Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi Logika

Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi Logika
Eko Didik Widianto ([email protected])
Sistem Komputer - Universitas Diponegoro
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 1 / 39
Review Kuliah
• Sebelumnya konsep rangkaian logika telah dibahas, meliputi
◦ variabel, fungsi, ekspresi dan persamaan logika
◦ tabel kebenaran dari fungsi logika
◦ gerbang dan rangkaian logika
◦ analisis rangkaian logika
• Berikutnya adalah menggunakan konsep tersebut untuk mengimplementasikan
fungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (sintesis), baik menggunakan tabel
kebenaran maupun aljabar Boolean
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 2 / 39
Bahasan
Aljabar Boolean
Dalil Teorema Hukum
Pembuktian Aljabar
Diagram Venn
Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
Proses Sintesis
Sintesis dari Tabel
Minterm dan Bentuk SOP
Duality SOP - POS
Maxterm dan Bentuk POS
Konversi Bentuk
Menyederhanakan Rangkaian
Gerbang NAND dan NOR
Rangkaian NAND-NAND
Rangkaian NOR-NOR
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 3 / 39
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
Aljabar Boolean
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 4 / 39
Aljabar Boolean
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
• Skema untuk deskripsi aljabar dari proses
berpikir secara logika dan reasoning (tahun
1849)
• Kemudian digunakan untuk menjabarkan
rangkaian logika
◦ desain dan analisis rangkaian
◦ menyederhanakan suatu ekspresi logika
untuk implementasi fisik rangkaian yang
lebih sederhana
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
George Boole
(1815-1864)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 5 / 39
Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
• Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang diturunkan dari
asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat)
1a.
2a.
3a.
4a.
0·0=0
1·1=1
0·1=1·0=0
Jika x = 0, maka x = 1
1b.
2b.
3b.
4b.
1+1=1
0+0=0
1+0= 0+1=1
Jika x = 1, maka x = 0
• Dalil dituliskan berpasangan →untuk menunjukkan prinsip dualitas
◦ Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi
tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua + dengan ·
atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya
•
dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya
◦ Dual dari pernyataan benar adalah juga benar
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 6 / 39
Teorema 1 Variabel
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
• Aturan ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel tunggal
5a.
6a.
7a.
8a.
9.
x·0=0
x·1=x
x·x=x
x·x=0
x=x
5b.
6b.
7b.
8b.
x+1=1
x+0=x
x+x=x
x+x=1
• Pembuktian teorema dengan induksi
◦ Memasukkan nilai x = 0 dan x = 1 ke dalam ekspresi
• Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b) dan
sebaliknya
◦ f1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 dualnya adalah f2 (x1 , x2 ) = x1 · x2
Misalnya: f1 = 0 + 0 = 0, f2 = 1 · 1 = 1, sehingga f1 dan
f2 dual
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 7 / 39
Hukum-hukum Aljabar
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
10a. x · y = y · x
10b. x + y = y + x
→Komutatif
11a. x · (y · z) = (x · y) · z
11b. x + (y + z) = (x + y) + z
12a. x · (y + z) = x · y + x · z
12b. x + y · z = (x + y) · (x + z)
13a. x + x · y = x
13b. x · (x + y) = x
14a. x · y + x · y = x
14b. (x + y) · (x + y) = x
→Asosiatif
→Distributif
→Absorsi
→Penggabungan
15a. x · y = x + y
15b. x + y = x · y
→DeMorgan
16a. x + x · y = x + y
16b. x · (x + y) = x · y
17a.
17b. (x + y) · (y + z) · (x + z) =
x·y +y ·z +x·z = x·y +x·z
(x + y) · (x + z)
→Konsensus
• Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat dilakukan
secara induktif (dengan tabel kebenaran) maupun dengan
melakukan perhitungan aljabar
• Contoh: teorema DeMorgan secara induktif
• Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan aljabar
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 8 / 39
Pembuktian Aljabar
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
• Buktikan persamaan logika berikut benar
1.(x1 + x2 ) · (x1 + x2 ) = x1 · x2 + x1 · x2
2. x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 + x2
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 9 / 39
Pembuktian Aljabar
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
• Buktikan persamaan logika berikut benar
1.(x1 + x2 ) · (x1 + x2 ) = x1 · x2 + x1 · x2
2. x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 + x2
f
= x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3
= x1 · x2 + x1 · x2 + x1 · x2
= x1 + x2
◦ Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana, rangkaian
logika lebih sederhana
◦ Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsi
logika di perangkat CAD
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 9 / 39
Diagram Venn
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
• Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi logika secara visual
• Suatu set s merupakan koleksi elemen yang merupakan anggota
dari s
◦ dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau konstan
• Elemen (variabel/konstan) dinyatakan sebagai area dengan kontur
seperti kotak, lingkaran atau elips
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 10 / 39
Diagram Venn
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 11 / 39
DeMorgan: x · y = x + y
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
• Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua ekspresi sama
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 12 / 39
Notasi Operator Fungsi Logika
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
• Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara logika dan
aritmetika
◦ Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum)
◦ Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product)
Operasi
OR
AND
Notasi Operator
W
+, , |
V
·, , &
Keterangan
Bitwise OR
Bitwise AND
• Ekpresi ABC+A’BD+A’CE
◦ Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP,
sum-of-product terms)
• Ekspresi (A+B+C)(A’+B+D)(A’+C+E)
◦ Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan (POS,
product-of-sum terms)
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 13 / 39
(Konvensi) Urutan Operasi
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
• Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsi
logika dilakukan dengan urutan:
1. NOT
2. AND
3. OR
• Misalnya ekspresi x + x · y
◦ variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-AND-kan
dengan variabel y
◦ term pertama dan kedua kemudian di-OR-kan
• Latihan
◦ Gambar rangkaian untuk persamaan logika
f = (x1 + x2 ) · x3 dan f = x1 + x2 · x3
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 14 / 39
Hasil yang Diharapkan Dari Kuliah
Aljabar Boolean
• Dalil Teorema Hukum
• Pembuktian Aljabar
• Diagram Venn
• Notasi dan Urutan Operasi
Sintesis Ekspresi Logika
Mahasiswa mampu:
1. mengerti tentang dalil, teorema dan hukum aljabar
2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif,
manipulasi aljabar dan diagram Venn
3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan dalil,
teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar)
4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR) dan
urutan operasi logika
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 15 / 39
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
Sintesis Ekspresi Logika
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 16 / 39
Proses Sintesis
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya
dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika?
◦ Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau
rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
• Misalnya
◦ Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1 dan x2
◦ Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika
switch (x1 ,x2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan
keluaran 0 jika switch (1,0)
◦ Pernyataan lain: jika switch x1 tersambung dan x2 terputus maka
keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 17 / 39
Proses Sintesis
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya
dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika?
◦ Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau
rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
• Misalnya
◦ Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1 dan x2
◦ Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika
switch (x1 ,x2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan
keluaran 0 jika switch (1,0)
◦ Pernyataan lain: jika switch x1 tersambung dan x2 terputus maka
keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1
• Langkah desain: membuat tabel kebenaran untuk menuliskan term
perkalian yang menghasilkan keluaran 1
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 17 / 39
Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP)
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
• Realisasi f adalah f = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 18 / 39
Latihan Sintesis
• Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z
◦ Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y
atau z bernilai 1
1. Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya
2. Sederhanakan rangkaian tersebut
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 19 / 39
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
• Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1 , x2 . . . xn )
◦ Sebuah minterm dari f adalah satu term perkalian dari n
variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak
diinverskan maupun diinverskan
◦ Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm
dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 1 atau xi
jika xi = 0
◦ Notasi mj merupakan minterm dari baris nomor j di tabel
kebenaran. Contoh:
•
•
Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
minterm: m0 = x1 x2 x3
Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1
minterm: m1 = x1 x2 x3
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 20 / 39
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Tiap baris dari tabel
minterm mi
f
0
0
0
x1 x2 x3
0
1
0
0
1
x1 x2 x3
1
2
0
1
0
x1 x2 x3
0
3
0
1
1
x1 x2 x3
0
dengan ekspresi
4
1
0
0
x1 x2 x3
1
penjumlahan dari semua
5
1
0
1
x1 x2 x3
1
minterm di mana tiap minterm
6
1
1
0
x1 x2 x3
1
di-AND-kan dengan nilai f
7
1
1
1
x1 x2 x3
0
• Fungsi f dapat dinyatakan
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
x1 x2 x3
0
kebenaran membentuk satu
buah minterm
Rangkaian
Baris i
yang bersesuaian
• Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik SOP:
f
=
m0 · 0 + m1 · 1 + m2 · 0 + m3 · 0 + m4 · 1 + m5 · 1 + m6 · 1 + m7 · 0
=
m1 + m4 + m5 + m6
=
x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 21 / 39
Notasi SOP
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m
f
=
m1 + m4 + m5 + m6
=
x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
| {z } | {z } | {z } | {z }
1
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
• Notasi Persamaan SOP: f =
4
P
5
6
m(1, 4, 5, 6)
• Implementasi:
◦ Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik
◦ Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yang
paling sederhana
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 22 / 39
Prinsip Duality
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran, maka
ekspresi untuk f dapat diperoleh (disintesis) dengan cara:
1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau
2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
• Pendekatan (1) menggunakan minterm
• Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm, disebut
maxterm
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 23 / 39
Penjelasan Dualitas SOP-POS
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka fungsi
inversnya f , dapat dinyatakan dengan penjumlahan minterm
dengan f = 1, yaitu di baris di mana f = 0
f
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
=
m0 + m2 + m3 + m7
=
x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
• Fungsi f dapat dinyatakan
f
=
m0 + m2 + m3 + m7
=
=
x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
x1 x2 x3 · x1 x2 x3 · x1 x2 x3 · (x1 x2 x3 )
=
(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )
• Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai bentuk
perkalian semua term perjumlahan, maxterm
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 24 / 39
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1 , x2 . . . xn )
• Sebuah maxterm dari f adalah satu term penjumlahan dari n
variabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk tidak diinverskan
maupun diinverskan
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
◦ Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm
dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 0 atau xi
jika xi = 1
◦ Notasi Mj (dengan huruf M besar) merupakan maxterm dari
baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh:
Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
maxterm: M0 = x1 + x2 + x3
• Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1
maxterm: M1 = x1 + x2 + x3
•
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 25 / 39
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Tiap baris dari tabel
maxterm Mi
f
0
0
0
x1 + x2 + x3
0
1
0
0
1
x1 + x2 + x3
1
2
0
1
0
x1 + x2 + x3
0
3
0
1
1
x1 + x2 + x3
0
dengan ekspresi perkalian
4
1
0
0
x1 + x2 + x3
1
dari semua maxterm di mana
5
1
0
1
x1 + x2 + x3
1
tiap maxterm di-OR-kan
6
1
1
0
x1 + x2 + x3
1
dengan nilai f yang
7
1
1
1
x1 + x2 + x3
0
• Fungsi f dapat dinyatakan
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
x1 x2 x3
0
kebenaran membentuk satu
buah maxterm
Rangkaian
Baris i
bersesuaian
• Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik POS:
f
=
(M0 + 0) (M1 + 1) (M2 + 0) (M3 + 0) (M4 + 1) (M5 + 1) (M6 + 1) (M7 + 0)
=
M0 · M2 · M3 · M7
=
(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 26 / 39
Notasi POS
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
• Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M
f
=
M0 · M2 · M3 · M7
=
(x1 + x2 + x3 ) · (x1 + x2 + x3 ) · (x1 + x2 + x3 ) · (x1 + x2 + x3 )
|
{z
} |
{z
} |
{z
} |
{z
}
0
2
• Notasi Persamaan SOP: f =
3
Q
7
M (0, 2, 3, 7)
• Persamaan berikut benar untuk fungsi f (x1 , x2 , x3 )di atas:
X
m(1, 4, 5, 6)
=
Y
x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
=
(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )
M (0, 2, 3, 7)
(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 27 / 39
Konversi Bentuk POS-SOP
P
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
Q
• Jika suatu fungsi f diberikan dalam bentuk
m atau M
P, maka
dengan mudah dapat dicari fungsi f atau f dalam bentuk
m atau
Q
M
Bentuk
Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan
f =
Asal
f =
P
m
P
m
-
f =
Q
M
Nomor yg tdk
ada dlm
daftar
(1,4,5,6)
(0,2,3,7)
f =
Q
M
Nomor yg tdk
ada dlm
daftar
(0,2,3,7)
(1,4,5,6)
-
f =
P
m
f =
Q
M
Nomor yang
tdk ada dlm
daftar
Nomor yang
ada dlm
daftar
(0,2,3,7)
(1,4,5,6)
Nomor yang
ada dlm
daftar
Nomor yg tdk
ada dlm
daftar
(0,2,3,7)
(1,4,5,6)
• Bagaimana bentuk kanonik POS dan SOP untuk fungsi 4 variabel?
◦ Walaupun bisa menjadi masalah untuk implementasi di FPGA
yang hanya mempunyai LUT 2-masukan
•
Dilakukan dengan sintesis multilevel
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 28 / 39
Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
•
Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi yang ekivalen
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
◦
Misalnya: f1 = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 dan f2 = x1 + x2 adalah ekivalen
secara fungsional
◦
Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian ekivalen untuk
memenuhi constraint nonfungsional (area, cost)
◦
Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukan
merupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya constraint delay
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
Fungsi: f = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2
•
Replikasi term 2: f = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 + x1 x2
•
Distributif (12b): f = x1 (x2 + x2 ) + (x1 + x1 ) x2
•
Teorema (8b): f = x1 · 1 + 1 · x2
•
Teorema (6a): f = x1 + x2
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 29 / 39
Tips Penyederhanaan SOP dan POS
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
•
Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi
◦
◦
•
SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x)
POS: menggunakan hukum 14b ((x + y) · (x + y) = x)
Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 14a atau
14b jika berbeda hanya di satu variabel saja
◦
f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
m1 dan m5 berbeda di x1 , dan m4 dan m6 berbeda di x2
f
◦
=
x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
=
(x1 + x1 ) x2 x3 + x1 (x2 + x2 )x3
=
x2 x3 + x1 x3
f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )
M0 dan M2 berbeda di x2 , dan M4 dan M7 berbeda di x1
f
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
=
((x1 + x3 ) + x2 x2 ) (x1 x1 + (x2 + x3 ))
=
(x1 + x3 ) (x2 + x3 )
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 30 / 39
Latihan Sintesis
1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z
• Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y
atau z bernilai 1
(a) Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya
(b) Cari invers fungsi tersebut
(c) Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya
2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS dari
• fungsi f = (x1 + x2 ) · x3
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 31 / 39
Rangkaian Logika dengan NAND dan NOR
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
•
Fungsi NAND adalah inversi fungsi
AND
•
Fungsi NOR adalah inversi fungsi OR
f (x1 , x2 ) = f 1 (x1 , x2 ) = x1 + x2
f (x1 , x2 ) = f 1 (x1 , x2 ) = x1 · x2
•
•
Gerbang NAND merupakan gerbang
Gerbang NOR merupakan gerbang
OR yang diikuti gerbang NOT
AND yang diikuti gerbang NOT
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 32 / 39
Rangkaian NAND Lebih Sederhana dari AND
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Di CMOS, implementasi rangkaian dari gerbang NAND dan NOR
lebih sederhana (dan cepat) daripada AND dan OR
◦ Sehingga rangkaian lebih kecil dan lebih cepat untuk
mewujudkan fungsi logika yang sama
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
CMOS NAND (4 transistor)
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
CMOS AND (6 transistor)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 33 / 39
Rangkaian NOR Lebih Sederhana dari OR
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
CMOS NOR (4 transistor)
CMOS OR (6 transistor)
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 34 / 39
Recall: Teorema DeMorgan
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 35 / 39
Rangkaian AND-OR dan NAND-NAND
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Rangkaian AND-OR (bentuk SOP) dapat dikonversi menjadi
rangkaian NAND-NAND
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
•
Bentuk ekspresinya: inverskan minterm, ganti (+) dengan (.), inverskan ekspresi
◦
Contoh: f =
f
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
P
m(1, 4, 5, 6)
=
x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
=
x1 x2 x3 · x1 x2 x3 · x1 x2 x3 · x1 x2 x3
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 36 / 39
Rangkaian OR-AND dan NOR-NOR
Aljabar Boolean
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
• Rangkaian OR-AND (bentuk POS) dapat dikonversi menjadi
rangkaian NOR-NOR
Rangkaian
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
•
Bentuk ekspresinya: inverskan maxterm, ganti (.) dengan (+), inverskan ekspresi
•
Contoh: f =
f
=
=
Q
M (0, 2, 3, 7)
(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )
x1 + x2 + x3 + x1 + x2 + x3 + x1 + x2 + x3 + x1 + x2 + x3
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 37 / 39
Latihan
1. Sederhanakan fungsi f =
dan NOR-NOR-nya
P
m (0, 2, 4, 5) dan buat rangkaian NAND-NAND
2. Dalam rangkaian multiplexer, terdapat 2 sinyal data masukan x1 dan x2.
Keluaran dikontrol oleh sinyal s. Asumsi keluaran akan sama dengan nilai x1
jika s=0 dan sama dengan x2 jika s=1. Desain rangkaian logika sederhananya.
Gambarkan juga rangkaian NAND-NANDnya.
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 38 / 39
Hasil yang Diharapkan dari Kuliah
Aljabar Boolean
Mahasiswa mampu:
Sintesis Ekspresi Logika
• Proses Sintesis
• Sintesis dari Tabel
• Minterm dan Bentuk SOP
• Duality SOP - POS
• Maxterm dan Bentuk POS
• Konversi Bentuk
• Menyederhanakan
1. melakukan sintesis ekspresi logika dari suatu tabel kebenaran fungsi logika
Rangkaian
3. menuliskan maxterm dan bentuk kanonik POS suatu fungsi
• Gerbang NAND dan NOR
• Rangkaian NAND-NAND
• Rangkaian NOR-NOR
dan ekspresi logika
2. menuliskan minterm dan bentuk kanonik SOP suatu fungsi
4. mengkonversi bentuk SOP - POS untuk menyatakan fungsi yang sama
5. menyederhanakan ekspresi logika menggunakan prinsip aljabar
6. mengimplementasikan fungsi logika dengan gerbang NOR dan NAND
@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)
TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 39 / 39