MAKALAH BASIS DAN DIMENSI KELOMPOK 13

MAKALAH
BASIS DAN DIMENSI
Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah
“ALJABAR LINEAR”
1.
2.
3.
4.
Disusun Oleh Kelompok 13 :
Ariqah Tsabitah Azzahra
(A1C020046)
Mey Sinta
(A1C020032)
Miftahul Izzati
(A1C020044)
Nadila Triana Lisa
(A1C020054)
Kelas : II B
Prodi : Pendidikan Matematika
Dosen Pengampu :
1. Dr. Hanifah, M.Kom
2. Tria Utari, S.Pd, M.pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS BENGKULU
2021
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pembahasan tentang kebebasan linear pada aljabar max-plus berawal dan hasil kerja
Cunninghame-Greene, 1979; yang mendefinisikan bahwa sebuah himpunan dikatakan bebas
linear secara lemah jika tidak memuat suatu vektor yang merupakan kombinasi linear dari vektor
lain pada himpunan tersebut. Pernyataan ini kemudian dikembangkan oleh Wagneur, 1991; yang
mengatakan bahwa sub ruang linear dari 𝑅 𝑛 yang dibangun secara berhingga memuat sebuah
himpunan pembangun bebas linear secara lemah, Hasil ini kemudian dilanjutkan oleh
Cunninghame-Green, Butkovi’c, 2004; Gaubert, Katz, 2007; Butkovi’c, et al, 2007. Teori ini
menunjukkan bahwa kebebasan linear secara lemah yang membangun suatu himpunan dapat
diidentifikasikan sebagai suatu himpunan dari extreme rays. Gondran dan Minoux, 1984,
mendefinisikan bentuk yang berbeda tentang kebebasan linear namun lebih mendekati pengertian
kebebasan linear secara umum. Suatu himpunan berhingga disebut bergantung linier pada
Gondran-Minoux jika himpunan tersebut dapat dipartisi menjadi dua himpunan yang
membangun ruang linier dengan interseksi yang bukan merupakan vektor nol.
Misalkan V ruang vektor dan S={s1, s2, ...., sn}. S disebut basis dari V bila memenuhi dua
syarat, yaitu:
1. S bebas linier
2. S membangun V
Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua
macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar.
B.
Rumusan Masalah
Pada pembahasan ini penulis akan menjelaskan apa yang dimaksud dengan basis dan
dimensi.
BAB II
PEMBAHASAN
BASIS DAN DIMENSI
Basis :
suatu
ukuran
tertentu
yang
menyatakan komponen
dari
sebuah
vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan
dimensi 1, bidang adalah ruang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum
adalah sebagai berikut :
Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V,
maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :
i.
S bebas linier;
ii.
S serentang V.
Suatu basis adalah generalisasi ruang vektor dari suatu sistem koordinat pada ruang berdimensi 2
dan ruang berdimensi 3. teorema berikut akan membantu untuk memahami hal tersebut.
Teorema 5.4.1
Keunikan Representasi Basis
Jika S = {𝑣1 , 𝑣2 , . . . ., 𝑣𝑛 } adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka setiap vektor v pada V
dapat dinyatakan dalam bentuk v = 𝑐1 𝑣1 +𝑐2 𝑣2 + . . . + 𝑐𝑛 𝑣𝑛 dengan tepat satu cara
CONTOH 1 Basis Standar Untuk R3
Pada Contoh 3 subbab sebelumnya, kita telah menunjukkan bahwa jika
i = (1, 0, 0),
j = (0, 1, 0),
dan
k = (0, 0, 1)
maka S = {i, j, k} adalah suatu himpunan bebas linear pada R3. Himpunan ini juga merentang R3
karena vektor sebarang v = (a, b, c) pada R3 dapat ditulis sebagai
v = (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) = ai + bj + ck
(1)
Jadi, S adalah basis untuk R3 dan disebut sebagai basis standar (standard basis) untuk R3.
Dengan melihat koefisien-koefisien i, j, dan k pada (1), karena koordinat-koordinat v relatif
terhadap basis standar adalah a, b, dan c, sehingga
(v)s = (a, b, c)
Dengan membandingkan hasil ini dengan (1) maka
v = (v)s
persamaan ini menyatakan bahwa komponen-komponen dari suatu vektor v relatif terhadap
suatu sistem koordinat siku-siku xyz dan koordinat-koordinat v relative terhadap basis sandar
adalah sama. Jadi, system koordinat dan basisnya menghasilkan korespodensi satu ke satu yang
tepat sama antara ruang berdimensi 3 dan tripel bilangan real yang berurutan (Gambar 5.4.4)
CONTOH 2 Basis Standar untuk Rn
Pada Contoh 3 subbab sebelumnya kami telah menunjukkan bahwa jika
e1 = (1, 0, 0, …, 0),
e2 = (0, 1, 0, …, 0), …,
en = (0, 0, 0, …, 0)
(1)
maka
S = { e1, e2, …, en}
adalah suatu himpunan bebas linear pada R3. Lebih lanjut, himpunan ini juga merentang Rn
karena vektor sebarang v = (v1, v2, …, vn) pada Rn dapat ditulis sebagai
v = v1 e1 + v2 e2 + … + vn en
(2)
Jadi, S adalah suatu basis untuk Rn dan disebut sebagai basis standar untuk Rn (standard basis
for Rn). Sesuai dengan (2) bahwa koordinat-koordinat v = (v1, v2, …, vn) relative terhadap basis
standar adalah v1, v2, …, vn, sehingga
(v)s = (v1, v2, …, vn)
Sebagaimana pada Contoh 1, kita memperoleh v = (v)s sehingga suatu vektor v dan vektor
koordinatnya relatif terhadap basis standar untuk Rn adalah sama
CATATAN. Kita akan melihat pada contoh selanjutnya bahwa suatu vektor dan vektor
koordinatnya tidak akan sama. Kesamaan yang kita lihat pada dua contoh di atas adalah suatu
kasus khusus yang terjadi hanya dengan basis standar untuk Rn.
CATATAN. Pada R2 dan R3, vektor-vektor basis standar biasanya dinotasikan dengan i, j, dan k
dan bukannya dengan e1, e2, dan e3. Kita akan menggunakan kedua notasi, tergantung pada
situasi tertentu.
CONTOH 3 Memperlihatkan bahwa Himpunan Vektor adalah suatu Basis
Misalkan v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0), dan v3 = (3, 3, 4). Tunjukkan bahwa himpunan S = { v1, v2,
v3} adalah suatu basis untuk R3.
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa himpunan S merentang R3, kita harus menunjukkan bahwa suatu
vektor sebarang b = (b1, b2, b3) dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear
b = c1v1 + c2v2 + c3v3
dari vektor-vektor pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponenkomponennya kita memperoleh
(b1, b2, b3) = c1(1, 2, 1), + c2(2, 9, 0) + c3(3, 3, 4)
atau
(b1, b2, b3) = (c1 + 2c2 + 3c3, 2c1 + 9c2 + 3c3, c1 + 4c3)
atau, dengan menyertakan komponen-komponen yang bersesuaian,
c1 + 2c2 + 3c3 = b1
2c1 + 9c2 + 3c3 = b2
c1
(3)
+ 4c3 = b3
jadi, untuk menunjukkan bahwa S merentang R3, kita harus menunjukkan bahwa system (3)
memiliki satu solusi untuk setiap pilihan dari b = (b1, b2, b3).
Untuk membuktikan bahwa S bebas linear, kita harus menunjukkan bahwa satu-satunya
solusi dari
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
(4)
adalah c1 = c2 = c3 = 0. Sebagaimana di atas, jika (4) dinyatakan dalam bentuk komponenkomponennya, pembuktian kebebasan akan berkurang hanya dengan menunjukkan bahwa sistem
homogen
c1 + 2c2 + 3c3 = 0
2c1 + 9c2 + 3c3 = 0
c1
(5)
+ 4c3 = 0
hanya memiliki solusi trivial. Amati bahwa sistem (3) dan (5) memiliki matriks koefisien yang
sama. Jadi, menurut Teorema 4.3.4 bagian (b), (e) dan (g), kita dapat membuktikan secara
simultan bahwa S adalah bebas linear dan merentang R3 dengan menunjukkan bahwa pada sistem
(3) dan (5) matriks koefisiennya memiliki determinan taknol. Dari
1
A = [2
1
2 3
9 3]
0 4
kita memperoleh
1
det(A) = |2
1
2 3
9 3| = -1
0 4
dan dengan demikian S adalah basis untuk R3.
CONTOH 4 Merepresentasikan suatu Vektor dengan Menggunakan Dua Basis
Misalkan himpunan S = { v1, v2, v3} adalah suatu basis untuk R3 pada contoh sebelumnya.
(a) Tentukan vektor koordinat dari v = (5, -1, 9) dalam S.
(b) Tentukan vektor v pada R3 yang vektor koordinatnya dalam basis S adalah (v)s = (-1, 3, 2).
Penyelesaian (a). Kita harus menentukan skalar-skalar c1, c2, c3, sedemikian rupa sehingga
v = c1v1 + c2v2 + c3v3
atau, dalam bentuk komponen-komponennya,
(5, -1, 9) = c1(1, 2, 1), + c2(2, 9, 0) + c3(3, 3, 4)
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian kita memperoleh
c1 + 2c2 + 3c3 = 5
2c1 + 9c2 + 3c3 = -1
c1
+ 4c3 = 9
Dengan meyelesaikan sistem ini, kita memperoleh c1 = 1, c2 = -1, c3 = 2
Oleh karena itu
(v)s = (1, -1, 2)
Penyelesaian (b). Dengan menggunakan definisi dari vektor koordinat (v)s, kita memperoleh
v = (-1)v1 + 3v2 + 2v3
= (-1) (1, 2, 1) + (2, 9, 0) + 2 (3, 3, 4) = (11, 31, 7)
CONTOH 5 Basis Standar untuk Pn
(a) Tunjukkan bahwa S = {1, x, x2, …., xn} adalah suatu basis untuk ruang vektor Pn yang terdiri
dari polynomial-polinomial berbentuk a0 + a1x + …. + anxn.
(b) Tentukan vektor koordinat dari polynomial p = a0 + a1x + a2x2 relative terhadap basis S = {1,
x, x2} untuk P2.
Penyelesaian (a). Kami telah menunjukkan bahwa S merentang Pn pada Contoh 11 Subbab 5.2,
dan kami telah menunjukkan bahwa S adalah himpunan bebas linear pada Contoh 5 Subbab 5.3.
Jadi, S adalah basis untk Pn dan disebut sebagai basis standar untuk Pn (standard basis for Pn).
Penyelesaian (b). Koordinat-koordinat p = a0 + a1x + anx2 adalah koefisien-koefisien scalar dari
vektor basis 1, x, dan x2, sehingga (p)s = (a0, a1, a2).
CONTOH 6 : Basis Standar untuk 𝑴𝒎𝒏
Misalkan :
𝑀1 = [
1 0
],
0 0
0
𝑀2 = [
0
1
],
0
𝑀3 = [
0 0
],
1 0
0 0
𝑀4 = [
]
0 1
Himpunan 𝑆 = {𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 , 𝑀4 } adalah basis ruang vektor 𝑀22 , perhatikan bahwa suatu vektor
matriks 2 × 2. Untuk melihat bahwa S merentang 𝑀22 , perhatikan bahwa suatu vektor (matriks)
sebarang
[
𝑎
𝑐
𝑏
]
𝑑
Dapat ditulis sebagai
𝑎
[
𝑐
1
𝑏
] = 𝑎[
0
𝑑
0
0
]+𝑏[
0
0
1
0 0
0 0
]+𝑐[
]+𝑑[
]
0
1 0
0 1
= 𝑎𝑀1 + 𝑏𝑀2 + 𝑐𝑀3 + 𝑑𝑀4
Untuk melihat bahwa S bebas linear, asumsikan bahwa
𝑎𝑀1 + 𝑏𝑀2 + 𝑐𝑀3 + 𝑑𝑀4 = 0
Yaitu,
1 0
0 1
0 0
0
𝑎[
]+𝑏[
]+𝑐[
]+𝑑[
0 0
0 0
1 0
0
0
0
]=[
1
0
0
]
0
Maka
𝑎
[
𝑐
0 0
𝑏
]=[
]
0 0
𝑑
Jadi, 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0, sehingga S bebas linear. Basis S pada contoh ini disebut basis standar
untuk 𝑀22 . Secara umum, basis standar untuk 𝑀𝑚𝑛 terdiri dari 𝑚𝑛 matriks yang berbeda dengan
satu bilangan 1 dan nol untuk entri-entri lainnya.
CONTOH 7 : Basis untuk Subruang rentang (S)
Jika 𝑆 = {𝐯1 , 𝐯2 , … 𝐯𝑟 } adalah suatu himpunan bebas linear pada ruang pada ruang vektor V,
maka S adalah suatu basis untuk subruang rentang (S) karena himpunan S merentang rentang (S)
berdasarkan defenisi dari rentang (S).
DEFENISI
Suatu ruang vektor taknol 𝑉 disebut berdimensi terhingga jika terdiri dari himpunan
terhingga vektor-vektor {𝐯1, 𝐯2, … 𝐯𝑛, } yang membentuk suatu basis. Jika tidak
terdapat himpunan seperti ini, 𝑉 disebut sebagai berdimensi takterhingga. Selain
itu, ruang vektor nol sebagai berdimensi terhingga.
CONTOH 8 : Beberapa Ruang Berdimensi Terhingga dan Takterhingga
Dari contoh 2, 5, dan 6, ruang-ruang vektor 𝑅 𝑛 , 𝑃𝑛 , dan 𝑀𝑚𝑛 adalah berdimensi terhingga.
Ruang-ruang vektor 𝐹(−∞, ∞), 𝐶(−∞, ∞), 𝐶 𝑚 (−∞, ∞), dan 𝐶 ∞ (−∞, ∞) adalah berdimensi
takterhingga.
TEOREMA 5.4.2
Misal 𝑉 adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 } adalah
basis sebarang.
a. Jika suatu himpunan memiliki vektor lebih dari n, maka himpunan tersebut
bersibat tidak bebas linear
b. Jika suatu himpunan memiliki vektor kurang dari n, maka himpunan tersebut
bersifat tidak merantang 𝑉
Bukti (a)
Misalkan 𝑆 ′ = {𝐰1 , 𝐰2 , … , 𝐰𝑛 } adalah himpunan sebarang yang terdiri dari m vektor pada 𝑉,
𝑚 > 𝑛. kita ingin menunjukkan bahwa 𝑆 ′ tidak bebas linear. Karena 𝑆 = {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 } adalah
suatu basis, setiap 𝒘𝑖 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor pada 𝑆,
misalkan
𝒘1 = 𝑎11 𝐯1 + 𝑎21 𝐯2 + . . . + 𝑎𝑛1 𝐯n
𝒘2 = 𝑎12 𝐯1 + 𝑎22 𝐯2 + . . . + 𝑎𝑛2 𝐯n
⋮
⋮
⋮
⋮
(6)
𝒘𝑚 = 𝑎1𝑚 𝐯1 + 𝑎2𝑚 𝐯2 + . . . + 𝑎𝑛𝑚 𝐯n
Untuk menunjukkan bahwa 𝑆 ′ tidak bebas linear, kita harus menentukan skalar-skalar
𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑚 , yang tidak semua nol, sedemikian rupa sehingga
𝑘1 𝒘1 + 𝑘2 𝒘𝟐 + . . . +𝑘𝑚 𝒘𝑚 = 𝟎
(7)
Dengan menggunakan persamaan (6), kita dapat menulis persamaan (7) sebagai berikut
𝑘1 (𝑎11 𝐯1 + 𝑎21 𝐯𝟐 + . . . + 𝑎𝑛1 𝐯n ) + 𝑘2 (𝑎12 𝐯1 + 𝑎22 𝐯𝟐 + . . . + 𝑎𝑛2 𝐯n ) +
⋱
+𝑘𝑚 (𝑎1𝑚 𝐯1 + 𝑎2𝑚 𝐯𝟐 + . . . + 𝑎𝑛𝑚 𝐯n ) = 0
(𝑘1 𝑎11 𝐯1 + 𝑘𝟏 𝑎21 𝐯𝟐 + . . . + 𝑘1 𝑎𝑛1 𝐯n ) + (𝑘2 𝑎12 𝐯𝟏 + 𝑘2 𝑎22 𝐯𝟐 + . . . + 𝑘2 𝑎𝑛2 𝐯𝐧 ) +
⋱
+(𝑘𝑚 𝑎1𝑚 𝐯1 + 𝑘𝒎 𝑎2𝑚 𝐯𝟐 + . . . +𝑘𝒎 𝑎𝑛𝑚 𝐯n ) = 0
(𝑘1 𝑎11 𝐯1 + 𝑘2 𝑎12 𝐯1 + . . . +𝑘𝑚 𝑎1𝑚 𝐯1 ) + (𝑘𝟏 𝑎21 𝐯𝟐 + 𝑘2 𝑎22 𝐯𝟐 + . . . +𝑘𝒎 𝑎2𝑚 𝐯𝟐 ) +
⋱
+(𝑘1 𝑎𝑛1 𝐯n + 𝑘2 𝑎𝑛2 𝐯n + . . . +𝑘𝒎 𝑎𝑛𝑚 𝐯n ) = 𝟎
(𝑘𝟏 𝑎𝟏𝟏 + 𝑘𝟐 𝑎𝟏𝟐 + . . . +𝑘𝑚 𝑎1𝑚 )𝐯1 + (𝑘𝟏 𝑎21 + 𝑘2 𝑎22 + . . . +𝑘𝒎 𝑎2𝑚 )𝐯2 +
⋱
+(𝑘1 𝑎𝑛1 + 𝑘2 𝑎𝑛2 + . . . +𝑘𝒎 𝑎𝑛𝑚 )𝐯n = 𝟎
Jadi, dari kebebasan linear S, masalah pembuktian bahwa S’ adalah himpunan tidak bebas linear
hanya menjadi pembuktian bahwa terdapat skalar-skalar 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑚 , yang tidak semuanya nol
yang memenuhi
𝑎11 𝑘1 + 𝑎12 𝑘2 + . . . + 𝑎1𝑚 𝑘m = 0
𝑎21 𝑘1 + 𝑎22 𝑘2 + . . . + 𝑎2𝑚 𝑘m = 0
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑛1 𝑘1 + 𝑎𝑛2 𝑘2 + . . . + 𝑎𝑛𝑚 𝑘m = 0
(8)
Persamaan (8) memiliki lebih banyak faktor yang tidak diketahui dibanding jumlah
persamaanya, sehingga bukti menjadi lengkap karena Teorema 1.2.1 menjamin keberadaan
solusi-solusi nontrivial.
Bukti (b)
Misalkan 𝑆 ′ = {𝐰1 , 𝐰2 , … , 𝐰𝑛 } adalah himpunan sebarang yang terdiri dari m vektor pada 𝑉,
𝑚 < 𝑛. kita ingin menunjukkan bahwa 𝑆 ′ tidak merentang 𝑉. Pembuktian menggunakan
kontradiksi, kita akan menunjukkan bahwa dengan mengansumsikan 𝑆 ′ merentang V akan
mengarah pada suatu kontradiksi kebebasan linear dari {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 }
Jika 𝑆 ′ merentang 𝑉, maka setiap vektor pada 𝑉 adalah kombinasi linear vektor-vektor
pada 𝑆 ′ . Khususnya setiap vektor basis 𝐯i adalah kombinasi linear dari vektor- vektor pada 𝑆 ′ .
Misal
𝐯1 = 𝑎11 𝐰𝟏 + 𝑎21 𝐰𝟐 + . . . + 𝑎𝑚1 𝐰m
𝐯2 = 𝑎12 𝒘𝟏 + 𝑎22 𝐰𝟐 + . . . + 𝑎𝑚2 𝐰m
⋮
⋮
⋮
⋮
𝐯𝑛 = 𝑎1𝑛 𝐰𝟏 + 𝑎2𝑛 𝐰𝟐 + . . . + 𝑎𝑚𝑛 𝐰m
(9)
Untuk memperoleh kontradiksi ini, kami akan menunjukkan bahwa terdapat skalar 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 ,
yang tidak semuanya nol, sedemikian rupa sehingga
𝑘1 𝐯𝟏 + 𝑘2 𝐯𝟐 + . . . +𝑘𝑛 𝐯𝒏
(10)
Amati bahwa persamaan (9) dan (10) memiliki bentuk yang sama dengan (6) dan (7) kecuali
bahwa m dan n dipertukarkan dan demikian pula dengan w dan 𝐯 nya. Jadi perhitungan yang
mengarah ke persemaan (8) menghasilkan
𝑎11 𝑘1 + 𝑎12 𝑘2 + . . . + 𝑎1𝑛 𝑘n = 0
𝑎21 𝑘1 + 𝑎22 𝑘2 + . . . + 𝑎2𝑛 𝑘n = 0
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑘1 + 𝑎𝑚2 𝑘2 + . . . + 𝑎𝑚𝑛 𝑘n = 0
Sistem linear ini memiliki lebih banyak faktor yang tidak diketahui dibanding jumlah
persamaannya, sehingga sesuai dengan teorema 1.2.1 memiliki solusi-solusi nontrivial.
Sesuai dengan teorema sebelumnya bahwa jika 𝑆 = {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 } adalah basis sebarang
untuk ruang vektor 𝑉, maka semua himpunan pada 𝑉 yang secara simultan merentang 𝑉 dan
bebas linear harus memiliki tepat n vektor. Jadi, semua basis untuk 𝑉 harus memiliki jumlah
vektor yang sama dengan basis sebarang 𝑆. Penjelasan ini menghasilkan teorema berikut
TEOREMA 5.4.3
Semua basis unutk ruang vektor bersimensi terhingga memiliki jumlah vektor
yang sama
Kaitan teorema ini dengan konsep dimensi yaitu bahwa basis standar untuk 𝑅 𝑛 memiliki n
vektor. Jadi teorema 5.4.3 menyatakan bahwa semua basis untuk 𝑅 𝑛 memiliki n vektor.
Khususnya, setiap basis untuk 𝑅 3 memiliki tiga vektor, setiap basis untuk 𝑅 2 memiliki dua
vektor, dan setiap basis untuk 𝑅1 (= 𝑅) memiliki satu vektor
Secara intuitif, 𝑅 3 adalah berdimensi tiga, 𝑅 2 (suatu bidang) adalah berdimensi dua dan
R (suatu garis) adalah berdimensi satu. Jadi, untuk ruang-ruang vektor yang telah dikenal,
jumlah vektor pada suatu basis adalah sama dimensinya. Ini mendasari defenisi berikut
DEFENISI
Dimensi dari ruang vektor 𝑉 yang berdimensi terhingga, dinotasikan dengan dim(𝑉),
didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada basis untuk 𝑉. Selain itu, kita
mendefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol.
CONTOH 9 : Dimensi dari Beberapa Ruang Vektor

dim(𝑅 𝑛 ) = 𝑛
(basis standar memiliki n vektor)
pada contoh 2
Dapat ditunjukkan bahwa 𝑆 = {𝐞1 , 𝐞2 , … , 𝐞𝑛 } dengan
𝒆1 = (1,0,0, … ,0), 𝒆2 = (0,1,0, … ,0), ...., 𝒆𝑛 = (0,0,0, … ,1)
adalah basis standar untuk 𝑅 𝑛 , artinya dim(𝑅 𝑛 ) = 𝑛

dim(𝑃𝑛 ) = 𝑛 + 1
(basis standar memiliki n + 1 vektor)
pada contoh 5
{1, 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 } adalah basis standar untuk 𝑃𝑛 , shingga dapat dengan mudah
diidentifikasikan bahwa dim(𝑃𝑛 ) = 𝑛 + 1

dim(𝑀𝑚𝑛 ) = 𝑚𝑛
(basis standar memiliki mn vektor)
pada contoh 6
Himpunan 𝑆 = {𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 , 𝑀4 } adalah basis ruang vektor 𝑀22 , yaitu matriks
berukuran 2 × 2. Dengan demikian dim(𝑀𝑚𝑛 ) = 2 × 2 = 4
CONTOH 10 : Dimensi dari Ruang Solusi
Tentukan basis dan dimensi dari ruang solusi sistem homogen
2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3
+ 𝑥5 = 0
−𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 − 3𝑥4 + 𝑥5 = 0
𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3
− 𝑥5 = 0
𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 0
Penyelesaian
Pada contoh 7 subbab 1.2 telah ditunjukkan bahwa solusi umum dari sistem tersebut adalah
𝑥1 = −𝑠 − 𝑡,
𝑥2 = 𝑠,
𝑥3 = −𝑡,
𝑥4 = 0,
𝑥5 = 𝑡
Oleh karena itu, vektor-vektor solusi dapat ditulis sebagai berikut
𝑥1
−𝑠
−𝑠 − 𝑡
−𝑡
−1
−1
𝑥2
𝑠
𝑠
0
1
0
𝑥3 =
−𝑡
= 0 + −𝑡 = 𝑠 0 + 𝑡 1
𝑥4
0
0
0
0
0
[0] [𝑡]
[𝑥5 ] [ 𝑡 ]
[0]
[1]
Yang menunjukkan bahwa vektor-vektor
−1
−1
1
0
𝐯1 = 0 dan 𝐯2 = 1
0
0
[0]
[1]