Kerapatan Spektrum Daya

KERAPATAN SPEKTRUM DAYA
(POWER SPECTRAL DENSITY)
Sigit Kusmaryanto
http://sigitkus.lecture.ub.ac.id
Kerapatan Spektrum Daya dalam topik ini dapat dijabarkan melalui penjabaran
spektrum Daya sinyal – sinyal
random dan noise. Di dalam bab ini kita
mencoba beberapa metode untuk menangani munculnya efek noise di dalam
dasar spektrum.
4.1. Kerapatan Spektrum Daya.
Teorema Parseval memberikan hubungan antara waktu ( f(t) ) dan transformasi
Fourier sebagai berikut :
∫
∞
−∞
2
∞
[ f ( t )] dt = 1 / 2π ∫ [ F (ω )] 2 dω
−∞
4.1
Integtral sebelah kiri merupakan Daya dalam f(t) yang dikalikan dengan
( )2
r3esistansi satu ohm. Sedang F ω
asdalah Daya per unit dari frekuensi
normal untuk resis6ansi satu ohm.
Daya yang terbentuk berasal dari hasil integral tegangan dan arus dengan
batas - batas tertentu. Hubungan tegangan v(t) dan arus I(t) adalah sebagai
berikut:
E=
∫
∞
−∞
v ( t )i ( t ) d t
4.2
Namun demikian kita dapat menggunakan persamaan matematik untuk sinyal sinyal baik arus maupun tegangan. Jika muatan resistor satu ohm, tidak banyak
perbedaanya. Untuk muatan - muatan resistor yang bukan satu ohm, kita
gunakan hukum ohm : v(t) = Ri(t). Sebagai contoh f(t) = tegangan.
Menggunakan teorema Parseval, kita mendapatkan hubungan sebagai berikut :
∞
Ef =
1
R
Ef =
1
2π R
∫
2
−∞
∫
4.3a
f ( t ) dt
∞
2
−∞
F (ω ) d ω
4.3b
Sedangkan untuk f(t) = arus kita dapat menuliskan sebagai berikut:
Ef = R ∫
R
2π
Ef =
∫
∞
−∞
∞
2
4.4a
f (t ) dt
−∞
2
F (ω ) d ω
4.4b
Dimensi Daya dalam sistem MKS adalah joule.
Untuk resisstansi satu ohm F (ω )
2
adalah Daya per unit dari frekuensi,
biasa disebut : energy spectral density dari sinyal f(t). Energy spectral density
merupakan fungsi relattif dari energy yang dihasilkan oleh sinyal dan frekuensi,
kedua- energy spctral density adalah total luasan di bawah energy
Kuantitas F (ω )
2
diperoleh dari Daya variasi frekuensi. Untuk
F (ω )
2
F (ω ) .
2
kontunu,
Daya yag diperoleh adalah nol. Jadi untuk memperoleh Daya harus ada range
frekuensi untuk pengintegralan.
Konsep dari energy spectral density merupakan satu hal penting untuk
pengantar perhitunganh spektral energy relatif melalui sistem linier. Melihat hal
itu,sinyal input f(t) dari sistem linear invarian waktu yang ditransfer ke fungsi
frekuensi adalah H( ω ) . Keluarannya adalah spectral - density amplitodo yang
dinyatakan dlam G( ω ) :
G (ω ) = F (ω ) H (ω )
Dan energy density(keadaan normal) dari G( ω ) adalah :
G (ω ) = F (ω ) H (ω )
2
2
Daya output dari sinyal adalah :
Eg =
1
2π
∞
∫
F (ω )
2
H (ω ) d ω
2
4.6
−∞
Dengan kata lain energy density dari respon sistem diberikan oleh energy
density dari sistem input digandakan oleh kwadrat magnitude dari fungsi sistem
transfer. Semua phasa informasi sinyal dari fungsi sistem transfer merupakan
kalkulasi dari Daya dan energy density. Namun hanya magnitude dari fungsi
sistem transfer perlu diperhatikan dalam perhitungan Daya density.
Di dalam ilmu fisika interprestasi dari Daya density dapat diterangkan
melalui persamaan (4.6). Sinyal f(t) diumpamakan input dari verry narrow
bandpassfilter dengan fungsi transfer frekuensi H( ω ) ditunjukkan dalam gambar
4.1. Output dari narrow band filter adalah g(t),dapat kita temukan Dayag(t)
sebagai berikut :
Eg =
1
2π
∫
∞
−∞
2
G (ω ) d ω
− ω 0 + ( ∆ω / 2 )
1
1
2
2
=
−
F (ω ) H (ω ) dω +
∫
2π − ω o − ( ∆ ω / 2 )
2π
=
1
1
2
2
F ( −ωo) ∆ω +
F (ωo) ∆ω
2π
2π
dimana ∆ω = sanagat kecil.
ωo + ( ∆ω / 2 )
∫ωF (ω )
2
H (ω ) dω
ωo − ( ∆ / 2 )
4.7
2
Jika sinyal f(t) bernilai real, maka F(- ω ) =F( ω ) dan
F ( −ω ) = F (ω ) .
Kosekuensi semua sinyal bernilai nyata dari energy spectral density adalah
fungsi dari w. Prosesnya adalah:
Jika f(t) bernilai real setengah dari Daya dikontribusikan dengan komponen kompoinen frekuensi negatif dan setengahnya lagi oleh komponen - komponen
frekuensi positif.
Penandaan praktis dari pembahasan ini dapayt diralisasikan dengan
penyegaran prosedure. Diberi sinyal pulsa f(t) dimana dapat kita temukan
energy spectral density ? Salah satu jalan adalah pendalaman penyebaba dan
bentuk paralel dari narrow band filter, semua filter - filter diletrakkan pada
frekuensi berdekatan antara yang satu dengan yang laian. Jika kita memakai f(t)
untuk rangkaian paralael filter - filter seperti gambar 4.2(a) kita dapat mengira ngira penyebaran energy spectral density dari f(t). Ediilustrasikan pada gambar
4.2(b).Penandaan setengah energy dari distribusi yang satu untuk daerah
komponen - komponen frekuensi negatif ditunjukkan gambar 4.2 ©. Peralatan
yang digunakan untuk pembentukan fungsi biasa disebutr” multi channel
spectral analyser”.
Ringkasan ari uraian di atas, Daya spektral density dan sinyal merupakan
energy per unit dari frekuensi dan tampilan - tampilan dari penyebaran Daya
dari komponen frekuensi yang berbeda. Daerah di bawah Daya spectral density
memberikan Daya tanpa diberi band frekuensi.
4.2. Power Spectral density
Tidak semua sinyal yang interest mempunyai Daya terbatas . Beberapa sinyal
mempunyai Daya terbatas tetapi mungkin mempunyai rata - rata waktu Daya
yang terbatas. Rata - rata waktu dari Daya disebut rata - rata Daya dan
beberapa sinyal disebut sinyal Daya.
Rata - rata waktu Daya dari sinyal diberikan oleh :
lim 1
P=
T → ∞ T
T /2
∫ f (t )
2
dt
4.9
−T /2
Untuk sinyal periodik masing - masing periode berisi jiplakan dari fungsi dan
operasi limit dari persamaan 4.9 dapat ditinggalkan sejauh T sesuai dengan
periodenya.
Persamaan 4.9 merupakan nilai kuadrat dari sinyal f(t), yang merupakan
nilai rata - rata Daya, jika resistansinya satu ohm. Skala diluar satu ohm yang
melewati dibahas pada Daya dan Daya spectral density.
Analog seperti sinyal Daya yang dibahas sebelumnya, Daya harusberhati hati di dalam fungsi baru dalam frekuensi yang berbeda. Ambil contoh fungsi
dari power spectral density ada Sf(w). Fungsi ini adalah unbit - unity Daya per
frekuensi dan diintegralkan dalam daerah Daya pada fungsi f(t). Ditulis :
P=
1
2π
∞
∫
S f ( ω )d ω
4.10
− ∞
Fungsi spektrum kepadatan Daya melukiskan penyebaran Daya terhadap
frekuensi dan merupakan hal yang penting dalam sistem praktis.
Kita dapat menggunakan perkiraan relatif dari kerapatan spektrun Daya Sf
(ω ) terhadap sinyal f(t). Sinyal tenega diberikan pada gambar 4.3(a). Dari
observasi sinyal Daya terdapat pada interval (-T/2, T/2) ditunjukkan pada
gambar 4.3(b). Fungsi translasi dapat ditulis f(t) rec (t/T).
Tranformasi Fourier dari fungsi translasi f(t) rec (t/T) adalah:
{
( )
FT (ω ) = F f ( t ) rec t T }
4.10
Teorema Parseval untuk fungsi translasi :
∫
2
f (t ) d t =
T /2
−T /2
1
2π
∫
∞
−∞
2
F T (ω ) d ω
4.11
Rata - rata Daya pada satu ohm adalah :
T /2
lim 1
lim 1 1
2
P=
f (t ) dt =
∫
T → ∞ T −T /2
T → ∞ T 2π
∞
2
∫ FT (ω )
dω
4.12
−∞
Gabungan dari 4.10 - 4.12 adalah :
1
2π
∞
lim 1 1
∫− ∞ Sf (ω )d ω = T → ∞ T 2 π
∞
∫
2
FT (ω ) d ω
4.13
−∞
Selanjutnya dalam hubungan peningkatan frekuensi :
1
G f (ω ) =
2π
ω
ω
lim 1 1
∫− ∞ Sf ( u )du = T → ∞ T 2 π
2
∫ FT (ω )
dω
4.14
−∞
Gf(w) = Daya komulatif dari semua komponen frekuensi yang diberi oleh
frekuensi w
= Spektrum Daya Komulatif/ equivalensy
FT (u )
lim
2 π G f (ω ) = ∫ Sf (u )du = ∫
T → ∞
T
−∞
−∞
ω
ω
2
du
4.15
d G f (ω )
= S f (ω )
dω
2π
F T (ω )
lim
S f (ω ) =
T → ∞
T
2
4.17
Persamaan 4.17 merupakan hasil yang kita inginkan untuk kerapatan spektrum
Daya.
Fungsi translasi Daya naik dengan naiknya T( lain tidak turun). Kuantitas
FT (ω ) 2 meningkat dengan meningkatnya T( lain tetap ). T besar maka nilai
fluktuasi dan efek akhir -pad integrasi akan menjadi kecil dan kuantitas
FT (ω ) 2 /T mungkin mendekati limit.
Dalam praktek penggunaan Power Spectral Density “ sering disingkat
dengan power density atua power spectrum.
Persamaan 4.17 merupakan metode yang digunakan untuk mencari
determinan dari power spectral density pada sinyal.
Untuk pengunaan sinyal Daya yang umum kita dapat mengulang lebih cepat
jika kita punya sinyal Daya periodik. Asumsi f(t) madalah periodik diberikan oleh
persamaan exponensial Fourier :
∞
f (t ) =
∑
Fne
jn ω o t
n = −∞
Dengan Teorema Parseval :
f
2
(t ) =
∞
∑
Fn
2
n= −∞
4.18
Memberikan Daya pada resistansi satu ohm pada frekuensi lain yang harmonik
untuk f(t), menghasil nilai total rata - rata Daya.
Untuk sinyal periodik kita menggunakan persamaan 4,18 yang diplot untuk
spektrum Daya garis, gambar4.4(a). Spektrum Daya komulatif yang diperoleh
dari persamaan 4.18. Daya akan naik step - per step, karena Daya tidak
mungkin negatif.
Spektrum Daya pada fungsi periodik
Penulisan Gf(ω) dalam pembentukan rumus, didapatkan :
(4.19)
Menurut pengertian kita, bahwa turunan fungsi tep adalah
fungsi implus
(impulse Function). Persamaan (4.16) dan (4.19) menjadi :
(4.20)
Oleh karena itu densitas power sprektral dari fungsi periodik adalah fungsi
impulse secara seri dengan luasan dihubungkan dengan
komponen yang
dikuadratkan dari koefisien fourier seri.
Umumnya dapat dikonversikan garis power sprektrum pada power sprektal
density yang sederhana dengan mengubah garis menjadi impulse. Luasan dari
impulse ini adalah jumlah dari kuadrat komponen-komponen garis tinggidan
dikalikan dengan 2π jika dalam frekuensi radian. Integral dari power sprektral
density pada semua luuasan frekuensi adalah :
1
P=
2π
∞
∫S
f
(ω ) dω
−∞
yang mana setiap satu ohm resistor diberikan :
f 2 (t ) =
1
2π
∞
∫ 2π
−∞
∞
∑
n = −∞
Fn δ (ω − nω 0) dω =
2
∞
∑ Fn
2
n = −∞
Hasil ini adalah bersesuai dengan teorema Parseval.
Pentransmisian power sprektral melalui sistem linier mengikuti alur yang sama
dari densitas Daya. Misalkan mengaplikasikan fungsi alih pada pemfilterasn
variasi waktu linier, frekuensi fungsi alih dituliskan H(ω).
Pemotongan fungsi tanggapan, GT(ω) adalah
GT (ω ) = FT (ω ) H (ω )
Sinyal keluaran dari densitas power sprektral :
S x (ω ) = Lim
FT (ω ) H (ω )
T →∞
T
FT (ω )
= lim
2
T →∞
2
H (ω )
T
S x (ω ) = S f (ω ) H (ω )
2
2
(4.21)
Jadi sinyal keluaran densitas power sprektral adalah sinyal masukan densitas power
sprektral yang dimodifikasi oleh besarnya akar dari sistem fungsi alih. Akar rata-rata
sinyal keluaran didefinisikan sebagai berikut :
g 2 (t ) =
1
2π
∫
∞
−∞
S f (ω ) H (ω ) dω
2
(4.22)
Persamaan (4.21) dan (4.22) memberikan suatu gambaran bahwa besarnya fungsi
alih yang dihasilkan adalah cara yang populer untuk membangkitkan penguat amplifier.
Hi-fidelity audio amplifiers. Misalnya digunakan untuk membangkitkan tanggapan kurva
pada penguat basis (basis power) adalah merupakan grafik dari log H(ω ) dengan
2
log(ω).Satuan densitas power sprektral dalam sistem MKS adalah watt per Hz.
4.3 Waktu Rata-rata timbulnya Noise/kebisingan
Konsep power sprektral juga dapat menganalisa efek rata-rata dari fluktuasi acak
yang timbul dalam proses kerja suatu alat. Fluktuasi inii disebabkan dari tegangan atau
arus yang tidak stabil dan melekat dalam sinyal yang disebut noise atau kebisingan.
Dalam beberapa hal umum, noise terdiri dari sinyal yang tidak diinginkan, acak yang
terinterferensi dengan sinyal yang dihasilkan kembali dari sistem tersebut. Sinyal yang
tidak di inginkan ini muncul dari beberapa macam sumber dan bisa diklasifikasikan
sebagai kejadian alam. Noise yang timbul tidak bisa dihilangkan tetapi dapat diperkecil
dengan pendisainan sistem yang cermat . Konsep densitas power sprektral sangat
berguna dalam menghilangkan efek-efek noise pada basis penguat perata (averege
power basis).
Dalam pembentukan nilai rata-rata dari sinyal (acak atau tidak acak) didapatkan
suatu parameter yang dapat menganalisa tentang sinyal yang biasanya hilang dalam
suatu proses dari suatu sistem.
Misalkan n(t) adalah noise tegangan atau arus. Maka :
1. Nilai rata-rata, n ( t ) :
n(t ) = lim
T →∞
1
T
T
2
∫ n(t )dt
(4.23)
T
−
2
Parameter n ( t ) direferensikan sebagai dc atau rata-rata nilai n(t) dalam waktu
interval T. yang digambarkan pada gambar 4.6(a).
2. Nilai akar rata-rata n 2 (t )
1
T →∞ T
n 2 (t ) = lim
T
2
∫ n( t )
2
dt
(4.24)
T
−
2
Akar n 2 ( t ) disebut nilai rms dari n(t). Persamaan (4.24) melukiskan waktu rata-rata
Daya pada n(t).
Dari persamaan ini dapat dicari integral dari densitas power
sprektral Sn(ω)
3. Komponen AC, σ (t ) :
σ (t ) ∆n(t ) − n(t )
(4.25)
AC/Fluktuasi, komponen dari n(t) adalah komponen yang tetap dari nilai rata-rata
n ( t ) yang terlewat, yang digambarkan gambar 4.6(b) sebagai berikut :
Gambar 4.6(a) Gelombang noise acak dan (b) komponen ac
Dengan mesubstitusikan persamaan (4.25) ke dalam persamaan (4.24) didapatkan :
1
T →∞ T
T
2
∫
n 2 (t ) = lim
n 2 (t ) = lim
T →∞
1
T
−
2
n(t ) + σ (t ) dt
T
2
T
2
∫ n( t )
2
dt + lim
T →∞
T
−
2
1
T
T
2
∫ σ (t )
2
dt
(4.26)
T
−
2
Dari persamaan (4.26) terlihat bahwa n ( t ) adalah konstan dan rata-rata dari σ (t )
didefinisikan sama dengan nol. Pada sisi kiri persamaan (4.26) adalah waktu rata-rata
Daya dalam n(t). Pada sisi kanan persamaan (4.26) pertama adalah komponen dc dan
persamaan kedua adalah Daya ac (ac power) dalam n(t) dan nilai rms n(t) di hitung dari
nilai rms σ (t ) jika nilai rata-rata n ( t ) sama dengan nol.
Contoh 4.3.1
Hitunglah a) Nilai rata-rata, b) ac power dan c) Nilai rms dari suatu gelombang
periodik V(t)=1 + Cos ω0 t
Jawab
Karena V(t) adalah gelombang periodik (berulang-ulang), maka dapat diintegralkan
dari pada mencari limit-nya.
a). v (t ) =
1
T
T
2
∫ (1 + Cosω
1
b). σ 2 (t ) =
T
2
c). v (t ) =
0
t )dt = 1 ,
T
−
2
1
T
T
2
∫ (Cosω
−
0
t ) 2 dt =
T
2
T
2
∫ (1 + Cosω
−
T
2
0
t ) 2 dt
1
,
2
=
1
T
T
2
∫ (1 + 2Cosω
−
0
t + Cos 2ω 0 t )dt =
T
2
3
2
v rms = v 2 ( t ) = 3 2
Rasio sinyal per noise (S/N) dapat dibentuk dengan mencari rasio sinyal akar ratarata dibagi akar rata-rata noise karena adanya faktor resistansi jatuh. yaitu :
S
s 2 (t )
=
N n 2 (t )
(4.27)
dalam desibel
[
2
2
[S/N]db=10 Log10 s (t ) n (t )
]
(4.28)
Dimana s 2 (t ) dan n 2 (t ) diasumsikan untuk diukur pada suatu titik yang sama.
4.4. Fungsi Kolerasi
Pada pembahasan yang lalu telah dijelaskan tentang bagaimana sinyal-sinyal bisa
dianalisa dengan menggunakan fungsi densitas power sprektral Sf(ω). Dalam sub bab
ini membahas bentuk operasi dalam kawasan waktu (time domain) yang ekivalen untuk
menyelesaikan
densitas
power
sprektral
dalam
fungsi
frekuensi.
Dengan
mengasumsikan definisi dari densitas power sprektral memenuhi yaitu :
1
2
FT (ω )
T →∞ T
S f (ω ) = lim
(4.29)
Hubungan operasi dalam kawasan waktu adalah invers transformasi Fourier dari
persamaan (4.29) :
1
ζ {S s (ω )} =
2π
−1
∞
∫ lim F (ω )
−∞
T
T →∞
2
e jωt dω
(4.30)
Dari persamaan (4.30) dipilih variable waktu baru τ sebab variable waktu t sudah
didefinisikan dari fungsi FT(ω). Hubungan baru dapat diperoleh dari penyelesaian
bidang operasi :
∞
1
FT*∴ FT (ω )e jωt dω
T →∞ 2πT ∫
−∞
ζ −1 {S s (ω )} = lim
= lim
T →∞
1
2πT
1
= lim
T →∞ T
T
∞ 2
T
2
∫∫f
*
−∞ T
−
2
(t )e jωt dt ∫ f (t1 )e − jωt1 dt1e jωt dω
−
T
2
T
2
T
2
 1
∫T f (t ) ∫T f (t1 )  2π
−
−
∞
*
2
∫e
jω ( t − t1 +τ )
−∞

dω dt1dt

(4.31)
2
Integral dalam ω dari persamaan (4.31) dikenal sebagai δ(t-t1+τ), karena itu :
ζ −1 {S f (ω )} = lim
1
T →∞ T
T
2
∫f
T
2
*
(t ) ∫ f (t1 )δ (t − t1 + τ )dt1dt
T
−
2
1
= lim
T →∞ T
−
T
2
∫f
*
T
2
(t ) f (t + τ )dt
(4.32)
T
−
2
Persamaan (4.32) melukiskan tentang operasi dalam kawasan waktu yang berkolerasi
dengan pendefinisian dari Sf(ω) dalam kawasan frekuensi. Invers transformasi fourier
dari Sf(ω) disebut fungsi kolerasi langsung dari f(t), dikenal dengan Rf(τ). sehingga
dapat dituliskan :
R f (τ ) = lim
T →∞
1
T
T
2
∫f
*
(t ) f (t + τ )dt
(4.33)
T
−
2
Juga, mencari transformasi fourier dari kedua sisi dari persamaan (4.32) dan
persamaan (4.33), didapatkan :
{
}
S f (ω ) = ζ R f (τ )
(4.34)
Sehingga dari persamaan diatas dihasilkan metode lain dalam mencari fungsi densitas
power sprektral.
Contoh 4.4.1
Cari dan sketsa fungsi kolerasi langsung dari fungsi periodik gelombang segi
empat dengan amplitudo puncak ke puncak A, periode T, dan nilai rata-rata
Jawab.
A
2
Karena f(t) periodik (berulang-ulang), operasi limit dalam menyelesaikan Rf(t)
dapat diganti dengan mengintegralkan dalam satu periode dengan menggunakan
persamaan (4.33) :
Untuk -T/2 < τ < 0 :
R f (τ ) =
1 ( T 4 ) +τ 2
1 τ
A dt = A 2  + 
∫
T
−
2 T
T
4
Untuk 0 < τ < T/2 :
usghjkjdfjkhdf
gambar f(t) dan R(τ) ditunjukkan oleh gambar 4.7. Sejak f(τ+T)=f(t), maka semua
perhitungan diulangi sampai setiap periode. Ini membuktikan bahwa fungsi kolerasi
langsung secara periodik dari bentuk gelombang adalah periodik.
Contoh 4.4.2.
Cari fungsi korelasi langsung dari
2 Cos(ω 0 t + θ )
Jawab
Fungsi
kolerasi
langsung
(autocorelation)
secara
luas
digunakan
dalam
menganalisa suatu sinyal, dan berguna untuk mendeteksi sinyal-sinyal yang melekat
pada noise yang bertambah. Misalnya gelombang berulang segi empat seperti yang
ditunjukkan 4.8(a) adalah fungsi kolerasi langsung (autocoleration) seperti contoh 4.4.1
yang ditunjukkan gambar 4.8(b). Bidang limit dari gel noise acak ditunjukkan oleh
gambar 4.8(c) dan fungsi kolerasi langsunya ditunjukkan gambar 4.8(f).
Untuk cross kolerasi dari dua bentuk gelombang f(t) dan g(t) didefinisikan Rrf(τ)
adalah :
(4.35)
Sebagai contoh aplikasi dari cross kolerasi, misalnya bentuk gelombang acak f(t) pada
gambar 4.9(a), fungsi kolerasi langsungnya Rfr (τ) akan sama dengan yang ditunjukkan
gambar 4.8(a). Untuk fungsi kedua g(t) dipilih g(t)=f(1-t0)+n(t), bentuk gabungan fungsi
g(t) adalah pada gambar 4.9(b). Sedangkan fungsi cross kolerasinya yang didefinisikan
pada persamaan (4.35) hasilnya ditunjukkan oleh gambar 4.9(c).
puncak dari fungsi korellasi mengindikasikan tentang bagusnya kesesuaian
antara sinyal-sinyal tersebut.
Keduanya, autokorellasi dan krosskorellasi adalah alat yang sangat kuat
dalam analisa sinyal dalam pekerjaan analisa dan praktek. Kita akan sering
membahas keduanya dalam bahasan selanjutnya.
4.5 BEBERAPA HAL TENTANG FUNGSI KORELASI
Kita telah mendapatkan pada bagian sebelumnya, bahwa tranformasi Fourier
dari fungsi autocorellasi mamberikan kerapatan spektrum daya dari fungsi
korellasi. Kita akan membahas secara singkat beberapa hal yang berhubungan
dengan fungsi autokorellasi.
4.5.1 Symmetry
Pengujian fungsi autokorrelasi untuk argumen negativ, kita memiliki
(4.36)
Oleh karena itu bagian nyata dari Rf(t) adalah suatu fungsi kejadian; dan jika f(t)
adalah nilai nyata kemudian Sf(-ω) = Sj*(w) (sesuai persamaan 3.38 dan 4.34)
4.5.2 Nilai kuadrat rata-rata
Fungsi autokorellasi Rf(τ) dievaluasi pada t=0 adalah persamaan nilai kuadrat
rata-rata dari sinyal ƒ(t)
[ sesuai persamaan (4.24)],
(4.37)
Bagian kiri dari persamaan (4.37) sesuai dengan persamaan (4.10) dan (4.34)
dengan referensi 1 0hm.
4.53 Periodesitas
jika f(t + T) = f(t) untuk semua t, maka
Rf(τ + T) = Rf(τ)
untuk semua τ.
(4.38)
Bukti kemudahan dari penulisan integral dan penggunaan dari definisi
periodesitas.
4.54 Nilai rata-rata
Fungsi f(t) kembali diwakili oleh fungsi x(t) dengan nilai rata-rata nol, dan nilai
rata-rata dibentuk oleh m1. Secara umum kita mewakilkan g(t) sebagai fungsi
y(t) dengan nilai rata-rata nol, dan nilai rata-rata dibentuk oleh m2. Dalam
persamaan umum kita dapat menuliskan sebagai..
f(t) = x(t) + m1,
g(t) = y(t) + m2
Krosskorellasi dari f(t) dan g(t) adalah
Tercatat bahwa x(t) dan y(t) didefinisikan bernilai rata-rata nol, sehimgga kita
mempunyai
Nilai rata-rata dari fungsi kroskorelasi adalah
Pengubahan untuk pengintegralan, kita mempunyai
Sebab adalah nol, kita mendapatkan hasil
Olehkarena itu nilai rata-rata dari dua fungsi autokarrelasi f(t) dan g(t) adalah
persamaan dari hasil nilai rata-rata keduanya. Jika nilai rata-rata salah satu dari
kedua fungsi tersebut adalah nol, maka nilai rata-rata dari krosskorelasinya
adalah nol. Hasil dari autokorrelasi bisa diambil dari hasilnya
4.5.5 Nilai Maximum
Kita dapat melihat bahwa Rx(0) untuk beberapa t (lihat persamaan 4.7) dengan
mengambil kuadrat besarnya dari fungsi autokorrelasi dan
menggunakan
persamaan Schwarz. Sehingga kita mempunyai
Rf(0) Rf(0)
Dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi, kita mendapatkan
|Rf(τ)| Rf(0).
Olehkarena itu fungsi autokorrelasi Rf(τ) terikat oleh nilai kuadrat rata-rata dari
sinyal f(t). Untuk sebuah sinyal periodik , persamaan pada 4.40 adalah sesuai
pada multi periode dari aslinya(lihat persamaan 4.7).
Untuk non periodik f(t),Rf(t) adalah secara tepat kurang dari Rf(0) untuk semua
τ tidak samadengan 0.
4.5.6 Penambahan
Jika dua sinyal ditambahkan, Fungsi Autokorrelasi dari penjumlahan keduanya
bukan berarti penjumlahan dari kedua fungsi autokorrelasi tersebut. Untuk
menyelidikinya, kita tulis z(t) = x(t) + y(t). Jumlah fungsi autokorrelasi dari dua
sinyal x(t) dan y(t) adalah
(4.41)
Kita menyimpulkan bahwa jika fungsi krosskorelasi adalah nol [ i.e., jika Rxy(τ) =
Ryx(τ) = 0]dapat ditulis
Rz(τ) = Rx(τ) + Ry(τ).
(4.42)
Untuk kondisisi Rxy (τ) = 0 untuk semua τ , kita mengatakan bahwa x(t) dan y(t)
adalah unkorrelasi.
Lebih jauh, kita dapat melihat bahwa Ryx(τ) = R*xy (τ), maka dengan demikian
Rxy(τ) = 0, sehingga Ryx(τ) = 0.
Catatan jika x(t) dan y(t) adalah orthogonal, sehingga keduanya bersifat
unkorellasi. Dalam penambahan, sesuai yang kita bahas dalam BAB 8, jika x(t)
da y(t) bersifat statistik yang bebas, maka keduanya juga bersifat unkorellasi.
Sebab Daya kerapatan spektrum adalah transformasi Fourier tentang fungsi
autokorellasi, dalam hal ini mencakup dua sinyal x(t) dan y(t) diman bersifat
unkorellasi saaat Daya kerapatan spektrumnya ditambahkan. Dengan kata lain
Daya rata-rata dari penjumlahan dua sinyal adalah jumlahan dari Daya rata-rata
dua sinyal yang bersifat unkorellasi. Dalam hal ini fungsi krooskorellasi tidak nol,
yang pertama sinyal harus ditambahkan kemudian Daya rata-rata mungkin
dideterminasi atau diekivalenkan, dengan mencakup krosskorellasi.
4.6 Fungsi Korelasi dari Sinyal-sinyal Daya Terbatas.
Konsep dari korelasi dapat diperluas untuk memperjelaskan sinyal-sinyal dari
Daya terbatas. Secara khusus, kita mendefinisikan fungsi autokorelasi rf(τ )
untuk suatu sinyal f(t) dari Daya terbatas sebagai,
(4.43)
Sama dengan diatas untuk sinyal-sinyal f(t) dan g(t) yang keduanya adalah
Daya, mendefinisikan fungsi korelasi silang (cross-correlation function) rfg ( τ )
sebagai,
(4.44)
Perhatikan untuk fungsi-fungsi dengan nilai nyata. Operasi ini akan sama
dengan yang digunakan untuk belit (convolution) kecuali fungsi kedua tidak
terbalik.
Transformasi fourier dari persaman (4.43) memberikan :
(4.45)
Penukaran tingkatan integrasi dari persamaan (4.45), diperoleh
(4.46)
Menggunakan selang waktu dari transformasi fourier pasa sisi kanan pada
persamaan (4.46) didapatkan
(4.47)
Dengan mengkombinasikan persamaan (4.46) dan (4.47) didapatkan :
F { rf (τ) } = | F(ω)|2
(4.48)
Mengindentifikasi sisi kanan pers. (4.48) sebagai kerapatan spektral Daya f(t).
Dapat disimpulkan bahwa kerapatan spektral Daya adalah transformasi fourier
dari fungsi autokorelasi untuk sinyal-sinyal Daya terbatas.
4.7 Band Limited White Noise.
Funsi kerapatan spektral daya memiliki peran penting didalam penjelasan ratarata waktu (time-averange) dari noise acak. Type tertentu dari kerapatan
spektral daya yang diteliti ini adalah cenderung konstan untuk segala frekuensi.
Spektrum daya yang datar seperti yang ini mengandung seluruh komponenkomponen frekuensi dengan pengaruh daya yang sembarang disebut white,
yang dianalogikan cahaya putih (white light).
Jika kita memiliki suatu kerapan spektral spektral daya yang konstan
dengan η Watt/Hz (diukur pada frekuensi positif), dan jika n(t) memiliki nilai ratarata nol, maka kerapan spektral daya dari white noise adalah :
Sn (ω) = η/2
(4.49)
Setengah dari faktor pers. (4.49) seharusnya memiliki kerapatan spektral daya
dua sisi. Perhatikan bahwa kita mendefinisikan Sn(ω ) dalam basis daya.
Dengan kata lain untuk suatu resistor dengan R Ohm, kita harus mengalikan
pers.(4.49) dengan R untuk diubah ke tegangan kuadrat rata-rata(mean-square
current) dan dibagi dengan R untuk diubah kearus kuadrat rata-rata.
Secara tepatnya pers.(4.49) tidak dapat digunakan untuk menggambarkan
sustu proses fisik tertentu karena mengandung sutu jumlah tak terbatas dari
daya, yaitu
Bagaimanapun juga persamaan ini pada akhirnya menjadi suatu model yang
baik bagi banyak kasus dimana bandwidth dari perangkat yang diukur lebih
smpit dari batasan proses fisik yang sedang diteliti. Karena pengukuran kita
dibatasi oleh banwidth terbatas. Dengan kata lain jika suatu bentuk gelombang
noise memiliki kerapatan spektral daya yang melebihi bandwith dari suatu
sistem, noise akan tampak ke dalam sistem bagaikan white yang sebenarnya.
Untuk band-limited white noise, daya noise tidak tergantung kepada pilihan
frekuensi yang dioperasikan. Sebagai contoh misalnya n(t) adalah white noise
rata-rata nol dengan kerapatan spektral daya n/2 Watt/Hz. Untuk suatu bandwith
(B) dengan daya noise (Pn) adalah
watt
(4.50)
Dengan mengasumsikan bahwa persamaan diatas di kembangkan bagi suatu
resistor ( R ) diperoleh tegangan noise kuadrat rata-rata (mean-square noise
voltage) adalah :
(4.51)
Jika n(t) adalah arus maka :
GB amperes2
(4.52)
Pentransmisian white noise melalui sistem invarian waktu linier mengikuti suatu
pola seperti yang dijelaskan pada kerapan spektral daya. Misalnya kita hendak
mencari tegangan rms pada keluaran suatu filter yang fungsi transfer H(ω ) telah
diketahui. Input diberi ni(t) dan output no(t). Kita dapat tuliskan :
Sno(ω) = Sn(ω) |H(ω)|2
(4.53)
ω
(4.54)
Jika kerapatan spektral dari noise adalah white (diasumsikan resistor 1 Ohm).
Pers. (4.54) menjadi
(4.55)
4.7.1 Noise Termal
Noise termal tejadi akibat dari gerakan elektron-elektron bebas yang acak dari
suatu medium penghantar karena adanya rangsangan Daya panas. Jalur dari
tiap elektron pada pergerakannya beriontasi secara acak sebagai akibat dari
adanya tubrukan. Pengaruh gerakan ini timbul arus listrik dalam resistor yang
acak dengan suatu nilai dengan rata-rata nol. Dari pertimbangan termodinamik
dan mekanikal kuantum kerapatan spektral daya dari noise termal dapat
dijelaskan dengan persamaan sebagai berikut,
(4.56)
Sn(ω) ≅ 2 kT watt / Hz
Untuk
| ω | << 2π kT/h
(4.57)
dimana : T = Suhu penghantar, °K
K = konstanta Boltzman = 1,38 x 10 -23 Joule/ °K
h = konstanta Planck’s = 6,625 x 10 -34 Joule-detik
Untuk frekuensi diatas kT/h, noise termal tidak lagi white. Sebaliknya jika
frekuensi terlalu tinggi bagi sinyal-sinyal listrik dapat diasumsikan bahwa noise
termal adalah white untuk maksud ini (sebagai contoh kt/h = 6000 GHz untuk T
= 290 °K).
Dalam prakteknya resistor bisa saja menghasilkan sedikit lebih banyak
noise termal dibandingkan dengan yang diindikasikan kerapatan spektral diatas.
Kelebihan ini merupakan suatu fungsi dari material-material dan geometri
dengan mengabaikan faktor-faktor tersebut dalam hal ini. Perhatikan bahwa
suatu suatu kapasitor ideal tidak memiliki sumber noise termal karena tidak
adanya elektron-elektron bebas didalam suatu dielektrik ideal. Dilain pihak suatu
Induktor ideal tidak memiliki su
mber noise termal disebabkan konduktor ideal tidak mempunyai suatu struktur
celah-celah untuk menghalang aliran atau elektron.
Pers. (4.57) dan (4.51) kita dapatkan tegangan kuadrat rata-rata (rangkaian
terbuka) yang dihasilkan oleh suatu resistor R didalam suatu bandwith (B)
adalah :
(4.58)
Arus kuadrat rata-rata (rangkaian terhubung) dihasilkan dengan menggunakan
pers. (4.57) dan (4.52) adalah sebagai berikut :
(4.59)
Model rangkaian ekivalen tegangan dan arus untuk band-limited termal
noise diperlihatkan pada gambar 4.11. Resistansi ( R ) dan Konduktansi (G)
diasumsikan bebas noise dan bandwidth tidak terdapat pada peralatan yang
diukur.
Masalah -masalah rangkaian noise yang melibatkan komponen-komponen
resistif yang dapat dipecahkan dengan menggunakan model-model rangkaian
ini,
Gambar 4.11 Model rangkaian ekivalen noise termal
a)
model tegangan
b) model arus
4.7.2 Transmisi Noise Termal Menggunakan Sistem Linier.
Kita telah mengasumsikan bahwa tidak terdapat hubungan antara gerakan acak
dari elektron-elektron bebas pada resistor yang berbeda. Hal ini berrarti
konstribusi noise yang ditimbulkan dari gerakan acak ini menambah basis daya
untuk lebar frekuensi tertentu.
Misalnya sebagai contoh kita hubungkan suatu resistor ke terminal-terminal
input dari suatu sistem linier yang hanya berisikan komponen-komponen yang
bebas noise, seperti terlihat pada gambar 4.12 (a) , prosedurnya adalah sbb :
Kita mengganti resistansi input dengan sumber dengan suatu tegangan noise
dan satu resistor ( R ) yang bebas noise seperti pada gambar 4.12 (b). Resistor
yang bebas noise merupakan bagian dari fungsi transfer dari sistem.
Berdasarkan suatu basis tegangan :
Svi(ω) =
2kTR
(4.60)
Svi(ω) = Svi(ω) |H(ω)|2
(4.61)
Tegangan output kuadrat rata-rata adalah
ω ) |H(ω)|2 dω
(4.62)
Tapi bagaimana jika sistem itu sendiri mengandung komponen-komponen
resistif yang bersifat noise ? . Jika sistem adalah linier , pasif dan bilateral maka
resistansi noise efektif yang berlaku bagi input adalah ,
Req(ω) = ℜe{Z(ω)}
(4.63)
Dimana Z(ω) adalah nilai komplek impedansi input sistem. Kerapatan spektral
tegangan noise berdasarkan pers. (4.60)
Sv(ω) = .2kTReq
(ω)
(4.64)
Perhatikan bahwa pada umumnya Req (ω) adalah suatu fungsi dari frekuensi.
Gambar 4.12 Transmisi noise termal menggunakan sistem linier
a)model sistem
b) model sistem linier
4.7.3 Lebar Bidang Noise Ekivalen
pernyataan seperti pada persamaan (4.58) dan (4.59) mengasumsikan
adanya suatu filter ideal
dari lebar bidang (B) untuk tujuan pengukuran noise. Dalam praktek, adalah
mudah untuk mengkombinasikan berbagai karakteristik terbatas lebar bidang
dari suatu sistem, dengan cara menentukan suatu lebar bidang noise ekivalen (
Bn ), sebenarnya adalah filter ideal bandwith yang memberikan daya noise yang
setara dengan yang dimiliki oleh sistem yang sebenarnya. Lebar bidang noise
ekivalen untuk white noise dapat ditentukan sebagai berikut.
Didalam asumsi white noise, kerapatan spektral daya input adalah adalah
suatu konstata η/2. Output tegangan kuadrat rata-rata dari suatu sistem linier
ditentukan oleh persamaan (4.62). Maka tegangan kuadrat rata-rata vo (t), untuk
suatu resistor 1 Ohm adalah (berdasarkan pers. (4.55).
(4.65)
Integral tertentu pada persamaan (4.65) adalah suatu konstanta untuk fungsi
transfer frekuensi sistem tertentu H(ω).
Kita dapat menggunakan sustu pendekatan dalam kerapatan spektral
daya adalah white untuk beberapa lebar bidang dari sistem. Dengan
menentukan suatu lebar bidang noise ekivalen Bn sehingga :
1. Kerapatn spektral daya pada output filter adalah white diantara bandwith (Bn)
dan nol atau membentuk
suatu kerapatan spektral persegi panjang
ekivalen.
2. Areal dimana kerapatan spektral persegi panjang ini terdapat sama dengan
areal dari kerapatan spektral pada output filter.
Hal ini diilustrasikan pada gambar 4.14
Gambar 4.14 Sebuah grafik yang didefinisikan pada bandwith noise ekivalen.
Dengan menentukan frekuensi bidang tengah (midband) dari suatu sistem
ωo (ωo = 0untuk suatu low pass filter ), tegangan sistem midband yang
didapatkan adalah | H(ω)|2, dapat ditulis
(4.66)
jika dihitung sisi kiri dari persamaan (4.65) dan (4.66) diperoleh
(4.67)
4.7.4 Daya Yang Tersedia dan Suhu Noise.
Dari pers.(4.49) dan (4.57), daya noise termal yang dihasilkan pada suatu
pada resistor R adalah
Pn = kTB
(4.68)
Seberapa besar daya noise dapat diringkaskan menggunakan suatu muatan
resistif yang telah disesuaikan R (bebas noise) untuk transfer daya maksimum,
diperoleh tegangan transfer adalah setengah dari tegangan rangkaian terbuka.
Daya maksimum yang tersedia Pa, selanjutnya adalah ¼ seperti ditunjukan
pada pers. (4.68), atau
Pn = kTB
(4.69)
Dengan menguji persamaan diatas dapat dilihat bahwa k adalah suatu
konstanta dan B adalah lebar bidang noise ekivalen yang konstan untuk suatu
sistem yang ditentukan. Suhu T secara langsung berhubungan dengan daya
noise yang tersedia untuk menggambarkan daya noise input adalah dengan
menggolongkan daya noise input ini sebagai suatu suhu noise, Jadi temperatur
noise menggolongkan kedalam suatu resistansi yang sesuai.
Dalam prakteknya, kita harapkan untuk menghubungkan suatu amplifier
(receiver) yang memiliki suatu resistansi input R untuk transfer daya maksimum.
Suatu model yang disederhanakan dari amplifier ini adalah suatu resistansi
input R pada temperatur noise ekivalen Te diikuti oleh suatu daya yang
diperoleh yakni Gp. Dengan kata lain temperatur noise (Te) adalah suatu
temperatur efektif dari suatu sumber noise termal while pada input sistem yang
diperlukan untuk menghasilkan daya noise yang sama dengan yang ada pada
output dari suatu sistem yang bebas noise ekivalen (eqivalen noiseless system).
Beberapa amplifier yang noisenya sangat rendah misalnya antara 10 K s/d 30 K
sementara receiver pemancar standar memiliki temperature noise 1000 K.
Rangkaian penerima yang disebabkan oleh thermal NOISE
Pada sebuah penguat white Noise umumnya masuk melalui temperatur ( Te )
yang disebabkan oleh pergerakan elektron acak yang bebas dalam rangkaian
berada pada pada seluruh spektrum frekuensi yang tersedia.
Tidak dapat
dihindari dan biasanya tidak terlalu mengganggu transmisi. Efek temperatur
noise pada resitansi output ( Ro ) , Gain yang besar semuanya tidak dapat
diabaikan begitu saja.
Dalam kenyataannya (operasi ) pengaruh temperatur ini ada juga dari luar yaitu
langit dan linkungan sekitarnya dan pada saluran antena juga terjadinya noise.
Perhitungan daya noise ialah:
Pa = KTeB
4.7.5 NOISE FIGURE
Dalam suatu perangkat telekomunikasi daya kebisingan selalu ada (noise)
karena dalam alat tersebut ada input maupun output. Maka daya noise
dibandingkan dengan daya sinyal input dan daya sinyal output. Perbandingan
daya sinyal terhadap kebisingan (sinyal to noise power ratio = S/N).
Input sinyal to noise adalah
(4.70)
Output sinyal to noise adalah
(4.71)
S/N yang ada pada output akan selalu kurang dari .S/N yang ada pada input,
karena setiap penguat atau jaringan akan menambah kebisingan (noise).
(4.72)
Rumus ini baik sekali digunakan untuk menyederhanakan noise termal pada
suatu sistem. Dimana Si(t) = sinyal input Ni(t) = noise termal, To= temperatur,
Gp = Gain dan B = Bandwidth.
Daya noise input adalah :
Ni = kTB
(4.73)
dan daya noise output adalah
So = Si Gp
(4.74)
Sebuah penguat selalu ditambahkan noise termal karena terwakili dalam input
amplifier.
No = k To B G + k Te B G
(4.75)
Kemudian disubstistusikan (4.73) - (4.75) kedalam (4.72) maka noise figure
sebuah amplifier adalah :
(4.76)
Kadang-kadang faktor kebisingan dinyatakan dalam Decibel (dB).Angka
kebisingan FdB = 10 log 10 (F)
4.7.6 Sky -Noise Temperatur.
Ketika suatu antena dihubungkan ke suatu input penerima akan selalu lebih
mudah diwakili oleh suatu resistor yang (matching) dengan input penerima dan
temperatur serta yang mewakili noise efektif langit dan lingkungan sekitarnya
yang dilihat dari sisi antena. Suhu antena biasanya berkisar antara 290 °K. Bila
resistansi input (Ri) suatu antena dengan temperatur (Ta), persamaan (4.75)
dapat diubah menjadi :
No = k B (Ta + Te) G
(4.77)
Noise temperatur lebih mudah dipahami dan dapat dibandingkan secara
langsung dengan noise temperatur penerima.
Gambar 4.16 Nilai rata -rata dari sky noise temperature
4.7.7
Sumber-sumber Lain Dari White Noise Dengan Range Terbatas.
Ada jenis lain dari noise yang dapat digambarkan dalam istilah sumber white
noise, walaupun perkiraan tidak memuat range frekuensi seluas noise termal.
Tabel 4.1.
Shot noise, sebagaimana dengan halnya dengan noise termal adalah timbul
dalam peralatan fisik ketika suatu partikel muatan bergerak melalui suaru
gradien potensial tanpa tumbukan dengan startime yang acak dengan
menyamaratakan terhadap partikel-partikel seperti diatas, yang dapat diperoleh
dari suatu aliran rata-rata, tetapi akan selalu ada fluktuasi pada harga rata-rata
ini. Dalam tabung hampa udara shot noise timbul dari emisi acak elektron yang
berasal dari katoda.
Dalam perlatan semikonduktor, shot noise timbul dari sebagai hasil difusi acak,
dari pembawa minoritas dengan generasi acak serta rekombinasi dari pasangan
hole dan elektron. Dari pembawa yang dimuati dalam istilah arus rms.
(4.78)
Komponen noise lainnya muncul dalam divisi arus dengan peralatan
multielektroda yang disebut noise partisi. Partisi ini merupakan noise yang acak.
Transistor dan tabung hampa udara menghasilkan 3 noise : shot noise, partition
noise dan termal noise, semua ini dapat dianggap seolah-olah kerapatan daya
spektrum adalah data sepanjang bandwidth.
4.8
RINGKASAN
Kuantitas |F(ω)|2menggambarkan jumlah relatif dari Daya sinyal yang diberikan,
f(t) terhadap frekuensi disebut sebagai kerapatan spektral Daya dari f(t), fungsi
tersebut menggambarkan sambungan daya relatif dari sinyal f(t). Spektral daya
dari suatu sinyal tidak periodik adalah merupakan fungsi frekeunsi.
Nilai rms dari bentuk gelombang dapat ditemukan dari daerah dibawah fungsi
kerapatan spektral dayanya. Perbandingan dari sinyal rms terhadap noise rms
disebut S/N.
Transformasi fourier kebalikan dari kerapatan spektral daya adalah merupakan
fungsi autokorelasi. Untuk sinyal dengan harga nyata dengan durasi (jangkauan
waktu tertentu). Fungsi autokorelasi adalah disamping dari suatu konstnta
normalisasi, yang diberikan oleh Coulomb. Noise yang merupakan kerapatan
spektral daya datar disebut white noise. Noise termal berasal dari gerakan acak
elektron-elektron bebas pada suatu media konduksi.
Daya noise adalah suatu figure of merit yang mudah bagi sistem apabila suatu
temperatur referensi dipasang pada To = 290 °K .
Shot noise dan noise partition adalah dua jenis yang putih terhadap range
frekuensi yang agak lebar dan noise temperatur ekivalen dengan sky noise
temperatur. Ketiganya ada untuk membedakan derajat dalam peralatan
termionik dan semikonduktor.
DAFTAR PUSTAKA
Feher, Kamilo .1987. Advanced Digital Communication . USA : prentice-Hall
Haykin, Simon . 1989. An Introduction to Analog and Digital Communications .
Singapore : John Willey
Lathi , B . P . 1983 .Modern Digital and Analog Communication System . USA : Holt –
Saunders.
Schwartz , Mischa . 1986 . Transmisi , Informasi , Modulasi dan Bising . Terjemahan
Srijatno W., Ph.D. Jakarta : Erlangga.
Smith , David R . 1985 . Digital Transmission Systems . New york :Van Nostrand
Reinhold Company .
Stallings , William .1991 . Data and Computer Communications. Singapore : Maxwell
Macmilan International Edition.
Roddy , Denis and John Coolen . 1985 . Electronic Communication . New Delhi :
Prentice-Hall.
Sigit Kusmaryanto, 1996, Diktat Sistem Transmisi Telekomunikasi, Teknik Elektro UB