MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS Ibnu Muttaqin, S.E., M.E. FEBI IAIN KUDUS AKAR, DAN LOGARITMA Pertem uan 3 01 1. Konsep pangkat; kaiadah PANGKAT, pemangkatan, kaidah perkalian dan pembagin bilangan berpangkat. 2. Konsep akar; kaidah pengakaran, kaidah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan terakar. 3. Konsep logaritma; basis logaritma, kaidah logaritma. 4. Latihan Soal PANGKAT PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun. Contoh : 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55 Notasi pemangkatan berfaedah pula untuk meringkas bilangan-bilangan kelipatan perkalian-sepuluh yang nilainya sangat besar atau sangat kecil. Contoh : 100.000 diringkas 105; bilangan 1 −5 atau 0,00001 diringkas 10 100.000 5.000.000.000 = 5 . 109 7.500.000.000 = 7,5 . 109 atau 75 . 108 0,000.000.000 = 10−9 0,000.000.034 = 34 . 10−9 atau 3,4 . 10−8 KAIDAN PEMANGKATAN BILANAN 1. Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu. ��0 = 1 (�� ≠ 0) 2. Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri. ��1 = �� 3. Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol. 0�� = 0 4. Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali (multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri. −�� �� 1 = ���� KAIDAH PEMANGKATAN BILANGAN 5. Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri. Dengan suku pembagi dalam pecahan, menjadi pangkat dari akarnya, sedangakn suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan. ���� �� �� = �� �� 25 3 = 32 5 =9 5 = 1,55 6. Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbagi suku-suku berpangkatnya. �� �� ���� ( ��) = �� 3 2 32 �� ( 5) = �� 9 5 = 25 7. Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasil kali pangkat-pangkatnya. (����)�� = ������ (32)4 = 32∙4 = 38 = 6.561 8. Bilangan yang dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya. ���� �� �� = �� 3 �� dimana �� = �� 24 = 316 = 43.046.721 KAIDAH PERKALIAN BILANGAN BERPANGKAT 9. Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan baris berpangkat jumlah pangkat-pangkatnya. ����∙ ���� = ����+�� 32∙ 34 = 32+4 = 36 = 729 10. Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya bebeda, adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan. ����∙ ���� = (����)�� 32∙ 52 = (3.5)2= 152 = 225 KAIDAH PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT 11. Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan baris berpangkat selisih pangkat-pangkatnya. �� �� �� ∶ �� ��−�� 2 = �� 4 2−4 3 ∙3 =3 −2 =3 1 = 9 12. Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya bebeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan. �� �� �� : �� = �� �� 2 ( ��) 3 : 2 5 = 3 2 9 ( 5) = 25 Note: Lihat kaidah 6 AKAR Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan ialah basis (x) yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a). = 3 sebab 32 = 9 9 2 64 3= 4 sebab 43 = 64 Secara umum: = �� jika ���� = �� �� �� AKAR (Lanjutan) ⮚ Apabila pangkat akarnya bilangan genap, radikan positif akan menghasilkan akar positf dan akar negatif. 9 = ±3 ⮚ Apabila pangkat akarnya genap dan radikannya negatif, hasilnya adalah bilangan khayal. −9 = Bilangan Khayal ⮚ Apabila pangkat akarnya ganjil, baik radikan positif atau negatif hanya menghasilkan akar sesuai radikannya. 64 3= +4 (4 x 4 x 4) −64 3= −4 (-4 x -4 x -4) KAIDAH PENGAKARAN BILANGAN 1. Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya. �� = ��1�� 64 3= 6413 = 4 �� 2. Akar dari sebuah bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi �� ���� = �� ���� 2 3 5 = 352 = 1,55 KAIDAH PENGAKARAN BILANGAN 3. Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar akarnya. ���� ��= �� �� ∙ �� �� 8 ∙ 64 3= 8 3 ∙ 64 3= 2 ∙ 4 = 8 4. Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya. �� �� �� �� 3 = �� �� �� =8 3 8 64 64 3 2 = 4= 0,5 KAIDAH PENJUMLAHAN/PENGURANGAN BILANGAN TERAKAR Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis. Yang dimaksud sejenis ialah akar-akar yang pangkat dan radikannya sama. 5. Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien-koefisien terakar. ± �� ���� �� = (m ± ��) ���� �� �� �� �� �� Contoh: 5 3 ± 2 3 = 7 3 = 7 (1,73) = 12,11 KAIDAH PERKALIAN BILANGAN TERAKAR 6. Hasilkali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilkali bilangan-bilangannya. Perkalian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. 3 3 3 3 �� ∙ 64 = 8 ∙ 64 = 512 =8 ∙ �� �� �� = ���� �� 8 (identik dengan kaidan ke-3) 7. Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat-baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar-akar sebelumnya. ���� 15 2∙ 625 3= 15 ∙ 625 2∙3= 4,5 �� = �� ∙ ���� �� �� ∙ �� �� KAIDAH PEMBAGIAN BILANGAN TERAKAR 8. Hasilbagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilbagi bilangan-bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. �� = �� �� 3 �� �� �� 8 64 3 =864 =18 3 3 = 0,5 �� (identik dengan kaidah ke-4) LOGARITMA Logaritma pada hakikatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran. Ia dapat dipakai untuk menyederhanakan operasi-operasi perkalian, pembagian, pencarian pangkat, dan penarikan akar. Logaritma suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut. �� = �������� �� atau �� = log�� �� (Pangkat �� logaritma dari �� terhadap basis ��) 52 = 25 Pangkat 2 adalah logaritma dari 25 terhadap basis 5, atau 5������ 25 = 2 102 = 100 Pangkat 2 adalah logaritma dari 100 terhadap basis 10, atau 10������ 100 = 2 LOGARITMA (Lanjutan) Bentuk Pangkat Bentuk Akar Bentuk Logaritma ���� = �� �� �� = ���������� �� = �� Contoh: 1. 6������ 36 = 2 sebab 62 = 36 atau 36 = 2 2. 5������ 625 = 4 sebab 54 = 625 atau 625 4= 5 3. Jika �������� 49 = 2 berarti ��2 = 49, �� = 49 = 7 4. Jika 3������ �� = 10 berarti 310 = ��, �� = 59.049 5. Jika 10������ 1.000 = �� berarti 10�� = 1.000 = 103, �� = 3 BASIS LOGARITMA A. Basis logaritma yang paling lazim adalah 10. Dengan demikian : Log m = 10log m, log 24 = 10 log 24. Logaritma berbasis 10 disebut logaritma biasa atau logaritma Briggs (sesuai nama penemunya, Henry Briggs, 1561-1630) B. Ada juga basis logaritma e (e = 2,718287) atau sering diringkas menjadi 2,72. Logaritma berbasi e disebut logaritma alam (natural) atau logaritma Napier (John Napier, 1550-1617). Notasi logaritma natural dilambangkan dengan ln. ln m berarti elog m. elog 65 dapat dituliskan ln 65 saja. KAIDAH LOGARITMA KAIDAH LOGARITMA KAIDAH LOGARITMA PENYELESAIAN PERSAMAAN DENGAN LOGARITMA 1 PENYELESAIAN PERSAMAAN DENGAN LOGARITMA 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN DENGAN LOGARITMA 3 EXERCISE TIME! THANK YOU Sampai Ketemu di Pertemuan Selanjutnya.
