kemiringan dan titik potong sumbu

KONSEP DASAR
FUNGSI DAN GRAFIK


Definisi : Fungsi f : A  B adalah suatu aturan yang mengaitkan
(memadankan) setiap
x  A dengan tepat satu y  B
Notasi :
f : A  B
x  y = f (x)

Ilustrasi :
A
B
f
Gambar fungsi y = f(x)
ILUSTRASI FUNGSI


Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong.
Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan
setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
ATURAN :
 setiap anggota A harus habis terpasang dengan
anggota B.
 tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
A
B
Contoh :
A
B
Fungsi
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang
mempunyai 2 kawan.
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang
tidak mempunyai kawan.

4
Domain / daerah asal dari f(x), notasi Df , yaitu
Df  {x  R | f ( x)  R}

Daerah nilai / Range /Kodomain dari f(x) , notasi Rf , yaitu
Rf  { f ( x)  R | x  D f }  B

Himpunan titik di bidang, {( x, y ) | y  f ( x), x  D f , y  R f }
disebut grafik fungsi f
Contoh :
2
 Misalkan f ( x)  x  2 x  5 , maka f(1) = 8, f(-2) = 5

f (h  1)  (h  1) 2  2(h  1)  5  h 2  4h  8

Misalkan
f ( x)  ( x  1) 2  4 , maka D f  R , R f  [4, )
FUNGSI
FUNGSI NON ALJABAR
ATAU TRANSSEDEN
FUNGSI ALJABAR
FUNGSI IRRASIONAL
FUNGSI POLINOM
FUNGSI LINIER
FUNGSI KUADRAT
FUNGSI KUBIK
FUNGSI BIKUADRAT
FUNGSI RASIONAL
FUNGSI PANGKAT
FUNGSI EKSPONEN
FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI
FUNGSI HIPERBOL
FUNGSI IRRASIONAL : Y = ( 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + … + 12X11) 1/11
(Fungsi yang memiliki bentuk umum Y  n (a  a X  a X  a X  ......  a X )
0
1 1
2 2
3 3
n n
dimana n aalah bilangan bulat positif)
FUNGSI POLINOM
FUNGSI LINIER
FUNGSI KUADRAT
FUNGSI KUBIK
FUNGSI BIKUADRAT
: Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + …+ 12X11
: Y = 1 + 2X
: Y = 1 + 2X – 3X2
: Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3
: Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + 5X4
(Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah empat)
FUNGSI PANGKAT : Y = X n , n = bulat positif
FUNGSI EKSPONEN : Y = 2 X
FUNGSI LOGARITMA : Y = n Log X
FUNGSI HIPERBOLA : Y = X n , n = riil negatif
KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBU
Kemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama
dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalam
variabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi,
Y2 – Y1
ΔY
Kemiringan = m =
atau
ΔX
X2 – X1
(a) Kemiringan positif
Y
(b) Kemiringan negatif
Y
(c) Kemiringan nol
(d) Kemiringan tak tentu
BENTUK UMUM FUNGSI LINIER
Y=a0 + a1X
di mana a, tidak sama dengan nol.
Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-titik
potong (slope-intercept). Bentuk seperti ini bila dilihat
dari letak kedua variabel X dab Y, maka bentuk ini
dapat disebut sebagai eksplisit. Karena variabel
bebas X dan variabel terikat Y saling terpisah oleh
tanda sama dengan (=)
MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS
(1). Metode Dua Titik
Y
Y – Y1
Y2 – Y1
=
X – X1
X2 – X1
A (X2, Y2)
A (X1, Y1)
A (X, Y)
X
0
Carilah persamaan garis yang
melalui titik (3, 2) dan (4,6)
Penyelesaian :
X1 = 3, X2 = 4, Y1 = 2, dan Y2 = 6
Y – Y1 = Y2 – Y1
X – X1
X2 – X1
Persamaan garis Y =
4x - 10 ini grafiknya
ditunjukkan oleh
gambar 4.3.
Y
Y–2
6–2
=
X–3
4–3
Y–2
Y–2
Y
Y
=
6–2
4–3
= 4 (X – 3)
= 4 X – 12
= 4 X - 10
Y = 4X - 10
(X – 3)
X
0
1
5
(0,-10)
2
3
(2). METODE SATU TITIK DAN SATU KEMIRINGAN
Y – Y1 = m (X – X1)
Contoh
Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3
Penyelesaian :
Diketahui (X1, Y1) = (6, 4) dan m = - 2/3
Y – Y1 = m (X – X1)
Y – 4 = -2/3 (X – 6)
Y = -2/3X + 4 + 4
Y = -2/3X + 8
Persamaan garis Y = -2/3X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.4.
Y
(0,8)
8
6
Y = - 2/3 X + 8
4
2
(12,0)
0
X
HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
y1=a0 + a1x dan y2=b0 + b1x
Y
Y
a1 ≠ b1
a1 = b1
y1
ao ≠ b0
y1
ao ≠ b0
y2
y2
0
X
0
(a) Berpotongan
Y
Y
a1 = b1
X
(b) Sejajar
a1 .b1 = -1
y1
y1
ao ≠ b0
y2
ao = b0
y2
0
X
(c) Berimpit
0
X
(d) Tegak Lurus
SISTEM PERSAMAAN LINIER
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER: DUA PERSAMAAN DENGAN DUA
VARIABEL
METODE ELIMINASI
Contoh 5.1.
Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini :
3X – 2Y = 7
(5.1)
2X – 4Y = 10
(5.2)
Penyelesaian :
1. Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y.
2. Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan
Persamaan (5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi,
3X – 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X – 4Y = 14
2X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 10
3. Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi,
6X – 4Y = 14
2X + 4Y = 10 +
8X + 0 = 24
X=3
4. Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila
disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan,
3 (3) -2Y = 7
- 2Y = 7 – 9
Y=1
METODE SUBSTITUSI
Contoh 5.2.
3X – 2Y = 7
2X + 4Y = 10
(5.1)
(5.2)
Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5.2), maka akan menjadi,
2X = 10 – 4Y
X = 5 – 2Y (koefisien variabel X=1)
Karena Persamaan (5.2)’ yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, sehingga menjadi,
3 (5 – 2Y) – 2Y
15 – 6Y – 2Y
15 – 8Y
-8Y
Y
=7
=7
=7
= 7 – 15
=1
Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Persamaan (5.1)’,
sehingga memperoleh hasil,
3X – 2 (1)
3X
X
=7
=7+2
=3
Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan urut
(3.1).
Fungsi Kuadrat
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah
y = a x2 + bx + c
Maka,
D = b2 – 4ac
2
b 
D

y  a x   
2a 
4a

Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA
x1
x2
a+
x
x1
x2
a-
Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:
Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:
Titik puncak =
-b
- (b2 – 4ac)
----- , --------------2a
4a
-b ±√ (b2 – 4ac)
X1.2 = -------------------2a
Contoh:
Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12 Carilah koordinat titik puncak dan gambarkan
Koordinat Titik puncak =
-b
- (b2 – 4ac)
----- , --------------2a
4a
Contoh :
Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12, carilah koordinat titik puncak dan
gambarkanlah parabolanya?
Penyelesaian :
Koordinat titik puncak
  b  (b 2  4ac 
 ,

4a
 2a

  8  (64  48 
 ,

2
4


 ( 4,4)
Untuk X = 0, maka Y = 12
Titik potong sumbu Y adalah (0,12)
Untuk Y = 0, maka X2 – 8X + 12 = 0
Titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (6,0).
Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik
puncak dan titik potong sumbu X dan Y,
maka kurva parabolannya dapat
digambarkan seperti 7.3.
Y
(0,12)
(8,12)
Y = a0 = a1X + a2X2+a3X3
(2,0)
2
x
Fungsi Kuadrat
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah
y = a x2 + bx + c
Maka,
D = b2 – 4ac
2
b 
D

y  a x   
2a 
4a

Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA
x1
x2
a+
x
x1
x2
a-
Titik Ekstrem Parabola
Titik Maksimum dan titik Minimum Fungsi Maksimum dan minimum
fungsi sangat ditentukan oleh nilai dari a
y = a x2 + bx + c
Titik Maksimum didapat jika a  ,
dan titik maksimumnya
x
x1
 b  D 
,


 2a 4a 
Titik Miminum didapat jika a  ,
dan titik minimumnya
 b  D 
,


 2a 4a 
x2
x1
a-
Titik x1,2 dapat dicari dengan:
x2
a+
b D
2a
Posisi Parabola
Jika D  , maka parabola
memotong sb x pada titik (x1,0)
dan (x2,0)
Jika D = 0 , maka
parabola menyinggung sb
x pada titik   b 
,0 

 2a 
x1
x2
x
a+
x2
a-
x
b/2a
a+
x1
b/2a
x
a-
x
Jika D , maka parabola
TIDAK memotong sb x
x
a+
a-
Definit Positif
Definit
Negatif
FUNGSI PANGKAT TIGA
Polinomial tingkat 3 dengan satu
variabel bebas disebut sebagai
kubik, dan mempunyai bentuk
umum :
Y = a0 + a1 X + a2X2 + a3X3
dimana : a3tidak sama dengan
nol.
fungsi kubik ini bila digambarkan
dalam bidang koordinat
Cartesius, kurvanya mempunyai
dua lengkung (concave) yaitu :
lengkung ke atas dan lengkung
ke bawah, seperti tampak pada
gambar di samping.
Y
Y = a0 = a1X + a2X2+a3X3
a0
x
0
PENERAPAN FUNGSI DIBIDANG EKONOMI
Fungsi linier adalah suatu fungsi yang sangat sering
digunakan oleh para ahli ekonomi dan bisnis dalam
menganalisa dan memecahkan masalah-masalah
ekonomi. Hal ini dikarenakan bahwa kebanyakan
masalah ekonomi dan bisnis dapat disederhanakan
atau diterjemahkan ke dalam model yang berbentuk
linier.
Beberapa penerapan fungsi linier dalam
bidang ekonomi dan bisnis adalah:
a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan
pasar
b. Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk
c. Pengaruh Pajak dan Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar.
d. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan analisis Pulang Pokok
(BEP=Break Even Point)
e. Fungsi Konsumsi dan Tabungan
f. Model Penentuan Pendapatan Nasional