector
menghasilkan besaran vector lain dimana berlaku :
𝐴x𝐵=𝐶

Besar vector 𝐶 adalah :
𝐶 = AB sin 𝜃

Arah vektor 𝐶 selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk
olek vector 𝐴 dan vector 𝐵. Untuk menentukan arah vector 𝐶
dapat diperhatikan gambar dibawah ini.

Diketahui bahwa hasil 𝐴 x 𝐵 tidak sama dengan 𝐵 x 𝐴. Walaupun
besar vector hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling
berlawanan.
B
C=AB

B
C = -C’
A

A
C’ = B  A
Perkalian Vektor

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian
silang adalah:
ii=jj=kk=0
i  j = k ; j  k = i; k  i = j
j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j
Perkalian Vektor

Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah
vector dapat menggunakan aturan tangan kanan.

Jika urutan perkalian dari dua vector (misal 𝐴 x 𝐵), maka empat
jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vector A ke
vector B. ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vector
tersebut.
Contoh
Diketahui dua buah vektor.
𝐴 = 3i + 4j
dan
𝐵 = 4i  2j + k
Tentukan :
a)
𝐴x𝐵
b) Buktikan 𝐵 x 𝐴 = -𝐴  𝐵
Jawab :
a) 𝐴 x 𝐵= (3i + 4j)  (4i  2j + k)
= 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(2)(jj) + 4.1(jk)
= 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k
b) 𝐵 x 𝐴= (4i  2j + k)  (3i + 4j)
= 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki)
+ 1.3(kj)
= 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k
= -𝐴  𝐵 (terbukti)

Soal
1.
Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor 𝐴 = i + 2 j – k dan
vektor 𝐵 = 3 i – 4 k !
2.
Tentukan panjang proyeksi dari vector 𝐴 = 4 i + 2 j – k
terhadap arah vektor 𝐵 = i + 3 j – 4 k !
3.
Diberikan tiga buah vektor :
𝐴=1i+2j–k
𝐵=4i+2j+3k
𝐶=2j–3k
Tentukan :
a. 𝐴 . (𝐵  𝐶 )
b. 𝐴 . (𝐵 + 𝐶 )
c. 𝐴  (𝐵 + 𝐶 )
4.
Buktikan vektor 𝑅 = 3 i + 2 j - 4 k dan 𝑆 = 2 i + j + 2 k
adalah tegak lurus !
Solusi
1. Menurut persamaan (1.5) 𝐴.𝐵= 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7.
Besar vektor 𝐴 : A  12  2 2  (1) 2  6
Besar vektor 𝐵 : B  32  (4) 2  5
Nilai sudut antara 𝐴 dan 𝐵 ditentukan oleh :
A.B
7
Dengan demikian  = 55,1o
cos  

AB 5 6
2.
𝐴

AB
𝐵
Panjang AB
proyeksi 𝐴
besarnya :
menyatakan panjang
terhadap 𝐵
yang
A.B 4.1  2.3  (1).(4)
14
AB  A cos  


2
2
2
B
26
1  3  (4)
Solusi
3. a.) 𝐵  𝐶 = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k)
= 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k  j)
= 8k + 12j  12i
𝐴 . (𝐵  𝐶 ) = (i + 2j – k) . (-12i + 12j + 8k)
= -12 + 24 – 8 = 4
b.) 𝐵 + 𝐶 = 4i + 4j
Nilai A . (𝐵 + 𝐶 ) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12
c.) 𝐴  (𝐵 + 𝐶 ) = (i + 2j – k)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k
4. Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut
persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :
𝑅 . 𝑆= RS cos 90o = RS . 0 = 0
𝑅 . 𝑆= RxSx + RySy + RzSz
Jika diketahui 𝑅= 3 i + 2 j - 4 k dan 𝑆 = 2 i + j + 2 k, maka :
𝑅 . 𝑆= 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0