KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

Hak Cipta
Dilindungi Undang-undang
SOLUSI SOAL
OLIMPIADE SAINS NASIONAL
TAHUN 2016
ASTRONOMI
RONDE TEORI
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2016
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
Soal Esai
1. Komponen suatu sistem bintang ganda mempunyai massa yang sama, yaitu 1,25Md . Jika periode orbit
sistem adalah 7,5 jam dan orbit dianggap lingkaran dengan inklinasi sebesar 65˝ terhadap bidang langit,
berapakah kecepatan radial masing-masing bintang (dalam satuan m/s)?
Jawab:
Gunakan hubungan Hukum III Kepler:
a3
P2
“
a3 “
GM
4π 2
GM P 2
4π 2
dan kecepatan radial untuk orbit lingkaran (Vr ):
Vr “
2πa sin i
P
a“
P Vr
2π sin i
sehingga
Diperoleh:
ˆ
˙3
P Vr
“
2π sin i
P 3 Vr3
“
8π 3 sin3 i
Vr3 “
Vr “
“
“
P 2 GM
4π 2
P 2 GM
4π 2
2πGM sin3 i
c P
3 2πGM
sin i
P
d
´11 ˆ 4,97 ˆ 1030
3 2 ˆ π ˆ 6,673 ˆ 10
sin 65˝
2,7 ˆ 104
a
3
77,14 ˆ 1015 ˆ 0,9 “ 3,834 ˆ 105 m/s
dengan massa total M dan periode orbit P masing-masing
M
“ M1 ` M2 “ 2 ˆ 1,25Md “ 2,5Md “ 2,5 ˆ 1,989 ˆ 1030 kg “ 4,97 ˆ 1030 kg
P
“ 7,5 jam “ 7,5 jam ˆ p3600 s{jamq “ 2,7 ˆ 104 s
Kecepatan total orbit
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 1 dari 13
V “ V1 ` V2
Dari hubungan
V1 M 1 “ V2 M 2
dengan M1 “ M2 , maka
V1 “ V2
M2
“ V2
M1
Dengan demikian,
V “ V1 ` V2 “ 2V1 “ 2V2
atau
V1 “ V2 “
1
V “ 1,917 ˆ 105 m{s
2
2. Perhatikan skema interferometer LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) berikut.
LIGO menggunakan Laser 700 nm dan memiliki panjang lengan awal masing-masing 4 km. Pada awalnya, berkas laser dari masing-masing lengan yang bertemu memiliki fase yang sama. Jika terdapat gelombang gravitasi, maka lengan interferometer dapat memendek atau memanjang sehingga menyebabkan
perubahan pola interferensi di titik temu.
(a) Jika terdapat gelombang gravitasi yang menyebabkan salah satu lengan interferometer memendek
sebesar ∆l sedangkan lengan lainnya memanjang sebesar ∆l, maka akan terjadi perubahan pola
interferensi dari terang menjadi gelap. Berapakah nilai ∆l (dalam satuan m)?
(b) Hitunglah perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal. Perbandingan ini disebut sebagai regangan atau strain yang sebanding dengan amplitudo gelombang gravitasi.
(c) Jika gelombang gravitasi yang diakibatkan oleh interaksi lubang hitam ganda menyebabkan pada
akhirnya kedua lubang hitam bersatu (merge) menjadi lubang hitam simetris, berapakah amplitudo
gelombang gravitasi yang terdeteksi?
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 2 dari 13
Jawab:
Diketahui nilai λ “ 700 nm dan l “ 4 km.
(a) Karena prinsip pemantulan, jarak yang ditempuh pada masing-masing lengan adalah
2pl ` ∆lq
dan
2pl ´ ∆lq
Perbedaan lintasan antara lengan LIGO (beda lintasan optik) adalah
2pl ` ∆lq ´ 2pl ´ ∆lq
Pada interferometer dapat diperoleh perubahan pola gelap dari terang sebagai akibat dari terjadinya
kondisi tidak sefase. Perbedaan lintasan adalah sebesar
n
λ
2
Misalkan digunakan orde n “ 1.
2pl ` ∆lq ´ 2pl ´ ∆lq “
4∆l “
∆l “
λ
2
λ
2
700 ˆ 10´9
“ 8,75 ˆ 10´8 m
4ˆ2
(b) Perbandingan besar perubahan panjang lengan terhadap panjang lengan awal (regangan/strain):
∆l
“ 2,19 ˆ 10´11
l
(c) 0. Benda simetris tunggal tidak mengemisikan gelombang gravitasi.
3. Gerhana Matahari Cincin akan terjadi pada tanggal 1 September 2016. Andaikan titik pusat kedua
piringan Bulan dan Matahari berimpit, dan piringan Bulan di saat gerhana tersebut menutupi 98% piringan Matahari, berapakah jarak Bumi–Bulan pada saat itu (dinyatakan dalam satuan km)? Diketahui
eksentrisitas orbit Bumi e “ 0,0167, dan Bumi berada di perihelion pada tanggal 3 Januari 2016.
Jawab:
Perbandingan diameter sudut dapat dihitung sebagai berikut:
Luas piringan Bulan “ 0,98 Luas piringan Matahari
2
2
πR$
“ 0,98 πRd
Hubungan jejari dengan diameter sudut (α):
R „ α
a
α$ “
0,98 αd
a
R$
Rd
“
0,98
d$
dd
1 R$ dd
d$ “ ?
0,98 Rd
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 3 dari 13
Perhitungan posisi untuk 1 September adalah sebagai berikut:
• jumlah hari sejak dari perihelion 2016 hingga 1 September 2016:
Nhari p3 Jan s/d 1 Sepq “ 242 hari
• Konversi sudut (terkecil) posisi Bulan (θ) tanggal 1 September 2016:
365,25 hari “ 360˝
360
1 hari “
“ 0˝,9856262834
365,25
242 hari “ 238˝,5215605749
θ “ 360 ´ 238,5215605749 “ 121˝,4784394251
Perhatikan pada geometri berikut ini, sudut θ diukur dengan anggapan gerak orbital Bumi bersifat
gerak melingkar dengan kecepatan harian yang tetap. Karena itu, sudut θ diukur dari pusat lingkaran:
Pada kenyataannya, orbit Bumi adalah elips dan posisi Bumi saat itu pada jarak dMatahari “ dd
dari Matahari dengan sudut 180˝ ´ ν
dd ă X
• Mencari jarak X dengan rumus cosinus:
X 2 “ a2 ` paeq2 ´ 2a ae cos θ
a “ 1,49597870 ˆ 1011 m
e “ 0,0167
θ “ 121˝,4784394251
X “ 150.917.459.047 m
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 4 dari 13
• Menggunakan rumus sinus untuk mencari ν:
X
sin θ
a
sinp180˝ ´ νq
a
sinp180˝ ´ νq “
sin θ
X
´a
¯
sin θ “ 57˝,7126409925
180˝ ´ ν “ arcsin
X
ν “ 180˝ ´ 57˝,7126409925 “ 122˝,2873590075
“
• Menentukan jarak Matahari (dd ):
dd “
ap1 ´ e2 q
“ 150.902.282.980 m
p1 ` e cos νq
• Masukkan hasil tersebut ke persamaan pada perhitungan perbandingan sudut:
d$ “
“
1 R$ dd
0,98 Rd
1 1.738.000
?
ˆ 150.902.282.980 “ 380.647.783 m “ 380.647,783 km
0,98 6,96 ˆ 108
?
Sehingga, jarak Bumi–Bulan pada saat GMC 1 September 2016 adalah 380.648 km
4. Pada suatu bintang ganda gerhana, bintang pertama memiliki radius R1 dan temperatur efektif T1 ,
sedangkan bintang kedua dengan radius R2 “ 0,75R1 dan temperatur efektif T2 “ 2,5T1 . Pada saat bintang yang berukuran lebih besar menggerhanai bintang yang lebih kecil, berapakah perubahan magnitudo
bolometrik sistem bintang ganda ini?
Jawab:
Luminositas total sistem bintang ganda:
`
˘
L “ L1 ` L2 “ 4πR12 σT14 ` 4πR22 σT24 “ 4πσ R12 T14 ` R22 T24
Ketika bintang yang lebih besar (Bintang 1) menggerhanai bintang yang lebih kecil (Bintang 2), maka
luminositas sistem didominasi oleh luminositas Bintang 1:
Lgerhana “ 4πR12 σT14
Dengan demikian, perubahan magnitudo bolometrik, ∆m:
˜
∆m “ ´2,5 log
L
¸
Lgerhana
`
˘¸
ˆ
˙
4πσ R12 T14 ` R22 T24
R22 T24
“ ´2,5 log
“
´2,5
log
1
`
4πR12 σT14
R12 T14
`
˘
“ ´2,5 log 1 ` p0,75q2 p2,5q4 “ ´2,5 logp22,97q “ ´3,4
˜
5. Kuil Abu Simbel atau disebut juga Monumen Nubia adalah sebuah kuil di tepi sungai Nil di selatan
Mesir yang dibangun oleh Firaun Ramses II pada sekitar abad 13 SM. Kuil tersebut dibangun sebagai
peringatan bagi Firaun Ramses II dan istrinya Nefertari setelah memenangkan sebuah perang besar yang
disebut Perang Kadesh (perang antara kekaisaran Mesir dan kekaisaran Hittite). Kuil ini dibangun dengan
mengukir sebuah bukit batu dan di depannya terdapat patung raksasa Ramses II.
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 5 dari 13
Di ujung paling dalam kuil, terdapat sebuah altar dengan patung dewa Ra, Ramses II, dewa Amon, dan
dewa Ptah (dewa kematian). Setiap dua kali setahun, cahaya Matahari yang baru terbit di horison akan
masuk ke dalam kuil hingga menyinari altar tersebut. Kedua waktu tersebut diperkirakan sebagai saat
hari lahir Firaun Ramses II dan hari ketika Ramses II diangkat menjadi Firaun. Jika diketahui koordinat
kuil tersebut adalah φ “ 22˝ 201 132 Lintang Utara, λ “ 31˝ 371 322 Bujur Timur, dan azimuth arah pintu
˝
masuk kuil adalah Az “ 100,55,
tentukan pada tanggal dan bulan apakah (dua waktu dalam satu tahun)
cahaya Matahari terbit akan mengarah tepat ke patung di dalam altar. Abaikan efek refraksi dan efek
ketinggian.
Jawab:
Informasi yang diberikan adalah:
• koordinat kuil Abu Simbel:
φ “ 22˝ 201 132 “ 22˝,33 Lintang Utara, dan
λ “ 31˝ 371 322 “ 31˝,62 Bujur Timur
• azimuth arah pintu masuk kuil adalah Az “ 100˝,55
• tinggi Matahari dapat dianggap h “ 0˝ (karena diamati pada saat Matahari terbit).
Untuk menentukan kapan saat Matahari tepat berada di arah pintu masuk kuil, maka kita perlu mengetahui deklinasi Matahari dengan informasi yang diberikan. Dengan menggunakan segitiga bola di atas,
maka deklinasi Matahari dapat dihitung dengan menggunakan rumus kosinus
cosp90˝ ´ δq “ cosp90˝ ´ φq cosp90˝ ´ hq ` sinp90˝ ´ φq sinp90˝ ´ hq cosp360˝ ´ Aq
sin δ “ sin φ sin h ` cos φ cos h cosp360˝ ´ Aq
“ sinp22˝,33q sinp0q ` cosp22˝,33q cosp0q cosp360˝ ´ 100˝,55q
“ 0,9252 ˆ 1 ˆ p´0,1831q “ ´0,1694
δ “ arcsinp´0,1694q
“ ´9˝,753
« ´10˝
Deklinasi Matahari ´10˝ terjadi pada saat Matahari terbit di tanggal 20 p˘ 5 hariq Februari dan 20 p˘ 5 hariq
Oktober.
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 6 dari 13
6. Perhatikan spektrum dan skema berikut:
Diketahui spektrum Hidrogen 21 cm yang diamati pada koordinat galaktik p`, bq “ p30˝ , 0˝ q memiliki
puncak-puncak A, B, C, dan D yang disebabkan oleh awan-awan antarbintang.
(a) Asumsikan awan antar bintang dan Matahari mengelilingi pusat Galaksi dengan orbit lingkaran dan
jarak Matahari dari pusat Galaksi sebesar Ro “ 8 kpc serta kecepatan orbit Matahari Vd “ 220 km/s.
Buktikanlah bahwa kecepatan radial awan antarbintang (Vr ) yang teramati mengikuti persamaan
berikut:
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 7 dari 13
Vr “ Ro pω ´ ωd q sin `,
dengan ω dan ωd masing-masing adalah kecepatan sudut awan antar bintang dan kecepatan sudut
Matahari.
(b) Berdasarkan kecepatan radial maksimum pada spektrum, berapakah jarak minimum dari pusat Galaksi (Galactocentric) dan kecepatan orbitnya?
(c) Perhatikan skema berikut. Gambarlah skema tersebut di lembar jawaban, lalu posisikanlah awan
antarbintang A, B, C, dan D dengan menuliskan alfabet nama awan pada kotak yang disediakan.
Jawab:
(a) Penurunan rumus kecepatan radial:
Dalam hal ini, ada dua faktor kecepatan yang berperan yaitu kecepatan Matahari dan kecepatan
awan pada arah garis pandang. Perhatikan gambar:
VR “ V cos α ´ Vd sin `
“ ωR cos α ´ ωd R0 sin `
CT
“ ωR
´ ωd R0 sin `
R
“ ωR0 sin ` ´ ωd R0 sin `
“ pω ´ ωd qR0 sin `
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 8 dari 13
(b) Kecepatan radial awan maksimal pada gambar sekitar 65 km/s. Pada jarak dari galaksi minimum
sin ` “ R{R0 dan cos α “ 1
R “ R0 sin ` “ 8 sin 30˝ “ 4 kpc
V “ VR ` Vd sin ` “ 65 ` 220 sin 30˝ “ 175 km/s
(c) Urutan dari terdekat hingga terjauh dari Matahari adalah D-C-B-A atau B-C-D-A.
7. Jika hanya meninjau energi radiasi, gradien temperatur pada jarak 0 ă r ď R dari pusat bintang dapat
didekati dengan hubungan
´
κ ρr Lr
a c Tr3 r2
dan gradien tekanan pada jarak itu didekati dengan hubungan
´
G Mr ρr
r2
dengan ρr , Lr , Tr , dan κ masing-masing adalah massa jenis, luminositas, temperatur, dan kekedapan
(opasitas) pada jarak r, sedangkan Mr adalah massa hingga jarak r. Jejari bintang adalah R.
Karena perbedaan yang sangat besar dengan nilai di pusat bintang, temperatur dan tekanan di permukaan
bintang (r “ R) dianggap nol, sedangkan temperatur dan tekanan di pusat akan dihitung secara perkiraan.
Gunakanlah tetapan G, a, dan c di dalam tabel. Jika κ “ 1 dan ρr selalu konstan tak nol, maka
(a) rumuskanlah temperatur pusat dan tekanan pusat bintang sebagai fungsi dari L, M , dan R,
(b) perkirakanlah nilai temperatur pusat Matahari (dalam satuan K) dan tekanan pusat Matahari (dalam
satuan N/m2 ).
(c) Anggap tekanan Pr di dalam bintang dapat didekati dengan
Pr “
R
ρr Tr
µ
dengan R konstanta gas dan µ berat molekul rata-rata (tak bersatuan). Dengan mengambil µ “
0,5 , berapakah massa jenis di pusat Matahari (ρc ) dinyatakan dalam satuan kg/m3 ?
(d) Dengan menggunakan persamaan dari soal (7c), buktikanlah bahwa hubungan luminositas dengan
massa memenuhi persamaan:
L “ Z M 3,
dengan Z adalah konstanta. Dibandingkan dengan Matahari, berapa kalikah luminositas bintang
deret utama bermassa 3Md ?
(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, berapa lama waktu keruntuhan Matahari?
Jawab:
(a) Misalkan M, R, L, dan Tc masing-masing adalah massa, jejari, luminositas, dan temperatur pusat
bintang, maka gradien temperatur di permukaan bintang didekati dengan gradien linearnya adalah:
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 9 dari 13
0 ´ Tc
R´0
Tc
´
R
L
3M
4acπR3 Tc3 R2
3LM
« ´
4acπR5 Tc3
1 3LM
«
R4c4acπ
1 4 3LM
«
R 4acπ
« ´
Tc4
Tc
Gradien tekanan dapat didekati pula dengan gradien linearnya:
0 ´ Pc
R´0
GM 3M
R2 4πR3
3GM 2
4πR4
« ´
Pc «
(b)
d
Tc «
Pc
1
6,96 ˆ 108
3 ˆ 3,9 ˆ 1026 ˆ 1,989 ˆ 1030
4 ˆ 7,5659 ˆ 10´16 ˆ 2,99792458 ˆ 108 ˆ π
4
« 7.680.211 K « 7,7 ˆ 106 K
3GM 2
«
4πR4
« 268.574.714.879.929 N/m2 « 2,7 ˆ 1014 N/m2
(c) Massa jenis di pusat Matahari (ρc ):
Pc µ
Tc R
2,7 ˆ 1014 0,5
“
7,7 ˆ 106 8314,5
« 2.103 kg/m3
ρc “
(d) Tinjau tekanan di pusat:
Pc “
R
R 3M Tc
ρc Tc «
µ
µ 4πR3
Tetapi juga
Pc «
3GM 2
4πR4
Sehingga
R 3M Tc
3GM 2
«
µ 4πR3
4πR4
atau
Tc «
µ GM
R R
Tetapi juga
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 10 dari 13
1
Tc «
R
µ GM
R R
c
4
3LM
4acπ
c
1 4 3LM
R 4acπ
3L
4acπ
4acπµ4 G4
M3
3R4
konstanta ˆ M 3
«
µ4 4 3
G M «
R4
L «
L «
Dengan Z sebagai konstanta, relasi luminositas terhadap massa bintang dapat didekati dengan
L “ Z M 3,
Sehingga untuk bintang bermassa 3Md , maka luminositas bintang tersebut adalah
ˆ
L“
3Md
Md
˙3
Ld “ 27 Ld
(e) Seandainya tekanan di Matahari menghilang seketika, maka gravitasi menyebabkan Matahari mengalami peristiwa jatuh bebas (free fall) dengan kecepatan awal v0 “ 0. Gerak jatuh bebas akan
menempuh jarak jejari bintang, R, dalam waktu tff detik.
1
R “ at2ff
2
Percepatan a adalah sebesar percepatan gravitasi di permukaan Matahari yaitu
a“
GM
R2
Sehingga
c
tff “
2R3
« 2.254 detik « 38 menit
GM
8. Pada saat Gerhana Matahari Total, kita dapat mengamati korona Matahari yang memiliki kerapatan
rendah (n “ 108 cm´3 ) dan temperatur tinggi (2 ˆ 106 K). Korona ini tersusun dari atom-atom Hidrogen
yang terionisasi dan di bawah pengaruh medan magnet.
(a) Agar partikel-partikel atom Hidrogen dapat lepas dari Matahari, berapakah laju minimum yang
dibutuhkan (dalam satuan m/s)?
(b) Hitunglah laju termal atom Hidrogen dan Hidrogen terionisasi (yang terdiri dari proton dan elektron) di korona (masing-masing dalam satuan m/s). Apakah orde laju tersebut sesuai dengan yang
dibutuhkan untuk lepas dari Matahari? Apakah semua partikel dapat lepas?
(c) Jika partikel yang lepas menjadi angin Matahari, tentukan berapa massa Matahari yang hilang tiap
tahun. Anggap angin Matahari mengembang dengan bentuk simetri bola dan partikel yang lepas
hanya elektron.
(d) Selain terdiri dari partikel-partikel, korona juga terdiri dari medan magnet yang bergerak bebas. Hal
ini dikarenakan tekanan medan magnetik PB lebih besar dari tekanan gas P di korona. Diketahui
tekanan medan magnetik mengikuti persamaan berikut:
B2
2 µ0
dengan µ0 adalah permeabilitas di ruang hampa. Jika kuat medan magnet di korona, yaitu B “ 10
Gauss, hitunglah tekanan magnetik di korona.
PB “
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 11 dari 13
(e) Hitunglah tekanan gas di korona. Bandingkanlah tekanan magnetik pada soal (8d) dengan tekanan
gas di korona.
Jawab:
(a) Laju untuk lepas:
d
2GMd
“ 6,18 ˆ 105 m/s
Rd
Vlepas “
(b) Laju termal:
1
3
mv 2
“ kT
2 termal 2
c
3kT
vtermal “
m
Untuk Hidrogen:
c
vtermal,H “
3kT
“ 2,23 ˆ 105 m/s
mH
Hidrogen terionisasi akan menjadi proton maupun elektron:
c
vtermal,e “
3kT
“ 9,54 ˆ 106 m/s
me
d
3kT
“ 2,23 ˆ 105 m/s
mp
vtermal,p “
Ya, benar. Orde kecepatan partikel di korona (sekitar ratusan km/s) sesuai dengan orde kecepatan
atau laju untuk lepas dari Matahari. Namun demikian, tidak semua partikel dapat lepas. Elektron
akan lebih mudah lepas dibandingkan dengan proton.
(c) Diketahui n “ 108 cm´3 “ 1014 m´3 . Massa yang hilang adalah
2
n ˆ me ˆ vtermal,e ˆ 4πRd
ˆt
Massa yang hilang (dalam satuan Matahari per tahun) adalah
1014 ˆ me ˆ vtermal,e ˆ 4πp6,96 ˆ 108 q2 ˆ 31536000 detik
1,988 ˆ 1030 kg
“ 8,4 ˆ 10´14 Md {tahun
(d) Tekanan magnetik
Pmag “
B2
2µ0
1 Gauss “ 0,0001 Tesla sehingga 10 G “ 0,001 T
Pmag “
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
0,0012
“ 0,4 N/m2
2p4π10´7 q
Halaman 12 dari 13
(e) Tekanan gas di korona
Pg “ nkT “ 1014 ˆ 1,38 ˆ 10´23 ˆ 2 ˆ 106 “ 0,003 N/m2
Pmag
0,4
“
“ 133,33
Pg
0,003
Tekanan magnetik 133 kali lebih kuat dari pada tekanan gas, sehingga garis medan magnet bergerak
bebas.
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 13 dari 13