BAB II LANDASAN TEORI

BAB II
LANDASAN TEORI
2.1
Sistem Persamaan Diferensial
Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan
lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk
pesamaan yang mengandung fungsi turunannya. Suatu persamaan yang
mengandung fungsi turunannya dinamakan persamaan diferensial.Yang dimaksud
dengan persamaan diferensial adalah persamaan yangmemuat hubungan antara x,
suatu fungsi y dari x dan turunannya:
adalah turunan (derivative) ke n dari
, di mana
terhadap .[13]
Suatu persamaan diferensial adalah suatu persamaan diferensial biasa
(PDB) jika fungsi yang tidak diketahui hanya terdiri dari satu peubah bebas. Jika
fungsi yang tidak diketahui terdiri dari dua atau lebih peubah bebas, persamaan
diferensial tersebut adalah persamaan diferensial parsial (PDP).
Orde suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi yang terdapat
dalam persamaan tersebut. Ekspresi matematis y’, y’’, y’’’, y(4), y(5), ... , y(n) sering
kali digunakan untuk menuliskan masing-masing turunan pertama, turunan kedua,
turunan ketiga, ... , turunan ke-n dari y terhadap peubah bebas yang
dimaksudkan.[8]
Sebagai contoh, perhatikan persamaan diferensial berikut:
a.
dimana
b.
c.
d.
Persamaan a, b, c, dan d di atas adalah persamaan deferensial orde satu,
karena persamaan-persamaan tersebut mengandung turunan pertama sebagai
turunan tertinggi.
e.
, adalah persamaan diferensial orde dua,
karena persamaan tersebut mengandung turunan kedua sebagai turunan
tertinggi.
2.1.1
Sistem Persamaan Diferensial Linier
Sistem persamaan diferensial linier adalah persamaan yang terdiri dari
lebih dari satu persamaan yang saling terkait. Sistem dari dua persamaan
diferensial dengan dua fungsi yang tak diketahui berbentuk:
̇
̇
(2.1)
Dimana koefisien
dan
pada suatu selang I dan
merupakan fungsi t yang kontinu
adalah fungsi
dan
yang tak diketahui. Sistem
memiliki penyelesaian eksplisit jika koefisien
koefisien
semuanya konstanta. Sistem persamaan
diferensial linier dengan
buah fungsi-fungsi yang tak diketahui berbentuk:
̇
∑
(2.2)
Dengan
2.1.2
.[13]
Sistem Persamaan Diferensial Tak linier
Sistem persamaan diferensial tak linier adalah persamaan yang terdiri dari
lebih dari satu persamaan yang saling terkait. Sistem dari dua persamaan
diferensial tak linier dengan duafungsi yang tak diketahui berbentuk:
̇
̇
(2.3)
Dimana ad − bc≠ 0
8
Dalam menyelesaikan system persamaan diferensial linier dan system
persamaan diferensial tak linier dapat juga menggunakan metode eksplisit yang
diperluas sesuai dengan tingkat kesukaran, yaitu dengan metode eliminasi
(metode penyelesaian system persamaan diferensial dalam dua fungsi yang tak
diketahui dan dengan koefisien konstan) dan metode matriks (metode
penyelesaian sistem persamaan diferensial dalam n buah fungsi yang tak diketahui
dengan koefisien konstan). Persamaan diferensial tak linier dan sistem persamaan
diferensial tak linier sering kali muncul dalam penerapan. Tetapi, hanya beberapa
tipe persamaan diferensial linier dan persamaan diferensial tak linier (sebagai
contoh: terpisah, homogen, eksak) yang dapat diselesaikan secara eksplisit.[8]
2.2
Nullcline
Titik equilibrium dari system persamaan diferensial tak linear diperoleh
dengan menentukan titik potong antara nullcline-nullcline. Nullcline dapat
ditemukan dengan menetapkan system persamaan diferensial menjadi sama
dengan nol.[2]
Pada sistem persamaan diferensial dengan bentuk
akan terdapat dua nullcline yaitu x-nullcline untuk
. Di x-nullcline laju perubahan
dan
, maka
dan y-nullcline untuk
sama dengan nol. Demikian pula, laju
perubahan pada y-nullcline sama dengan nol.[...]
Sebagai contoh, perhatikan sistem persamaan deferensial tak linear
berikut:
(2.4)
Dari persamaan (2.4) diperoleh x-nullcline
dengan
atau
dengan
atau
. Dan y-nullcline
.
9
Diperoleh titik kritis
,
,
√
)
, dan (
√
). Maka
equilibriumnya adalah:
, dan (
,
2.3
Matriks Jacobi
Secara umum, matriks transformasi turunan fungsi
(2.5)
Di titik x adalah
(2.6)
[
]
Yaitu matriks berukuran m x n. matriks ini seringkali juga ditulis sebagai matriks
Dan disebut Matriks Jacobi.[3]
Matriks Jacobi dapat juga digunakan untuk melinearkan sistem persamaan
diferensial yang tak linear.
Contoh: misalkan terdapat sistem persamaan
(2.7)
Dengan titik equiblirium (2, 3), maka dipeoleh
Substitusi sistem (2.7) pada persamaan (2.6), kemudian substitusi nilai x dan y
dari titik equilibrium.
10
(
)
(
)
(
)
Jadi diperoleh matriks Jacobi
(
2.4
).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Jika A adalah matriks n x n, maka vector tak nol
vector eigen dari A jika
di dalam
dinamakan
adalah kelipatan dari skalar , yakni
Untuk suatu skalar . Skalar
dinamakan nilai eigen dari A dan
dikatakan
vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran
menuliskan kembali
dengan
sebagai
Atau secara ekivalen
Supaya
menjadi nilai eigen, maka persamaan
Harus mempunyai pemecahan tak nol, yaitu dengan menentukan bahwa
.
Yang selanjutnya dinamakan persamaan karakteristik.[1]
11
2.5
Kestabilan
Misal
dan
adalah akar dari persamaan karakteristik
(2.8)
Dari sistem persamaan diferensial biasa
(2.9)
Dengan
.
Maka titik equilibrium (0, 0) dari sistem (2.9) mempunyai tiga keadaan:
1. Asimtotik stabil jika dan hanya jika kedua akar dari persamaan (2.8)
adalah real negatif
2. Stabil, jika dan hanya jika akar-akar dari persamaan (2.8) adalah real
negatif dan nol.
3. Tak stabil, jika salah satu atau kedua akar dari persamaan (2.8) adalah
real positif atau jika paling sedikit terdapat satu akar yang mempunyai
nilai positif.[5]
Kestabilan dari suatu titik equilibrium dapat pula ditentukan dengan
menentukan nilai dari perkalian dan pertambahan dari akar-akar persamaan
karakteristik yang diperoleh. Dengan menuliskan
dan
persamaan (2.8) dapat juga dinyatakan dengan
Di mana
merupakan hasil daripenjumlahankedua akar, dan
yang merupakan
hasil dari perkalian kedua akar. Maka jenis kestabilan dapat ditentukan dengan
melihat dari nilai
1. Stabil jika
dan
seperti di bawah ini:
dan
12
2. Tak stabil jika
atau
.[7]
(2.10)
Contoh: Tentukan kestabilan dari sistem persamaan diferensial berikut:
Penyelesaian:
Di sini
dan
(
dan
dan
. Nilai
)
. Karena nilai
maka berdasarkan (2.10) persamaan (2.11) mempunyai titik
equilibrium yang tak stabil.
2.6
Metode Numerik untuk Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial biasa mendeskripsikan bagaimana tingkat
perubahan variabel dalam suatu sisitem dipengruhi oleh variabel-variabel di dalam
sistem itu sendiri dan juga pengaruh dari luar, yaitu input. Dalam kasus-kasus di
mana persamaan sukar diselesaikan secara analitis, maka lebih mudah untuk
menyelesaikannya secara numerik.
Metode penyelesaian numerik tidak ada batasan mengenai bentuk
persamaan diferensial. Penyelesaian berupa tabel nilai-nilai numerik dari fungsi
untuk berbagai variabel bebas. Penyelesaian suatu persamaan diferensial
dilakukan pada titik-titik yang ditentukan secara berurutan. Untuk mendapatkan
hasil yang lebih teliti maka jarak (interval) antara titik yang berurutan dibuat
semakin kecil.[13]
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk persamaan
diferensial, akan tetapi penyusun menggunakan metode Runge-Kutta. Metode
Runge-kutta mempunyai ketelitian yang lebih besar dibanding metode Eulertanpa
memerlukan kalkulasi turunan yang lebih tinggi. Bentuk umum dari metode
Runge-Kutta:
13
(2.12)
dengan
disebut fungsi inkremen yang dapat diinterpretasikan sebagai
sebuah kemiringan rata-rata sepanjang intrerval. Fungsi inkremen dapat ditulis
dalam bentuk umum sebagai:
.
.
.
(
)
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa semua nilai
secara rekurensi, artinya
muncul dalam persamaan untuk
berhubungan
, dan seterusnya.
Rekurensi ini membuat metode Runge-Kutta efisien untuk kalkulasi oleh
komputer.
Ada beberapa jenis metode Runge-Kutta yang tergantung nilai n. Nilai
menunjukkan metode Runge-Kutta orde satu, namun dalam penyusunan
skripsi ini penulis menggunakan metode Runge-Kutta orde 4. Dengan bentuk
umum sebagai berikut:
*
+
(2.13)
Di mana:
(
)
.[4]
14
Untuk memudahkan proses perhitungan, pembahasan dalam penyusunan
skripsi ini penulis menggunakan software MATLAB untuk menyelesaikan
persamaan diferensial dengan metode Runge-Kutta orde 4.
15