analisis fungsi gelombang dan spektrum energi potensial

perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN SPEKTRUM ENERGI
POTENSIAL GENDENSHTEIN DAN ROSEN MORSE II
MENGGUNAKAN FUNGSI HYPERGEOMETRY
BERBASIS KOMPUTER DENGAN BAHASA
PEMROGRAMAN DELPHI 7.0
TESIS
Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
untuk Mencapai Derajat Magister
Program Studi Ilmu Fisika
Oleh
NURHAYATI
S 911102004
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
commit to user
2012
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN SPEKTRUM ENERGI
POTENSIAL GENDENSHTEIN DAN ROSEN MORSE II
MENGGUNAKAN FUNGSI HYPERGEOMETRY
BERBASIS KOMPUTER DENGAN BAHASA
PEMROGRAMAN DELPHI 7.0
TESIS
Oleh
NURHAYATI
S 911102004
Komisi
Pembimbing
Nama
TandaTangan
Pembimbing I
Dra. Suparmi, MA. Ph.D
NIP. 19520915 197603 2003
...........................
Pembimbing II Viska Inda Variani, M.Si
NIP. 19720617 199702 2001
............................
Telah dinyatakan memenuhi syarat
Pada tanggal..............................................2012
Mengetahui
Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Program Pasca Sarjana UNS
Drs. Cari,
M.A.
commit
toM.Sc,
user Ph.D
NIP. 19610306 198503 1002
ii
Tanggal
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN SPEKTRUM ENERGI
POTENSIAL GENDENSHTEIN DAN ROSEN MORSE II
MENGGUNAKAN FUNGSI HYPERGEOMETRY
BERBASIS KOMPUTER DENGAN BAHASA
PEMROGRAMAN DELPHI 7.0
TESIS
Oleh
NURHAYATI
S 911102004
Tim Penguji
Jabatan
Nama
TandaTangan
Ketua
Drs. Cari, M.A. M.Sc, Ph.D
NIP. 19610306 198503 1002
...........................
Sekretaris
Drs. Harjana, M.Si. M.Sc. Ph.D 95
NIP. 19590725 198601 1001
...........................
Anggota Penguji
Dra. Suparmi, MA. Ph.D
1.
NIP. 19520915 197603 2003
2.
Viska Inda Variani, M.Si
NIP. 19720617 199702 2001
Tanggal
...........................
...........................
Telah dipertahankan didepan penguji
Dinyatakan telah memenuhi syarat
Pada tanggal.................................2012
Direktur Program Pascasarjana
Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Drs. Cari, M.A. M.Sc, Ph.D
Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S. commit to user
NIP.
19610306 198503 1002
NIP. 19610717 198601 1 001
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERNYATAAN ORISINILITAS DAN PUBLIKASI TESIS
Saya menyatakan dengan benar-benar bahwa
1. Tesis yang berjudul “Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi
Potensial Gendenshtein dan Rosen Morse II Menggunakan Fungsi
Hypergeometry Berbasis Komputer Dengan Bahasa Pemrograman
Delphi 7.0“ iniadalahkaryapenelitiansayasendiridantidakterdapatkaryailmiah
yang
pernahdiajukanoleh
orang
lain
untukmemperolehgelarakademiksertatidakterdapatkaryaataupendapat
pernahditulisatauditerbitkanoleh
orang
yang
lain
kecualisecaratertulisdikutipdalamnaskahinidandisebutkandalamsumberkutipan
sertadaftarpustaka.
Apabilaternyata
di
dalamnaskahTesisinidapatdibuktikanterdapatunsur-unsurjiplakan,
makasayabersediaTesisbesertagelar
MAGISTER
sayadibatalkansertadiperosessesuaidenganperaturanperundang-undangan yang
berlaku (UU No. 20 Tahun 2003, pasal 25 ayat 2 danpasal 70).
2. Publikasi sebagian atau keseluruhan isi Tesis pada jurnal atau forum ilmiah
lain harus seijin dan menyatakan tim pembimbing sebagai author dan PPs
UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu
semester (6 bulan sejak pengesahan Tesis) saya tidak melakukan publikasi
dari sebagian atau keseluruhan Tesis ini, maka Prodi Ilmu Fisika PPs UNS
berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi
Ilmu Fisika PPs UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran ketentuan dari
publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku.
Surakarta, 30 April2012
Nurhayati
commit to user
iv
S911102004
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga tesisyang berjudul “Analisis
Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Gendenshtein dan Rosen
MorseII Menggunakan Fungsi Hypergeometry Berbasis Komputer Dengan
Bahasa Pemrograman Delphi 7.0” dapat diselesaikan.
Penulis banyak mendapat bantuan, bimbingan, dan dorongan dari berbagai
pihak, dalam menyelesaikan tesis ini. Oleh karena itu, pada kesempatan ini
penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
penyusunan tesis, terutama kepada :
1. Prof.
Dr.
Ir.
Ahmad
Yunus,
selakuDirekturPascasarjanaUniversitasSebelasMaret
M.S,
yang
telahberkenanmemberikanbantuanberupasegalasaranadanfasilitasdalammenem
puhpendidikanpascasarjana.
2. Drs. Cari, MA, M.Sc, Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.
3. Ibu Dra. Suparmi, MA, Ph.Dselaku dosen Pembimbing I yang telah
meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan arahan serta
motivasi kepada penulis dalam penyusunan proposal tesis ini dengan penuh
kesabaran.
4. Ibu Viska Inda Variani, M.Si selaku dosen Pembimbing II yang telah
meluangkan waktunya untuk memberikan
bimbingan dan pengarahan.
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
5. Ibu Dr.Yofentina Iriani, M.Siselaku dosen mata kuliah Metodologi Penelitian
yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan
pengarahan.
6. Segenap dosen Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret
yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan.
7. Suamiku tercinta yang selalu memberikanku dukungan dan semangat yang
tiada hentinya untuk terus berjuang.
8. Kedua orang tuaku yang telah memberikan doa dan semangat yang tiada
hentinya untuk terus mencari ilmu.
9. Serta semua pihak yang turut membantu yang tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Penulis menyadari bahwa dalam tesis ini masih terdapat kekurangan. Oleh
karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat
membangun demi tercapainya kesempurnaan. Semoga tesis ini bermanfaat bagi
kita semua. Amin.
Solo, April 2012
Penulis
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Nurhayati. S 911102004. “Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi
Potensial Gendenshtein dan Rosen Morse II Menggunakan Fungsi
Hypergeometry Berbasis Komputer Dengan Bahasa Pemrograman Delphi
7.0”. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret
Surakarta. Pembimbing (1). Dra. Suparmi, MA., Ph.D, (2) Viska Inda Variani,
M.Si.
Persamaan schrodinger sistem potensial yang diselesaikan secara eksak
mempunyai peranan penting dalam mekanika kuantum. Spektrum energi dan
fungsi gelombang digunakan untuk mendeskripsikan perilaku partikel subatomik
dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan schrodinger secara langsung dan
tidak langsung. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk sistem partikel yang
dipengaruhi oleh potensial “shape invariant” dapat dianalisis dengan penyelesaian
langsung dengan cara mereduksi persamaan schrodinger menjadi persamaan
diferensial fungsi khusus seperti fungsi Hermit, Legendre, Laguerre DAN
Hypergeometry. Penyelesaian tidak langsung dilakukan dengan cara pendekatan
operator supersimetri, WKB dan SWKB. Namun di antara fungsi-fungsi tersebut,
persamaan diferensial fungsi hypergeometry yang mempunyai bentuk
penyelesaian lebih umum karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat
direduksi menjadi persamaan diferensial fungsi hypergeometry.
Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk partikel yang dipengaruhi
oleh potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan hiperbolik Rosen Morse
dianalisis menggunakan metode hypergeometry. Persamaan schrodinger untuk
ketiga potensial tersebut diubah menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi
hypergeometry dengan substitusi variabel dan parameter secara tepat. Spektrum
energi dan fungsi gelombang diperoleh secara eksak. Selanjutnya grafik dari
potensial efektif, fungsi gelombang dan probabilitas disimulasikan dengan
menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.
Kata Kunci : fungsi gelombang, spektrum energi, potensial Gendenshtein,
potensial Rosen Morse,metode hypergeometry.
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Nurhayati. S 911102004. “An Analysis of Energy and Wave Function of
Gendenshtein and Rosen Morse IIpotential by Using Hypergeometry
MethodBase On The Computer With The Ianguage of Pemrograman Delphi
7.0”. Tesis: The Graduate Program in Physics Department, Postgraduate Program
Sebelas Maret University, Surakarta, 2012. The advisor are (1). Dra. Suparmi,
MA., Ph.D, (2) Viska Inda Variani, M.Si.
Schrodinger equationsystemsaresolvedexactlypotentiallyhavean important
rolein
quantum
mechanics.
Spectrumenergy
andwavefunctionsare
usedtodescribethe behavior ofsubatomicparticlescan be obtainedfromthe
completion ofthe Schrödinger equationdirectly andindirectly.Spectrumenergy
andwave functionsforparticlesystemsthat are affectedby thepotential "shape
invariant" can be analyzedbydirectsolutionby reducingthe Schrödinger
equationintoa differential equationasa functionHermitspecialfunctions, Legendre,
Laguerre, andHypergeometry. Indirecsolution bysupersymmetryoperator,
WKBandSWKBapproach.
But
amongthese
functions,
differentialequationshypergeometryfunctionsthat havea more generalform ofthe
settlementasafunction
ofotherdifferentialequationscan
bereduced
todifferentialequationshypergeometryfunction.
Behavior ofatomicparticlescanbe clearly understoodif theenergyandwave
functionofthe particle isknown.Energyspectrumandwavefunctionsforparticles
governedby theGendenshtein I, Gendenhtein II and RosenMorsepotentialis
analyzedusinghypergeometrymethod. Schrodinger equationfor the potential third
is
reducedintoa
second
orderdifferentialequationsof
hypergeometryfunctionsbyappropriatevariable
andparameterssubstitution.
Energyspectrumisexactlyand the wave functionis expressed in the form of
hypergeometry
function.
The
graphsof
theeffectivepotential,
wave
functionsandprobabilityare visualized usingDelphi7.0.
Kata Kunci :
wave function, spectrum energy,Gendenshtein potential,
Rosen Morse potential,hypergeometry method.
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR SIMBOL
m
= massa atom (kg)
n
= bilangan kuantum
h
= konstanta Planck (6,626x10-34 J.s)
ℏ
=
Veff
= Potensial Efektif
z
= Fungsi gelombang
|z|
= 1,054x10-34 J.s
= Probabilitas fungsi gelombang
= Energi
= kecepatan sudut (rad/s)
P
= momentum linier
= panjang gelombang
= frekuensi
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..............................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN .................................................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................
iii
HALAMAN PERNYATAAN .................................................................
iv
KATA PENGANTAR .............................................................................
v
ABSTRAK ...............................................................................................
vii
ABSTRACT...............................................................................................
viii
DAFTAR SIMBOL .................................................................................
ix
DAFTAR ISI ............................................................................................
x
DAFTAR GAMBAR ...............................................................................
xiii
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................
xiv
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ...............................................................................
1
B. Perumusan Masalah ........................................................................
6
C. Tujuan Penelitian ..........................................................................
6
D. Batasan Masalah ...........................................................................
7
E. Manfaat Penelitian .......................................................................
7
BAB II. KAJIAN TEORI, KERANGKA BERPIKIR DAN HIPOTESIS
commit to user
x
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
A. Kajian Teori .....................................................................................
9
1. Persamaan Hypergeometry .........................................................
9
2. Persamaan Schrodinger ..............................................................
12
3. Fungsi Gelombang ......................................................................
14
4. Nilai Harap (Probabilitas) ...........................................................
15
5. Energi Potensial .........................................................................
16
6. Borland Delphi 7.0 .....................................................................
20
B. Kerangka Berpikir ............................................................................
22
C. Hipotesis ...........................................................................................
23
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
A. Lokasi dan Waktu Penelitian .........................................................
24
B. Alat dan Bahan Penelitian ...............................................................
24
C. Prosedur Penelitian .........................................................................
26
D. Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial
Gendenshtein I, II, dan Rosen Morse II Menggunakan Metode
Hypergeometry .................................................................................
29
E. Diagram Penelitian ..........................................................................
48
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Hasil Analitik Spektrum Energi dan Grafik Pemograman Delphi
7.0 ....................................................................................................
commit to user
xi
55
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
B. Pembahasan ....................................................................................
69
BAB V. KESIMPULAN, IMPLIKASI DAN SARAN
A. Kesimpulan .....................................................................................
72
B. Implikasi Hasil Penelitian ...............................................................
75
C. Saran ................................................................................................
76
DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................
77
commit to user
xii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Halaman
Lembar Kerja Borland Delphi .............................................
21
Gambar3.1
Diagram Penelitian ..............................................................
29
Gambar 3.2
Flowchart potensial Gendenshtein I ...................................
49
Gambar 3.3
Flowchart potensial Gendenshtein II ..................................
51
Gambar 3.4
Flowchart potensial Rosen Morse II .....................................
52
Gambar 4.1
Grafiksimulasipotensialefektif Gendenshtein I .............
56
Gambar 4.2
Grafiksimulasipotensialefektif Gendenshtein II ............
58
Gambar 4.3
GrafiksimulasiFungsiGelombangDasar
Potensial
Gendenshtein II ....................................................................
Gambar 4.4
GrafiksimulasiFungsiGelombangTingkat Pertama Potensial
Gendenshtein II .....................................................
Gambar 4.5
GrafiksimulasiProbabilitas
Fungsi
Gelombang
62
Dasar
Potensial Gendenshtein II .....................................................
Gambar 4.6
60
63
GrafiksimulasiProbabilitas Fungsi Gelombang Tingkat
Pertama Potensial Gendenshtein II .......................................
65
Gambar 4.7
Grafiksimulasipotensialefektif Rosen Morse II ................
68
Gambar 4.8
GrafiksimulasiFungsiGelombangDasar
Potensial
Rosen
MorseII ................................................................................
Gambar 4.9
GrafiksimulasiFungsiGelombangTingkat Pertama Potensial
Rosen Morse II ......................................................
Gambar 4.10
72
GrafiksimulasiProbabilitas Gelombang Dasar Potensial
Rosen MorseII .....................................................................
Gambar 4.11
70
73
GrafiksimulasiProbabilitas Gelombang Tingkat Pertama
Potensial Rosen Morse II ......................................................
commit to user
xiii
76
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1
UraianLengkapAljabar
Gendenshtein
Dari
II
Halaman
PotensialGendenshtein I, 87
Dan
Rosen
Morse
DenganMetodeHypergeometry
.....................................................................
Lampiran 2
GrafikPotensialEfektif,
FungsiGelombang,
Dan 101
KerapatanProbabilitasDenganPemograman Delphi 7.0 ....
Lampiran 3
Simulasi Potensial Gendenshtein dan Rosen Morse II ......... 126
commit to user
xiv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada akhir abad 19 sampai awal abad 20 terjadi suatu krisis dalam kancah
fisika. Serangkaian hasil-hasil eksperimen ternyata tidak dapat ditelaah secara
memuaskan dengan fisika klasik (mekanika klasik, termodinamika, teori
elektromagnetik) yang dianggap sudah terumus kokoh dan mantap pada waktu
itu.Konsep-konsep baru dan berbeda dengan fisika klasik mulai diperlukan untuk
menjelaskan hasil-hasil eksperimen tersebut.
Masalah-masalah yang dimaksud di atas muncul terutama pada objekobjek fisis yang berukuran "kecil" (mikroskopik, atomistik), seperti partikelpartikel elementer dan atom serta interaksinya dengan radiasi atau medan
elektromagnetik. Perbedaan-perbedaan dalam eksperimen fisika mula-mula dapat
diatasi dengan postulat-postulat dan hipotesis-hipotesis. Akan tetapi karena
jumlahnya semakin banyak dan persoalannya dipandang mendasarmaka fisikawan
terdorong untuk melakukan penyempurnaan, dan perubahan pada formulasi dan
konsep-konsep fisika. Hasilnya adalah konsep yang dinamakan "Mekanika
Kuantum".
Mekanika kuantumadalah suatu teoriuntuk mendeskripsikan perilaku
partikel-partikel kecilseperti elektron, proton, neutron, inti atom, atom, dan
molekul (Donald D. Fitts, 2002). Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah
sistem di mana elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus
atom
(yang
bermuatan
commit to user
1
listrik
2
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
positif)(http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum).
Menurut
mekanika
kuantum, ketika sebuah elektron berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi
(misalnya dari n=2 atau kulit atom ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah
(misalnya n=1 atau kulit atom tingkat ke-1) makaelektron akan menyerap energi
berupa paket-paket energi yang disebut foton.
Implikasi mekanika kuantum sangat luas terhadap perubahan peradaban
manusia. Penjelasan tentang atom, molekul dan zat padat telah melahirkan
material semikonduktor, laser, dan chips mikroskopis yang menghasilkan
akselerasi kemajuan di bidang teknologi dan informasi(Donald D. Fitts, 2002).
Implikasi filosofis fisika kuantum lebih dasyat diantaranya tentang prinsip
ketidakpastian Heisenberg
dan participating observer (hasil eksperimen
tergantung pada pengamat dan suatu realitas tidak akan terjadi sebelum benarbenar diamati) sehingga pada dunia subatomik, hukum fisika tidak lagi
merupakan suatu kepastian, tetapi gerak partikel diatur oleh konsep probabilitas.
Jadi, mekanika kuantum mencakup sebagian besar dari ilmu pengetahuan modern
dan teknologi.
Sejak abad kedua puluh, para ilmuwan fisika telah mengembangkan teori
kuantum.Sejak itu, muncul ilmu fisika kuantum yang dipelopori oleh Bohr,
Heisenberg, Schrodinger dan teori relativitas yang diungkapkan Einstein. Pada
tahun 1926,E.Schrodinger menyatakan bahwa perilaku elektron, termasuk tingkattingkat energi elektron yang diskrit dalam atom mengikuti suatu persamaan
diferensial untuk gelombang (Beiser, 1992). Persamaan diferensial tersebut
kemudian dikenal dengan persamaan Schrodinger. Persamaan Schrodinger
commit to user
3
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
sekarang menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena kuantum secara
konsepsional dan matematika.
Persamaan Schrodinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh
potensial yang mana energi potensialnya merupakan fungsi posisi dapat dianalisis
dengan cara penyelesaian langsung dan tidak langsung. Penyelesaian persamaan
schrodinger secara langsung yaitu dengan mereduksi persamaan Schrodinger
menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus seperti fungsi Hermite,
Legendre, Laguerre, hypergeometric atau confluent hypergeometric. Pengubahan
persamaan Schrodinger menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus
tersebut yaitu dengan substitusi variabel yang sesuai. Namun diantara fungsifungsi tersebut, hanya persamaan diferensial fungsi hypergeometry atau confluent
hypergeometry (H-CH) yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum
karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi persamaan
diferensial H-CH. Sedangkan penyelesaian persamaan schrodinger dengan cara
tidak langsung yaitu melalui pendekatan operator supersimetri (SUSY), Wentzel,
Kramers,
Brillouin
(WKB)
dan
Supersimetry
Wentzel,
Kramers,
Brillouin.(SWKB).
Penyelesaian persamaan Schrodinger secara langsung dari sistem partikel
dapat menentukan energi dan fungsi gelombang suatu sistem partikel yang
digunakan untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel. Dalam dua dasa
warsa terakhir, para ilmuwan dalam bidang mekanika kuantum membahas tentang
penyelesaian persamaan schrodinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh
potensial “shape invariance” yang dapat diselesaikan secara eksak. Beberapa
commit to user
4
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
potensial tersebut seperti potensial Coulomb, osilator harmonik tiga dimensi
bagian radial, Morse, Rosen Morse, Manning Rosen, kelompok Poschl-Teller,
kelompok Gendenshtein, Symmetrical Top, Eckart, dan Kepler dalam sistem
hypersphere, yang mana kelompok shape invariant ini mempunyai energi
potensial yang fungsinya tidak cukup sederhana (S. Meyur and S. Debnath, 2009).
Meyur
(2008)
menganalisis
scarf
potensial
(potensial
Gendenshtein)
menggunakan metode Nikivorov-Uvarov. Hasil analisis diperoleh persamaan
fungsi gelombang dan tingkat energi sistem. Selain menganalisis secara analitik,
Meyur juga mensimulasikan grafik dari potensial efektif.Penelitian serupa juga
dilakukan oleh Akpan (2005) yang menganalisis potensial Rosen Morse II
menggunakan metode Nikivorov-Uvarov dan Kleinert (1991) yang juga
menganalisis potensial Rosen Morse II tetapi menggunakan sommerfeld watson
transformation.
Berdasarkan penelitian-penelitian tersebut, dilakukan penelitian lanjutan
dengan menganalisispotensial kelompok Gendenshtein dan Rosen Morse II.
Dipilihnya potensial Gendenshtein dan potensial Rosen Morse II dalam kajian
tesis ini dikarenakan potensial tersebut merupakan potensial hiperbolik yang
mempunyai peranan penting dalam sistem atomik, molekuler, dan chemical
physics yang dapat digunakan untuk menjelaskan getaran molekul dan untuk
menentukan spektrum energi pada sistem linier dan non linier. Selain itu,
potensial Rosen Morse adalah salah satu potensial yang digunakan untuk
menguraikan
fungsi
eigen
dan
spektrum
energipada
ChromodynamicsQuantum(Akpan dan Louis, 2010). Persamaaan Schrodinger
commit to user
5
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein dan potensial Rosen Morse II akan
dianalisis
menggunakan
metode
hypergeometry.
Persamaan
diferensial
fungsihypergeometry diaplikasikan untuk pemecahan persamaan gelombang dan
spektrum
energi
dari
potensial-potensial
tersebutdikarenakan
fungsi
hypergeometrydengan shape invariance memberikan hasil secara eksak dan
merupakan metode yang lebih mudah daripada pemecahan dengan persamaan
Schrodinger (Patricio Cordero, 1994). Penyelesaian persamaan schrodinger
dengan fungsi hypergeometryyaitu dengan cara mensubstitusikan variabel ke
dalam persamaan Schrodinger agar persamaan Schrodinger berubah menjadi
persamaan
diferensial
orde
dua
fungsi
hypergeometry
atau
confluent
hypergeometry(S. Trachanas, 2011). Bila persamaan fungsihypergeometry telah
diperoleh, tingkat-tingkat energi suatu sistem dan fungsi gelombang juga dapat
diperoleh dengan mudah. Variabel baru yang disubstitusikan biasanya diperoleh
dengan cara coba-coba, namun sekali dapat menemukan variabelbaru untuk suatu
sistem, variabel baru untuk sistem yang lain dapat ditentukan dengan cara
menebak yang lebih intelek dan terarah.
Dalam
penelitian
metodehypergeometrysaja
ini,
untuk
peneliti
menganalisa
tidak
hanya
persamaan
menggunakan
gelombang
dan
spektrum energi, namun peneliti juga mencoba untuk memvisualisasikan
persamaan-persamaan yang diperoleh dari kajian analitik potensial-potensial
tersebut dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.
commit to user
6
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
B. Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan
perumusan masalah sebagai berikut:
1.
Bagaimana analisis fungsi gelombang dan spektrum energi potensial
Gendenshtein I, potensial Gendenshtein II, dan potensial Rosen Morse II
menggunakan metodehypergeometry?
2.
Bagaimana bentuk visualisasi grafik potensial efektif Gendenshtein I
menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0?
3.
Bagaimana bentuk visualisasi grafik potensial efektif, persamaan gelombang
dan probabilitas (nilai harap) dari potensial Gendenshtein II dan Rosen Morse
IImenggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0?
C. Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah :
1.
Mendeskripsikan hasil analisis fungsi gelombang dan spektrum energi
potensial Gendenshtein I, potensial Gendenshtein II, dan potensial Rosen
MorseII menggunakan metode hypergeometry.
2.
Mengetahui bentuk visualisasi grafik potensial efektif Gendenshtein I
menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.
3.
Mengetahui bentuk visualisasi grafik potensial efektif, persamaan gelombang
dan probabilitas (nilai harap) dari potensial Gendenshtein II dan Rosen Morse
II menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.
commit to user
7
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
D. Batasan Masalah
Agar pembahasan masalah dalam penelitian ini lebih terarah maka peneliti
membatasi permasalahan yang diajukan sebagai berikut :
1.
Potensial yang dianalisis yaitu potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan
Rosen Morse II.
2.
Metode penyelesaian persamaan schrodinger yang digunakan yaitu metode
hypergeometry.
3.
Penyusunan program untuk analisis secara numerik fungsi gelombang
potensial Rosen Morse II dibatasi untuk bilangan kuantum (n) = 1.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Manfaat Teoritis
a. Hypergeometry mekanika kuantum dapat dijadikan sebagai salah satu metode
alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan gelombang dan
spektrum energi dari suatu potensial.
b. Perumusan hypergeometry mekanika kuantum hanya menggunakan uraian
aljabar biasa sehingga tidak terlalu sulit untuk dipahami, baik oleh mahasiswa
tingkat awal sekalipun.
c. Bahasa pemrograman Borland Delphi 7.0, yang merupakan bahasa visual,
dapat digunakan sebagai suatu alat bantu untuk menganalisa grafik potensial,
fungsi gelombang serta probabilitas (nilai harap).
commit to user
8
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
2. Manfaat praktis
Memberikan pengalaman penelitian dalam bidang simulasi dari partikel
atomik dengan menggunakan bahasa pemrograman Delphi 7.0. Selain itu, dapat
digunakan untuk mengkaji sifat partikel atom yang bermanfaat juga untuk
pengembangan bidang lain yang terkait dengan potensialGendenshtein dan Rosen
Morse II.
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB II
KAJIAN TEORI, KERANGKA BERPIKIR DAN HIPOTESIS
A. Kajian Teori
1.
Fungsi Hypergeometry
Persamaandiferensialordeduafungsihypergeometry
yang
diusulkanolehGau(Greiner, 1989) dinyatakansebagai
ǂ
1−
ǂ.
+
− ( + 0 + 1)
ǂ
ǂ.
− 0Φ = 0 (2.1)
Persamaan (2.1) mempunyaiduabuahtitikreguler singular yaitu di titikz =
0 dan z =1, tetapi bukan merupakan singularitas yang mendasar. Parameterparameter , 0, nǴ
merupakan bilangan real. Dengan membuat perubahan yang
tepat dari variabel bebas dan variabel terikat, beberapa persamaan diferensial orde
dua dengan dua buah titik regular singular dapat ditansformasikan ke dalam
persamaan hypergeometry (2.1). Karena penyelesaian di titik z = 0
lebihsederhanadaripadapenyelesaian
di
titik
z
=
1,
makamula-
muladipilihpenyelesaian di sekitartitik z = 0. Persamaan (2.1) diselesaikan dengan
bentuk deret di sekitar titik z = 0 yaitu
Φ=
Ė
∑
(2.2)
Persamaan (2.2) merupakan solusi persamaan (2.1) di sekitar titik z = 0
yang dinyatakan dalam bentuk deret dengan s dan n merupakanorde dari z dan n
merupakan bilangan bulat. Persamaan (2.2) kemudian dimasukkan ke dalam
persamaan (2.1) dan ditemukan hubungan
commit to user
9
10
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
− 0Φ = − 0(
Ė
Ė
+ + nΦ
n
− + 0+ 1
Ė
Ė
= ( − + 0 + 1 )( +
n Φ
= ( −
n
1−
− 0 Ė
+ ⋯)
+ Ė
+
1 −
+ 3
+
Ė
2
+
− 0 +
+
Ė
+ 2 − ( + 2)
+
− 1 + 1 Ė
+
Ė
+ Ė
+ 2
− 1 + 1 Ė
+ −
+
− 1 −2
Ė
Ė
− 0 +
+ 1 + ⋯
Ė
+
Ė
+
+ 1 −1
+ 1 +
+
+ 1 + ⋯
+ 2 +2
Ė
+
+ 2 Ė
Ė
(2.3)
+ 1 − + 0+ 1 +
+ 1 +
+ 3 − + 0+ 1
+ ⋯= 0
Ė
+ 1 2
+ ⋯ = 0
+ 2 − + 0+ 1
− 0 +
Ė
+ ⋯)
+ 1 1
+ 4 Ė
+ ⋯)
+
+ 4 − 1 0
)(
+ 3 +
+
+
− + 0+ 1
+
Ė
Ė
+ 3 Ė
+ + 2
+ 2 +
+ 1 −
+
(2.4)
Persamaan (2.4) merupakan persamaan identitas sehingga koefisien dari
masing-masing suku z pangkat tertentu harus dinolkan dan dapat dijabarkan
sebagai berikut.
commit to user
11
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Untuk zs-1 : (csa0 + s ( s - 1) a0 ) = 0 atau sa0 (c + ( s - 1)) = 0 yang tidak
lain adalahmerupakan “index equation” yang memberikan harga
s = 0atau s=1 - c
(2.5a)
(Arfken and Weber, 2005)
Untuk zs : − 0 +
+ 1 − + 0+ 1 +
1) ) = 0atau − 0 − + 0 + 1
+ 1
=
(Ė
= 0, maka diperoleh
(Ė
Ė
)(
Ė)
=
(Ė
=
(Ė
+ 1 −
Ė
(Ė
atau =
(Ė
)(Ė
)(Ė
)(
Ė
Ė
)
)
− 1
(Ė
)(Ė
(Ė
)(
(− 0 +
zs+1:
Untuk
+ 2
)
−
)
Ė)
+ + 1 − ( −
+ 1 +
(2.5b)
+ 2 − + 0+ 1
+ 1 = 0 sehingga diperoleh
)
)
=
(Ė
(Ė
+ 1 +
atau
)(Ė
)(Ė
)(Ė
)(Ė
)(Ė
)(
Ė
)
)
(2.5c)
Dari pembahasan kedua koefisien di atas dapat digeneralisasikan bahwa
=
+ + 1+ + 0
+ 1
+ 2
+
+ 1 + 0 . . . ( + Ǵ − 1 + )( + Ǵ − 1 + 0)
+ + 1 …. + Ǵ
+ Ǵ− 1 + )
(2.5d)
Berdasarkan “index equation” diperoleh dua macam harga s=0 atau s=1-c.
Untuk s = 0, persamaan (2.5d) menjadi
commit to user
12
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
…(
=
…( )(
…
=
…
.( )(
)(
)
)
)…(
atau
)
. !
(2.5e)
Jadi, bentuk penyelesaian PD Hypergeometry yang dinyatakan pada
persamaan (2.1) adalah
, 0; ;
Dimana
= Φ
(, 0, ; )
= ∑
dikenal
= ∑
sebagai
(2.6)
!
fungsi
hypergeometry atau
deret
hypergeometry dengan
= + 1 + 2 + 3 … … . . + Ǵ − 1 dan = 1
(2.7)
(Griffiths, 1995)
Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua penyebut dari deret
tersebut tidak nol, maka c≠ -n, dimana n = 0, 1, 2, 3, 4, ......
Jika a = -n atau b = -n,
(2.7a)
sehingga bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga
diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial pangkat n. Dari kondisi
yang dinyatakan pada persamaan (2.7a) dapat diperoleh tingkat energi sistem.
2.
Persamaan Schrodinger
Persamaan Schrodinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan
commit to user
untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu
13
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
persamaandiferensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika
kuantum.
Aplikasi persamaan Schrodinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan
energi potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak
merupakanfungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari
waktu kewaktu, melainkan tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang
waktu yangcukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi
gelombang,
makahal
itu
akan
menyederhanakan
persoalan.
Persamaan
Schrodinger satu dimensi dan persamaan gelombang sebagai berikut.
−
ℎ
9
9
+
Ze =
Ze
Dalam ungkapan ini
(2.8)
merupakan massa partikel,
bebas waktu, e merupakan posisi partikel dan
merupakan potensial
merupakan energi. Dengan
persamaan Schrodinger bebas-waktu (2.8) maka fungsigelombang yang dilibatkan
dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu, Z(e). Dari persamaan
bentuk gelombang komposit untuk elektron
=
(e)
„
e,
9
dengan
e,
= ∑
„
„
9
(2.9)
Dari persamaan (2.9) dapat ditentukan bentuk Z(e) sebagaiZ e =
„ 9
, dengan
adalah paket gelombang
dan A(x) adalah selubung
paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrodinger. Persamaan
Schrodinger adalah persamaan gelombang dan gelombang sebagai representasi
elektron atau partikel. Mencari solusi persamaan Schrodinger adalah untuk
memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnyadigunakan untuk melihat
commit to user
14
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antaramomentum p dan
energi E dengan besaran-besaran gelombang( , , , )adalah
= ℎ = ℎ
= ℎ = ℎ
3.
=
(2.10)
(2.11)
Fungsi Gelombang
Persamaan Schrodinger adalah persamaan diferensial parsial dengan
Zadalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa
Z ∗ Znengn
(2.12)
Persamaan (2.12) adalah persamaan yang menyatakan probabilitas
keberadaan elektron pada waktu t tertentu dalam volume dx dy dz di sekitar titik
(x, y, z),Z ∗ adalah konjugat dariZ. Jadi persamaan Schrodingertidak menentukan
posisi
elektron
melainkan
memberikan
probabilitas
bahwa
elektron
akanditemukan di sekitar posisi tertentu. Selain itu, juga dapat dikatakan secara
pastibagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan
momentumelektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastianHeisenberg.
Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang
Z e =
Maka Z ∗ Z =
2sin (
C
̊(
9
e
9
)
)
„ 9
∗
danZ e =
commit to user
2sin (
e
9
)
„ 9
(2.13)
15
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
C
̊(
9
)
pada (2.13) adalah selubung paket gelombang yang merupakan
fungsi x sedangkan A0memiliki nilai konstan. Jadi selubung paketgelombang
itulah yang menentukan probabilitas keberadaan elektron.
Persyaratan fungsi gelombang Z e hasil solusi persamaan Schrodinger
mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut.
1.
Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena
itufungsi gelombang (untuk satudimensi) harus memenuhi
2.
Z ∗ Zdx = 1.
Fungsi gelombang Z x , harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinuan,
halitu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak
dapatditerima.
3.
Turunan fungsi gelombang terhadap posisi,
, juga harus kontinu. Turunan
fungsi gelombang terhadap posisi terkait denganmomentumelektron sebagai
gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapatdiartikan sebagai
persyaratan kekontinuan momentum.
4.
Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan
berartiada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.
5.
Fungsi
gelombang tidak
sebabkemungkinan
boleh
elektron
sama dengan
haruslah
(Greiner,1989).
4.
Nilai Harap (Probabilitas)
commit to user
nyata,
nol
disemua posisi
betapapun
kecilnya
16
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Max Born memperkenalkan suatu cara untuk menginterpretasikan secara
statistik fungsi gelombang yang menggambarkan suatu potensial dari suatu
partikel yaitu medan pemandu sebagai sebuah penginterpretasian dari fungsi
gelombang. Ide dari Max Born sebenarnya telah dimulai oleh Einstein yang
disebut “Ghosfield”. Medan pemandu merupakan fungsi skalarZdari koordinat
semua partikel dan waktu. Berdasarkan ide dasarnya, pergerakan dari suatu
partikel ditentukan hanya dengan hukum kekekalan energi dan hukum kekekalan
momentum dan oleh kondisi batas yang bergantung pada peralatan-peralatan
eksperimen. Kebolehjadian dari suatu partikel akan mengikuti bagian-bagian
tertentu yang diberikan oleh intensitas, yaitu harga mutlak kuadrat dari medan
pemandu. Dalam kasus pada penelitian ini, diartikan bahwa besarnya potensial
dari suatu partikel ditentukan pada setiap titik kebolehjadian ditemukannya
partikel (Serway dan Jewet, 2010:331).
Kuadrat dari amplitudo fungsi gelombang Z adalah intensitas. Hal ini
seharusnya untuk menentukan kebolehjadian ditemukannya suatu partikel pada
tempat-tempat tertentu. Sejak Z diperbolehkan sebagai bilangan kompleks,
dimana kebolehjadian selalu real, maka tidak didefinisikan Z untuk pengukuran
intensitas, tetapi menggunakan persamaan
|Z| = ZZ ∗
(2.14)
Dimana Z ∗ adalah konjugate kompleks dari Z. n7 e, g, ,
menjadi
kebolehjadian dari penemuan partikel dalam volume tertentu dari suatu elemen
n = ne ng n pada waktu . Berdasarkan penginterpretasian statistik dari fungsi
gelombang, mengikuti hipotesis yang
telahtodisetujui
yaitu
commit
user
17
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
n7 e, g, ,
= |Z(e, g, , )| n
(2.15)
Untuk memperoleh besaran yang tidak bergantung dari volume, maka
diperkenalkan suatu persamaan yang berhubungan dengan probability density
yaitu
5.
e, g, ,
=
ǂ
= |Z(e, g, , )|
ǂ
(2.16)
Energi Potensial
Energi potensial adalah bentuk energi yang dimiliki oleh suatu partikel,
benda atau sistem akibat posisinya dalam ruang parameter atau akibat
konfigurasinya (Lily Maysari, 2010:28). Energi dalam bentuk ini membuat
partikel, benda atau sistem tersebut memiliki kecendrungan untuk berubah
keadaannya (posisi atau konfigurasinya) dari keadaan dengan suatu energi
potensial tertentu menjadi keadaan dengan energi potensial yang lebih rendah atau
lebih tinggi. Ke arah mana kecenderungan tersebut menuju tak lain terkait dengan
arah
dari
gaya
yang
ditimbulkan
dari
energi
potensial
tersebut
(www.wikipedia.com).
a.
Potensial Gendenshtein I
Potensial Gendenshtein I merupakan potensial fungsi sinus hiperbolik dan
secans kuadrat hiperbolik. Potensial Gendenshtein ini banyak diaplikasian dalam
ilmu fisika yaitu pada elektrodinamika dan fisika zat padat untuk teori partikel.
Pada fisika zat padat, potensial Gendenshtein I digunakan dalam mengkonstruksi
potensial periodik dalam kristal(Castillo, 2007).
Energi potensial partikel yang dipengaruhi oleh potensialGendenshtein
Idapatdituliskansebagaiberikut (Castillo, 2007):
commit to user
18
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
ℎ
aa=
(
2Ė 9
)
+
(
ℎ
)C
2Ė 9
̊ú
9
(2.17)
Persamaan Schrodinger untuk potensial Gendeshtein I dapat dinyatakan
sebagai
−
ℎ ǂ
ℎ
+
ǂ9
2Ė 9
+
(
ℎ
)C
2Ė 9
̊ú
9
Z=
Z
(2.18)
Persamaan (2.18) dapat diubah menjadi persamaan diferensial orde dua
fungsi hypergeometry dengan cara melakukan substitusi variabel secara tepat.
Pemisalan variabel untuk persamaan (2.18) adalah
ℎeǴ = (1 − 2 )
(2.19)
Substitusi varabel ini (2.19) terinspirasi dari pengubah variabel pada
formula SUSY WKB (A.
Inomata, A. Suparmi , and S Kurth: 1991) dan
pengubahan persamaan shcrodinger untuk potensial Poschl-Teller I (Flugge,
Siegfried: 1994).
b. Potensial Gendenshtein II
Potensial Gendenshtein II merupakan potensial fungsi cosinus hiperbolik
dan invers sinus kuadrat hiperbolik. Potensial hiperbolik ini dapat digunakan
untuk menjelaskan gaya antar atom maupun antar molekul.
Energi potensial partikel yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein II
dinyatakan sebagai (Castillo, 2007):
aa=
ℎ
Ė
9
−
ℎ
(
Ė
)
9
Cú
9
commit to user
(2.20)
19
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Persamaan
Schrodinger
untukpotensialGendenshtein
II
dapatdinyatakansebagai
−
ℎ ǂ Z
ǂ9
+
ℎ
Ė
9
−
(
ℎ
Ė
)
9
Cú
9
Z= Z
(2.21)
Persamaaan shcrodinger yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein II
terdiri dari fungsi cosinus hiperbolik dan cosecans kuadrat hiperbolik, maka agar
persamaan schrodinger (2.21) hanya terdiri dari satu fungsi dilakukan pengubahan
variabel dengan mensubstitusikan variabel yang sesuai. Variabel yang akan
disubstitusikan ke dalam persamaan (2.21) adalah
coshx =1-2z makasinh x= 2
c.
( − 1)
(2.22)
Potensial Rosen Morse II
Potensial Rosen Morse terdiri dari potensial Rosen Morse I dan II.
Potensial Rosen Morse I merupakan potensial trigonometri yang terdiri dari
cosecan kuadrat dan cotangen sedangkan potensial Rosen Morse II merupakan
potensial hiperbolik yang terdiri dari fungsi secans kuadrat hiperbolik dan tangen
hiperbolik. Potensial Rosen Morse II ini mempunyai peranan yang penting dalam
atomik, molekuler, dan chemical physics. Potensial ini dapat digunakan untuk
menjelaskan getaran molekul dan untuk menentukan spektrum energi pada sistem
linier maupun non linier. Selain itu, potensial Rosen Morse II juga merupakan
salah satu potensial yang digunakan untuk menjabarkan fungsi eigen dan
spektrum energi dalam chromodynamics kuantum (Ikot, 2010).
commit to user
20
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Energi partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse dinyatakan
sebagai (Ikot, 2010):
aa=
−
ℎ
(
)
2Ė 9
Persamaan
− 2
Ǵ
ℎe
(2.23)
Schrodinger
untukpotensialRosen
Morsedapatdinyatakansebagai:
−
ℎ ǂ Z
ǂ9
−
ℎ
2Ė 9
− 2
Ǵ
ℎe Z =
Z
(2.24)
Variabel yang akan disubstitusikan ke dalam persamaan (2.24) adalah
Ǵ
ℎe = 1 − 2
6.
(2.25)
Borland Delphi 7.0
Delphi
adalahsebuahbahasapemrogramandanlingkunganpengembanganperangkatlunak.Pr
odukinidikembangkanoleh
Borland.Denganmenggunakanperangkatlunakini,
dapatdibangunberbagaiaplikasiwindows (permainan, multimedia, database, dan
lain-lain)
dengancepatdanmudah.Denganpendekatan
dapatdiciptakanaplikasicanggih,
karenatidakperlulagimenuliskankode
visual,
mempersingkatwaktupemrograman,
program
yang
rumitdanpanjanguntukmenggambar,
meletakkandanmengaturkomponen.Keunggulanbahasapemrogramandelphiterletak
padaproduktivitas,
kualitas,pengembanganperangkatlunak,kecepatankompilasi,
poladesain yangmenarik yang menariksertadiperkuatdenganpemrogramannya
commit to user
yang
terstruktur.
Keunggulan
lain
dari
Delphi
21
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
adalahdapatdigunakanuntukmerancang program aplikasi yang memilikitampilan
program
aplikasi
lain
yang
berbasiswindows.Delphi
menyediakancukupbanyakpilihankomponeninterfaceaplikasi,
antara
lain
berupatombol menu, drop down, ataupunmenu pop up, kotaktext, radio button,
check box, dansebagainya.
Delphi
termasukdalambahasatingkattinggi
(high
level
language),
dimanaperintah-perintahdalamprogramnyamenggunakanbahasa
mudahdipahamiolehmanusiadandapatdilakukansecara
tinggalmemilihobjek
yang
yang
visual.Programmer
ingindimasukkankedalamformatauwindow,
selanjutnyatingkahlakuobjeksaatmenerimaeventatauaksidisusunprogramnya.
Program Delphi dikenaldengannama IDE (Integrated development
Environment),
yaitulingkunganpengembanganaplikasi
yang
terpadu.
MelaluiIDEinidibangunaplikasi-aplikasidarimerancangtampilanuntukpemakai
(antarmukapemakai),menuliskankodesampaimencaripenyebabkesalahan
(debugging).IDE (Integrated Development Environment) pada program Delphi
terbagimenjadidelapanbagianutama, yaitu: Main Window, ToolBar, Component
Palette, Form Designer, Code Editor, Object Inspector, Code Explorer, Object
TreeView.
commit to user
22
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Gambar 2.1 Lembar Kerja Borland Delphi
Main
Windowadalahbagiandari
samadengansemuafungsiutamadari
IDE
program
yang
mempunyaifungsi
aplikasi
Windows
yang
lainnya.
Jendelautama Delphi terbagimenjaditigabagian, yaitu: Main Menu, Toolbar
danComponenPallete.Toolbarterletakpadabagianbawahbaris
menu.Delphi
memilikibeberapa toolbar yang masing-masing memiliki perbedaan fungsi dan
setiap tombol pada bagian toolbar berfungsi sebagai pengganti suatu menu
perintah yang sering digunakan.Component Paletteberisikumpulanikon yang
melambangkankomponen-komponen yang terdapatpada VCL (Visual Component
Library).PadaComponen Paletteterdiri daribeberapapage controlsepertistandart,
additional, win32, system, dataaccess.Form Designermerupakansuatuobjek yang
dapat dipakai sebagai tempat untuk merancang program aplikasi. Form
berbentuksebuahmejakerja yang dapatdiisidengankomponen-komponen yang
diambildariComponent
Palette.Code
Editormerupakantempatuntukmenuliskankode
program.
Object
Inspectordigunakanuntukmengubahpropertiataukarakteristikdarisebuahkomponen
yang
terdiridaridua
tabyaitupropertiesdanevents.
Code
Explorermerupakanlembarkerjabaru yang terdapat di dalam Delphi7 yang
tidakditemukanpadaversi-versisebelumnya.Code
commit to user
Explorerdigunakanuntukmemudahkanpemakaiberpindahantar
file
unit
yang
23
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
terdapat di dalamjendelacode editor. Object TreeViewmenampilkan diagram
pohondarikomponen-komponen yang bersifat visual maupun nonvisual yang
telahterdapatdalam
form,
data
module,
atau
frame
sertamenampilkanhubunganlogikaantarkomponen (Jaja, 2010).
B. Kerangka Berpikir
1.
Energi potensial merupakan energi diam dari suatu partikel. Banyak macam
dari energi potensial partikel yang telah dikenal. Potensial-potensial tersebut
dikelompokkan ke dalam potensial yang invarian dan tidak invarian.
Potensial invarian diartikan juga potensial simetri yang menggambarkan
suatu sistem yang bertranslasi atau berotasi dalam ruang. Adapun potensial
yang termasuk kelompok invarian di antaranya osilator harmonik tiga
dimensi, potensial Coulumb, Rosen Morse, Gendenshtein, Eckart, Simetrikal
top, Poschl Teller, Poschl Teller termodifikasi dan potensial Manning Rosen.
Sedangkan potensial tidak invarian di antaranya potensial periodik dan
Diract. Pada buku Practical Quantum Mechanicsada beberapa potensial dapat
diubah ke persamaan hypergeometry, di antaranya osilator harmonik, dan
potensial poschl teller. Persamaan hypergeometry merupakan persamaan
diferensial yang digunakan untuk menentukan spektrum energi dan fungsi
gelombang dari suatu sistem partikel. Karena persamaan hypergeometry
mempunyai bentuk penyelesaian paling umum sehingga diduga semua jenis
potensial dapat diselesaikan menggunakan metode hypergeometry baik
potensial yang invarian maupun yang tidak invarian.
commit to user
24
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
2.
Permasalahan-permasalahan dalam bidang fisika dapat digambarkan dalam
bentuk
persamaan
matematika.
Persamaan-persamaantersebut
dapat
diselesaikansecara analitis. Untuk lebih memahami arti secara fisis dari suatu
persamaan matematik diperlukan visualisasi menggunakan simulasi komputasi.
Visualisasi dari persamaan-persamaan matematik tersebut telah banyak
dilakukan dewasa ini. Banyak bahasa pemograman yang dapat digunakan untuk
membuat simulasi grafik suatu persamaan matematik. Diduga semua persamaan
matematik dapat divisualisasikan menggunakan simulasi komputasi.
C. Hipotesis
1.
Diduga semua jenis potensial dapat diselesaikan menggunakan metode
hypergeometry.
2.
Diduga semua persamaan matematik dapat divisualisasikan menggunakan
simulasi komputasi.
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB III
METODE PENELITIAN
A. Lokasi dan Waktu Penelitian
Waktu penelitian selama 8 bulan mulai dari bulan Oktober2011 sampai Mei
2012 dan penelitian dilakukan di Laboratorium Komputasi Fakultas MIPA
Universitas Sebelas Maret.
B. Alat dan Bahan Penelitian
1.
Alat penelitian
Netbook Intel (R) Atom (TM) CPUN270 @ 1.6 GHz, 1GB DDR2,
software Delphi 7.0.
2.
Bahan penelitian
Persamaan yang digunakan dalam kajian analitik dengan mengggunakan
metode hypergeometry dilengkapi dengan simulasi menggunakan bahasa
pemograman Delphi 7.0 adalah sebagai berikut:
a.
Potensial Gendenshtein I
1) Persamaan fungsi gelombang baru
=
1−
( )
(3.1)
2) Persamaan substitusi parameter
{. − k
{. + k
+
+
} +
} +
= −2
2 − 1
(3.2a)
= − 2 (2 − 1)
3) Persamaan perantara hypergeometry
commit to user
24
(3.2b)
25
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
2
+
H
1−
2
H
−
+
+
H
+
H
= 0 (3.3)
4) Persamaan tipe hypergeometry
))
1−
+
2 +
)
− 2 + 2 + 1
+
5) Persamaan umum fungsi gelombang
= (
ȬS
)
(
n
)
( ), .); ), )
6) Persamaan energi potensial
b.
"n = −
ℎ
− ( +
)
= 0(3.4)
(3.5)
( − Ǵ)
(3.6)
Potensial Gendenshtein II
1) Persamaan substitusi parameter
+
+
− .
+ .
−
−
= 2 (2 − 1)
(3.7a)
= 2 (2 − 1)
(3.7b)
2) Persamaan perantara hypergeometry
1−
2
+
H
−
2
H
+
−
{
H
}
−
{
(
}
H)
= 0(3.8)
3) Persamaan umum fungsi gelombang potensial Gendenshtein II
=
c.
>Ė
(3.9)
>Ė
Potensial Rosen Morse II
1) Persamaan substitusi parameter
2 −
−2 −
= 4
= 4
(3.10a)
commit to user
(3.10b)
26
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
7) Persamaan perantara hypergeometry
1−
2
+
H
1− 2
2
H
+
( + 1) −
8) Persamaan tipe hypergeometry
))
1−
+ 1)
= 0
+
H
2 + 1 − 2 + 2 + 2
−
)
(
H)
+
= 0
(3.11)
+ 1 − ( +
)( +
(3.12)
9) Persamaan umum fungsi gelombang potensial Rosen Morse II
=
>
"n = −
ℎ
(
n) >Ė
n
(3.13)
10) Persamaan energi potensial Rosen Morse II
n
+
C. Prosedur Penelitian
− Ǵ
(3.14)
Dalam penelitian ini metode yang digunakan untuk menyelesaikan
persamaan schrodinger dari masing-masing potensial tersebut di atas, yaitu
metode hypergeometry. Adapun langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai
berikut:
1.
Penyelesaian persamaan schrodinger potensial Gendenshtein I
a. Menggunakan persamaan potensial efektif Gendenshtein I (2.17).
b. Memasukkan persamaan potensial (2.17) ke dalam persamaan schrodinger
(2.8) sehingga menghasilkan persamaan schrodinger untuk potensial
Gendenshtein I (2.18).
c. Mengubah
persamaan
schrodinger
(2.18)
menjadi
persamaan
perantarahypergeometry(3.3) dengan cara mensubstitusikan variabel yang
sesuai (2.19).
commit to user
27
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
d. Melakukan substitusi parameter (3.2a dan 3.2b) dan fungsi gelombang
baru (3.1) sehingga persamaan perantara hypergeometry(3.3) berubah
menjadi persamaan tipe hypergeometry (3.4).
e. Membandingkan parameter persamaan fungsi hypergeometry (2.1) dengan
persamaan tipe hypergeometry (3.4)sehingga diperoleh fungsi gelombang
(3.5) dan tingkat energi sistem(3.6).
f. Membuat
program
simulasi
potensial
Gendenshtein
I
dengan
menggunakan bahasa pemograman Delphi untuk menampilkan tabel
tingkat energi, dan grafik potensial.
g. Menganalisa hasil persamaan dan simulasi
2.
Penyelesaian persamaan schrodinger potensial Gendenshtein II
a. Menggunakan persamaan potensial efektif Gendenshtein II (2.20).
b. Memasukkan persamaan potensial (2.20) ke dalam persamaan schrodinger
(2.8) sehingga menghasilkan persamaan schrodinger untuk potensial
Gendenshtein II (2.21).
c. Mengubah persamaan schrodinger (2.21) menjadi persamaan perantara
hypergeometry (3.8) dengan cara mensubstitusikan variabel yang sesuai
(2.22).
d. Melakukan substitusi parameter (3.7a dan 3.7b) dan fungsi gelombang
baru (3.1) sehingga persamaan perantara hypergeometry(3.8) berubah
menjadi persamaan tipe hypergeometry (3.4).
commit to user
28
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
e. Membandingkan parameter persamaan fungsi hypergeometry (2.1) dengan
persamaan tipe hypergeometry (3.4) sehingga diperoleh fungsi gelombang
(3.9) dan tingkat energi sistem (3.6).
f. Membuat
program
simulasi
potensial
Gendenshtein
II
dengan
menggunakan bahasa pemograman Delphi untuk menampilkan tabel
tingkat energi, grafik potensial,grafik fungsi gelombang dan grafik
probabilitas.
g. Menganalisa hasil persamaan dan simulasi
3.
Penyelesaian persamaan schrodinger potensial Rosen Morse II
a. Menggunakan persamaan potensial efektif hiperbolik Rosen Morse (2.23).
b. Memasukkan persamaan potensial (2.23) ke dalam persamaan schrodinger
(2.8) sehingga menghasilkan persamaan schrodinger untuk potensial
hiperbolik Rosen Morse (2.24).
c. Mengubah persamaan schrodinger (2.24) menjadi persamaan perantara
hypergeometry(3.11) dengan cara mensubstitusikan variabel yang sesuai
(2.25).
d. Melakukan substitusi parameter (3.10a dan 3.10b) dan fungsi gelombang
baru (3.1) sehingga persamaan perantara hypergeometry(3.11) berubah
menjadi persamaan tipe hypergeometry (3.12).
e. Membandingkan parameter persamaan fungsi hypergeometry (2.1) dengan
persamaan
tipe
hypergeometry
(3.12)
sehingga
gelombang (3.13) dan tingkat energi sistem (3.14).
commit to user
diperoleh
fungsi
29
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
f. Membuat program simulasi potensial hiperbolik Rosen Morse II dengan
menggunakan bahasa pemograman Delphi untuk menampilkan tabel
tingkat energi, grafik potensial, grafik fungsi gelombang dan grafik
probabilitas.
g. Menganalisa hasil persamaan dan simulasi
D. Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial
Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse II Menggunakan
Metode Hypergeometry.
1.
Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial
Gendenshtein I Menggunakan Metode Hypergeometry
Persamaan potensial efektif untuk Gendenshtein I adalah:
ℎ
33=
>Ė
(
)
+
(
ℎ
>Ė
)ȬDS
(3.15)
Persamaan (3.15) dimasukkan ke persamaan schrodinger (2.8) sehingga
diperoleh persamaan schrodinger untuk potensial Gendeshtein I sebagai berikut.
ℎ −
+
ℎ
>Ė
Pemisalan variabel yaitu
+
ℎ
(
>Ė
)ȬDS
kǴ
ℎ9 = k(1 − 2 )
eℎ9
= k
= "
(3.16)
(3.17)
9= − 2k
eℎ9
=
9 − 2k
H
(1 − )
eℎ 9 −
kǴ
ℎ9= 1
(3.18)
commit to user
30
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
eℎ 9 = 1 +
kǴ
ℎ9
eℎ 9 = 1 + (k(1 − 2 ))
eℎ 9 = 4 − 4
eℎ9 = 2
9
9
=
.
9
= k
= −
(1 − )
.
.
9
(1 − )
1−
(3.19)
k
H
(1 − )
− ( − )
(3.20)
H
Penggunaan Persamaan (3.17) pada pemisalan variabel yang akan
disubstitusikan ke dalam persamaan Schrodinger untuk potensial Gendenshtein I
dimaksudkan agar persamaan schrodinger dapat berubah menjadi persamaan
perantara hypergeometry. Dengan mensubstitusikan persamaan (3.17), (3.18),
(3.19) dan (3.20) ke dalam persamaan (3.16) serta memisalkan
ℎ
E = − k (3.20a)
maka diperoleh persamaan perantara hypergeometry sebagai berikut.
2
H
1−
+
−
2
+
H
H
+
H
+
= 0
(3.21)
Persamaan (3.21) merupakan persamaan perantara hypergeometry yang
mempunyai titik regular singular di titik z = 0 dan z = 1. Dengan mensubstitusikan
harga z mendekati nol maka persamaan (3.21) berubah menjadi
1−
2
H
+
−
2
+
H
H
= 0
(3.22)
Dimana
{. − k
+
} +
= −2
2 − 1 maka =
(
commit to user
)
(3.23)
31
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.23) ke persamaan (3.22) maka
persamaan (3.22) menjadi
2
H
1−
+
2
+
H
−
= 0
H
(3.24)
Penyelesaian persamaan (3.24) untuk harga z mendekati nol berbentuk
deret yang dinyatakan sebagai
∑~
≈
−
H
−
n
(3.25)
= −
2
H
1−
n
2
H
=
( + 2)( + 3)
(
H
=
−
1−
+
(
(
+ ⋯)
+
− 1
+
+
+ 1
+
+ ( + 2)
+ 1
+ ⋯)
(3.25a)
+
+ 3
+
⋯ ) (3.25b)
+ ( + 1)( + 2)
+
(3.25c)
Persamaan (3.25a), (3.25b), (3.25c) disubstitusikan ke dalam persamaan
(3.24) sehingga diperoleh persamaan identitas atau persamaan polynomial dalam z
dimana dari harga koefisien untuk z terendah yang sama dengan nol menghasilkan
index equation sehingga diperoleh dua harga s yaitu
= ±
~
(3.26)
Dan penyelesaian di sekitar titik z = nol dapat dinyatakan sebagai
(3.27)
Untuk z = 1 maka persamaan (3.21) menjadi
1−
2
H
.+ k
+
Dimana
+
−
+
2
−
H
H
= 0
commit to user
)
= − 2 (2 − 1) maka =
(3.28)
(3.29)
32
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Dengan
cara
yang
sama
seperti
pada
persamaan
(3.24)maka
penyelesaiannya dapat ditulis
~ 1 −
(3.30)
Sehingga penyelesaian bentuk umum potensial Gendenshtein I dapat
dinyatakan sebagai
=
1−
( )
(3.31)
Dengan menentukan turunan pertama dan kedua terhadap fungsi z
persamaan (3.31) dan mensubstitusikan ke persamaan perantara hypergeometry
(3.21) maka diperoleh
3
H
1−
+
2 +
3
H
− (2 + 2 + 1)
+{
− ( +
) } = 0
(3.32)
Persamaan (3.32) merupakan persamaan tipe hypergeometry yang
penyelesaiannya dinyatakan sebagai
( ), .); ), )
=
dimana
)
=
+
+ , .) =
(3.33)
+
− dan
)
= 2 +
,
+
= −
Persamaan (3.33) merupakan deret pangkat tinggi hypergeometry yang
akan memberikan deret terbatas bila deret pada persamaan (3.33) terputus dan
deret terputus pada derajat ke n bila
)
= − Ǵatau. ) = − Ǵ
(3.34)
Bila pada persamaan (3.34) kita pilih a) = − n maka α + β + k = − n
sehingga diperoleh
=
− Ǵ
(3.35)
commit to user
33
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Dengan mensubstitusikan persamaaan (3.35) ke persamaan (3.20a) maka
diperoleh spektrum energi untuk potensial Gendenshtein I, yaitu
ℎ
2
"= −
ℎ
" = − ( − Ǵ)
"n = −
ℎ
( − Ǵ)
(3.36)
Persamaan (3.36) mengandung variabel
dan Ǵ. Dengan
adalah
konstanta bilangan bulat yang menunjukkan kedalaman suatu partikel di dalam
sumur potensial Gendenshtein, sedangkan Ǵ merupakan bilangan kuantum.
Persamaan gelombang untuk potensial Gendenshtein I diperoleh dengan
mensubstitusikan persamaan (3.17), (3.23), (3.29) ke persamaan (3.31) sehingga
diperoleh
=(
n
) (
=(
n
) (
n
n
)
n
)
=(
a.
ȬS
)
n
=
(
( ), .); ), )
)
(1 − )
( )
( ), .); ), )
( ), .); ), )
(3.37)
Persamaan Gelombang Tingkat Dasar
Persamaan gelombang tingkat dasar diperoleh dengan penjabaran sebagai
berikut:
)
, .); ) ,
= 1+
>
H
!
(3.38)
commit to user
34
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
)
Dimana
)
= − Ǵ,
= − + , .′ = − − ,
′
= −
− Ǵ dan Ǵ = 0, maka
=
)
)
, .); ),
, .); ) ,
− k. +
= 1+
= 1+
1
2
,
n
Ǵ=
(− Ǵ)(−
,
dengan
− )
(− − k. + ) 1!
(0)(− 2 + Ǵ) 1 − k kǴ
ℎ9
2
(− − k. + )
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat dasar sebgai berikut:
= (
b.
ȬS
)
(
n
)
(3.39)
Persamaan Gelombang Tingkat Pertama
Persamaan gelombang tingkat pertama diperoleh dengan penjabaran
sebagai berikut:
)
)
Dimana
)
= − Ǵ,
)
=
, .); ),
= 1+
)
= − + , .′ = − − ,
− Ǵ
, .); ),
Ǵ = 1, maka
= 1+
)
, .); ),
(− Ǵ)(−
)
′
1!
= −
(− − k. + ) 1!
= 1+
+
− )
.)
+
+
)
)
(
− k. +
+ 1). ) (. ) + 1)
) )
+ 1
2!
1
2
,
Ǵ=
n
,
dengan
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− −
(− Ǵ)(− − ( − Ǵ))
(− − k. + )
− − k. +
− − k. +
1!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − ( − Ǵ))(− − ( − Ǵ) + 1)
− − k. +
commit to user
+ 1)
− − k. +
2!
2!
35
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
)
, .); ),
= 1+
+
)
, .); ),
(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)
(− − k. + ) 1!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)
− − k. +
(− 1)(− 2 + 1)
= 1+
)
(− − k. + ) 1!
, .); ),
= 1+
− − k. +
2!
(− 1)(− 1 + 1)(− 2 + 1)(− 2 + 2)
+
− − k. +
− − k. +
(− 1)(− 2 + 1) 1 − k kǴ
ℎ9
2
(− − k. + )
2!
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat pertama sebgai berikut:
= (
c.
ȬS
)
(
n
)
(
1+
(
)(
)
)
n
(3.40)
Persamaan Gelombang Tingkat Kedua
Persamaan gelombang tingkat kedua diperoleh dengan penjabaran sebagai
berikut:
)
)
Dimana
)
= − Ǵ,
)
, .); ),
= 1+
+
= − + , .′ = − − ,
=
− Ǵ
, .); ),
)
′
)
(
.)
)
)
+ 1)(
= −
Ǵ = 2, maka
= 1+
+
(− Ǵ)(−
− )
1!
+
(− − k. + ) 1!
)
− k. +
+
)
)
(
)
+ 1). ) (. ) + 1)
) )
+ 1
2!
+ 2). ) (. ) + 1)(. ) + 2)
)
+ 1 )+ 2
3!
1
2
,
Ǵ=
n
,
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− −
− − k. +
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− − )(− −
(− − k. + ) − − k. +
commit to user
− − k. +
+ 1)(− −
− − k. +
dengan
+ 1)
2!
+ 2)
3!
36
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
)
, .); ),
−Ǵ − −
= 1+
−Ǵ −Ǵ+ 1 − −
+
− − k. +
, .); ),
+
− −
− − k. +
− Ǵ + 1
− Ǵ )(− −
2!
− Ǵ + 1)(− −
− k. +
− − k. +
(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)
(− − k. + ) 1!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)
− − k. +
− − k. +
2!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2)
+
, .); ),
− Ǵ
(− − k. + ) −
= 1+
)
1!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− −
+
)
− − k. +
− Ǵ
(− − k. + ) − − k. +
(− 2)(− 2 + 2)
= 1+
(− − k. + ) 1!
+
)
+
− − k. +
(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2 + 3)
− − k. +
− − k. +
(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2 + 2)(− 2 + 3)(− 2 + 4)
, .); ),
+
(− − k. + ) − − k. +
= 1+
− − k. +
(− 2)(− 2 + 2) 1 − k kǴ
ℎ9
2
(− − k. + )
(− 2)(− 1)(− 2 + 2)(− 2 + 3) 1 − k
− − k. +
− − k. +
8
2!
3!
kǴ
ℎ9
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat kedua sebagai berikut:
= (
ȬS
1+
)
(
(
)(
n
(
)
)
)
n
+
( )(
_
)(
)
commit
to user
n
(3.41)
3!
− Ǵ +
37
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
d.
Persamaan Gelombang Tingkat Ketiga
Persamaan gelombang tingkat ketiga diperoleh dengan penjabaran sebagai
berikut:
)
, .); ),
+
)
Dimana
)
= − Ǵ,
)
+
− Ǵ
, .); ),
.)
)
)
(
)
+ 1)(
)
)
(
)
+ 1)(
)
)
= − + , .′ = − − ,
=
)
= 1+
′
= −
+
+
)
(− Ǵ)(−
− )
+ 1). ) (. ) + 1)
) )
+ 1
2!
− k. +
+
1
2
,
Ǵ=
n
,
dengan
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− −
− − k. +
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− − )(− −
(− − k. + ) − − k. +
(− − k. + ) −
+
− k. +
+ 1)
− − k. +
+ 1)(− −
− − k. +
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− − )(− −
= 1+
+
)
(
+ 2)( ) + 3). ) (. ) + 1)(. ) + 2)(. ) + 3)
) )
+ 1 )+ 2 )+ 3
4!
(− − k. + ) 1!
, .); ),
+
)
+ 2). ) (.) + 1)(. ) + 2)
)
+ 1 )+ 2
3!
Ǵ = 3, maka
= 1+
1!
+
2!
+ 2)
3!
+ 1)(− −
− − k. +
+ 2)(− −
− − k. +
(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)
(− − k. + ) 1!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)
− − k. +
− − k. +
2!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2)
(− − k. + ) − − k. +
− − k. +
3!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2)(− 2
(− − k. + ) −
commit to user
− k. +
− − k. +
− − k. +
38
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
)
, .); ),
(− 3)(− 2 + 3)
= 1+
(− − k. + ) 1!
+
)
(− 3)(− 3 + 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)
− − k. +
− − k. +
(− 3)(− 2)(− 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5)
, .); ),
+
+
+
(− − k. + ) − − k. +
= 1+
− − k. +
(− 3)(− 2 + 3) 1 − k kǴ
ℎ9
2
(− − k. + )
(− 3)(− 2)(− 2 + 3)(− 2 + 4) 1 − k
− − k. +
− − k. +
8
2!
3!
kǴ
ℎ9
(− 3)(− 2)(− 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5) 1 − k kǴ
ℎ9
48
(− − k. + ) − − k. +
− − k. +
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat ketiga sebagai berikut:
= (
ȬS
1+
(
2.
(
)
(
)(
(
)(
)
(
n
)
)(
)
)
n
)(
+
( )(
)
n
)(
)
n
+
(3.42)
Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial
Gendenshtein II Menggunakan Metode Hypergeometry
Energi potensial partikel yang dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein II
dinyatakan sebagai
ℎ
33=
n
−
ℎ
(
n
) ȬS
(3.43)
Persamaan Schrodinger untuk potensial Gendenshtein II dapat dinyatakan
sebagai
commit to user
39
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
−
ℎ 2
ℎ
+
ℎ
−
n
(
n
) ȬS
= "
(3.44)
Variabel yang akan disubstitusikan ke dalam persamaan (3.44) adalah
cosh x =1-2z makasinh x= 2
( − 1)
(3.45)
Dengan mensubstitusikan varibel ke dalam persamaan (3.45) maka
diperoleh bentuk umum sebagai berikut
− 1
2
H
+
2
H
−
–
− 2.
H H
+
H H
H
= −
ℎ
"
(3.46)
Jika dimisalkan
ℎ
"= −
(3.47)
dan karenaH(
1−
2
H
H)
+
=
H
−
+
H
, maka persamaan (3.46) menjadi
2
+
H
−
{
H
}
−
{
(
}
H)
= 0 (3.48)
Persamaan (3.48) merupakan persamaan perantara hypergeometry yang
mempunyai dua buah titik regular singular di titik z = 0 atau z = 1. Dengan
menggunakan langkah yang sama seperti pada potensial Gendenshtein I maka
penyelesaian umum untuk potensial Gendenshtein II dapat dinyatakan sebagai
=
(1 − )
( )
(3.49)
Untuk z = 0 maka ψ~z (3.50a) dan untuk z = 1 maka ψ~(1 − z) (3.50b).
Dimana dilakukan substitusi parameter yang diperoleh dari index equation
sebagai berikut
commit to user
40
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
{
+
− .} −
= 2 (2 − 1) dengan =
{
+
+ .} −
= 2 (2 − 1)dengan =
(3.51a)
(3.51b)
Dengan menentukan turunan pertama dan kedua terhadap fungsi z
persamaan (3.49) dan mensubstitusikan ke persamaan (3.48) maka diperoleh
3
H
1−
+
2 +
− (2 + 2 + 1)
3
− {(
H
+
) −
} = 0
(3.52)
Persamaan (3.52) merupakan persamaan tipe hypergeometry, dengan
membandingkan parameter persamaan (2.1) dengan persamaan (3.52) maka
diperoleh
)
=
+
+ , .) =
Apabila diambil
=
)
− Ǵ
+
−
= −Ǵ =
dan
+
)
= 2 + ,
+
= −
(3.53)
+ maka akan diperoleh
(3.54)
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.54) ke persamaan (3.47) diperoleh
spektrum energi potensial Gendenshtein II sebagai berikut.
"n = −
ℎ
( − Ǵ)
(3.55)
Dengan membandingkan persamaan (2.1) dengan persamaan (3.52) dapat
diperoleh penyelesaian persamaan (3.52) yang merupakan fungsi hypergeometry
yaitu
( )=
)
, .); );
= ∑n
(
) ( ) H
(> )
n!
commit to user
(3.56)
41
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Dengan memasukkan persamaan (3.45), (3.51a),(3.51b) dan (3.56) ke
dalam persamaan (3.49), maka diperoleh persamaan fungsi gelombang untuk
potensial Gendenshtein II yang dituliskan sebagai berikut.
=
>Ė
=
a.
2 1
>Ė
−
1−
+
2
,−
eℎ9
−
1+
;−
+ .+
2
1
2
eℎ9
>Ė
;
(3.57)
Persamaan Gelombang Tingkat Dasar
Persamaan gelombang tingkat dasar diperoleh dengan penjabaran sebagai
berikut:
)
, .); ) ,
= 1+
>
H
!
(3.58)
1
Dimana ′ = − + , .′ = − − , ′ = − + . + 2 ,
− Ǵ,
=
− Ǵ
Ǵ = 0, maka
)
)
, .); ),
, .); ),
= 1+
= 1+
Ǵ=
(− Ǵ)(−
>Ė
dengan
)
=
− )
(− + . + ) 1!
(0)(− 2 + Ǵ) 1 −
(− + . + )
,
2
eℎ9
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat dasar sebgai berikut:
=
b.
>Ė
(3.59)
>Ė
Persamaan Gelombang Tingkat Pertama
Persamaan gelombang tingkat pertama diperoleh dengan penjabaran
sebagai berikut:
commit to user
42
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
)
)
)
,. ; ,
)
= 1+
.)
)
1!
+
)
)
(
1
Dimana ′ = − + , .′ = − − , ′ = − + . + 2 ,
− Ǵ,
=
)
− Ǵ
Ǵ = 1, maka
, .); ),
= 1+
)
(− Ǵ)(−
(− + . + ) 1!
, .); ),
= 1+
+
)
− )
− + .+
+ .+ )
− + .+
, .); ),
+
, .); ),
>Ė
,
)
+ 1)
− + .+
=
2!
1!
− + .+
2!
(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)
+ . + ) 1!
(−
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)
− + .+
(− 1)(− 2 + 1)
= 1+
)
dengan
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − ( − Ǵ))(− − ( − Ǵ) + 1)
= 1+
)
Ǵ=
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− −
+
(− Ǵ)(− − ( − Ǵ))
(−
+ 1). ) (. ) + 1)
) )
+ 1
2!
(− + . + ) 1!
, .); ),
= 1+
+
− + .+
2!
(− 1)(− 1 + 1)(− 2 + 1)(− 2 + 2)
− + .+
(− 1)(− 2 + 1) 1 −
(− + . + )
− + .+
2
eℎ9
2!
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat pertama sebagai berikut:
>Ė
=
c.
>Ė
1+
(
(
)(
)
)
>Ė
(3.60)
Persamaan Gelombang Tingkat Kedua
Persamaan gelombang tingkat kedua diperoleh dengan penjabaran sebagai
berikut:
commit to user
43
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
)
)
)
,. ; ,
= 1+
)
+
)
(
.)
)
)
1!
+
+ 1)(
)
)
)
1
)
(
+ 1). ) (. ) + 1)
) )
+ 1
2!
+ 2). ) (. ) + 1)(. ) + 2)
)
+ 1 )+ 2
3!
Dimana ′ = − + , .′ = − − , ′ = − + . + 2 ,
− Ǵ,
=
)
− Ǵ
Ǵ = 2, maka
, .); ),
= 1+
+
)
(− Ǵ)(−
(− + . + ) 1!
)
−Ǵ − −
−
−Ǵ −Ǵ+ 1 − −
− + .+
(−
= 1+
+
)
, .); ),
= 1+
1!
− Ǵ
dengan
− −
− + .+
+ 1)(− −
− Ǵ + 1
− Ǵ )(− −
+ .+ ) − + .+
)
+ 1)
− + .+
− + .+
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− −
, .); ),
+
− + .+
− Ǵ
+ .+
,
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− −
(− + . + ) − + . +
= 1+
+
+
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− − )(− −
, .); ),
+
− )
>Ė
Ǵ=
=
2!
+ 2)
3!
2!
− Ǵ + 1)(− −
− + .+
(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)
(−
+ . + ) 1!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)
− + .+
− + .+
2!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2)
(− + . + ) − + . +
(− 2)(− 2 + 2)
(− + . + ) 1!
+
− + .+
(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2 + 3)
commit to user
− + .+
− + .+
2!
3!
− Ǵ +
44
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)(− 2 + 2)(− 2 + 3)(− 2 + 4)
+
)
(− + . + ) − + . +
, .); ),
+
= 1+
(− 2)(− 2 + 2) 1 −
(− + . + )
− + .+
2
eℎ9
(− 2)(− 1)(− 2 + 2)(− 2 + 3) 1 −
− + .+
−
+ .+
8
3!
eℎ9
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat kedua sebagai berikut:
>Ė
=
1+
d.
>Ė
(
(
)(
)
)
>Ė
( )(
+
_
)(
)
>Ė
(3.61)
Persamaan Gelombang Tingkat Ketiga
Persamaan gelombang tingkat ketiga diperoleh dengan penjabaran sebagai
berikut:
)
, .); ),
+
+
)
= 1+
.)
)
)
(
)
+ 1)(
)
)
(
)
+ 1)(
)
)
1!
)
+
=
)
− Ǵ
, .); ),
= 1+
+
(− Ǵ)(−
− )
+ 1). ) (. ) + 1)
) )
+ 1
2!
+ 2)( ) + 3). ) (. ) + 1)(. ) + 2)(. ) + 3)
) )
+ 1 )+ 2 )+ 3
4!
1
Ǵ = 3, maka
)
+ 2). ) (.) + 1)(. ) + 2)
)
+ 1 )+ 2
3!
Dimana ′ = − + , .′ = − − , ′ = − + . + 2 ,
− Ǵ,
(
(− + . + ) 1!
+
Ǵ=
>Ė
,
dengan
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− − )(− −
− + .+
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− − )(− −
(− + . + ) − + . +
commit to user
− + .+
+ 1)(− −
− + .+
)
+ 1)
=
2!
+ 2)
3!
45
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
+
)
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− − )(− −
(− + . + ) −
, .); ),
= 1+
+
+
+
)
, .); ),
+ .+
+ 1)(− −
− + .+
(−
+ . + ) 1!
− + .+
− + .+
2!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2)
(− + . + ) − + . +
− + .+
3!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ + 2)(− 2
= 1+
(− 3)(− 2 + 3)
+
− + .+
(− 3)(− 3 + 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)
− + .+
− + .+
(− 3)(− 2)(− 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5)
, .); ),
+
+
(− + . + ) − + . +
(− + . + ) 1!
)
(− + . + ) − + . +
= 1+
(− 3)(− 2 + 3) 1 −
(− + . + )
− + .+
2
eℎ9
(− 3)(− 2)(− 2 + 3)(− 2 + 4) 1 −
− + .+
−
+ .+
8
(− 3)(− 2)(− 1)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5) 1 −
(−
+ .+ ) − + .+
− + .+
>Ė
commit to user
2!
3!
eℎ9
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat ketiga sebagai berikut:
>Ė
− + .+
(− Ǵ)(− 2 + Ǵ)
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− 2 + Ǵ)(− 2 + Ǵ + 1)
+
=
+ 2)(− −
eℎ9
48
46
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
(
1+
)(
(
3.
(
)(
(
)
)
)(
)
>Ė
+
)(
)
( )(
)(
)
>Ė
>Ė
+
(3.62)
Penjabaran Penyelesaian Persamaan Schrodinger untuk Potensial Rosen
Morse II Menggunakan Metode Hypergeometry
Energi partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse II
dinyatakan sebagai:
33=
−
ℎ
(
>Ė
)
− 2
N ℎ9
Ǵ
(3.63)
Persamaan Schrodinger untuk potensial Rosen Morse II dapat dinyatakan
sebagai:
−
ℎ 2
−
ℎ
>Ė
− 2 N Ǵℎ9 = "
(3.64)
Dari persamaan (3.64) dapat dilihat bahwa variabel fungsi pada potensial
Rosen Morse II dapat dinyatakan sebagai fungsi tunggal yaitu tanhx, maka
substitusi variabelnya adalah
N Ǵℎ9 = 1 − 2
(3.65)
Dengan cara yang sama dengan uraian pada potensial Gendenshtein I dan
II, maka hasil penyelesaian persamaan schrodinger untuk potensial Rosen Morse
diperoleh sebagai berikut.
1−
2
H
+ 1− 2
2
H
+
( + 1) −
H
−
(
H)
= 0
(3.66)
Persamaan (3.66) adalah persamaan tipe hypergeometry yang mempunyai
dua buah titik regular singular di titik z=0 dan z=1, maka dapat diselesaikan
seperti pada penyelesaian persamaan (3.21) dan (3.48) sehingga diperoleh dua
commit to user
buah penyelesaian pendekatan yaitu
47
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Untuk z =0, ~ dengan2 −
= 4
(3.66a)
Untuk z = 1, ~(1 − ) dengan− 2 −
= 4
(3.66b)
Berdasarkan penyelesaian pendekatan di titik z=0 dan z=1 dapat diperoleh
bentuk penyelesaian secara umum yaitu
=
(1 − )
( )
(3.67)
Dengan cara yang sama seperti pada potensial Gendenshtein I dan II maka
diperoleh spektrum energi untuk potensial Rosen Morse II sebagai berikut.
"n = −
ℎ
n
+
− Ǵ
Persamaan
(3.68)
(3.68)
mengandung
variabel
q, ν dan n.
Dengan
q dan ν merupakan konstanta bilangan bulat yang menunjukkan kedalaman
partikel dalam suatu sumur potensial Rosen Morse II. Jika membandingkan
persamaan (3.36) dan (3.55) dengan (3.68) dan menganggap a = ν, tampak bahwa
persamaan (3.36), (3.55) dan (3.68) memiliki kesamaan namun pada persamaan
(3.68) terdapat faktor tambah yaitu
faktor koreksi.
D
. Dimana faktor tambah ini merupakan
Persamaan gelombang secara umum dapat dituliskan sebagai
=
n
=
=
=
=
n
n
(
>
(
n)
>
(
n) >Ė
( )
( ) , .); ) , )
n
)
n
n
(1 − )
(
n
)
(
(
)
( ), .); ), )
( ), .); ), )
)
commit
to user
( ) , .); ) , )
(3.69)
48
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
a.
Persamaan Gelombang Tingkat Dasar
Persamaan gelombang tingkat dasar diperoleh dengan penjabaran sebagai
berikut:
)
Dimana
)
, .); ) ,
)
= −Ǵ
= 1+
H
!
>
(3.70)
= − Ǵ, .′ = 2 − Ǵ + 1,
Ǵ = 0, maka
)
)
′
=
, .); ) ,
, .); ),
− Ǵ+
+
1
2
,
n
Ǵ=
,
dengan
(− Ǵ)( 2 − Ǵ + 1)
= 1+
= 1+
−Ǵ
( − Ǵ+
−Ǵ
1
+ ) 1!
2
(0)( 2 − Ǵ + 1) 1 − N Ǵℎ9
1
2
( − Ǵ+
+ )
−Ǵ
2
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat dasar sebagai berikut:
>
=
b.
(
n) >Ė
n
(
)
(3.71)
Persamaan Gelombang Tingkat Pertama
Persamaan gelombang tingkat pertama diperoleh dengan penjabaran
sebagai berikut:
)
Dimana
)
= −Ǵ
)
, .); ),
= 1+
= − Ǵ, .′ = 2 − Ǵ + 1,
Ǵ = 1, maka
)
, .); ),
= 1+
+
′
=
)
.)
)
1!
− Ǵ+
)
+
−Ǵ
)
(
+
1
2
,
+ 1). ) (. ) + 1)
) )
+ 1
2!
n
Ǵ=
,
(− Ǵ)( 2 − Ǵ + 1)
( − Ǵ+
−Ǵ
1
+ ) 1!
2
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2)
1
commit
− Ǵ + to user
+
−Ǵ
2
− Ǵ+
−Ǵ
+
3
2
2!
dengan
49
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
)
, .); ),
(− 1)( 2 − 1 + 1)
= 1+
( − 1+
)
−1
, .); ),
1
+ ) 1!
2
= 1+
+
(− 1)(− 1 + 1)( 2 − 1 + 1)( 2 − 1 + 2)
− 1+
−1
+
1
− 1+
2
(− 1)( 2 ) 1 − N Ǵℎ9
+ 0
1
2
( +
− )
−1
−1
3
+
2
2!
2
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat pertama sebagai berikut:
>
=
c.
(
n) >Ė
n
(
)
1+
(
(
)(2 )
n
1
+
− )
−1 2
(3.72)
Persamaan Gelombang Tingkat Kedua
Persamaan gelombang tingkat kedua diperoleh dengan penjabaran sebagai
berikut:
)
Dimana
−Ǵ
)
, .); ),
= 1+
+
= − Ǵ, .′ = 2 − Ǵ + 1,
Ǵ = 2, maka
)
, .); ),
= 1+
+
+
)
′
(
=
)
.)
)
+ 1)(
)
)
+
1!
)
)
− Ǵ+
)
(
+ 1). ) (. ) + 1)
) )
+ 1
2!
+ 2). ) (.) + 1)(. ) + 2)
)
+ 1 )+ 2
3!
−Ǵ
+
1
2
,
n
Ǵ=
,
dengan
)
=
(− Ǵ)( 2 − Ǵ + 1)
( − Ǵ+
−Ǵ
1
+ ) 1!
2
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2)
− Ǵ+
−Ǵ
+
1
− Ǵ+
2
−Ǵ
+
3
2
2!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 3)
− Ǵ+
−Ǵ
+
1
2
− Ǵ+
commit to user
−Ǵ
+
3
2
− Ǵ+
−Ǵ
+
5
2
3!
50
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
)
, .); ),
(− 2)( 2 − 2 + 1)
= 1+
( − 2+
+
)
−2
1
+ ) 1!
2
+
(− 2)(− 2 + 1)( 2 − 2 + 1)( 2 − 2 + 2)
− 2+
−2
+
1
− 2+
2
+
−2
3
2
2!
(− 2)(− 2 + 1)(− 2 + 2)( 2 − 2 + 1)( 2 − 2 + 2)( 2 − 2 + 3)
− 2+
, .); ),
= 1+
+
−2
+
1
− 2+
2
−2
+
3
− 2+
2
(− 2)( 2 − 1) 1 − N Ǵℎ9
3
2
( +
− )
+
−2
2
(2)( 2 − 1)( 2 )
−2
3
−
+
2
−
−2
1
2
1 − N Ǵℎ9
8
−2
+
5
2
3!
+ 0
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat kedua sebagai berikut:
1+
d.
(
(
)( 2 − 1)
=
n
3
+
− )
−2 2
+
(
ℎ9
2
n)
( )( 2 − 1)( 2 )
3
+
−
−2 2
eℎ9 +
2
kǴ
ℎ9
(
)
n
1
+
−
−2 2
(3.73)
Persamaan Gelombang Tingkat Ketiga
Persamaan gelombang tingkat ketiga diperoleh dengan penjabaran sebagai
berikut:
)
Dimana
)
= −Ǵ
)
, .); ),
+
)
)
.)
(
)
+ 1)(
+ 1)(
)
= 1+
(
)
= − Ǵ, .′ = 2 − Ǵ + 1,
Ǵ = 3, maka
)
+
′
=
)
1!
+
)
)
)
(
+ 1). ) (. ) + 1)
) )
+ 1
2!
+ 2). ) (.) + 1)(. ) + 2)
) )
+ 1
3!
+ 2)( ) + 3). ) (. ) + 1)(. ) + 2)(. ) + 3)
) )
+ 1 )+ 2 )+ 3
4!
− Ǵ+
−Ǵ
+
commit to user
1
2
,
Ǵ=
n
,
dengan
51
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
)
, .); ),
(− Ǵ)( 2 − Ǵ + 1)
= 1+
+
+
+
)
, .); ),
= 1+
( − Ǵ+
1
+ ) 1!
2
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2)
− Ǵ+
1
+
−Ǵ
− Ǵ+
2
−Ǵ
+
3
2
2!
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 3)
− Ǵ+
−Ǵ
+
1
− Ǵ+
2
+
−Ǵ
3
− Ǵ+
2
−Ǵ
3!
5
+
2
(− Ǵ)(− Ǵ + 1)(− Ǵ + 2)(− Ǵ + 3)( 2 − Ǵ + 1)( 2 − Ǵ + 2)( 2 − Ǵ + 3)( 2 −
− Ǵ+
−Ǵ
(− 3)( 2 − 3 + 1)
( − 3+
+
−Ǵ
−3
1
+ ) 1!
2
+
+
1
− Ǵ+
2
−Ǵ
3
+
− Ǵ+
2
+
−Ǵ
5
− Ǵ+
2
(− 3)(− 3 + 1)( 2 − 3 + 1)( 2 − 3 + 2)
− 3+
+
−3
1
− 3+
2
3
+
−3
2
2!
(− 3)(− 3 + 1)(− 3 + 2)( 2 − 3 + 1)( 2 − 3 + 2)( 2 − 3 + 3)
+ 0
− 3+
)
−3
+
1
− 3+
2
, .); ),
= 1+
+
+
−3
+
3
− 3+
2
−3
+
=
(
n)
2
(− 3)( 2 − 2) 1 − N Ǵℎ9
5
2
( +
− )
−3
2
(6)( 2 − 2)( 2 − 1)
+
−3
−
+
−3
−
5
2
+
−3
−
+
−3
−
3
2
1 − N Ǵℎ9
8
(− 6)( 2 − 2)( 2 − 1)( 2 )
5
2
3
2
+
−3
Sehingga diperoleh persamaan gelombang tingkat ketiga sebagai berikut:
ℎ9
2
5
eℎ9 +
2
commit to user
kǴ
ℎ9
(
)
−
1
2
3!
3!
−Ǵ
+
7
2
52
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
1+
+
5
−1 2
+
n
2 −2
−
(
+
+
5
−2 2
−
)( 2 − 2)( 2 − 1)( 2 )
5
+
−
−3 2
3
+
−
−3 2
n
2 −2 2 −1
3
−2 2
+
−
1
+
−
−3 2
(3.74)
n
E. Diagram Penelitian
a. KajianpotensialGendeshtein I
b. KajianpotensialGendeshtein II
c. KajianpotensialRosen Morse II
Pembuatan Program
Analisa
Gambar 3.1 Diagram Penelitian
Gambar 3.1 menunjukkan digram atau alur penelitian yang dilakukan.
Penelitian dimulai dari kajian potensial yang terdiri dari potensial Gendenshtein I,
Gendenshtein II dan Rosen Morse II menggunakan metode hypergeometry. Hasil
kajian ini diperoleh persamaan fungsi gelombang dan spektrum energi masingmasing potensial. Setelah mengkaji ketiga potensial tersebut, membuat program
simulasi
dengan
memvisualisasikan
menggunakan
bahasa
pemograman
persamaan-persamaan
yang
Delphi
diperoleh.
7.0
untuk
Selanjutnya
menganalisa hasil grafik dengan mengghubungkan grafik simulasi yang diperoleh
dengan persamaan yang digunakan.
1.
Flowchart Pemrograman dengan operator
a. Gendeshtein I
START
commit to user
Masukkannilaia dan b
Persamaan(3.15)
53
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Persamaan (3.36)
Gambar 3.2 Flowchart potensial Gendenshtein I
Gambar 3.2 menunjukkan flowchart atau diagram untuk program simulasi
potensial Gendenshtein I menggunakan bahasa Delphi 7.0. Adapun langkahlangkah pengoperasian program sebagai berikut. Program dimulai dari start yaitu
dengan mengklik tombol run pada program yang telah dibuat. Kemudian program
akan meminta masukkan data yaitu a dan b dimana a dan b merupakan konstanta
yang nilainya berupa bilangan bulat. Data kemudian akan diolah sesuai persamaan
(3.15), (3.36), dan (3.39) untuk menampilkan grafik potensial efektif, fungsi
gelombang, probabilitas dan tabel tingkat energi. Program ini diakhiri dengan stop
artinya mengakhiri program atau keluar dari program yaitu dengan mengklik
tombol exit.
b. Gendenshtein II
Gambar 3.3 menunjukkan flowchart atau diagram untuk program simulasi
commit tobahasa
user Delphi 7.0. Adapun langkahpotensial Gendenshtein II menggunakan
54
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
langkah pengoperasian program sebagai berikut. Program dimulai dari start yaitu
dengan mengklik tombol run pada program yang telah dibuat. Kemudian program
akan meminta masukkan data yaitu a dan b dimana a dan b merupakan konstanta
yang nilainya berupa bilangan bulat. Jika data yang dimasukkan tidak memenuhi
syarat yang telah ditentukan (Gambar 3.3) maka program akan meminta
mengulangi masukan. Jika data memenuhi syarat maka data akan diolah sesuai
persamaan (3.43), (3.59), (3.60) dan (3.55) untuk menampilkan grafik potensial
efektif, gelombang dasar, gelombang tingkat pertama, probabilitas tingkat dasar,
probabilitas tingkat pertama dan tabel tingkat energi. Program ini diakhiri dengan
stop artinya mengakhiri program atau keluar dari program yaitu dengan mengklik
tombol exit.
START
tidak
Masukkannilai a dan b
-a+b = bilangan
genap
ya
Persamaan (3.43)
Persamaan (3.59)
Persamaan (3.60)
Persamaan (3.61)
Persamaan (3.62)
commit to
Persamaan (3.55)
user
GrafikVeff,fungsi gelombang (psi), probabilitas dan tabel tingkat energi
55
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Gambar 3.3 Flowchart potensial Gendenshtein II
c. Rosen Morse II
START
tidak
Masukkannilai , q dan Ǵ
> Ǵ
Persamaan (3.63)
Persamaan (3.71)
Persamaan (3.72)
Persamaan (3.73)
Persamaan (3.74)
commit to user
Persamaan (3.68)
Grafik Veff, fungsi gelombang (psi), probabilitas dan tabel tingkat energi
ya
56
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Gambar 3.4 Flowchart potensial Rosen Morse II
Gambar 3.4 menunjukkan flowchart atau diagram untuk program simulasi
potensial Rosen Morse II menggunakan bahasa Delphi 7.0. Adapun langkahlangkah pengoperasian program sebagai berikut. Program dimulai dari start yaitu
dengan mengklik tombol run pada program yang telah dibuat. Kemudian program
akan meminta masukkan data yaitu , q dan n.
dan q merupakan konstanta yang
nilainya berupa bilangan bulat sedangkan n merupakan bilangan kuantum (0, 1, 2,
....). Jika data yang dimasukkan tidak memenuhi syarat yang telah ditentukan
(Gambar 3.4) maka program akan meminta mengulangi masukan. Jika data
memenuhi syarat maka data akan diolah sesuai persamaan (3.63), (3.71), (3.72),
(3.73), (3.74) dan (3.68) untuk menampilkan grafik potensial efektif, gelombang
dasar, probabilitas dan tingkat energi. Program ini diakhiri dengan stop artinya
mengakhiri program atau keluar dari program yaitu dengan mengklik tombol
keluar.
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi gelombang dan spektrum energi potensial Gendenshtein I,
Gendenshtein II dan potensial Rosen Morse IIdianalisis menggunakan metode
hypergeometry. Potensial efektif, rapat probabilitas dan fungsi gelombang dari
masing-masing potensial selanjutnya divisualisasikan menggunakan program
simulasi komputer dengan bahasa pemograman Delphi7. Dalam penelitian ini
juga dihitung tingkat energi dari masing-masing potensial secara numerik. Berikut
hasil analisis simulasi untuk masing-masing potensial.
A. Hasil Analitik Spektrum Energi dan Grafik Pemrograman Delphi 7.0
Simulasi potensial Gendenshtein dijalankan untuk mendapatkan Tabel
tingkat energi, grafik potensial, grafik fungsi gelombang dan grafik probabilitas.
Berikut merupakan hasil output simulasi.
1.
Potensial Gendenshtein I
a)
Spektrum Energi
Persamaan energi untuk potensial Gendenshtein I dan II adalah
samaseperti yang ditunjukkan pada persamaan (3.36) dan (3.55). Dengan
menentukan nilai dari variabel yaitu konstanta bilangan bulat yang berhubungan
dengan kedalaman partikel pada suatu potensialdan
merupakan bilangan
kuantum maka energi dari potensial Gendenshtein dapat dianalisis secara
numerik. Adapun hasil perhitunganenergi untuk potensial Gendenshtein dengan
ℎ:
= 1dapat di lihat pada Tabel 4.1.
commit to user
54
55
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Tabel 4.1 Tingkat energi potensial Gendenshtein
1
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
2
3
4
5
-1
-4
-1
-9
-4
-1
-16
-9
-4
-1
-25
-16
-9
-4
-1
Berdasarkan Tabel 4.1, tampak bahwa nilai energi untuk potensial
Gendenshtein berharga negatif. Hal tersebut menunjukan bahwa partikel berada di
dalam kotak atau sumur (boundstate).
b) Potensial efektif
Gambar 4.1 menunjukkan grafik potensial Gendenshtein Iyang diperoleh
dengan menggunakan pemograman Delphi7.0. Tampak bahwa grafik potensial
Gendenshtein I ini mirip dengan potensial sumur, di mana partikel terkurung di
dalam sumur pada batas tertentu (lihat Gambar 4.1a, 4.1b, 4.1c). Selama partikel
berada di dalam sumur, energi potensial dari sistem tidak akan terpengaruh oleh
lokasi partikel dan dapat diasumsikan bahwa energi potensial partikel sama
dengan nol dan bernilai tak terhingga jika partikel berada di luar sumur atau
batas.Oleh karena itu, syarat agar partikel dapat keluar atau berada di luar kotak
adalah jika sistem tersebut memiliki jumlah energi yang tak terhingga.
commit to user
56
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Grafik Potensial Efektif Gendenshtein I
Gambar 4.1a. Grafik simulasi potensial efektif dengan a = 10, b = 5,
Grafik Potensial Efektif Gendenshtein I
Gambar 4.1b. Grafik simulasi potensial efektif dengan a = 5, b = 10,
commit to user
ℎƴ
ƴ0
ℎƴ
ƴ0
=
=
57
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Grafik Potensial Efektif Gendenshtein I
Gambar 4.1c. Grafik simulasi potensial efektif dengan a = 10, b = 10,
ℎƴ
ƴ0
=
Grafik pada Gambar 4.1a, 4.1b, dan 4.1c mempunyai bentuk yang sama
walaupun nilai dari variabel-variabelnya berubah-ubah. Hal ini dikarenakan
potensial Gendenshtein I merupakan potensial shape invariance. Bentuk grafik
menunjukkan fungsi secans kuadart hiperbolik. Semakin kecil sudut (x) maka
nilai potensial efektif semakin mendekati nol. Nilai ini disebabkan oleh fungsi
secans hiperbolik. Sedangkan semakin besar sudut (x), maka nilai potensial efektif
semakin meningkat kemudian menurun pada sudut 0,15 (dalam radian).Hal ini
disebabkan karena faktor tambah dalam fungsi sinus hiperbolik. Pada Gambar
4.1b, sumur tampak lebih dangkal dibandingkan grafik pada Gambar 4.1a dan
4.1b, hal ini dikarenakan nilai dari variabel a lebih kecil daripada b. Semakin
besar variabel a maka semakin dalam sumur potensial. Adapun persamaan yang
menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.1 adalah persamaan (3.15).
commit to user
58
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
2.
Potensial Gendenshtein II
a)
Potensial efektif
Gambar 4.2 menunjukkan grafik potensial Gendenshtein IIyang diperoleh
dengan menggunakan pemograman Delphi 7.0. Jika diamati, grafik potensial
Gendenshtein II mirip dengan sumur potensial dimana sebuah sumur adalah
daerah yang menghadap ke atas dari kurva dalam sebuah diagram energi
potensial. Sumur potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh
potensial. Karena dinding potensial relatif dangkal (tidak tinggi), maka
kemungkinan elektron dapat ditemukan di daerah luar batas atau daerah di luar
sumur potensial.
Grafik Potensial Efektif Gendenshtein II
Gambar 4.2a. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk a = 6 dan b = 10,
commit to user
ℎƴ
ƴ0
=
.
59
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Grafik Potensial Efektif Gendenshtein II
Gambar 4.2b. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk a = 10 dan b = 6,
Grafik Potensial Efektif Gendenshtein II
Gambar 4.2c. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk a = 10 dan b = 10,
ℎƴ
ƴ0
=
.
ℎƴ
ƴ0
=
.
Bentuk grafik (4.2adan 4.2b) menunjukkan fungsi cosecans kuadrat
hiperbolik. Dari Gambar 4.2a, dan 4.2b tampak bahwa semakin x (sudut)
mendekati nol, maka harga potensial efektif semakin menuju tak terhingga. Nilai
tak berhingga ini disebabkan oleh faktor pengurang dalam fungsi cosinus
hiperbolik.Namun pada Gambar 4.2c dengan nilai variabel a dan b sama besar,
user
bentuk grafiknya berbeda. Bentukcommit
grafiktomenunjukkan
fungsi secans hiperbolik.
60
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Adapun persamaan yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.2 adalah
persamaan (3.43).
b) Gelombang Dasar
Gambar 4.3 menunjukkan grafik fungsi gelombang dasar potensial
Gendenshtein II yang diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi.
Tampak bahwa secara fisis fungsi gelombang tersebut memiliki arti bahwa pada
keadaan dasar (groundstate) maka energi yang dimiliki oleh partikel
Gendenshtein
II
dapat
dipresentasikan
oleh
fungsi
gelombang
yang
ternormalisasi. Normalisasi adalah sebuah pernyataan bahwa partikel berada pada
suatu titik dalam ruang. Semakin besar nilai x (sudut) maka nilai dari fungsi
gelombang pada keadaan groundstate semakin mendekati nol. Nilai ini
disebabkan fungsi secans hiperbolik. Karena jika melihat dari persamaan
gelombang yang dihasilkan dari persamaan (4.30), fungsi sinus hiperbolik dibagi
cosinus hiperbolik menuju nol atau mendekati nol.
Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II
Gambar 4.3a. Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan a = 6 dan b = 10.
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
61
digilib.uns.ac.id
Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II
Gambar 4.3b. Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan a = 10 dan b = 10.
Berdasarkan Gambar 4.3a dan 4.3b, tampak bahwa semakin besar nilai a
maka grafik akan bergeser ke arah kiri (x negatif). Menurut Max Born pada tahun
1926 (Agus Purwanto, 2006: 51) menyatakan bahwa fungsi gelombang atau
fungsi keadaan tidak memiliki arti secara fisis tetapi diinterpretasikan sebagai
kerapatan probabilitas. Apabila fungsi gelombang dari sebuah partikel sudah
diketahui maka kita dapat menghitung posisi rata-rata di mana kita berharap untuk
menemukan partikel setelah melakukan banyak pengukuran. Adapun persamaan
yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.3 adalah persamaan (3.59).
c)
Gelombang Tingkat Pertama
Gambar 4.4 menunjukkan grafik fungsi gelombang tingkat pertama untuk
potensial Gendenshtein II yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan
Delphi. Gambar (4.4) dapat dibentuk dari simulai persamaan (3.60). Hasil
simulasi persamaan (3.60) menunjukkan fungsi gelombang terdiri dari satu bukit
dan satu lembah yang terdiri dari dua amplitudo. Nilai x (sudut) semakin besar
maka fungsi gelombangnya semakin
keciltodan
mendekati nol. Hal ini dikarenakan
commit
user
62
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
dalam persamaan (3.60) berbentuk eksponensial. Berdasarkan Gambar 4.4a dan
4.4b, dengan variasi nilai a, tampak bahwa semakin besar nilaivariabel a grafik
semakin bergeser ke arah kiri sumbu x (x negatif).
Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II
Gambar 4.4a Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Tingkap Pertama
dengan a = 6 dan b = 10.
Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II
Gambar 4.4b Grafik Simulasi Fungsi Gelombang Tingkap Pertama
dengan a = 10 dan b = 10.
commit to user
63
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
d) Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar
Gambar 4.5 menunjukkan grafik probabilitas fungsi gelombang dasaryang
diperoleh dengan menggunakan perhitungan Delphi. Berdasarkan Gambar 4.5,
tampak bahwa grafik probabilitas fungsi gelombang dasar yang dihasilkan lebih
lancip dibandingkan grafik fungsi gelombang dasar. Menurut Max Born (Halliday
dan Resnick, 1984: 883) bahwa kuantitas probabilitas
di setiap titik adalah
ukuran dari kemungkinan adanya partikel tersebut di dekat titik tersebut. Secara
lebih tepat, maka jika sebuah elemen volume dV dibentuk pada titik tersebut,
kemungkinan bahwa partikel akan ditemukan di dalam elemen volume tersebut
pada suatu saat yang diberikan adalah
. Tafsiran
menyediakan sebuah
hubungan statistik di antara gelombang dan partikel yang diasosiasikan dengan
gelombang tersebut. Tafsiran tersebut menyatakan di mana partikel akan
cenderung berada, bukan di mana partikel tersebut berada.
Grafik Probabilitas Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II
Gambar 4.5a. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar
dengan a = 6 dan b = 10.
commit to user
64
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Grafik Probabilitas Gelombang Dasar Potensial Gendenshtein II
Gambar 4.5b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar
dengan a = 10 dan b = 10.
Untuk partikel yang dibatasi di antara dinding-dinding tegar seperti pada
Gambar 4.5a, maka kemungkinan bahwa partikel akan terletak di antara dua
bidang yang jaraknya adalah x dan x+dx dari sebuah dinding yaitu pada rentang
0,04 < x <0,24(dalam radian). Pada Gambar 4.5a, tampak bahwa partikel lebih
cenderung berada di dekat pusat (puncak) daripada di ujung-ujung. Hal ini sangat
bertentangan dengan hasil-hasil fisika klasik, dimana partikel tersebut mempunyai
kemungkinan yang sama untuk ditempatkan di mana saja di antara dindingdinding tersebut.Pada Gambar 4.5b, grafik bergeser kearah sumbu x negatif. Hal
ini dikarenakan nilai variabel a diperbesar. Gambar 4.5 dibentuk dari simulasi
persamaan
| | =
1 − Ėú
ℎ
1 + Ėú
ℎ
:
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
e)
65
digilib.uns.ac.id
Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
Grafik Probabilitas Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II
Gambar 4.6a. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
dengan a = 6 dan b = 10.
Grafik Probabilitas Gelombang Tingkat Pertama Potensial Gendenshtein II
Gambar 4.6b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
dengan a = 10 dan b = 10.
Gambar 4.6 menunjukkan probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama
potensial Gendenshtein II. Probabilitas ini merupakan representasi dari kuadrat
fungsi gelombang tingkat pertama yang menunjukkan peluang terdapatnya suatu
commit
to user
partikel dalam suatu daerah atau
kawasan
tertentu.Dua puncak grafik dapat
66
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
direpresentasikan sebagai peluang ditemukannya partikel terbesar. Grafik pada
Gambar 4.6a menunjukkan probabilitas maksimum ditemukannya partikel pada
sudutx = 0,07 dan x = 0,17 dalam radian. Semakin menjauh dari sudut x = 0,07
dan x = 0,17 peluang ditemukannya partikel semakin kecil hingga menuju 0.
Sedangkan pada Gambar 4.6b, tampak bahwa puncak grafik semakin bergeser ke
arah sumbu x negatif. Hal ini dikarenakan nilai dari variabel a semakin diperbesar.
Gambar 4.6 dibentuk dari simulasi persamaan
|
| =
1−
1+
2
Ėú
ℎ
Ėú
ℎ
3.
Potensial Rosen Morse II
a)
Spektrum Energi
− +
2
1+
(− 1)(− 2 + 1) 1 − Ėú
ℎ
1
2
(− + + 2)
Persamaan energi potensial Rosen Morse IIdinyatakan pada persamaan
(3.63).
Dengan
menentukan
nilai
dari
variabel
, yaitu konstanta bilangan bulat yang menunjukkan kedalaman partikel dalam
suatu sumur potensialdan
merupakan bilangan kuantum maka energi dari
potensial Rosen Morse II dapat dianalisis secara analitik. Adapun hasil
perhitungan energi untuk potensial Rosen Morse II dengan
ℎ:
pada Tabel 4.2.
= 1 dapat di lihat
Pada Tabel 4.2, tampak bahwa harga atau nilai energi untuk potensial
Rosen Morse dipengaruhi oleh tiga variabel yaitu variabel ,
dan . Semakin
jauh partikel (dalam hal ini elektron) dari inti atom maka nilai energinya semakin
kecil sebaliknya semakin dekat dari inti energi partikel akan semakin besar dan
commit to user
67
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
akan mencapai maksimum ketika partikel berada pada keadaan dasar
(groundstate).
Tabel 4.2Tingkat energi potensial Rosen Morse
5
5
6
6
7
7
8
8
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
-26
-17,5625
-11,7778
-10,25
-26
-37
-26,44
-18,25
-13
-13
-37
-50,00
-37,36
-26,96
-19,06
-14,44
-16,25
-50,00
-65,00
-50,31
-37,78
-27,56
-20,00
-16,11
-20,00
-65,00
b) Potensial Efektif
Pada Gambar 4.7 menunjukkan hasil grafik potensial efektif yang
diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi. Bentuk grafik menunjukkan
fungsi secans kuadrat hiperbolik. Tampak bahwa semakin jauh nilai x (sudut) dari
nol maka potensial semakin besar. Hal ini disebabkan karena faktor pengurang
dalam fungsi tangen hiperbolik.
Grafik potensial Rosen Morse IIpada Gambar 4.7a, 4.7b dan 4.7c memiliki
bentuk sama yang mirip dengan potensial sumur. Hal ini dikarenakan potensial
commit to user
Rosen Morse II termasuk dalam kelompok potensial shape invariance.Potensial
68
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
shape invariance yaitu potensial yang memiliki bentuk grafik yang sama
walaupun variabel-vriabelnya diubah-ubah. Dengan memvariasikan nilai dari
variabel
dan q, tampak bahwa semakin kecil nilai
daripada qmaka semakin
dalam potensial sumur yang terbentuk. Pada potensial sumur, partikel
diilustrasikan terkurung di dalam kotak dengan batas tertentu seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 4.7. Sama halnya dengan potensial Gendenshtein I dan
II, bila partikel berada di dalam kotak, energi potensial elektron nol dan benilai
tak tehingga jika berada di luar kotak.Adapun persamaan yang menunjukkan hasil
grafik pada Gambar 4.7 adalah persamaan (3.63).
Grafik Potensial Efektif Rosen Morse II
Gambar 4.7a. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk
commit to user
= 10 , q = 10, dan
ℎƴ
ƴ0
=
.
69
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Grafik Potensial Efektif Rosen Morse II
Gambar 4.7b. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk
= 5 , q = 10, dan
Grafik Potensial Efektif Rosen Morse II
Gambar 4.7c. Grafik Simulasi Potensial Efektif untuk
c)
Gelombang Dasar
= 10 , q = 5, dan
ℎƴ
ƴ0
=
.
ℎƴ
ƴ0
=
.
Gambar 4.8 menunjukkan grafik fungsi gelombang keadaan dasar yang
diperoleh dengan menggunakan perhitungan Delphi. Secara fisis fungsi
gelombang tersebut memiliki arti bahwa pada keadaan dasar (groundstate) maka
commit
to user
energi yang dimiliki oleh partikel
Rosen
Morse II dapat dipresentasikan oleh
70
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
fungsi gelombang yang ternormalisasi. Gambar 4.8a dan 4.8c memiliki bentuk
grafik yang sama, tampak bahwa semakin jauh harga x (sudut) dari nol maka nilai
dari fungsi gelombang pada keadaan groundstate semakin mendekati nol.
Sedangkan Gambar 4.8b, terlihat puncak grafik bergeser ke arah x negatif. Hal ini
dikarenakan nilai
lebih kecil daripada nilai q.
Adapun persamaan yang menunjukkan hasil grafik pada Gambar 4.8
adalah persamaan (3.71).
Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.8a Grafik simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan
= 10 , q = 10 dan n = 1.
Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II
commit to user
Gambar 4.8b Grafik simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan
= 5 , q = 10 dan n = 1.
71
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Grafik Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.8c Grafik simulasi Fungsi Gelombang Dasar dengan
= 10 , q = 5 dan n = 1.
d) Gelombang Tingkat Pertama
Gambar 4.9 menunjukkan grafik fungsi gelombang tingkat pertama untuk
potensial Rosen Morse II yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan
Delphi. Gambar 4.9 dibentuk dari simulai persamaan (3.72). Hasil simulasi
persamaan (3.72) menunjukkan fungsi gelombang terdiri dari satu lembah dan
satu bukit yang terdiri dari dua amplitudo. Nilai x (sudut) semakin besar maka
fungsi gelombangnya semakin kecil dan mendekati nol. Hal ini dikarenakan
dalam persamaan (3.72) berbentuk eksponensial atau hipebolik.
commit to user
72
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.9a. Grafik simulasi Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
dengan = 10 , q = 10 dan n = 1.
Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.9b. Grafik simulasi Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
dengan = 5 , q = 10 dan n = 1.
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
73
digilib.uns.ac.id
Grafik Fungsi Gelombang Tingkat Pertama Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.9c. Grafik simulasi Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
dengan = 10 , q = 5 dan n = 1.
e)
Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar
Sama halnya dengan pengertian probabilitas pada potensial Gendenshtein
yaitu probabilitas merupakan representasi dari kuadrat fungsi gelombang yang
menunjukkan peluang terdapatnya suatu partikel dalam suatu daerah atau kawasan
tertentu. Probabilitas akan menyangkut peluang dimana syarat probabilitas yaitu
bernilai tunggal dan fungsi gelombangnya ternormalisasi.
Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.10a. Grafik simulasi ProbabilitasFungsi Gelombang Dasar
dengan = commit
10, q = 10todan
n = 1.
user
perpustakaan.uns.ac.id
74
digilib.uns.ac.id
Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.10b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar
dengan = 5, q = 10 dan n = 1.
Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.10c. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Dasar
dengan = 10, q = 5 dan n = 1.
Probabilitas fungsi gelombang untuk keadaan dasar, pada Gambar 4.10
menunjukkan hasil yang diperoleh dengan menggunakan pemograman Delphi.
Berdasarkan Gambar 4.10, tampak bahwa grafik probabilitas yang dihasilkan
lebih lancip dan nilai probabilitas lebih besar dibandingkan grafik fungsi
gelombang yang dihasilkan. Gambar 4.10a dan 4.10c menunjukkan bahwa
probabilitas maksimum ada di sekitar
0,025 sedangkan di luar x = 0,025
commitxto=user
75
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
probabilitas ditemukannya elektron dengan cepat menurun. Hal ini berarti bahwa
keberadaan elektron terkonsentrasi di sekitar x = 0,025 (dalam radian). Inilah
struktur atom yang memiliki hanya satu elektron di sekitar inti atomnya dan ini
disebut keadaan dasar atau groundstate.Sedangkan pada gambar 4.10b, puncak
grafik bergeser ke arah sumbu x negatif. Probabilitas terbesar ditemukannya
partikel yaitu pada x = 0,14.Gambar 4.10 dibentuk dari simulasi persamaan
|
f)
| =
úǴ ℎ
2
( − )
Ėú
ℎ +ú ℎ
2
−( − )
Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
Gambar 4.11 menunjukkan probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama
potensial Rosen Morse II. Probabilitas ini merupakan representasi dari kuadrat
fungsi gelombang tingkat pertama yang menunjukkan peluang terdapatnya suatu
partikel dalam suatu daerah atau kawasan tertentu. Dua puncak grafik dapat
direpresentasikan sebagai peluang ditemukannya partikel terbesar. Grafik pada
Gambar 4.11a dan 4.11c menunjukkan probabilitas maksimum ditemukannya
partikel pada sudut x = -0,05 dan x = 0,03. Semakin menjauh dari sudut x = -0,05
dan x = 0,03 peluang ditemukannya partikel semakin kecil hingga menuju 0.
Sedangkan pada Gambar 4.11b,kebolehjadian ditemukannya partikel yaitu pada x
= -0,17 dan x = 0,04. Gambar 4.6 dibentuk dari simulasi persamaan
|
| =
úǴ ℎ
2
( − )
Ėú
ℎ +ú ℎ
2
−( − )
commit to user
1+
(− 1)(2 ) 1 − ℎ
2
( + − 1 − 12)
76
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.11a. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
dengan = 10, q = 10 dan n = 1.
Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.11b. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
dengan = 5, q = 10 dan n = 1.
commit to user
77
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
Grafik Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
Potensial Rosen Morse II
Gambar 4.11c. Grafik simulasi Probabilitas Fungsi Gelombang Tingkat Pertama
dengan = 10, q = 5 dan n = 1.
B. Pembahasan
Potensial yang dianalisis dalam penelitian ini terdiri dari potensial
Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse IIyang mana potensialpotensial ini merupakan potensial yang termasuk dalam kelompok shape
invariantyang
dapat
diselesaikan
secara
eksak
menggunakan
metode
hypergeometry.
Penyelesaian persamaan schrodinger secara langsung dari suatu sistem
partikel tersebut dapat menentukan persamaan fungsi gelombang dan spektrum
energi yang digunakan untuk mendeskripsikan atau menjelaskan perilaku
sekelompok partikel.Fungsi gelombang dan spektrum energi untuk partikel yang
dipengaruhi oleh potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse
dianalisis
menggunakan
metode hypergeometry.
commit to user
Penyelesaian
persamaan
perpustakaan.uns.ac.id
78
digilib.uns.ac.id
schrodinger dengan metode hypergeometry yaitu dengan mengubah persamaan
schrodinger menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hypergeometry
dengan substitusi variabel dan parameter secara tepat (S. Trachanas, 2011).
Pemisalan variabel ini terinspirasi dari pengubah variabel pada formula SUSY
WKB (A. Inomata, A. Suparmi , and S Kurth, 1991) dan pengubahan persamaan
shcrodinger untuk potensial Poschl-Teller I yang terdapat dalam buku Practical
Quantum Mechanics (Flugge, Siegfried, 1994). Bila persamaan fungsi
hypergeometry telah diperoleh, tingkat-tingkat energi suatu sistem dan fungsi
gelombang juga dapat diperoleh dengan mudah.
Pada dasarnya tujuan untuk menentukan persamaan fungsi gelombang
dasar (groundstate wave function) dan spektrum energi dari suatu potensial adalah
sebagai titik awal dalam menentukan fungsi gelombang untuk tingkat yang lebih
tinggi, nilai harap (probability density) dan tingkat-tingkat energi dari suatu
potensial (Lili Maysari, 2010:75).Mengetahui nilai dari besaran-besaran tersebut,
sangat berguna untuk menentukan baik atau tidaknya suatu material (bahan).
Selain itu, besaran-besaran tersebut juga digunakan dalam bidang nanoteknologi
yang sekarang sedang berkembang pesat, yang mengacu pada perancangan dan
aplikasi dari perangkat-perangkat yang memiliki ukuran mulai dari 1 hingga
100nm.
Setiap sistem fisis dinyatakan dengan fungsi gelombang atau fungsi
keadaan yang secara implisit memuat informasi lengkap mengenai observabelobservabel yang dapat diketahui pada sistem tersebut. Observabel-obervabel
tersebut yaitu posisi, energi dan momentum. Oleh karena itu, dengan mengetahui
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
79
digilib.uns.ac.id
persamaan gelombang dasar dari suatu potensial maka akan diperoleh persamaan
probabilitas (nilai harap). Persamaan probabilitas inilah yang menunjukkan posisi
kebolehjadian yang paling mungkin ditemukannya partikel. Untuk potensial
Gendenshtein I dan II, nilai variabel a dan b telah ditentukan dan dengan
memisalkan
ℎ:
= 1, untuk menunjukkan posisi kebolehjadian yang paling
mungkin ditemukan suatu partikel ditunjukkan dengan angka real. Berdasarkan
grafik probabilitas, dapat dikatakan bahwa posisi kebolehjadian yang paling
mungkin ditemukan partikel adalah di daerah puncak grafik.
Jika ditinjau ulang perbedaan mendasar antara mekanika klasik dengan
mekanika kuantum terletak pada cara penggambarannya terhadap suatu objek.
Dalam mekanika klasik, masa depan partikel dapat ditentukan secara pasti apabila
diketahui kedudukan awal, momentum awal, serta gaya-gaya yang bekerja
padanya. Dalam dunia makro besaran ini semuanya dapat ditentukan dengan
ketelitian yang cukup, sehingga memperoleh ramalan mekanika klasik yang cocok
dengan pengamatan.
Sedangkan mekanika kuantum juga menghasilkan hubungan antara
besaran yang teramati, tetapi prinsip ketidakpastian mensyaratkan bahwa besaran
teramati bersifat berbeda dengan kawasan atomik yang bersifat mikro. Dalam
mekanika kuantum, ketentuan tentang karakteristik masa depan partikel seperti
pada mekanika klasik tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan (posisi) dan
momentum awal suatu partikel tidak dapat diperoleh dengan pasti secara
bersamaan. Besaran yang dapat ditentukan dalam mekanika kuantum hanyalah
berupa probabilitas atau (nilai harap).
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB V
KESIMPULAN, IMPLIKASI DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisa dan pembahasan, maka dapat disimpulkan
sebagai berikut:
Kesimpulan pertama, metode hypergeometry dapat digunakan dalam
menentukan persamaan fungsi gelombang dasar dan spektrum energi dari
potensial Gendenshtein I, Gendenshtein II dan Rosen Morse. Adapun hasil yang
diperoleh berturut-turut adalah
1.
2.
Persamaan gelombang dasar potensial Gendenshtein I
f = (
ǐ.
(
1 + ßoßhℏ
)
2
ǐ.
Persamaan gelombang tingkat pertama potensial Gendenshtein I
f = (
3.
cosh
)
2
cosh
)
2
ǐ.
(
1 + ßoßhℏ
)
2
ǐ.
1+
(− 1)(− 2 + 1) 1 − ßoßhℏ
2
(− − ß + )
Persamaan gelombang tingkat kedua potensial Gendenshtein I
f = (
)
1+
ǐ.
(
ǐ ǐ
)
ǐ.
(− 2)(− 2 + 2) 1 − ßoßhℏ
2
(− − ß + )
+
(2)(− 2 _ + 2)(− 2 + 3)
− − ß +
− − ß +
commit to user
80
1 − ßoßhℏ
8
81
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
4.
Persamaan gelombang tingkat ketiga potensial Gendenshtein I
f = (
ǐ.
)
1+
+
+
5.
6.
ǐ ǐ
)
ǐ.
(− 3)(− 2 + 3) 1 − ßoßhℏ
2
(− − ß + )
(6)(− 2 + 3)(− 2 + 4)
− − ß +
1 − ßoßhℏ
8
(− − ß + ) − − ß +
− − ß +
− − ß +
(− 6)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5)
1 − ßoßhℏ
48
Persamaan gelombang dasar potensial Gendenshtein II
f =
.
oßhℏ
(1 + oℏ ) .
Persamaan gelombang tingkat pertama potensial Gendenshtein II
f =
7.
(
1−
1+
ℏo
ℏo
.
1+
(− 1)(− 2 + 1) 1 −
(− +
+ )
2
Persamaan gelombang tingkat kedua potensial Gendenshtein II
f =
commit to user
ℏo
82
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
1+
(− 2)(− 2 + 2) 1 −
(− +
+ )
+
8.
2
(2)(− 2 _ + 2)(− 2 + 3)
− +
+
− +
+
1−
ℏo
8
Persamaan gelombang tingkat ketiga potensial Gendenshtein II
f =
1+
+
(− 3)(− 2 + 3) 1 −
(− +
2
+ )
ℏo
(6)(− 2 + 3)(− 2 + 4)
+
9.
ℏo
− +
+
− +
+
+ ) − +
+
1−
ℏo
8
(− 6)(− 2 + 3)(− 2 + 4)(− 2 + 5)
(− +
− +
1−
+
48
ℏo
Persamaan gelombang dasar potensial Rosen Morse
o0 ℏ
f =
2
(
)
ℏo + oßhℏ
2
10. Persamaan gelombang tingkat pertama potensial Rosen Morse II
o0 ℏ
f =
2
(
)
ℏo + oßhℏ
2
(
)
1+
(− 1)( 2 ) 1 −
( +
−1
−
1
11. Persamaan gelombang tingkat kedua potensial Rosen Morse II
o0 ℏ ( )
ℏo + oßhℏ
f =
commit
to
user
2
2
(
)
)
2
2
ℏh
83
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
1+
(− 1)(2 − 1) 1 −
( +
−2
−
1
)
2
ℏh
2
+
+
(2)( 2 − 1)( 2 )
−2
−
3
+
2
−2
1−
1
−
2
8
12. Persamaan gelombang tingkat ketiga potensial Rosen Morse II
1+
(
o0 ℏ
f =
2
−3 2 − 2 1−
+
+
−3
−
+
5
2
2
)
ℏh
ℏo + oßhℏ
2
+
5
2
+
−3
)
6 2 −2 2 −1
+
+
−3
−
5
−
3
+
2
+
2
(− 6)(2 − 2)( 2 − 1)( 2 )
−3
(
−3
−
1
2
ℏ
( − h)
2
= −
ℏ
( − h)
2
−3
−
1−
13. Persamaan umum tingkat energi potensial Gendenshtein I
= −
ℏh
3
2
48
1−
ℏh
8
ℏh
14. Persamaan umum tingkat energi potensial Gendenshtein I
15. Persamaan umum tingkat energi potensial Rosen Morse
= −
ℏ
2
− h
+
− h
Kesimpulan kedua, bahasa pemograman Delphi dapat digunakan untuk
membuat simulasi sederhana berupa grafik untuk potensial efektif, fungsi
gelombang dan nilai harap (probabilitas) dari masing-masing potensial.
1.
Untuk potensial Gendenshtein I, bentuk grafik potensial mirip dengan
potensial sumur di mana partikel terkurung di dalam sumur pada batas -0,45
< x < 0,15 (x dalam radian).
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
2.
84
digilib.uns.ac.id
Untuk potensial Gendenshtein II, bentuk grafik potensial efektifnya mirip
dengan sumur potensial dangkal. Bentuk grafik fungsi gelombang dasar dan
probabilitas (nilai harap) berupa gelombang dengan satu bukit. Bentuk grafik
fungsi gelombang tingkat pertama terdiri dari satu bukit dan satu lembah
sedangkan bentuk grafik probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama
terdiri dari dua bukit.
3.
Untuk potensial Rosen Morse II, bentuk grafik potensial efektifnya mirip
dengan potensial sumur. Bentuk grafik fungsi gelombang dasar dan
probabilitas berupa gelombang dengan satu bukit. Bentuk grafik fungsi
gelombang tingkat pertama terdiri dari satu bukit dan satu lembah sedangkan
bentuk grafik probabilitas fungsi gelombang tingkat pertama terdiri dari dua
bukit.
B. Implikasi Hasil Penelitian
Berdasarkan kesimpulan di atas, implikasi yang dapat disampaikan adalah:
1.
Implikasi Teoritik
Implikasi teoritik dalam penelitian ini yaitu dalam menerapkan metode
hypergeometry untuk menentukan persamaan gelombang dasar dari potensialpotensial yang termasuk dalam kelompok shape invariance potential diperlukan
kejelian dan ketelitian dalam menentukan variabel yang akan disubstitusi ke
dalam persamaan Schrodinger sehingga persamaan Schrodinger berubah menjadi
persamaan diferensial orde dua fungsi hypergeometry. Sekali persamaan
diferensial fungsi hypergeometry terbentuk, spektrum energi dan fungsi
gelombang dapat ditentukan dengan sederhana.
commit to user
85
digilib.uns.ac.id
perpustakaan.uns.ac.id
2.
Implikasi Praktis
Metode hypergeometry dapat dijadikan sebagai salah satu alternatif untuk
menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk menentukan persamaan gelombang
dan spektrum energi suatu potensial.
C. Saran
Berdasarkan hasil penelitian, maka penulis mengajukan saran kepada
peneliti selanjutnya untuk menganalisis persamaan fungsi gelombang untuk
tingkat yang lebih tinggi.
commit to user