Barisan Dan Deret Geometri

Barisan Dan Deret Geometri
A. Barisan Geometri
Bentuk
umum
dari
barisan
geometri
adalah
U 1 , U 2 , U 3, ,...,U n atau a, ar , ar 2 , ar 3 ,... dst
Keterangan
U1
= a disebut suku pertama
U2
= ar disebut suku ke-2
U3
= disebut suku ketiga
......................................................
Un
= ar n1 disebut suku ke-n
Dari keterangan di atas di rumuskan bahwa U n  a.r n1
Dengan
Un
= suku ke-n barisan geometri
a
= suku pertama
r
= rasio (pembanding dengan r 
n
= banyak suku ( nomor suku )
Un
)
U n 1
Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Jika suku pertama U1, dinyatakan dengan a dan perbandingan dua suku berurutan
adalah rasio yang dinyatakan dengan r dan suku ke-n dinyatakan dengan Un, maka
kita dapat merumuskanya dengan:
U2
 r  U 2  U 1 r  ar
U1
:
U3
 r  U 3  U 2 r  ar 2
U2
U4
 r  U 4  U 31 r  ar 3
U3
Dari bentuk di atas, kita peroleh suatu barisan geometri, pada umumnya sebagai
berikut,
Un
 r  U n  ar  ar n1
U n 1
Dari keterangan di atas, dapat kita simpulkan rumus ke-n dari barisan geometri adalah
Un = arn-1
Sifat-sifat suku-suku ke-n barisan geometri Un = arn-1 adalah fungsi eksponen dari n
catatan : sifat-sifat khusus pada barisan geometri
1. Bila a,b,dan c suatu barisan geometri maka, berlaku hubungan b 2  ac
2. Bila suatu barisan geometri disisipkan k buah bilangan sehingga menjadi
barisan geometri baru, maka rasio yang baru : Rbaru  k 1 Rlama
B. Deret Geometri
Jika a, ar, ar2, ar3, … arn-1 adalah barisan geometri, maka a + ar + ar2 + ar3 + …+
arn-1 disebut deret geometri. Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari
barisan geometri.
Kalau jumlah n suku pertama deret geometri kita lambangkan dengan Sn, maka
dapat ditulis:
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1
Kita kalikan persamaan di atas dengan r, diperoleh
r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn
kita kurangkan
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1
r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn
-
Sn - r Sn = a - arn
(1 - r)Sn = a(1 - rn)
Sn 
a(1 - r n )
(1 - r)
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri di rumuskan :
Sn 


a 1 r n
, untuk r < 1
1 r
atau


a r n 1
, untuk r > 1
r 1
Sn 
Keterangan
Sn
= jumlah n suku deret geometri
a
= suku pertama
r
= rasio
n
= banyak suku ( nomor suku )
catatan : dalam deret geometri juga berlaku U n  S n  S n1
Contoh 1.5
Apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan geometri. Jika merupakan
barisan geometri, tentukan rasionya.
a. 2, 4, 8, 16, ....
b. 3, 5, 7, 9,.......
Penyelesaian:
a. 2, 4, 8, 16, .... adalah barisan geometri dengan rasio 2, sebab
Un
4 8 16
  
2
U n 1 2 4 8
b. 3, 5, 7, 9,.... bukan deret geometri, sebab
.
U2 5 7 U3
  
U1 3 5 U 2
Contoh 1.6
Carilah jumlah tujuh suku pertama pada deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 +…
Penyelesaian:
4 + 12 + 36 + 108 + …
r
12
 3 dan a  4
4
Sn 
a(r n  1)
(r  1)
4(37  1)
S7 
,
(3  1)
S7 = 4372
Jadi, jumlah 7 suku pertama deret geometri adalah 4372.
Contoh 1.7
Carilah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374
Penyelesaian:
Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374
a = 2 dan r = 3
Un = arn-1
2 . 3n-1 = 4374
3n-1 =
4374
2
3n-1 = 2187
3n-1 = 37
n–1=7
n=8
Sn 
a(r n  1)
(r  1)
S8 
2(38  1)
(3  1)
=
2(6560)
2
= 6560
Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri adalah 6560.
C. Deret Geometri Tak Hingga
Pada deret geometri, untuk n
~ maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak
berhingga. Jadi, Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1 + U2 +
U3 + ... Un , atau jika ditulis dengan notasi adalah

U
n
= a + ar + ar² ..................
n 1
n =1
dimana n  ~ dan -1 < r < 1 sehingga rn  0
Deret tersebut akan konvergen (mempunyai jumlah) jika -1 < r < 1, dan
mempunyai jumlah :
Sn 
a
dengan -1 < r < 1
1 r
Bila r tidak terletak pada -1 < r < 1, maka deret tersebut akan divergen (tidak
mempunyai jumlah).
Kesimpulan :
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyaknya suku tak
terhingga. Ada dua jenis deret geometri tak higgga yaitu :
1. Deret geometri tak hingga naik ( deret divergen ) yaitu deret dengan |r| > 1
2. Deret geometri tak hingga turun( deret konvergen ) yaitu deret dengan |r| < 1
Sedangkan deret yang kita bahas adalah deret yang konvergen yang di rumuskan :
S ~
a
dengan S ~
1 r
= jumlah deret geometri tak hingga
a
= suku pertama
r
= rasio
Contoh 1.8
Tentukan jumlah deret geometri berikut.
4+2+1+
1 1
  ...
2 4
Penyelesaian:
Deret: 4 + 2 + 1 +
1 1
1
  ... adalah deret geometri dengan a = 4 dan r = < 1.
2 4
2
Jumlah deret geometri itu adalah
Sn 
a

1 r
4
1
1
2
=
4
8
1
2