Ruang Vektor

Ruang Vektor
Ruang Vektor
Kartika Firdausy – UAD
blog.uad.ac.id/kartikaf
Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor
1. Jika vektor – vektor u , v ∈ V , maka vektor u + v ∈ V
2. u + v = v + u
3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
4. Ada 0 ∈ V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u ∈ V , 0 :
vektor nol
5. Untuk setiap u ∈ V terdapat – u ∈ V sehingga u + (– u ) = 0
6. Untuk sembarang skalar k , jika u ∈ V maka ku ∈ V
7. k ( u + v ) = k u + k v , k sembarang skalar
8. (k + l) u = k u + l u , k dan l skalar
9. k( l u ) = ( kl ) u
10. 1 u = u
2
Aljabar Linear dan Matriks
1
Ruang Vektor
Contoh ruang vektor :
1.
V adalah himpunan vektor euclidis dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar )
Notasi: Rn .
2. V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar
Bentuk umum polinom orde – n
pn(x) = a0 + a1x +… + anxn
qn(x) = b0 + b1x +… + bnxn
Operasi standar pada polinom orde – n
pn(x) + qn(x) = a0+ b0 + (a1 + b1)x +… + (an + bn)xn
k pn = ka0 + ka1x +… + kanxn
Notasi: Pn
3. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar
( penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar )
Notasi: Mmn
3
Sub–ruang vektor
Diketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V.
U dikatakan sub–ruang dari V jika memenuhi dua
syarat berikut :
1. Jika u ,v ∈ U maka u + v ∈ U
2. Jika u ∈ U , untuk skalar k berlaku ku ∈ U
4
Aljabar Linear dan Matriks
2
Ruang Vektor
Kombinasi linier
Vektor v dikatakan merupakan kombinasi
linier dari vektor – vektor v 1, v 2,…,v n bila
v bisa dinyatakan sebagai :
v = k1 v 1 + k2 v 2+…+ kn v n ,
k1,k2,…,kn adalah skalar
5
Contoh
Diketahui a = ( 1,2 ) , b = ( –2,–3 ) dan c = ( 1,3 )
Apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b ?
6
Aljabar Linear dan Matriks
3
Ruang Vektor
Contoh
Tunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2)
merupakan kombinasi linier
u1= (1,-2,0,3), u2 = (2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1)
Jawab:
Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3
maka dapat ditentukan x, y dan z sehingga:
v = xu1 + yu2 + zu3
(3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1)
(3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) +
(2 z,-1z,2z,1z)
7
(3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z)
Diperoleh persamaan:
⎧x + 2 y + 2z = 3
⎪− 2 x + 3 y − z = 9
⎪
⎨
⎪2 z = −4
⎪⎩ 3 x − y + z = − 2
8
Aljabar Linear dan Matriks
4
Ruang Vektor
Penyelesaian:
x =1, y = 3 dan z = -2
Jadi v = u1 + 3u2 – 2u3
Jika sistem persamaan di atas tidak
memiliki penyelesaian maka v tidak
dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari u1, u2, dan u3
9
Diketahui V ruang vektor
dan S = { s 1, s 2 ,…, s n }
s 1, s 2 ,…, s n ∈ V
S dikatakan membangun/merentang V
bila untuk setiap v ∈ V,
v merupakan kombinasi linier dari S ,yaitu :
v = k1 s1 + k2 s2+…+ knsn
k1,k2,…,kn adalah skalar
10
Aljabar Linear dan Matriks
5
Ruang Vektor
Contoh
Apakah u = ( 1,2,3 ) , v = ( 2,4,6 )
dan w = ( 3,4,7 ) membangun R3
11
Kebebasan Linier
Vektor – vektor di S dikatakan bebas linier
(linearly independent) jika persamaan
0 = k1 s 1 +k2 s 2+…+ kn sn
hanya memiliki penyelesaian
k1= k2 =…= kn = 0
jika ada penyelesaian lain untuk nilai
k1,k2,…,kn selain 0 maka dikatakan
vektor –vektor di S bergantung linier
(linearly dependent)
12
Aljabar Linear dan Matriks
6
Ruang Vektor
Contoh
Diketahui u = ( 1,2 ) , v = ( 2,2 ) , w = ( 1,3 )
a. Apakah u , v dan w membangun R2 ?
b. Apakah u , v dan w bebas linier ?
13
Basis dan Dimensi
Misalkan V ruang vektor dan S = { s 1, s 2 ,…, s n }.
S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat ,
yaitu :
1. S bebas linier
2. S membangun V
Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal
tetapi bisa lebih dari satu.
Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu
basis standar dan basis tidak standar
14
Aljabar Linear dan Matriks
7
Ruang Vektor
Contoh basis standar :
1. S = { e1, e2,…, en } , dengan e1, e2,…, en ∈ Rn
e1 = ( 1,0,…,0) ,e2 = ( 0,1,0,…,0 ),…,en = ( 0,0,…,1 )
merupakan basis standar dari Rn
2. S = { 1, x, x2…,xn } merupakan basis standar untuk Pn
( polinom orde n )
3. S =
{
1
0
0
0
,
0
0
1
0
,
0
1
0
0
,
0
0
0
1
}
merupakan basis standar untuk M22
15
Contoh
Misal v1=(1,2,1), v2=(2,9,0), dan v3=(3,3,4).
Tunjukkan bahwa himpunan S=(v1,v2,v3) adalah
basis untuk R3
Syarat:
1. S bebas linier
2. S membangun V
Sebarang vektor b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
b = k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3
Sistem memiliki pemecahan untuk semua pilihan b= (b1 ,b2 ,b3 )
k1 v 1 +k2 v 2+ k3 v3 = 0
Pembuktian bebas linier → pembuktian sistem homogen
S bebas linier dan membangun R3 → matriks koefisien dapat
dibalik, karena det A = ….
Aljabar Linear dan Matriks
16
8
Ruang Vektor
Basis ruang baris dan basis ruang kolom
Suatu matriks berukuran mxn dapat dipandang sebagai
susunan bilangan yang tersusun dari bilangan dalam kolom 1
sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m.
a11
a21
:
am1
Jika A =
a12
a22
:
am1
… a1n
... a2n
:
... amn
Maka A tersusun atas vektor –vektor baris r i
dengan r i = (ai1,ai2,…,ain ) atau bisa juga dikatakan
A tersusun atas vektor – vektor kolom c j = (c1j,c2j,…,cmj }
dengan i = 1,2,…,m dan j =1,2,…,n
Subruang Rn yang dibangun oleh vektor– vektor baris disebut
ruang baris dari A
Subruang Rm yang dibangun oleh vektor– vektor kolom disebut
ruang kolom dari A
17
Contoh
A=
2
3
1
1
0
-4
Vektor baris A adalah…
Vektor kolom A adalah…
18
Aljabar Linear dan Matriks
9
Ruang Vektor
Menentukan basis ruang kolom / baris
Basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan
OBE pada A, sedangkan basis ruang kolom A
didapatkan dengan melakukan OBE pada At
Banyaknya unsur basis ditentukan oleh banyaknya
satu utama pada matriks eselon baris tereduksi.
Dimensi ( ruang baris ) = dimensi ( ruang kolom ) =
rank matriks
19
Aljabar Linear dan Matriks
10