i. logika - Simponi MDP

I.
LOGIKA
 Logika
mempelajari hubungan antar
pernyataan-pernyataan yang berupa
kalimat-kalimat atau rumus-rumus,
sehingga dapat menentukan apakah
suatu pernyataan bernilai benar.
 Benar tidaknya suatu pernyataan lebih
mengarah pada bentuknya; bukan pada
arti kalimat.
Waniwatining
1
1. PROPOSISI
Pernyataan yang mempunyai nilai benar
atau salah saja yang digunakan dalam
penalaran. Pernyataan tersebut disebut
Proposisi.
Proposisi adalah kalimat deklaratif
yang bernilai benar (true) atau salah
(false), tetapi tidak keduanya.
Waniwatining
2
Contoh-contoh Proposisi :
6 adalah bilangan genap
 Soeharto adalah Presiden Indonesia yang
pertama.
2+2=4
 Ibukota propinsi Jawa Barat adalah
Semarang.
 12 > 19
 Hari ini adalah hari Kamis

Waniwatining
3
Contoh-contoh bukan Proposisi:
 Jam
berapa kereta api Argo Bromo
berangkat ?
 Isilah gelas tersebut dengan air.
X > 3
Waniwatining
4
Lambang Proposisi:
 Proposisi
biasanya dilambangkan
dengan huruf kecil seperti p, q, r,….
 Contoh :
p: 6 adalah bilangan genap
q: 2 + 2 = 4
r : Hari ini adalah hari Kamis
Waniwatining
5
2. PROPOSISI MAJEMUK
 Satu
atau lebih proposisi dapat
dikombinasikan untuk menghasilkan
proposisi baru.
 Operator yang digunakan untuk
mengkombinasikan proposisi disebut
operator logika.
 Operator logika yang digunakan adalah :
dan (and), atau (or), tidak (not).
Waniwatining
6
 Proposisi
Majemuk :
Proposisi baru yang diperoleh dari
pengkombinasian.
 Proposisi
atomik :
Proposisi yang bukan merupakan
kombinasi proposisi lain.
 Proposisi
majemuk disusun dari
proposisi-proposisi atomik.
Waniwatining
7
Tabel Penghubung Proposisi
Simbol
Arti
Dibaca

Negasi
Tidak / bukan

Konjungsi
Dan

Disjungsi
Atau

Implikasi
(kondisi tunggal)
Jika...maka...atau...
hanya jika...

Biimplikasi
(kondisi ganda)
Waniwatining
...Jika dan hanya jika ...
8
Konjungsi
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Konjungsi p dan q dinyatakan dengan
notasi p  q , adalah proposisi p dan q.
Contoh :
p:Hari ini hujan
q:Murid-murid tidak sekolah
pq : Hari ini hujan dan murid-murid
tidak sekolah.
Waniwatining
9
Disjungsi
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Disjungsi p dan q dinyatakan dengan
notasi pq , adalah proposisi p dan q.
Contoh :
p:Hari ini hujan
q:Hari ini dingin
pq : Hari ini hujan atau hari ini dingin.
Waniwatining
10
Negasi ( Ingkaran )
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Ingkaran atau negasi dari p, dinyatakan
dengan notasi p, adalah proposisi
tidak p.
Contoh :
p: Hari ini hujan
p: Tidak benar hari ini hujan.
Waniwatining
11
Contoh :
p: Pemuda itu tinggi
q: Pemuda itu tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik.
a) Pemuda itu tinggi dan tampan.
b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan.
c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan.
d) Tidak benar pemuda itu pendek atau tidak
tampan.
e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan.
f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek
Waniwatining
12
maupun tampan.
IMPLIKASI
(Proposisi Bersyarat)
Simbol  adalah simbol implikasi
 dibaca “jika . . . maka . . .” atau “ . . .
hanya jika . . .”.
 contoh kalimat implikasi “jika p maka q”
dapat ditulis dalam bentuk simbol
menjadi p  q.
 Proposisi p disebut hipotesis (anteseden),
sedangkan q disebut konklusi
(konsekuen).

Waniwatining
13
Biimplikasi
(dwi syarat)
 adalah simbol bi-implikasi
 dibaca “. . . jika dan hanya jika . . .”.
 Jika terdapat proposisi majemuk “m
jika dan hanya jika n”, maka dapat
ditulis dalam bentuk simbol m  n
atau dalam bentuk (m  n)  (m  n).
 Simbol
Waniwatining
14
TABEL KEBENARAN
p  q bernilai bernilai benar
jika p dan q keduanya benar, selain itu
nilainya salah.
 Konjungsi
Waniwatining
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
15
Disjungsi p  q bernilai salah, jika p dan
q keduanya salah, selain itu nilainya
benar.
Waniwatining
p
q
pq
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
16
bersyarat p  q mempunyai
nilai kebenaran benar apabila nilai
kebenaran hipotesis sama dengan nilai
kebenaran konklusi atau nilai
kebenaran hipotesis bernilai salah.
 Selain itu nilai kebenarannya salah.
 Proposisi
Waniwatining
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
T
T
17
bi-implikasi p  q,
mempunyai nilai kebenaran benar (T)
apabila nilai kebenaran p dan q sama.
 Selain itu nilai kebenarannya salah.
 Proposisi
Waniwatining
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
18
3. EKUIVALENSI DUA PROPOSISI
Dua buah proposisi dikatakan ekuivalen
secara logika apabila kedua proposisi
tersebut mempunyai nilai kebenaran yang
sama.
 Jika proposisi p ekivalen secara logika
dengan proposisi q, maka ekivalensi tsb.
dapat ditulis sebagai p  q atau dapat
menggunakan lambang bi-implikasi seperti
p  q.

Waniwatining
19
4.Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika
No
Hukum
Bentuk ekuivalensi
1
Komutatif
pq  qp
pq  qp
2
Asosiatif
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
3
Distributif
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
4
Identitas
p  True  p
p  False  p
Waniwatining
20
5
Ikatan
p  True  True
p  False  False
6
Negasi
p   True
p   False
7
Negasi
Ganda
( p)
Hukum
Idempoten
ppp
ppp
p
p
p
8
( p)
Waniwatining
21
9
Hukum De
Morgan


10
Penyerapan
p(pq)p
p(pq)p
11
Negasi True
dan False
(ppqq)
(ppqq)
(p  q) 
(p  q)  (p  q)  (q  p)
12
Waniwatining
22
5. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
 Tautologi
adalah proposisi majemuk
yang nilai kebenarannya selalu benar
untuk setiap nilai kebenaran proposisi
pembentuknya.
 Kontradiksi selalu mempunyai nilai
kebenaran yang salah untuk setiap nilai
kebenaran proposisi pembentuknya.
Waniwatining
23
Contoh 1 :
Dengan menggunakan tabel kebenaran
buktikan bahwa ( p  q )  q adalah
tautologi !
 Jawab :

p
T
T
q
T
F
(pq)
T
F
(pq)q
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
Waniwatining
24
6. Konvers, Invers dan Kontraposisi.
Jika terdapat implikasi p  q
Maka : konversnya adalah
: q  p
inversnya adalah
: pq
kontraposisinya adalah :  q   p
Contoh
Jika n adalah bilangan prima  3,
maka n adalah bilangan ganjil.
Tentukan konvers, invers & kontraposisinya !
Waniwatining
25
 Jawab
Misal p : n adalah bilangan prima  3
q : n adalah bilangan ganjil
 Implikasi: p  q
jika n adalah bilangan prima  3 maka
n adalah bilangan ganjil.
 Konvers : q  p
jika n adalah bilangan ganjil maka n
adalah bilangan prima  3.

Waniwatining
26
: p   q
 jika n bukan bilangan prima  3
maka n bukan bilangan ganjil
 Invers
: q  p
 jika n bukan bilangan ganjil
maka n bukan bilangan prima  3.
 Kontraposisi
Waniwatining
27
7. Inverensi Logika
 7.1.
Validitas suatu argumen
Argumen adalah rangkaian pernyataanpernyataan.
Pernyataan terakhir disebut
kesimpulan, sedangkan pernyataan
sebelumnya disebut hipotesa atau
premis.
Waniwatining
28
 Hipotesa
atau premis dan kesimpulan
disebut argumen.
 Jika dari suatu argumen semua
hipotesanya benar dan kesimpulannya
juga benar maka dikatakan argumen
tersebut valid.
 Sebaliknya jika hipotesa bernilai benar
dan kesimpulan nya salah, maka
argumen tersebut tidak valid.
Waniwatining
29
tuntunan untuk menentukan apakah suatu
argumen dikatakan valid atau invalid.
Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat
 Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran
untuk semua hipotesa dan kesimpulan.
 Tandai baris kritis, yaitu baris yang nilai
kebenaran hipotesa bernilai T (benar).
 Jika semua kesimpulan pada baris kritis benar,
maka argumen bernilai valid, jika ada
kesimpulan pada baris kritis salah maka
argumen
invalid.
Waniwatining
30

 7.2.
Metode-metode Inferensi
 7.2.1. Modus Ponens
Misal hipotesis (anteseden) p pada
implikasi p  q bernilai benar. Agar
proposisi bersyarat p  q mempunyai
nilai benar, maka q harus bernilai
benar.
Secara simbolik modus Ponens dapat
dinyatakan sebagai berikut.
Waniwatining
31
 7.2.2.
Modus Tollens
modus Tollens mirip dengan modus
Ponens. Bedanya terletak pada
hipotesa kedua dan kesimpulan.
Hipotesa kedua dan kesimpulan
merupakan negasi dari masing-masing
proposisi pada hipotesa pertama.
Dalam bentuk simbol modus Tollens
dapat ditulis sebagai berikut :
Waniwatining
32
 7.2.3.

Contoh 1.12
Ali menguasai bahasa Pascal.
Ali menguasai bahasa Pascal atau Basic
 7.2.4.

Penambahan Disjungtif
Penyederhanaan Konjungtif
Contoh 1.13
Ali menguasai bahasa Pascal dan bahasa
Basic
Ali menguasai bahasa Pascal
Waniwatining
33
 7.2.5.
Silogisme
Silogisme merupakan bentuk inferensi
(penyimpulan ) tidak langsung yang
dilakukan dengan cara menyimpulkan
dua hipotesis yang dihubungkan dengan
cara tertentu.
Silogisme Disjungtif :
peristiwa memilih diantara dua pilihan.
Jika kita harus memilih diantara p atau q
dan misalnya kita tidak memilih p
tentulah pilihan kita adalah q.
Waniwatining
34
 Silogisme
Hipotesis
Jika nilai kebenaran dari implikasi p  q dan
q  r adalah benar, maka implikasi p  r
bernilai benar pula.
Contoh 1.15
Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 9 maka
bilangan tersebut habis dibagi 3.
Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 3 maka
jumlah digit-digitnya habis dibagi 3.
Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 9 maka
jumlah digit-digitnya habis dibagi 3
Waniwatining
35
 7.2.6.
Dilema
Dilema mempunyai bentuk campuran antara
silogisme disjungtif dan silogisme hipotesis.
 Contoh :
Menurut ramalan, tahun depan negara kita
akan mengalami kemarau panjang atau
banjir.
Jika kemarau panjang hasil pertanian gagal.
Jika banjir hasil pertanian gagal.
 Tahun depan hasil pertanian gagal.

Waniwatining
36