relasi dan fungsi1

Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
RELASI DAN FUNGSI
Kompetensi Dasar :
Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi
Indikator :
1. Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan
jelas
2. Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan
contohnya
Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi :
1.Diagram panah
2.Himpunan pasangan berurutan
3.Diagram Cartesius
Contoh:
Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan himpunan B = {becak, mobil,
sepeda, motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke
himpunan B adalah “banyak roda dari”. Tunjukkan relasi tersebut
dengan:
a.Diagram panah
b.Himpunan pasangan berurutan
c.Diagram Cartesius
Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Jawab:
c. Diagram Cartesius
a. Diagram panah
Y
“banyak roda dari”
1.
2.
3.
4.
5.
A
. becak
becak
. mobil
mobil
. motor
. sepeda
. bemo
B
motor
sepeda
bemo
•
•
•
•
•
O 1 2 3 4 X
b. Himpunan pasangan berurutan = {(2, sepeda), (2, motor), (3, becak)
(3, bemo), (4, mobil )}
Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Pengertian Fungsi :
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi
yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan
elemen pada B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
f
B
Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Beberapa cara penyajian fungsi :
 Dengan diagram panah
 f : D  K. Lambang fungsi tidak harus f. Misalnya,
un = n2 + 2n atau u(n) = n2 + 2n
 Dengan diagram Kartesius
 Himpunan pasangan berurutan
 Dalam bentuk tabel
Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Contoh : grafik fungsi
Gambarlah grafik sebuah fungsi : f: x  f(x) = x2
dengan Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}.
Y
(–2,4)
(2,4)
(–1,1)
(1,1)
O (0,0)
 4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan
juga dari –2.
 – 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan
dilambangkan f–1(4) = 2 atau – 2.
 Grafik Kartesius merupakan grafik
fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis
sejajar sumbu- Y yang memotong
grafik hanya memotong di tepat satu
titik saja.
X
Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Beberapa Fungsi Khusus








1). Fungsi Konstan
2). Fungsi Identitas
3). Fungsi Modulus
4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan
Fungsi ganjil jika f(x) = f(x)
5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar
[[ x ] = {b | b  x < b + 1, b bilangan bulat, xR}
Misal, jika 2  x < 1 maka [[x] = 2
6). Fungsi Linear
7). Fungsi Kuadrat
8). Fungsi Turunan
Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Jenis Fungsi
1. Injektif ( Satu-satu)
Fungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen
yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang
berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu
dan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).
2. Surjektif (Onto)
Fungsi f: AB maka apabila f(A)  B dikenal fungsi into.
Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif.
Fungsi f(x) = x2 bukan fungsi yang onto
3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Apabila f: A B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka
“f adalah fungsi yang bijektif”
Adaptif
FUNGSI LINEAR
1.Bentuk Umum Fungsi Linear
Fungsi ini memetakan setiap x  R kesuatu bentuk ax + b dengan
a ≠ 0, a dan b konstanta.
Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut grafik fungsi linear dengan
Persamaan y = mx + c, m disebut gradien dan c konstanta
2. Grafik Fungsi Linear
Cara menggambar grafik fungsi linear ada 2 :
1. Dengan tabel
2. Dengan menentukan titik- titik potong dengan sumbu x dan sumbu y
Adaptif
FUNGSI LINEAR
Contoh :
Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal
{x \-1  x
2, x  R}.
a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas .
b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.
c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.
Jawab
a. Ambil sembarang titik pada domain
X
-1
0
1
2
Y = 4x-2
-6
-2
2
6
Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)
Adaptif
FUNGSI LINEAR
Y
b.
c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 )
y = 4x – 2
6
 0 = 4x - 2
 2 = 4x
•
x=
2
•
-2 -1 O
1 2
• -2
1
2
Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)
X
Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 )
y = 4x – 2
 y = 4(0) – 2
 y = -2
Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)
•
-6
Adaptif
FUNGSI LINEAR
3. Gradien Persamaan Garis Lurus
Cara menentukan gradien :
(i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.
(ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m=
(iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2),
a
b
gradiennya
adalah m = y2  y1
x2  x1
Contoh :
1. Tentukan gradien persamaan garis berikut
a. y = 3x – 4
b. 2x – 5y = 7
2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)
Adaptif
FUNGSI LINEAR
Jawab :
1a. Y = 3x – 4
gradien = m = 3
b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5
m =
a
2
= 5
b
2. m = y2  y1
x2  x1
=
63
1  ( 2 )
=
63
1 2
=
1
Adaptif
FUNGSI LINEAR
4. Menentukan Persamaan Garis Lurus
 Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m
adalah y – y1 = m ( x – x1 )
 Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah
y  y1
=
y2  y1
x  x1
x2  x1
Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2
Jawab :
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 1 = -2 ( x – (-2))
y - 1 = -2x – 4
y = -2x - 3
Adaptif
FUNGSI LINEAR
Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)
Jawab :
x  x1
y  y1
= x x
2
1
y2  y1

y 3
x2
=
1 2
43

y 3
x2
=
3
1



3(y – 3) = 1(x + 2)
3y – 9 = x + 2
3y - x – 11 = 0
Adaptif
FUNGSI LINEAR
5. Kedudukan dua garis lurus
 Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2
 Dua garis saling sejajar jika m1 = m2
1
 Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - m2
Contoh :
1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar
dengan garis x – 2y + 3 = 0
2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus
pada 6x – 3y – 10 = 0
Adaptif
FUNGSI LINEAR
Jawab :
1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0
a
1
1


b
2 2
1
 m1  m2 maka m1 
 m1  
2
Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien 1 adalah
2
y – y1 = m ( x – x1)

y+3 =½(x–2)
y+3 =½x–1

2y + 6 = x – 2

 x – 2y – 8 = 0
Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan
melalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0
Adaptif
FUNGSI LINEAR
2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0.
a
6
 m1    
2
b
3
m1  m2  1  m2 
1
1
1


m1
2
2
Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½,
maka persamaannya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = -½ (x + 3)

y – 5 = -½x - 32

2y – 10 = -x – 3

x + 2y – 10 + 3 = 0

x + 2y – 7 = 0

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis
6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0.
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
1.Bentuk umum fungsi kuadrat
y = f(x) ax2+bx+c dengan a,b, c  R dan a  0
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris
2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Berdasarkan nilai a
(i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai
ekstrim minimum, dinotasikan ymin atau titik balik minimum.
(ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai
ekstrim maksimum, dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2 – 4ac
Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X
(i)
Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang
berbeda.
(ii)
Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik.
(iii)
Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung
sumbu X.
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X
a>0
D=0
a>0
D>0
X
(ii)
(i)
a>0
D<0
X
(iii)
X
X
X
a<0
D=0
X
(iv)
a<0
D>0
(v)
(vi)
a<0
D<0
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :
(i)
Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)
(ii)
Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)
(iii) Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik
•
b
Persamaan sumbu simetri adalah x =
2a
•
b  D 
Koordinat titik puncak / titik balik adalah  ,

 2a 4a 
(iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di perlukan)
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5.
Jawab :
(i)
Titik potong dengan sumbu X (y = 0)
x2 – 4x – 5 = 0
 (x + 1)(x – 5) = 0
 x = -1 atau x = 5
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0).
(ii)
Titik potong dengan sumbu Y (x = 0)
y = 02 – 4(0) – 5
y = -5
Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 )
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik
x
 b  (4) 4

 2
4a
2(1)
2
 D  (( 4) 2  4(1)( 5))
y

 9
4a
4(1)
Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9).
(iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8.
Jadi, titik bantunya (1, -8).
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Grafiknya :
Y
•
-1
0
1
2
3
4
•
5
X
-1
-2
-3
-4
-5 •
•
-6
-7
-8
-9
•
•
•
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi
melalui tiga titik
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5)
Jawab:
f(x) = ax2 + bx + c
f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4

a + b + c = -4 . . . 1)
f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3
0 + 0 + c = -3


c = -3 . . . 2)
f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5

16a + 4b + c = =5 . . .
3)
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Substitusi 2) ke 1)
a + b – 3 = -4
a + b = -1 . . . 4)
Substitusi 2) ke 3)
16a + 4b – 3 = 5
16a + 4b = 8 . . . 5)


Dari 4) dan 5) diperoleh :
a + b = -1 x 4
4a + 4b = -4
16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _
-12a = -12
a = 1
Substitusi a = 1 ke 4)
1 + b = -1
b = -2
Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila
diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik
lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut .
f ( x)  a( x  x )( x  x )
1
2
Contoh :
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong
sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong
sumbu Y di titik (0,3)
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Jawab :
f ( x)  a( x  x1)( x  x2 )
Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :
f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)
Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :
3 = a(0 - 1)(x + 3)
3 = -3a
a = -1
Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :
f ( x)  1( x  1)( x  3)
 1( x 2  2 x  3)
f ( x)   x 2  2 x  3
Jadi fungsi kuadratnya adalah
f ( x)   x 2  2 x  3
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c
apabila diketahui titik puncak grafik (xp’ yp) dan
satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus
berikut.
f ( x)  a( x  yp )  yp
2
Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Contoh :
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan
melalui (3, -7)
Jawab :
f(x) = a(x – xp)2 + yp
f(x) = a(x + 1 )2 + 9
(xp , yp) = (-1, 9)
. . . 1)
Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan
-7 = a(3 + 1)2 + 9
 -16 = 16 a
 a= 1
1)
menjadi :
Adaptif
FUNGSI EKSPONEN
X
f(x)
=2X
–3
–2 
–1
0
1
2
3
...
n
2– 3
2–2
2– 1
20
21
22
23
...
2n
D = domain K = kodomain
Adaptif
FUNGSI EKSPONEN
Y
Grafik f: x  f(x) = 2x
(5,32)
untuk x bulat dalam [0, 5]
2x
adalah:
x
0
1
2
3
4
5
(4,16)
F(x)=2x 1
2
4
8
16
32
(3,8)
(2,4)
(1,2)
(0,1)
O
Adaptif
X
FUNGSI EKSPONEN
Grafik f(x) = 2
X





dan g(x) = 12 
x
Y
7


6
1 
2 
g(x)
1 x
2 

= 

x
f(x)= 2
x
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 O
1 2 3 X
Adaptif
FUNGSI EKSPONEN
Sifat
Kedua grafik melalui titik (0, 1)
Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y
Y
7


6
1 
2 
g(x)
1 x
2 

= 

x
f(x)= 2
5
x
Grafik f: x  2x merupakan grafik x
1
naik/mendaki dan grafik g: x   2 


merupakan grafik yang menurun, dan
keduanya berada di atas sumbu X
(nilai fungsi senantiasa positif)
4
3
2
1
–3 –2 –1 O
1 2 3 X
Dari kurva tersebut dapat
dicari berbagai
x
nilai 2x dan nilai  1 
2
untuk berbagai nilai x real
Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui.
Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.
Adaptif
FUNGSI LOGARITMA
 Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen.
Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi
eksponen.
Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut :
f ( x) log x
a
Untuk a > 1, a R
Adaptif
FUNGSI LOGARITMA
Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma
adalah sebagai berikut :
Y
y  ax
y a log x
o
X
Adaptif
FUNGSI LOGARITMA
Contoh 1 :
Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen
a. 8 = 23
b. ¼ = 2-2
Jawab :
a. 8 = 23
b. ¼ = 2-2


log 8 = 3
2 log ¼ = -2
2
Contoh 2 :
Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang ekuivalen
a. 4 = 2 log 16
1
b. -6 = 2 log 64
Jawab :
a. 4 = 2log 16  24 = 16
b. -6 = 2log 641  2-6 = 641
Adaptif
FUNGSI LOGARITMA
Contoh 3 :
Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x+2
Jawab :
Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel berikut.
x
f(x) = 2 log x+2
¼
0
½
1
1
2
2
3
4
4
8
5
Adaptif
FUNGSI LOGARITMA
Grafiknya
Y
6
5
f ( x)2 log x  2
4
3
2
1
-1 -2 O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
Adaptif
FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y = sin x
1
amplitudo
0
900
1800
2700
3600
-1
1 periode
Adaptif
FUNGSI TRIGONOMETRI
Periode 3600
Grafik y = 2 sin x
2
Amlpitudo 2
1
0
-1
900
1800
2700
3600
Y=sin x
-2
Adaptif
FUNGSI TRIGONOMETRI
pereode
1
0
Grafik y = sin 2x
amplitudo
450
900
1350 1800 2250 2700 3150 3600
-1
Y=sin x
Adaptif
FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y = cos x
1
amplitudo
-900

-900
00
900
1800
2700
-1
1 periode
Adaptif
FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y = 2cos x
periode
2
amplitudo
1
-900
00
-1
-2
900
1800
2700
Y=cos x
Adaptif