peluang - ngurahsumiarta

PELUANG
1. PENDAHULUAN
Pada saat kamu akan melepaskan dadu, tahukah kamu mata dadu yang
akan muncul ? Coba kamulemparkan dua buah dadu bersama –sama !
Berapakah kemungkinan muncul dua mata dadu berjumlah 7 ? Berapakah
kemungkinan dua mata dadu tidak berjumlah 7 ? apakah teori peluang akan
sangat membantu untuk menjawab pertanyaan –pertanyaan tersebut ?
2. PENGERTIAN PELUANG
A. Pengertian Tindakan Acak atau Kejadian Acak
Untuk memahami pengertian tindakan acak atau kejadian acak,
perhatikan kejadian –kejadian berikut !
a. Sekelompok ibu rumah tangga dalam satu RT mengadakan arisan.
Untuk menentukan siapa yang mendapatkan arisan, ditulislah
nama setiap peserta arisan masing –masing pada kertas yang
berukuran sama. Kertas –kertas itu digulung dan dimasukkan
kedalam sebuah botol. selanjutnya, dari botol itu dikeluarkan satu
gulung kertas. Dalam hal ini setiap peserta mempunyai
kesempatan yang sama untuk memperoleh arisan.
b. Seseorang sedang melemparkan sebuah dadu diatas meja.
dapatkah orang tersebut menentukan mata dadu yang akan
menghadap ke atas ? Tentu tidak, tetapi akan diketahui setelah
dadu tersebut berada di permukaan meja. Setiap sisi dari dadu
tersebut memilki peluang yang sama untuk menghadap keatas.
Dari kedua kejadian diatas tampak bahwa pada kejadian menentukan
siapa yang memperoleh arisan, dilakukan secara acak. Demikian juga pada
kejadian pelemparan dadu untuk menentukan mata dadu yang
menghadap ke atas. Tindakan seperti itu disebut tindakan acak.
Tindakan acak adalah suatu kegiatan yang dilakukan oleh seseorang
atau sekelompok orang untuk memperoleh hasil melalui cara mengacak,
mengundi, atau memilih sesuatu yang hasilnya baru diketahui setelah
kegiatan itu terjadi.
B. Pengertian dan Simbul Pelung
Seseorang melakukan melakukan percobaan melempar sebuah dadu.
Dari hasil pelemparan dadu diperoleh banyak mata dadu 2 menghadap ke
atas disajikan dalam table berikut.
Banyak lemparan
Banyak mata dadu 2 menghadap ke atas
Banyak mata dadu 2 menghadap ke atas
Banyak lemparan
10
2
1/5
20 30
500
600
4
5
84
100
1/5 1/6 21/125 1/6
6000
1000
1/6
Dari table tersebut kita peroleh angka –angka 1/5 , 1/5, 1/6, 21/125,
1/6, dan 1/6 yang merupakan hasil bagi antara banyak mata dadu 2
menghadap ke atas dengan banyak lemparan.
angka –angka tersebut dimanamakan frekuensi nisbi muncul mata
dadu 2 menghadap ke atas. Dengan demikian, diperoleh persamaan
sebagai berikut.
frekuensi nisbi muncul mata dadu 2
menghadap ke atas
=
Banyak mata dadu 2 menghadap ke atas
banyak lemparan
Jika jumlah lemparan diperbanyak terus maka frekuensi nisbi muncul
mata dadu 2 menghadap keatas nilainya semakin mendekati 1/6.
dikatakan nilai peluang atau nilai kemungkinan munculnya mata dadu 2
menghadap keatas adalah 1/6. Misalkan A adalah kejadian muncul mata
dadu 2 menghadap ke atas dan nilai peluang A adalah 1/6 maka ditulis
P(A)=1/6.
Nilai peluang atau kemungkinan dari suatu kejadian adalah suatu
bilangan yang didekati oleh frekuensi nisbinya jika jumlah percobaan
sangat banyak.
C. Notasi Himpunan dalam Hitung Peluang
a. Titik sampel dan Ruang sampel
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, mata dadu yang
mungkin menghadap ke atas adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.
Semua kejadian atau peristiwa yang mungkin seperti itu disebut ruang
sampel, sedangkan masing –masing kejadian disebut titik sampel.
Dalam notasi himpunan, ruang sampel dari pelemparan dari sebuah
dadu ditulis S = {1,2,3,4,5,6}, sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 merupakan
titik –titik sampel. banyaknya anggota himpunan ruang sampel pada
pelemparan sebuah dadu n(S) = 6.
Dari uraian di atas, dapat disimpulakan sebagai berikut.
1. Ruang sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin
dari suatu percobaan.
2. Titik sampel adalah masing –masing anggota dari himpunan
ruang sampel.
b. Menyusun ruang sampel
Ada beberapa cara untuk menyusun ruang sampel dari suatu
kejadian , yaitu mendaftar, diagram pohon, dan membuat table.
1. Cara mendaftar
Untuk menentukan ruang sampel dari kejadian yang sederhana,
kita dapat menentukannya secara langsung dengan cara
mendaftar semua titik sampelnya.
misalnya ;
a). ruang sampel pada pelemparan sebuah mata uang logam
adalah S={A,G} dengan A = angka dan G= gambar.
b). ruang sampel pada pelemparan sebuah dadu S={1,2,3,4,5,6}.
2. Cara diagram pohon
misalnya pada pelemparan dua buah mata uang logam maka
ruang sampelnya dapat ditentukan dengan diagram pohon
sebagai berikut ;
A
(A,A)
G
A
(A,G)
(G,A)
A
G
G (G,G)
Ruang sampel pada pelemparan dua mata uang logam sekaligus
adalah S={(A,A),(A,G),(G,A),(G,G)} jadi, n(S) = 4
3. Cara membuat table
jika ruang sampel pada pelemparan dua mata uang logam
sekaligus dinyatakan dengan table, diperoleh sebagai berikut;
Uang II
A
G
Uang I
A
(A,A) (A,G)
G
(G,A) (G,G)
Ruang sampelnya adalah S={(A,A),(A,G),(G,A),(G,G)}. Jadi n(S)=4.
3. KISARAN NILAI PELUANG
A. Definisi Peluang Kejadian
Salah satu cara menentukan peluang suatu kejadian adalah dengan
memperhatikan nilai tertentu yang didekati oleh frekuensi nisbinya jika
percobaannya sangat banyak.
Pada pelemparan sebuah dadu, frekuensi nisbi muncul mata dadu 2
menghadap ke atas adalah bilangan –bilangan yang mendekati 1/6. Oleh
karena itu, dikatakan bahwa nilai peluang muncul mata dadu 2 menghadap
keatas adalah 1/6.
Jika A adalah kejadian muncul mata dadu 2 menghadap ke atas pada
pelemparan sebuah dadu maka peluang muncul mata dadu 2 adalah
P(A)=1/6. Pada kejadian ini, bilangan 1 menyatakan banyak titik sampel,
yaitu mata dadu 2, sedangkan bilangan 6 menyatakan banyk titik sampel
pada ruang sampel yaitu 1,2,3,4,5, dan 6.
Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut;
jika A= suatu kejadian
n(A)= banyak titik sampel kejadian A
n(S)= banyak titik sampel pada ruang sampel S
maka peluang kejadian A adalah ;
𝑛(𝐴)
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝑆)
B. Nilai Peluang Kejadian
Jika sebatang besi dijatuhkan ke bak yang berisi air, besi tersebut
pasti akan tenggelam. Ruang sampel dari besi yang dijatuhkan ke bak berisi
air adalah S={tenggelam}. Selanjutnya, jika A=besi tenggelam dalam air dan
B= besi terapung di air maka :
a. peluang besi tenggelam dalam air adalah P(A)=1 dan,
b. peluang besi terapung di air adalah P(B)= 0.
P(A)=1 menunjukkan bahwa peluang kejadian A adalah suatu
kepastian, sedangkan P(B)=0 menunjukkan peluang kejadian A adalah suatu
kemustahilan.
Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut:
Jika peluang suatu kejadian A adalah P(A) maka
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(terjadi A) + P(tidak terjadi A) = 1
4. FREKUENSI HARAPAN
Jika sebuah mata uang logam dilemparkan maka muncul gambar dan
muncul angka mempunyai peluang yang sama yaitu ½. Jika mat uang itu
dilempar 2 kali, diharapkan akan muncul 1 kali gambar dan muncul 1 kali
angka. Jika uang itu dilempar 1.000 kali, berapa kali harapan muncul gambar ?
Tentu saja diharapkan muncul gambar ½ x 1.000 = 500 kali.
Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut :
Jika peluang suatu kejadian A adalah P(A) dan banyak percobaan = n,
maka frekuensi harapannya = P(A) x n.