MODEL PERSAMAAN SIMULTAN

I. MODEL PERSAMAAN SIMULTAN
1. Pengertian Persamaan Simultan

Suatu himpunan persamaan dimana variabel dependen dalam satu atau lebih
persamaan juga merupakan variabel independen dalam beberapa persamaan yang
lain.

Suatu model yang mempunyai hubungan sebab akibat antara variabel dependen
dan variabel independennya, sehingga suatu variabel dapat dinyatakan sebagai
variabel dependen maupun independen dalam persamaan yang lain.
2. Sifat dasar Model Persamaan Simultan:
Ada hubungan dua arah atau simultan antara X dan (beberapa dari) X, yang
membuat perbedaan antara variabel tak bebas dan variabel yang menjelaskan menjadi
meragukan. Adalah lebih baik untuk mengumpulkan bersama sama sejumlah variabel
yang dapat ditentukan secara simultan oleh kumpulan variabel sisanya. Inilah yang
dilakukan dalam persamaan simultan.
Dalam model seperti itu ada lebih dari satu persamaan , satu untuk variabel tidak
bebas atau bersifat endogen atau gabungan atau bersama. Dan tidak seperti persamaan
model tunggal, dalam model persamaan simultan orang mungkin tidak menaksir
parameter dari satu persamaan tunggal tanpa memperhitungkan informasi yang diberikan
oleh persamaan lain dalam sistem.
Apa yang terjadi jika parameter dari tiap persamaan ditaksir dengan menerapkan ,
misalnya metode OLS, tanpa memperhatikan persamaan lain dalam sistem? Ingat bahwa
satu asumsi penting dari metode OLS adalah bahwa variabel X yang menjelaskan baik
bersifat nonstokastik atau jika stokastik (random) didistribusikan secara bebas
(independen) dari unsur gangguan stokastik. Jika tak satupun dari kondisi ini dipenuhi,
maka, penaksir kuadarat terkecil tidak hanya bias tapi juga tak konsisten, yaitu dengan
meningkatnya sampel secara tak terbatas, penaksir tidak mengarah ke nilai (populasi)
sebenarnya. Jadi, dalam sistem persamaan hipotesis berikut ini.
Yy1i = β10 + β12Y 2i + γ11X1i + µ1i ..................................................................(1.1)
Yy2i = β20 + β21Y 1i + γ21X1i + µ2i ..................................................................(1.2)
1
Dimana Y1 dan Y2 merupakan variabel yang saling bergantung, atau bersifat endogen,
dan X1 merupakan variabel yang bersifat eksogen dan dimana µ1 dan
µ2 unsur
gangguan stokastik, variabel Y1 dan Y2 kedua duanya stokastik.Oleh karena itu
kecuali dapat ditunjukkan bahwa variabel yang menjelaskan Y2 yang bersifat
stokastik dalam (1.1) didistribusikan secara bebas dan µ1 dan variabel yang
menjelaskan Y1 yang bersifat stikastik dalam (1.2) didistribusikan secara bebas
dari µ2, penerapan OLS klasik untuk persamaan persamaan ini secara individual
akan membawa ke taksiran yang tidak konsisten.
contoh model persamaan simultan
Contoh 1.1 model permintaan dan penawaran.seperti dikenal dengan
baik , harga Pdari komoditas dan kuantitas Q yang terjual ditentukan oleh
perpotongan kurva pendapatan dan penawaran untuk komoditi itu. Jadi dengan
mengasumsikan untuk penyederhanaan bahwa kurva penawaran dan kurva
permintaan adalah linear dan dengan menambahkan unsur gangguan stokastik
µ1dan µ2, fungsi empiris permintaan dan penawaran bisa ditulis sebagai berikut :
fungsi permintaan
fungsi penawaran
kondisi keseimbangan
Qt = α0 + α1Pt + µ1t
Qt = α0 + β1Pt + µ2t
Qt = Qt
α< 0
β> 0
(1.3)
(.1.4)
dimana Qd = kuantitas yang diminta
Qs = kuantitas yang ditawarkan
t = waktu
α dan β adalah parameter. Secara apriori α diharapkan untuk negatif (kurva
permintaan yang miring ke bawah) dan β1 diharapkan positif (kurva penawaran
yang mengarah ke atas).
Sekarang tidak terlalu sulit untuk melihat bahwa P dan Q adalah variabel
tak bebas bergabung. Jika misalnya µi dalam (1.3) berubah karena perubahan
2
dalam variabel lain yang mempengaruhi Q dt (seperti pendapatan, kekayaan dan
selera),kurva kurva permintaan akan bergeser ke atas.
Gambar 1.1
Pergeseran kurva permintaan dan penawaran
Seperti ditunjukan dalam gambar diatas, suatu pergeseran dalam kurva
permintaan merubah baik P dan Q. Serupa dengan itu suatu perubahan dalam µ 2t (karena
pemogokan, cuaca, pembatasan import atau ekspor dsb). Akan menggeser kurva
penawaran. mempengaruhi P dan Q, karena ketergantungan simultan antara Q dan P, µ1t
Pt dalam (2.3) dan µ2t dan Pt (dalam 2.4) tidak mungkin bebas. Oleh karena itu regresi Q
atas P (2.3) akan melanggar asumsi penting dari model regresi linear klasik, yaitu asumsi
tidak adanya korelasi antara variabel yang menjelaskan dan unsur gangguan.
3. Variabel dalam persamaan simultan
1. Variabel endogen/ endogenous variable : variabel dependen (tidak bebas) pada
persamaan simultan (jumlahnya sama dengan jumlah persamaan dalam model
simultan) atau dengan kata lain merupakan variabel tak bebas bersama atau
variabel variabel yang ditetapkan dalam model. Variabel endogen bersifat
stokastik
3
2. Variabel yang sudah diketahui nilainya/ predetermined variable : variabel ini
diperlakukan sebagai variabel yang non stokastik yang nilai-nilainya sudah
tertentu atau sudah ditentukan.
Predetermined variable dibedakan menjadi dua, yaitu:
-
Variabel eksogen : - Variabel eksogen sekarang : Xt , Pt
- Variabel eksogen waktu lampau : Xt-1, Pt-1
-
Variabel endogen waktu lampau (lagged endogenous variabel) : Yt-1, Qt-1
Dapatkah OLS digunakan untuk menaksir koefisien dalam persamaan simultan?

Tidak dapat, jika OLS
tersebut digunakan untuk meregres masing-masing
persamaan secara sendiri-sendiri. Karena asumsi dari OLS adalah nir-stokastik
atau jika stokastik, dianggap tidak tergantung pada variabel
residual yang
stokastik. Jika hanya dilakukan regresi pada salah satu model regresi, maka
persamaan tunggal tersebut tidak dapat diperlakukan sebagai sebuah model yang
lengkap.

Dapat diterapkan, jika model persamaan tersebut sudah diubah dalam bentuk
reduce form, yaitu dengan memasukkan salah satu persamaan pada persamaan
yang lain.
4. Persamaan Bentuk Turunan (reduce form).
Suatu bentuk persamaan yang direduksi (reduce form) adalah satu persamaan
yang menyatakan suatu variabel endogen semata mata dalam variabel yang ditetapkan
lebih dahulu dan gangguan stokastik
Dua persamaan struktural harus dapat diselesaikan untuk menjelaskan variabel
endogen sebagai fungsi dari variabel eksogen. Reformulasi dari model tersebut disebut
dengan bentuk turunan (reduce form) dari sistem persamaan struktural. Untuk
menemukan persamaan turunan atau reduce form maka kedua persamaan harus
diselesaikan secara simultan untuk menemukan nilai (Y dan C). Sebagai aturan main
untuk menemukan persamaan bentuk turunan jumlah persamaan struktural harus
sebanyak variabel endogen.
4
5. Masalah Identifikasi (Problems Identification)
Jika dalam suatu sistem , dari persamaan simultan yang berisi dua atau lebih
persamaan tidaklah mungkin untuk mendapatkan nilai angka dari tiap parameter dalam
tiap persamaan karena persamaan persamaan tadi tidak bisa dibedakan secara observasi,
atau nampaknya sangat serupa satu dengan yang lain,
kita mempunyai masalah
identifikasi (problem identification). Jadi dalam regresi kuantitatif Q atas harga P yang
dihasilkan merupakan fungsi permintaan ataukah fungsi penawaran? Karena Q dan P
masuk ke dalam dua fungsi. Oleh karena itu jika kita mempunyai data mengenai Q dan P
saja dan tidak ada informasi lain, akan sulit jika bukannya tak mungkin untuk
mengidentifikasi regresi tadi sebagai fungsi permintaan atau penawaran. Adalah penting
untuk memecahkan masalah identifkasi sebelum beralih ke langkah penaksiran karena
jika kita tidak tahu apa yang kita taksir, penaksiran semata mata tidak berarti.
Masalah identifikasi timbul karena kumpulan koefisien struktural yang berbeda
mungkin cocok dengan sekumpulan data yang sama.
Masalah identifikasi sering dijumpai pada model ekonometrik yang lebih dari
satu persamaan. Untuk memecahkan masalah ini harus dilakukan pengujian atau
persyaratan agar diketahui koefisien persamaan mana yang ditaksir. Persyaratan ini
disebut Kondisi
5.1. Identifikasi (condition of identification).
Ada dua macam dalil pengujian identifikasi, yaitu Order condition dan Rank
condition. Notasi yang dipergunakan adalah:
M = jumlah variabel endogen dalam model
m = jumlah variabel endogen dalam persamaan
K = Jumlah variabel predetermined dalam model
1. Order Conditions
Syarat identifikasi suatu persamaan struktural:

Pada persamaan simultan sejumlah M persamaan (yang tidak mempunyai
predetermined variable)
5
M-1≥1
Jika M-1 = 1, maka persamaan tersebut identified.
Jika M-1 > 1, maka persamaan tersebut overidentified.
Jika M-1 < 1, maka persamaan tersebut unidentified.
Contoh:
Fungsi Demand
Fungsi Supply
Qt = 0 + 1Pt + u1t ......................(1.5)
Qt = 0 + 1Pt + u2t ......................(1.6)
Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen tanpa
predetermined variable, agar identified maka M-1 = 1, jika tidak maka
tidak identified.
Pada kasus ini (M = 2) dan 2 – 1 = 1  identified

Pada persamaan yang memiliki predetermined variable berlaku aturan:
K – k ≥ m –1
Jika K – k = m –1, maka persamaan tersebut identified .
Jika K – k > m –1, maka persamaan tersebut overidentified .
Jika K – k < m –1, maka persamaan tersebut unidentified
Contoh:
Fungsi Demand
Fungsi Supply
Qt = 0 + 1Pt + 2 It + u1t…………(1.7)
Qt = 0 + 1Pt + u2t………………….. (1.8)
Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen dan It adalah
predetermined variable.
Persamaan (4.1) : K – k < m – 1 atau 1 – 1 < 2 – 1  Unidentified
Persamaan (4.2) : M – 1 = 1 atau 2 – 1 = 1
 Indentified
Catatan:
Persamaan yang dapat diselesaikan dengan sistem persamaan simultan adalah persamaan
yang identified dan over identified.
5.2.Rank Conditions.
Identifikasi melalui order condition hanya merupakan prasyarat dasar tetapi
belum merupakan prasyarat cukup (sufficient condition). Melalui metode rank condition
bisa memenuhi kedua prasyarat identifikasi persamaan simultan. Istilah rank berasal dari
terminology di dalam matrik. Rank dari matrik merujuk kepada square submatrix order
6
paling besar yang mempunyai determinan tidak sama dengan nol. Square matrix adalah
matrik yang mempunyai jumlah kolom dan baris yang sama.
Sebagai ilustrasi identifikasi melalui rank condition, misalnya ada persamaan
simultan sebagai berikut;
Yt1t = 10
+12Y2t+13Y3t+β11X1t
Yt2 = 20
+e1t
+23Y3t+β21X1t+β22X2t
Yt3t = 30 + 31Y1t
+β31X1t+ β21X2t
Yt3t = 40+41Y1t +42Y2t
(.1.9)
+e2t
(1.10)
+e3t
(1.11)
+ β43X2t + e4te1t
(1.12)
Dimana Y adalah variabel eksogen dan X adalah variabel endogen.
Jika persamaan (1.9) – (1.12) dimanupulasi dengan cara memindahkan semua variabel di
sisi kanan persamaan kecuali variabelgangguan e ke sebelah kiri maka akan
menghasilkan sebuah sistem yang terlihat pada tabel dibawah ini. Inilah kemudian biasa
menentukan apakah sebuah persamaan teridentifkasi atau tidak melalui rank condition.
Tabel 1:sistem persamaan simultan
persamaan
koefisien
1
Y1
Y2
Y3
Y4
X1
X2
X3
1.9
- 10
1
-12
-13
0
-β11
0
0
1.10
-20
0
1
-23
0
-β21
β22
0
1.11
-30
-31
0
1
0
-β31
Β32
0
1.12
-40
-41
-42
0
1
0
0
-Β43
Dari tabel diatas bisa didentifikasi melalui rank condition untuk setiap persamaan.
Misalnya untuk persamaan 1.9. Persamaan 1.9 tidak memasukan variabel Y4,X2 dan X3
yang ditunjukan dengan angka 0 didalam baris pertama persamaan 1.untuk mengetahu i
apakah persamaan persamaan tersebut teridentifikasi atau tidak maka harus mencari
matrks order 3x3 dari koefisien yang tidak ada dalam persamaan 1 tetapi ada di
persamaan yang lain dan kemudian dicari determinannya.matriks tersebut adalah sebagai
berikut:
7
A=
0
-β21
0
0
-β31
0
1
0
-β43
Determinan matriks A ini mempunyai determinan 0, yang artinya tidak memenuhi rank
condition sehingga persamaan ini tidak teridentifikasi
Suatu persamaan yang mempunyai M persamaan dikatakan identified, sekurangkurangnya mempunyai satu determinan berdimensi (M-1) yang tidak sama dengan nol.
6.Estimasi persamaan Simultan
6.1.Indirect Least Squares (ILS)
Metode ILS dilakukan dengan cara menerapkan metode OLS pada persamaan reduced
form.
Asumsi yang harus dipenuhi dalam penggunaan prosedur ILS:
1. Persamaan strukturalnya harus exactly identified.
2. Variabel residual dari persamaan reduced form-nya harus memenuhi semua
asumsi stokastik dari teknik OLS. Jika asumsi ini tidak terpenuhi, maka akan
menyebabkan bias pada penaksiran koefisiennya.
Contoh:
Diketahui suatu model persamaan simultan adalah sebagai berikut :
Qd= 0 + 1 P+ 2 X + v ...........................................................................................(1.13)
Qs= 0 + 1 P + 2 Pl + u ...........................................................................................(1.14)
Dimana:
Qd = Jumlah barang yang diminta
Qs = Jumlah barang yang ditawarkan
P = harga barang
X = Income
Pl = harga Input
8
Persamaan reduce form-nya adalah sebagai berikut :
P= 0 + 1 X +  2 Pl +Ω1 ......................................................................................(1.15)
Q=  3 +  4 X +  5 Pl +2 ....................................................................................(1.16)
Persamaan Reduce Form dapat dicari dengan langkah sebagai berikut:

Selesaikan persamaan Qd = Qs ……………………………………………..….(1.17)
0 + 1 P+ 2 X + v = 0 + 1 P + 2 Pl + u ..........................................(1.17.1)
1 P - 1 P = 0 - 0 - 2 X + 2 Pl + u – v ..........................................(1.17.2)
 0   0    2 
 2 
 uv 

 





           X       Pl      
1
1
1
 1
 1
 1
1 
P =  1
P =  0  1 X   3 Pl   ..........................................................(1.17.3)

Kemudian substitusikan persamaan P diatas dengan salah satu persamaan Q,
misalnya dengan Qd
Qd = 0 + 1 P+ 2 X + v ………………………………………………………………..(1.17.5)
Qd = 0 + 1
 0  0   2 
 2 
 uv 

 





          X       Pl      
1
1
1
 1
 1
 1
1 
 1
+ 2 X + v
 1 0  1 0   1 2 
  
  u  1v 

  
 X   1 2  Pl   1

 1  1 
 1    + 2 X + v
Qd = 0 +  1  1   1  1 
 1 0  1 0   1 2 
  
  u  1v 

  
 X   1 2  Pl   1













1
1
1
1
1
1
1
1







 + 2 X + v
Qd = 0 +
Lalu samakan semua penyebutnya dengan 1   1 …………………………..(1.17.6)
  01   0 1 

 



1
1

Qd = 
 10  1 0   1 2 
  
  u  1v 

  
 X   1 2  Pl   1

 1  1   1  1 
 1  1 
 1  1  +
9
 1 2  1 2 
  v   1v 

 X   1







1
1
1 


 1
 1 0   0 1    2 1 
  
  u  1v 

  
 X   1 2  Pl   1


 1   1  1 

 1 

 1 
1
1
1



Qd =
Qd =  3   4 X   5 Pl   ..................................................(1.17.7)
Dari persamaan reduce form-nya diperoleh 6 koefisien reduksi yaitu: 0 1 2 3 4
dan 5 yang akan digunakan untuk menaksir 6 koefisien structural yaitu 0, 1, 2, 0, 1
dan 2
6.2. Two Stage Least Squares (TSLS)
Metode TSLS sering digunakan dengan alasan:
1. Untuk persamaan yang overidentified, penerapan TSLS menghasilkan taksiran
tunggal (sedangkan ILS menghasilkan taksiran ganda).
2. Metode ini dapat diterapkan pada kasus exactly identified. Pada kasus ini taksiran
TSLS = ILS.
3. Dengan TSLS tidak ada kesulitan untuk menaksir standar error, karena koefisien
struktural ditaksir secara langsung dari regresi OLS pada langkah kedua
(sedangkan pada ILS mengalami kesulitan dalam menaksir standar error).
10
II. A R I M A (METODE BOX JENKINS)
2.1. Pengertian
ARIMA (autoregresive integrated moving average) dapat diartikan sebagai
gabungan dua model, yaitu Model Autoregresi (AR) dan Moving Average (MA). Model
ini tidak mempunyai suatu variabel yang berbeda sebagai variabel bebas, tetapi
menggunakan informasi dalam series yang sama dalam membentuk model, yang pada
akhirnya sangat bermanfaat untuk peramalan.
Model AR berbentuk hubungan antara variabel terikat Y dengan variabel bebas
yang merupakan nilai Y pada waktu sebelumnya, sedang model MA menunjukkan
ketergantungan variabel terikat Y terhadap nilai nilai residual pada waktu sebelumnya
secara berurutan. Gabungan kedua model inilah yangsangat berguna dalam menganalisis
time series, dengan sebutan ARIMA. Permodelan dan peramalan menggunakan ARIMA
sering dihubungkan dengan dua nama, yaitu G.E.P Box dan G.M Jenkins. Hal ini
diakibatkan jasa kedua statistisi tersebut dalam memperkenalkan metodologi untuk
identifikas, penaksiran, pengujian dan peramalan model, sehingga mudah dipahami.
Analisa ini berbeda dengan model struktural baik model kausal maupun simultan
dimana persamaan model tersebut menunjukkan hubungan antara variabel variabel
ekonomi. Alasan utama menggunakan teknik Box-Jenkin karena gerakan variabel
variabel ekonomi yang diteliti sperti pergerakan nilai tukar, harga saham, inflasi
seringkali sulit dijelaskan oleh teori teori ekonomi.
Teknik Box-Jenkin sebagai teknik peramalan berbeda dengan kebanyakan model
peramalan yang ada. Di dalam model ini tidak ada asumsi khusus tentang data historis
dari time series (runtut waktu), tetapi menggunakan metode iteratif untuk menentukan
model yang terbaik. Model yang terpilih kemudian akan dicek ulang dengan data historis
apakah telah menggambarkan data dengan tepat. Model terbaik akan diperoleh jika
residual antara model peramalan dan data historis kecil, didistribusikan secara random
dan independen.
Model ARIMA umumnya dituliskan dengan notasi ARIMA (p,d,q). P adalah
derajat proses AR, d adalah orde pembedaan, dan q adalah derajat proses MA. Adanya
11
nilai pembedaan (d) pada model ARIMA disebabkan aspek aspek AR dan MA hanya
dapat diterapkan pada data time series yang stasioner.
2.1. Model Dan Sifat Sifatnya
Model model yang dapat menjelaskan pergerakan suatu data time series dengan
cara menghubungkan data tersebut dengan : (i) data masa lalu(AR) dan/atau (ii) deviasi
random saat ini dan masa lalu (MA). Secara spesifik yang akan dianalisis :
(a). Model MA sederhana untuk proses stasioner
(b). Model AR sederhana untuk proses stasioner
(c). Model model campuran antara AR dan MA untuk proses stasioner
(d). Model integrasi antara AR dan MA untuk proses tidak stasioner
2.1.1. Model model moving avarage
Model MA mempunyai ordo (q), sehingga model tersebut biasanya dituliskan
sebagai MA(q). Model MA ini menyatakan bahwa nilai prediksi variabel dependen Yt
hanya dipengaruhi oleh nilai residual sebelumnya atau tiap tiap observasi dibentuk dari
rata rata tertimbang deviasi (disturbance) q periode sebelumnya atau model MA tingkat
pertama atau disingkat MA(1). Model MA(1) dapat ditulis dalam persamaan sebagai
berikut :
Yt = α0 + α1et + α2et-1 .......................................................................................................................................(2.1)
Dimana ;
et = residual
et-1 = lag tingkat pertama residual
secara umum model MA dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai berikut :
Yt= α0 + α1et – α 2et-1 – α 3et-2 - ......+ α qe1-q ...........................................................(2.2)
α1 α2αq
= parameter yang dapat bersifat positif dan negatif
et-1 et-2, et-q = lag dari residual
q
= tingkat/orde MA
12
2.2.2. Model auto regressive (AR)
Model AR menunjukkan nilai prediksi variabel dependen Yt hanya merupakan
fungsi linear dari sejumlah Yt aktual sebelumnya. Misalnya nilai variabel dipenden Yt
hanya dipengaruhi oleh nilai variabel tersebut satu periode sebeumnya maka model ini
disebut model autoregresivve tingkat pertama: model ini dapat ditulis sebagai berikut :
Yt = β0+ β1Yt-1+e t ......................................................................................................(2.3)
Dimana :
Y = variabel dependen
Yt-1 = periode sebelumnya(Lag) dari Y
Secara umum bentuk umum model Autoregresivve (AR) dapat dinyatakan dalam
persamaan sebagai berikut :
Yt= β0+ β1Yt-1 + β2Yt-2 + ... βpYt-p +et ........................................................................(2.4)
Dimana :
Y
=
variabel dependen
Yt-1 Yt-2 Yt-p = lag dari Y
et
= residual
p
= tingkat AR
Residual dalam persamaan tersebut sebagaimana model OLS mempunyai karakteristik
nilai rata rata 0, varian konstant dan tidak saling berhubungan. Model AR menunjukkan
bahwa nilai prediksi variabel Yt hanya merupakan fungsi linear dari sejumlah Yt aktual
sebelumnya.
2.2.3. Model autoregressive – moving avarega (ARMA)
Seringkali perilaku suatu data time series dapat dijelaskan dengan baik melalui
penggambungan antara model AR dan MA. Model gabungan ini disebut autoregrssive –
moving avarage (ARIMA). Misalnya nilai variabel dependen Yt dipengaruhi oleh lag
pertama Yt dan lag pertama residual maka modelnya disebut dengan model ARMA (1,1).
Model ARMA (1,1) dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai berikut :
Yt = β0 + β1Yt-1 + β2Yt-2 + α0et + α1et-1 + α2et-2 + ..+ αqet-q .........................................(2.5)
13
2.2.4. Model Autoregressive integrated moving avarage (ARIMA)
Model AR, MA dan ARMA sebelumnya mensyaratkan bahwa data time series
yang diamati mempunyai sifat stasioner. Data time series dikatakan stasioner jika
memenuhi 3 kriteria yaitu :jika data time series mempunyai rata rata, varian dan kovarian
yang konstant. Namun dalam kenyataannya data time series seringkali tidak stasioner
namun stasioner pada proses diferensi (difference).
Proses diferensi adalah suatu proses mencari perbedaan antara data satu periode
dengan periode yang lainnya secara berurutan. Data yang dihasilkan disebut data
diferensi tingkat pertama. Jika kita kemudia melakukan diferensi data tingkat pertama
maka akan menghasilkan data diferensi tingkat kedua, dan seterusnya.
Seandainya data time series tidak stasioner dalam leve , maka data tersebut
kemungkinan menjadi stasioner melalui proses diferensi atau jika data tidak stasioner
pada level maka perlu dibuat stasioner pada tingkat diferensi. Model dengan data yang
stasioner melalui proses diffrencing ini disebut model ARIMA. Dengan demikian jika
data stasioner pada proses differencing d kali dan mengaplikasikan arima (p,q), maka
modelnya ARIMA (p,d,q) dimana p adalah tingkat AR, d tingkat proses membuat data
menjadi stasioner dan q merupakan tingkat MA. ARIMA (2,1,2) berarti menunjukkan
AR(2), proses differencing 1 untuk membuat data stasioner dan tingkat MA pada level 2.
Model AR (2) oleh karena itu tidak lain merupakan model ARIMA (2,0,0)
2.3. Metodologi Box Jenkin
Langkah langkah yang harus diambil dalam menganalisis data dengan
menggunakan teknik Box – Jenkin:
1. Identifikasi Model. Dalam langkah ini kita mencari nilai p,d dan q dengan
menggunakan correlogram.
2. Etimasi parameter. Setelah mendapatkan nilai p dan q, maka selanjutnya
kita mengamati parameter model ARIMA yang kita pilih pada l,ngkah
pertama.estimasi parameter dapat dilakukan melalui metode kuadrat
terkecil atau metode estimasi yang lain seperti maximum likelihood.
3. uji diagnosis. Setelah mendapatkan estimator model ARIMA, akan dipilih
model yang mampu menjelaskan
data dengan baik. Caranya dengan
14
melihat apakah residual bersifat random sehingga merupakan residual
yang relatif kecil. Jika tidak maka kita harus kembali ke langkah pertama
amemilih model yang lain.
4. Prediksi. Setelah mendapatkan model yang baik , maka selanjutnya model
dapat digunakan untukmemprediksi.
2.4. Identifikasi model ARIMA
2.4.1. Uji stasioner melalui Correlogram
Metode sederhana yang dapat digunakan untuk menguji apakah data stasioner
atau tidak adalah dengan melihat correlogram melalui autocorrelation function ( ACF).
ACF menjelaskan seberapa besar korelasi data yang berurutan dalam runtut waktu. ACF
dengan demikian merupakan perbandingan antara kovarian pada lag k dengan variannya.
ACF lag k (pk) dapat ditulis sebagai berikut:
Pk = γk / γ0 ................................................................................................................(2.6)
∑ (Yt-Ỹ)(Yt+k – Ỹ)
Dimana γk = ------------------.............................................................................(2.6.1)
n
∑ (Yt – Ỹ)2
Dimana γ0 = ------------------- .................................................................................(2.6.2)
n
n adalah jumlah observasi dan Ỹ adalah rata rata. Nilai ACF ini akan terletak pada -1 dan
1. persamaan pada MA merupakan ACF untuk populasi sehingga kita perlu melakukan
estimasi ACF melalui sample autocorrelation function (SACF).SACF pada lag k dengan
demikian dapat ditulis
γk
pk = ------- ................................................................................................................(2.7)
γ0
15
bagaimana dari SACF kita bisa amengetahui apakah suatu data time series stasioner atau
tidak? Cara yang paling mudah dan cepat adalah melihat besarnya nilai SACF. Jika nilai
SACF pada setiap lag sama dengan nol maka data adalah stasioner
2.4.2. Identifikasi model
Secara grafis pemilihan model ARIMA dengan ACF dan PACF (partial
autocorrelation function) dapat dilihat dalam gambar berikut :
Gambar 2.1. : koefisien ACF dan PACF untuk model AR(1) dan AR(2)
Model AR(1) : Yt = b0+b1Yt-1+ et ............................................................................(2.8)
16
Model AR (2): Yt = b0+b1Yt-1+ b2Yt-2 + et ...................................................................(2.9)
17
Gambar2.2. : koefisien ACF dan PACF untuk model MA(1) dan MA(2)
Model MA(1) : Yt = c0 + c1et+c2et-1 ......................................................................(2.10)
Model MA (2) : Yt = c0 + c1et+c2et-1 + c3et-2 ..........................................................(2.11)
18
Gambar 2.3. : Koefisien ACF dan PACF untuk model ARMA (1,1)
Model ARMA (1,1) b0+b1Yt-1+et+c1et-1 ................................................................(2.12)
19
model
AR (p)
MA (q)
ARMA (p,q)
Tabel 1: Pola ACF dan PACF
Pola ACF
Pola PACF
Menurun secara exponential
Menurun drastis pada lag tertentu
Menurun drastis pada lag tertentu
Menurun secara exponential
Menurun secara exponential
Menurun secara exponential
2.4.3. Estimasi model ARIMA
Berdasarkan identifikasi model, model tentatif differensiai 1(DI) model ARIMA
(1,1,0) ARIMA(0,1,1) maupun ARIMA(1,1,1). Sehingga model tentatif ARIMA dapat
dibetuk persamaan sebagai berikut:
D1t = β0+β1AR(1)+et
D1t = β0+β1MA(1)+et
D1t = β0+β1AR(1) + MA(1) + et
D1 merupakan perbedaan (diferensiasi) pertama
20
Setelah kita mempunyai model tentatif ARIMA maka kita estimasi model tentatif
persamaan tersebut. Pada tahap estimasi ini akan diuji kelayakan model dengan cara
mencari model terbaik. Model terbaik didasarkan pada goodness of fit yaitu tingkat
signifikansi variabel independen termasuk konstanta melalui uji t, uji F maupun nilai
koefisien determinasi (R2)
2.4.4 Uji diagnosa model ARIMA
Pada tingkat identifikasi setelah menemukan bahwa model tentatif adalah
ARIMA (0,1,1). Stelah mendapatkan estimator model ARIMA (0,1,1)maka perlu untuk
mmelakukan uji diagnosa (model yang dipilih mampu menjelaskan data dengan baik)
dengan melihat aapakah residual yang diperoleh relatif kecil karena bersifat random
(white noise).
Gambar 2.4
Cara untuk melihat apakah residualnya bersifat random adalah dengan cara
menganalisis residual dengan correlogram baik melalui ACF maupun PACF. Jika
koefisien ACF maupun PACF secara individual tidak signifikan maka residual yang kita
dapatkan bersifat random.dengan demikian tidak perlu mencarilagi model Alternatif
ARIMA. Jika residual tidak bersifat white noise maka kita harus kembali ke langkah
pertama untuk memilih model yang lain.
Signifikansi tidaknya koefisien ACF dan PACF bisa dilihatmelalui uji dariBarlet,
Box dan Pierce maupun Ljung-Box.
21
2.4.5 Prediksi
Setelahkita memperoleh model yang tepatmelalui langkah 1 – 3 dari metodologi
Box-jenkin maka tahap terakhir adalah prediksi. Hasil estimasi yang telah diperoleh akan
digunakan untuk memprediksi perilaku .
22