aplikasi transformasi fourier pada persamaan diferensial

APLIKASI TRANSFORMASI FOURIER PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL
PARSIAL DENGAN FUNGSI NON PERIODIC
Oleh: Lailatul Muannisak ( 05320054 )
Mathematics
Dibuat: 2009-07-29 , dengan 2 file(s).
Keywords: Persamaan Diferensial Parsial, Transformasi Fourier, Persamaan Panas Dimensi-satu
dan Dimensi-dua.
ABSTRAK
Persamaan diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan
geometris bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak
berlebihan bila dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhanalah yang dapat
dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa. Mekanika fluida dan mekanika padat, transfer
panas, teori elektromagnetik, dan berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah
yang harus dimodelkan dengan persamaan diferensial parsial. Dan sesungguhnya, kisaran
penerapan persamaan diferensial parsial sangatlah besar, dibandingkan dengan kisaran penerapan
persamaan diferensial biasa. Salah satu persamaan diferensial parsial yang penting dalam sains
dan teknik antara lain adalah persamaan panas dimensi-satu dan persamaan panas dimensi-dua
Ada dua metode yang dikenal dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan fungsi
periodic yaitu dengan menggunakan Deret Fourier dan Transformasi Laplace. Penggunaan Deret
Fourier hanya sebatas pada fungsi-fungsi yang intervalnya berhingga (finite), sedangkan
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dari
fungsi-fungsi yang intervalnya berhingga (finite) dan semi-infinite. Masalah lain muncul ketika
fungsi-fungsi tersebut merupakan fungsi nonperiodic yang intervalnya didefinisikan untuk
seluruh sumbu-x. Penyelesaian masalah tersebut tidak bisa dengan metode Deret Fourier dan
Transformasi Laplace. Maka ada metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
masalah tersebut yaitu dengan menggunakan Transformasi Fourier. Berdasarkan masalah
tersebut, penulis sangat tertarik untuk mengkaji permasalahan tersebut dalam skripsi ini. Tujuan
dari penulisan skripsi ini adalah untuk mendeskripsikan aplikasi transformasi fourier dalam
menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan fungsi nonperiodic yang selanjutnya
dibatasi pada persamaan panas berdimensi-satu dari sebuah batang tak hingga yang homogen dan
persamaan panas berdimensi-dua keadaan stabil dari sebuah plat tipis berbentuk bujur sangkar.
Aplikasi transformasi fourier ini akan mengubah persamaan diferensial parsial dan nilai awal ke
dalam persamaan diferensial biasa dan nilai awal yang baru dalam variable w. Persamaan
diferensial biasa yang diperoleh diselesaikan dan dengan memanfaatkan nilai awal yang baru
diperoleh suatu selesaian. Selanjutnya, selesaian masalah untuk persamaan diferensial parsial
semul dapat dicari dengan invers transformasi fourier dari persamaan diferensial biasa tersebut.
Untuk mempermudh dalam mencari hasil invers dari selesaian transformasi fourier, dapat
digunakan table transformasi fourier.
Berdasarkan hasil pembahasan ini diperoleh bahwa solusi dari persamaan panas dimensi-satu
dengan
syarat awal , dan
syarat batas campurannya
adalah . Sedangkan solusi dari persamaan panas dimensi-dua dengan
syarat awal , dan
syarat batas campurannya
adalah .
ABSTRACT
Differential equation is detectable in a physics problem and geometric if the function depends on
two or more independent variables. It is not excessive if we say that only a simple physics
system can modelling by ordinary differential equation. Fluid mechanic and mechanic dense,
heat transfer, electromagnetic theory, and all kinds of physics is full with a problem that has to
modelled by partial differential equation. Actually, the comparison of application of the partial
differential equation larger than ordinary differential equation. One of kind of partial differential
equation that important in technical and science is heat equation one-dimension and heat
equation two-dimension.
There are two method that we know to solve partial differential equation with periodic function
there are using Fourier series and lap lace transformation. The use of Fourier series in only on a
function that has a finite interval, and lap lace transformation can use to solve partial differential
equation with a function that has a finite and semi-infinite interval. The other problem is come
when the function is a no periodic function that has an infinite interval. The solving of the
problem can’t use Fourier series or lap lace transformation. The solution is we have to use
Fourier transformation to solve it. Based on the problem, the writer so interest to examine that
problem in this thesis. The purpose of this writing is describing the application Fourier
transformation to solve partial differential equation with no periodic function. And this writing
delimitates on a heat equation one-dimension of an infinite homogeny stalk and heat equation
two-dimension with steady of a square thin metal sheet.
The application of Fourier transformation will change a partial differential equation and initial
value to a new ordinary differential equation and initial value in w variable. The ordinary
differential equation that provide is solved and we can use a new initial value is profitable a
solution. Next, the solution for last partial differential equation can solve with Fourier
transformation inverse from that ordinary differential equation. So as to easy to find the result of
this inverse from Fourier transformation solution, we can use Fourier transformation table
information.
Based on the working through, providable that a solution of heat equation one-dimension with
Initial requisite , and
mix limit requisite
is . And the solution of heat equation two-dimension with
Initial requisite , and
mix limit requisite
Is .