geometri netral

GEOMETRI NETRAL
1. Pendahuluan
Euclides dari Aleksandria hidup kira-kira 300 tahun sebelum Masehi.
Euclides mengeluarkan lima buah aksioma, yaitu aksioma insidensi dan
ekstensi,
aksioma
urutan/keantaraan,
aksioma
kongruensi,
aksioma
kesejajaran, dan aksioma kekontinuan dan kelengkapan. Kelima buah
aksioma ini membangun geometri Euclides. Geometri ini dipelajari di SD,
SMP, dan SMA. Geometri ini bertahan selama 2000 tahun tidak terbantahkan,
tetapi sejak abad ke 19 para matematikawan mulai menemukan kelemahan
geometri Euclides.
Kelemahan geometri Euclides yaitu:
1. Euclides berusaha mendefinisikan semuanya dalam geometri, sampai titik,
garis, dan bidang.
2. Aksioma ke empat dari Euclides yang terkenal dengan nama Aksioma
Kesejajaran, terlalu panjang sehingga merisaukan matematikawan.
3. Terdapat dalil dalam geometri Euclides yang berbunyi: ”Pada suatu ruas
garis dapat dilukis suatu segitiga sama sisi”. Sementara untuk
mendapatkan dalil ini masih perlu menggunakan pertolongan prinsip
kekontinuan.
Selain itu, Euclides mendasarkan gambar pada pembuktiannya, padahal
gambar mungkin dapat menyesatkan.
Sudah banyak para matematikawan yang berusaha membuktikan
aksioma kesejajaran Euclides, tetapi tidak berhasil, masih ada saja
kekurangannya. Bermula dari usaha ini, lahirlah teori geometri baru yang
dinamakan geometri non-Euclides.
Aksioma kesejajaran Euclides berbunyi ”Jika dua garis dipotong oleh
sebuah garis transversal sedemikian hingga membuat jumlah sudut dalam
sepihak kurang dari 180, maka kedua garis itu berpotongan pada pihak yang
jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 180. Aksioma ini diubah oleh
Playfair dalam kalimat yang berbeda tetapi bermakna sama yaitu: ”Hanya
ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui yang melalui sebuah
titik di luar garis yang tidak diketahui.”
Dari kelima aksioma Euclides, jika aksioma kesejajaran dihilangkan
maka geometri ini dinamakan geometri netral. Geometri netral ini
menggunakan teorema-teorema Saccheri tanpa aksioma kesejajaran (Saccheri
menganut postulat kesejajaran Euclides).
2. Sistem Aksioma Euclides tanpa Aksioma Kesejajaran.
Sistem Aksioma I.
1. Sepasang garis berinsiden dengan tepat satu titik yang sama.
2. Setiap titik berinsiden dengan tepat dua garis.
3. Banyaknya garis ada empat.
Teorema 1. Banyaknya titik ada enam.
1
Teorema 2. Dengan setiap garis berinsiden dengan tepat tiga titik.
Aksioma I. Aksioma Insidensi & Ekstensi
1.1. Ada garis
1.2. Pada setiap garis berinsiden minimal dua titik
1.3. Tidak semua titik segaris
1.4. Dua titik menentukan tepat satu garis yang berinsiden dengan dua titik
tersebut.
Definisi. 1. Titik A & B berimpit jika dan hanya jika A = B.
Definisi. 2. Garis g dan h berimpit jika dan hanya jika g = h.
Teorema 1.1. Berinsiden dengan suatu titik terdapat minimal dua garis.
Definisi. 3. Dua garis dikatakan berpotongan jika dua garis tersebut
bersekutu dengan satu titik.
Definisi. 4. Beberapa titik dikatakan segaris jika titik-titik tersebut terletak
pada suatu garis.
2
Definisi. 5. Beberapa garis disebut setitik (konkuren)
Teorema 1.2. Tidak semua garis setitik.
Aksioma II. Aksioma Urutan/ Keantaraan.
2.1. A, B, C, maka A, B, C berbeda dan segaris
2.2. A-B-C maka C-B-A
2.3. Untuk sebarang A, C, terdapat B  A-B-C dan D  A-C-D
2.4. Jika A, B, C segaris maka salah satu diantara dua yang lain.
2.5. Empat titik segaris, sebut A, B, C, D maka ada A-B-C, A-B-D, A-C-D, BC-D.
Teorema 2.1. Titik O pada g, maka O memisahkan titik g diluar O menjadi
dua bagian saling asing.
Sistem Aksioma II.
1. Berinsiden dengan dua titik terdapat tepat satu garis.
2. Sembarang dua garis selalu ada titik sekutunya/ bersekutu dengan satu
titik.
3. Terdapat paling sedikit satu garis.
4. Setiap garis memuat tepat tiga titik.
5. Tidak semua titik berinsiden dengan satu garis yang sama.
Teorema 1. Terdapat tepat tujuh titik.
3
Teorema 2. Berinsiden dengan setiap titik terdapat tepat tiga garis.
Teorema 3. Untuk sebarang dua garis terdapat maksimum satu titik
insidensi.
Aksioma III.
3.1. Diketahui ruas garis AB , garis g, P pada g, maka pada setiap sinar garis
pada g yang tertentu oleh P terdapat tepat satu titik Q sedemikian
sehingga PQ kongruen dengan AB.
3.2. AB  BA ( AB  BA )
(refleksif)
3.3. AB  A' B ' ( A' B '  BA )
(simetri)
3.4. AB  A' B ' dan A' B '  A'' B '' maka AB  A'' B ''
3.5. AB dan BC pada g dengan B satu-satunya titik sekutu.
A’B’ dan B’C’ pada g’ dengan B’ satu-satunya titik sekutu.
Jika AB  A' B ' dan BC  B ' C ' maka AC  A' C '
3.6. APB = (l,k)
3.7. (h,k)  (h,k)
3.8. (h,k)  (h’,k’) maka (h’,k’)  (h,k)
3.9. (h,k)  (h’,k’) dan (h’,k’)  (h’’,k’’) maka (h,k)  (h’’,k’’)
3.10. (k,l) dan (l,m) maka titik sudut bersekutu , daerah dalam saling
asing.
(k’,l’) dan (l’,m’) maka titik sudut bersekutu , daerah dalam saling
asing.
(k’,l’)  (k,l) dan (l’,m’)  (l,m) maka (k’,m’)  (k,m)
Definisi Segitiga
Gabungan tiga ruas garis yang tertentu oleh tiga titik tak segaris.
3.11. ABC dan A’B’C’ maka AB  A' B ' dan BC  B ' C ' dan B=B’ maka
C=C’
Aksioma V. Kekontinuan dan Kelengkapan.
4
5.1. Diketahui A, B pada g. Dibuat A1, A2, A3, … An dengan A1 A2  A2 A3  ....
Jika A-A1- A2-B dan A-A1- A2- A3 dan A-A2- A3 maka terdapat n
sedemikian hingga A-B- An
5.2. Tidak mungkin menambah suatu titik, garis, atau unsur lain tanpa
mengganggu sistem yang lain.
Dapat disimpulkan bahwa geometri netral adalah suatu geometri yang
dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidensi, sistem aksiomaaksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga)
dan sistem aksioma-aksioma Archiemedes.
Geometri Netral termuat dalam Geometri Terurut (Ordered Geometry),
sehingga pengertian pangkal Geometri Terurut juga menjadi pengertian
pangkal Geometri Netral. Selain itu diperkenalkan pengertian pangkal ke tiga
yaitu kongruensi. Yaitu suatu relasi untuk pasangan titik, segmen, dan
interval. Jika segmen AB kongruen dengan segmen CD, maka untuk
menyatakan ini digunakan notasi AB  CD. Pengertian ini tidak
didefinisikan.
Pada geometri netral mengenal konsep kesejajaran dua garis, tetapi
tidak disebutkan banyaknya garis yang melalui sebuah titik T diluar sebuah
garis lain yang dapat sejajar dengan garis ini. Jika banyaknya garis itu hanya
satu, maka geometri netral ini dinamakan geometri Euclide. Jika ada lebih
dari satu garis, maka geometri netral ini disebut geometri Lobachevsky.
Geometri Lobachevsky merupakan salah satu geometri non Euclide.
Sudah disinggung di atas bahwa geometri netral mengenal konsep
kesejajaran, tetapi ada satu hal yang fundamental, yaitu bahwa melalui
sebuah titik di luar garis yang diketahui tidak perlu ada tepat satu garis
sejajar dengan garis yang diketahui; yang jelas dalam geometri netral ini ada
garis yang // garis yang diketahui melalui titik yang diketahui tadi.
5
Hal lain yang mendasar dalam geometri netral ini yaitu kemungkinan
adanya persegi panjang atau kemungkinan tidak adanya persegi panjang.
Jika pada geometri netral mengandung persegi panjang, maka jumlah besar
sudut-sudut dalam setiap segitiga adalah 180°. Perlu diketahui juga bahwa
pada geometri netral ada segi empat yang penting, yaitu yang dinamakan
segi empat Saccheri. Sedangkan pada geometri Euclides, tidak ada perbedaan
antara segiempat Saccheri dengan persegi panjang.
3. Jumlah Sudut Pada Segitiga
Lemma. Jika diberikan ∆ABC dan A, maka ada A1B1C1 sedemikian
hingga A1B1C1 mempunyai jumlah sudut yang sama dengan
∆ABC dan A1 
1
A .
2
Lemma ini menyatakan bahwa "kita dapat mengganti sebuah
segitiga baru dengan merampingkan segitiga awal tanpa mengubah jumlah
sudut-sudutnya". Sepintas, lemma ini tak ada artinva, padahal tidak, sebab
dalam geometri netral kita tidak dapat mengasumsikan bahwa jumlah sudut
dalam segitiga selalu konstan (yangmana hal ini merupakan teorema
Euclides yang buktinya bergantung pada postulat kesejajaran). Lemma ini
menjadi penting sebab lemma ini menunjukkan bahwa jika diberikan suatu
segitiga tertentu, kita dapat membuat segitiga yang nonkongruen, tetapi
mempunyai jumlah sudut yang sama. Dengan demikian ada tak berhingga
segitiga yang tidak kongruen, tetapi semuanya mempunyai jumlah sudut yang sama
dengan segitiga yang diberikan.
Teorema 1. (Saccheri-Legendre). Jumlah sudut sebarang segitiga kurang
atau sama dengan 180°.
Teorema Akibat (Corollary). Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau
sama dengan 360°.
Teorema akibat ini sejalan dengan kesimpulan Saccheri bahwa
hipotesis sudut tumpul adalah salah. Demikian juga teorema ini menyangkal
6
bahwa jumlah sudut suatu segitiga dapat melebihi 180°, tetapi kemungkinan
bahwa jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 180°. Teoerma ini
bersesuaian dengan hipotesis Saccheri tentang sudut lancip.
4. Apakah ada persegi panjang pada geometri netral?
Apakah persegipanjang dapat muncul dalam geometri netral, dan
dengan dasar apa sehingga persegipanjang itu ada, jika memang ada?
Adanya persegipanjang dalam geometri merupakan hal penting. Bayangkan,
bagaimana bentuk geometri Euclides jika kita tidak punya atau tidak dapat
menggunakan persegipanjang. Sangat sulit, jika akan membuat suatu
persegipanjang tanpa mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran
Euclides, atau salah sate dari teorema akibatnya, misalnya jumlah sudut
segitiga adalah 180'. Akibatnya, seluruh teorema kita dalam pembahasan ini
dapat dianggap bahwa persegipanjang itu ada. Untuk menghindari
kesalahpahaman, secara formal kita definisikan dahulu istilah persegipanjang
sebagai berikut.
Definisi. Suatu segiempat disebut persegipanjang jika semua sudutnya
adalah sudut siku-siku.
Ingat, karena kita mempelajari geometri netral, tidak otomatis kita dapat
menggunakan proposisi Euclides, seperti:
a) sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang adalah sejajar, atau
b) sisi-sisi tersebut sama panjang, atau
c) diagonal persegipanjang membagi persegipanjang menjadi dua
segitiga yang kongruen.
Jika
kita
ingin
menyatakan
sebarang
akibat,
kita
harus
membuktikannya dengan berdasarkan definisi persegipanjang di atas tanpa
menggunakan postulat kesejajaran, sebagai contoh, sebuah akibat teorema
yang menyatakan bahwa dua garis yang tegaklurus pada garis yang sama
7
adalah sejajar.
Teorema 2. Jika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada juga sebuah
persegipanjang dengan salah satu sisinya lebih panjang
daripada ruas garis tertentu.
Teorema Akibat.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada sebuah
persegipanjang yang dua sisinya yang berdekatan panjangnya
masing-masing lebih panjang dari dua segmen tertentu.
Teorema 3. Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada persegipanjang
dengan panjang dua sisi yang berdekatan masing-maing sama
dengan XY dan ZW.
Teorema 4. Jika sebuah persegipanjang maka setiap segitiga siku-siku
mempunyai jumlah sudut 180°.
Teorema 5. Jika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga memiliki
jumlah sudut 180
Teorema-teorema ini terlihat agak aneh. Adanya satu persegipanjang
kecil dengan sisi-sisi sangat kecil yang menempati bagian daerah terpencil
yang menjamin setiap segitiga yang mungkin (yang dapat dipikirkan)
mempunyai jumah sudut 180°. Keadaan ini merupakan ciri khusus geometri
Euclides, kita hendak mengatakan bahwa jika dalam geometri netral terdapat
suatu persegipanjang, maka geometri itu menjadi geometri Euclides.
Pernyataan ini benar, tetapi masih belum sepenuhnya benar. Karena untuk
menggolongkan suatu geometri sebagai geometri Euclides, kita harus
menunjukkan bahwa geometri tersebut memenuhi postulat kesejajaran
Euclides.
5. Jumlah sudut suatu segitiga
Adanya
persegipanjang
dapat
digunakan
untuk
mempertajam
teorema I (teorema Saccheri – Legendre tentang jumlah sudut segitiga). Hal
8
ini mudah sekali dilakukan, seperti pada Teorema 5, adanya segitiga dengan
jumlah sudut 180° adalah ekivalen dengan adanya persegipanjang.
Teorema 6. Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180°, maka akan
ada sebuah persegipanjang.
Akibat 1 Teorema 6. Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 180°,
maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180°.
Akibat 2 Teorema 6. Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurang
dari 180°, maka setiap segitiga mempunyai jumlah
sudut kurang dari 180°.
Dengan membandingkan teorema akibat 1 dan 2 dari teorema 6, kita
amati suatu fakta penting yang tidak termuat dalam teorema Saccheri–
Legendre. Geometri netral adalah "homogen", dalam arti bahwa semua
segitiga mempunyai jumlah sudut 180', atau semua segitiga mempunyai
jumlah sudutya kurang dari 180°. Jenis geometri netral yang pertama
tersebut, sebagaimana yang anda duga, adalah merupakan geometri
Euclides, sedangkan yang kedua secara historis muncul sebagai geometri
non-Euclides. Keduanya akan muncul sebagai geometri non-Euclides.
6. Proposisi-proposisi geometri netral bidang
a) Dua garis yang tidak berimpit mempunyai paling banyak satu titik
potong.
b) Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik tengah.
c) Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi.
d) Komplemen dari sudut-sudut yang sama adalah sama.
e) Sudut yang bertolak belakang besarnya sama.
f) Kongruensi dua segitiga adalah SS–SD–SS, SD–SS–SD, dan SS–SS– SS.
g) Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, sudut-sudut di hadapannya
sama.
9
h) Jika dua sudut suatu segitiga sama, dua sisi di hadapannya sama.
i) Hanya ada satu garis yang tegaklurus garis tertentu melalui satu titik
pada garis tertentu tersebut.
j) Hanya ada satu garis yang tegaklurus garis tertentu melalui satu titik di
luar garis tertentu tersebut.
k) Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan hanya jika TA TB.
l) Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama, maka sudut-sudut di hadapannya
juga tidak sama, dan sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang
lebih panjang.
m) Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama, maka sisi-sisi di hadapannya
juga tidak sama, dan sisi-sisi yang lebih panjang berhadapan dengan
sudut yang lebih besar.
n) Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah titik dan sebuah
garis adalah segmen yang tegaklurus.
o) Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang ketiga.
p) Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan
dua sisi dengan dua sisi yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama
lebih besar dari sudtit apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari segitiga
pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua.
q) Jika dua sisi segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi
segitiga yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang
dari sisi ketiga dari segitiga kedua, maka sudut apit dari segitiga pertama
lebih besar dari sudut apit dari segitiga kedua.
r) Besar sudut luar suatu segitiga adalah lebih besar dari salah satu sudut
dalamnya yang tidak bersisian dari salah satu sudut dalamnya yang
tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.
s) Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang dari 180°.
t) Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sepasang sudut
dalam berseberangan yang sama dua garis tersebut sejajar.
10
u) Dua garis yang tegaklurus pada garis yang sama adalah sejajar.
v) Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar dengan suatu garis
tertentu yang melalui titik di luar garis tertentu tersebut.
w) Misalkan garis l melalui titik C yang jaraknya ke pusat lingkaran
kurang dari panjang jaari-jarinya. Maka garis memotong lingkaran di
dua titik.
x) Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran j ika dan hanya jika
garis tersebut tegaklurus pada ujung jari-jari lingkaran.
y) Jika diketahui ∆ ABC dan segmen garis PQ sedemikian hingga PQ = AB,
maka ada titik R di luar PQ sedemikian hingga ∆ PQR  ∆ ABC.
z) Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui sebarang segitiga.
11
DAFTAR PUSTAKA
David C. Royster., Neutral and Non-Euclidian Geometries. UNC Charlotte.
http://www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/hyprgeom/hypr
geom.html didownload tanggal 11 Juni 2009 pukul 21:00.
George Edward Martin. The foundations of geometry and the non-Euclidean plane.
http://books.google.co.id/books?id=zHSKnli060C&pg=PA319&lpg=PA319&dq=bolyai+lobachevsky&source=bl&ots=
A9L6614Qcr&sig=BAv3_qPAvBdEtTh84TimE_yNNXI&hl=id&ei=ACAxSqf
KCtSMkAX6-Ly7Bw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5
didownload tanggal 11 Juni 2009 pukul 21:00.
Hvidsten, Michael. 2005. Geometry With Geometry Explorer. New York: McGrawHill Education.
Hw, Moeharti. 1986. Modul Universitas Terbuka Sistem-sistem Geometri : Pengenalan
Geometri Absolut. Penerbit Karunika Jakarta
Neutral Geometry Theorems
12
http://www.class.uidaho.edu/cpiez/Math%20513/Neutral%20Geometry
%20Theorems%20handout.pdf didownload tanggal 11 Juni 2009 pukul
21:00.
Saccheri-Legendre Theorem
http://www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/hyprgeom/node
38.html didownload tanggal 11 Juni 2009 pukul 21:00.
13