Materi I – MATEMATIKA_BESARAN_SATUAN

TOT OSN-SMA TINGKAT KABUPATEN/KOTA
BIDANG FISIKA, MATERI I (MATEMATIKA, BESARAN, DAN SATUAN)
1.
Perioda dari sebuah pendulum tergantung pada panjang tali pendulum L dan
percepatan gravitasi g (dimensinya L/T2).
(a) Tentukan kombinasi sederhana dari L dan g memiliki dimensi waktu,
(b) Periksa ketergantungan perioda T pada panjang L melalui pengukuran perioda
(waktu yang diperlukan untuk gerak bolak-balik) pendulum untuk dua nilai L
berbeda,
(c) Koreksi rumusan yang menghubungkan antara T terhadap L dan g yang meliputi
suatu konstanta dengan mengalikannya dengan  yang tidak bisa diperoleh dari
analisis dimensi pada soal (a). Hal ini dapat diperoleh dari eksperimen seperti pada
soal (b), jika g diketahui. Gunakan nilai g = 9,81 m/s2 dan hasil eksperimen pada soal
(b), kemudian tentukan perumusan yang menghubungkan T terhadap L dan g.
Penyelesaian :
Gambaran soal: penyelesaian kasus ini dilakukan dengan mencari hubungan antara
perioda pendulum T dengan panjang tali L dan percepatan gravitasi g sebagai T  CLag b
dengan melakukan analisis dimensi untuk menentukan nilai a dan b.
(a) Nyatakan T sebagai hasil perkalian antara L dan g :
T  CLagb
(1)
dengan C konstanta tak berdimensi. Dengan menggunakan analisis dimensi, maka
persamaan (1) dinyatakan dalam bentuk :
T   La gb  La 
L 

 T2 
b
L0 T1  La b T 2b
sehingga diperoleh :
ab 0
 2b  1
maka a  21 dan b   12 , hasil-hasil ini disubtitusi ke persamaan (1) :
1 1
L
(2)
T  CL2 g 2  C
g
(b) Jika panjang pendulum masing-masing 1,0 m dan 0,5 m, maka :
T 1,0m  2,0 detik
T 0,5m  1,4 detik
(c) Selesaikan persamaan (2) dalam bentuk :
g
C T
L
2.
Ketika sebuah benda jatuh ke bumi, maka benda tersebut akan mendapatkan gaya
gesekan (drag force) yang tergantung pada perkalian antara luas permukaan benda dan
kuadrat kecepatannya yang dinyatakan dalam hubungan: Fudara  CAv 2 dimana C
merupakan konstanta. Tentukan dimensi dari C .
1
Penyelesaian:
Gambaran soal: Dimensi konstanta C dapat ditentukan dengan menyelesaikan
persamaan gaya gesekan udara dalam bentuk C, selanjutnya dimensi A, v dan Fudara
disubtitusikan ke persamaan untuk C.
Alur penyelesaian :
 Ubah persamaan gaya gesek udara dalam bentuk:
F
C  udara
Av 2
 Subtitusikan dimensi untuk A, v dan Fudara:
ML
2
C   Fudara2  T 2  M3
Av 
L
L
L2 2
T
3.
Hukum Kepler III berkaitan dengan perioda planet dengan jari-jari r, konstanta gravitasi
G ( F  Gm1m2 / r 2 ) dan massa matahari MS. Bagaimana kombinasi dari faktor-faktor ini
memberikan dimensi yang benar dari perioda planet!
Penyelesaian :
Gambaran soal: pernyataan untuk perioda planet dinyatakan sebagai hasil kali faktorfaktor ini, selanjutnya lakukan analisis dimensi untuk menentukan nilai dari eksponen.
Alur penyelesaian :
 Pernyataan untuk perioda T sebagai hasil kali dari ra, Gb, dan MSc :

T  Cr aG b MS c
dimana C merupakan konstanta tak berdimensi.
Nyatakan konstanta gravitasi dalam bentuk :
(1)
Fr 2
(2)
m1m2
Analisis dimensi dari persamaan (2) :
2
G   F r 
(3)
m1 m2 
Subtitusi dimensi untuk F, r dan m ke persamaan (3) :
ML 2
L
2
L3
T
(4)
G  

M  M MT 2
Selanjutnya hasil dari persamaan (4) disubtitusikan ke persamaan (1) :
G



b
 L3 
a
 Mc
T  L  
2


(5)
MT


Samakan ruas kiri dan kanan dengan menambahkan faktor M0, L0 dan T1 ke
persamaan (5), sehingga :
(6)
M0L0 T1  Mc bLa 3b T 2b
 Samakan kedua ruas dalam persamaan (6) menjadi unsur-unsurnya :
2
0cb
0  a  3b
(7)
1  2b
diperoleh :
a 3
2
b1
(8)
2
1
c
2

Gunakan hasil pada persamaan (8) ke persamaan (1) menjadi :
3 1
3
C
r2
GMS
Tabel di bawah ini menunjukkan perioda T dan jari-jari orbit dari empat buah satelit
yang mengorbit pada asteroid.
1
T  Cr 2 G 2 MS  2 
4.
a. Dengan memasukkan data-data tersebut pada persamaan T  Cr n , tentukan nilai C
dan n.
b. Jika satelit kelima ditemukan memiliki perioda 6,20 tahun, tentukan jari-jari orbit
satelit dengan menggunakan persamaan yang sama, seperti pada soal (a).
Perioda T (tahun)
Jari-jari r (Gm)
0,44
0,088
1,61
0,208
3,88
0,374
7,89
0,600
Penyelesaian :
Gambaran soal: nilai n dapat ditentukan dengan membuat plot log T terhadap log r,
kemudian kemiringan dapat dinyatakan dengan n.
a. Alur penyelesaian :
 Logaritma-kan persamaan :

 
(1)
logT   log Cr n  logC  nlog r
Nyatakan hasil logaritma ini menjadi persamaan yang berbentuk :
(2)
y  mx  b
yang merupakan linearisasi dari persamaan (1). Penyelesaian persamaan ini
dapat dilakukan dengan menggunakan kalkulator atau software Microsoft
Excel (fungsi add trendline), hasilnya dinyatakan dalam grafik.
3

Dengan analisis regresi diperoleh n = 1,50, sehingga :
17,0 y
C  101,2311 
3
GM 2
(3)
 17,0 y 
r 1,50
T  101,2311  
3
 GM  
2

b. Jari-jari orbit planet ditentukan berdasarkan persamaan (3), yaitu :


 T
r 
17,0 y

 GM  3
2

5.
2
2
3 
3




 6,20 tahun 
   17,0 y   0,510 GM




 GM  3 
2 


Viskositas η suatu gas tergantung pada massa, diameter efektif, dan kecepatan ratarata molekul. Gunakan analisa dimensi untuk menentukan rumus η sebagai fungsi
variabel ini.
Penyelesaian:
Anggap bahwa:
  kmdv 
Dimana k, , dan  merupakan konstanta tanpa dimensi, m adalah massa berdimensi
M, d adalah diameter berdimensi L, dan v adalah kecepatan rata-rata molekul
berdimensi LT-1. Karena dimensi viskositas adalah ML-1T-1, maka
ML1 T 1  MαLβ (LT 1 )γ
Dengan menyamakan pangkat kedua ruas persamaan di atas diperoleh ,
dan sehingga:
 mv 
  k 2 
d 
6.
Gunakan metode dimensi untuk memperoleh rumus gaya angkat pesawat per satuan
panjang rentangan panjang sayap pesawat. Pesawat bergerak dengan kecepatan v
melalui udara dengan kerapatan . Nyatakan rumusnya dalam l, v, dan  (l adalah lebar
sayap pesawat)
Penyelesaian:
Anggap gaya per satuan panjang rentangan adalah F yang dinyatakan sebagai:
F  kl v 
Dimana k, , dan  merupakan konstanta tanpa dimensi. Karena dimensi gaya adalah
MLT-2, maka dimensi gaya per satuan panjang adalah MT-2. Jadi:
MT 2  Lα (LT 1 )β (ML3 )γ
Dengan menyamakan pangkat pada setiap besaran, diperoleh , dan
sehingga rumus gaya angkat per satuan panjang adalah:
F  klv 2
4