BAB 10 ALJABAR PROPOSISI

Riri Irawati, M.Kom
3 SKS
ALJABAR PROPOSISI
AGENDA

DEFINISI PROPOSISI

TABEL KEBENARAN (Truth Table)

HEURISTIK

TAUTOLOGI (Tautology)

KONTRADIKSI (Contradiction)

KONTIGENSI

EKIVALEN LOGIC (Logical Equivalence)

ALJABAR PROPOSISI (Algebra of Proposition)

ATURAN PENYIMPULAN

IMPLIKASI LOGIK (Logical Implication)
Definisi Proposisi

Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai
benar (true) atau salah (false), tetapi tidak
keduanya.
Permainan
“Gajah lebih besar daripada tikus.”
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran dari
proposisi ini?
BENAR
Permainan
“520 < 111”
Apakah ini sebuah proposisi?
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
YA
SALAH
“y > 5”
Apakah ini sebuah proposisi?
TIDAK
Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut
bergantung pada y, tapi nilainya belum
ditentukan.
Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai
fungsi proposisi atau kalimat terbuka.
“Sekarang tahun 2003 dan 99 < 5.”
Apakah ini sebuah proposisi?
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
YA
SALAH
“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”
Apakah ini sebuah proposisi?
Ini adalah sebuah permintaan.
TIDAK
Contoh

Apakah semua kalimat di bawah ini merupakan proposisi ?
(a) 13 adalah bilangan ganjil
(b) Soekarno adalah alumnus UGM.
(c) 1 + 1 = 2
(d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8
(e) Ada monyet di bulan
(f) Hari ini adalah hari Rabu
(g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan
genap
(h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil
PROPOSISI DAN TABEL KEBENARAN

Suatu proposisi yang dinyatakan dengan :
P(p,q,….), Q(p,q,….), ……atau
P,Q,…. Adalah polinomial Boole dalam variabel p,q,….

Untuk menentukan harga kebenaran dari suatu proposisi
dapat digunakan Tabel Kebenaran (Truth Table).

Cara membuat tabel kebenaran ada 2 cara.
Cara I tabel kebenaran

Tabel kebenaran dari Proposisi ~(p  ~q) adalah :
Cara II tabel kebenaran

~ (p ᴧ ~q)

Buatlah tabel kebenaran dgn menggunakan
cara I dan II dari (p v ~q)  ~p
Heuristik


Heuristik adalah cara untuk membantu bagaimana suatu kalimat majemuk
diubah kedalam bentuk ekspresi logika.
Langkah-langkah nya:
1)
Ambil pernyataan-pernyataan yang pendek tanpa kata “dan”, “atau”,
“jika..maka..”, “..jika dan hanya jika..”, pada pernyataan tersebut yang bisa
dijawab benar atau salah.
2)
Ubahlah pernyataan-pernyataan yang pendek tersebut dengan variabel-variabel
proposisi.
3)
Rangkailah variabel-variabel proposisi dengan perangkai yang relevan.
4)
Bentuklah menjadi proposisi majemuk jika memungkinkan dengan memberi tanda
kurung biasa yang tepat.
Contoh

Jika Badu rajin belajar dan sehat, maka Badu lulus ujian, atau jika Badu tidak
rajin belajar dan tidak sehat, maka badu tidak lulus ujian.
Buatlah ekspresi logika dari proposisi majemuk tersebut!
Jawab:
Langkah 1: Menentukan proposisi-proposisi yang tepat
(1) Badu rajin belajar.
(2) Badu sehat.
(3) Badu lulus ujian.
Langkah 2 : Mengganti proposisi dengan variabel proposisi
p = Badu rajin belajar.
q = Badu sehat.
r = Badu lulus ujian.
Langkah 3 : Perangkai yang relevan adalah implikasi (), negasi (-), atau (), dan ().
Langkah 4 : Ubah menjadi ekspresi logika berupa proposisi majemuk
((p  q) r) ((-p  -q) -r)
Contoh Latihan
Buatlah ekspresi logika dari proposisi majemuk berikut:
1. Jika anda mengambil matakuliah logika matematika dan
anda tidak memahami tautologi, maka anda tidak lulus.

TAUTOLOGI


Argumen yang
kebenaran harus
kebenaran untuk
proposional yang
Tautologi.
dibuktikan validitasnya dengan tabel
menunjukkan nilai benar. Jika pada tabel
semua pasangan nilai variabel-variabel
ada bernilai benar atau True, maka disebut
Contoh : buktikan apakah (p-p) adalah tautologi.
p
~p
p v ~p
Contoh
Buktikan apakah proposisi-proposisi berikut merupakan tautologi.
1. –(A  B)  B
2. (AB)(C(-B-C))
3. ((AB) C) A
Kontradiksi


Kebalikan dari tautologi adalah kontradiksi, yakni jika pada
semua pasangan nilai dari tabel kebenaran menghasilkan nilai
salah atau False.
Contoh : buktikan apakah (p  -p) adalah kontradiksi
p
~p
p  ~p
Contoh

Buktikan apakah ((A  B)  A)  B) adalah kontradiksi !
Contoh

Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut
merupakan tautologi atau kontradiksi?
a. ((p v q) ᴧ ~p) ᴧ ~q)
b. ((p  q) v p)  p
KONTIGENSI


Definisi : kontigensi adalah suatu proposisi
majemuk yang bukan termasuk tautologi dan
bukan juga kontradiksi.
Contoh pada tabel kebenaran.
p
q
pvq
Contoh

Buktikan apakah proposisi berikut merupakan kontigensi:
((AB)(BC))(CA)
EKIVALEN LOGIK

Perhatikan proposisi berikut !
1) Dewi sangat cantik dan peramah.
2) Dewi peramah dan sangat cantik.
Dari kedua pernyataan tersebut diatas, secara sekilas tampak ekivalen atau sama saja, yang dalam
bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini:
p: Dewi sangat cantik
q: Dewi peramah
Maka ekspresi logika tersebut adalah :
1) p ᴧ q
2) q ᴧ p
Jika kedua ekspresi logika tersebut ekivalen secara logis, maka dapat ditulis
(p ᴧ q ) ≡ (q ᴧ p)
EKIVALEN LOGIK
• Dua proposisi p dan q disebut ekivalen logik bila keduanya
mempunyai tabel kebenaran yang sama.
• Contoh: Buktikan (p q)  ( q  p)  p  q
LATIHAN SOAL
1. Dgn menggunakan tabel kebenaran tunjukkan kesetaraan (ekivalen):
a. ~(p ᴧ q) ≡ ~p v ~q
c. p  (q v r) ≡ (p ᴧ ~q)  r
b. p  (q v r) ≡ (p ᴧ ~r)  q
2. Tunjukkan pernyataan2 majemuk berikut ini merupakan suatu
tautologi :
a. ((~p ~q) ᴧ q) p
b. (p ᴧ q)  (p  q)
3. Dengan menggunakan table kebenaran, selidiki apakah pernyataan
berikut suatu tautologi, kontradiksi atau kontigensi !
a. p ᴧ ~q
e. (p v q)  ~q
b. ~(p v q)  ~p ᴧ ~q
f. ~p v q
c. (p ᴧ q) v ~p
d. (p ᴧ ~q) v (~p ᴧ q)
Latihan

Buktikan bahwa ekspresi-ekspresi
logika berikut ini ekivalen dengan
menggunakan tabel kebenaran.

Tentukan apakah dari ekspresi-ekspresi
logikan berikut termasuk tautologi,
kontradiksi atau kontigensi.
1. AB  ( AB)(BA)
6.   AA
2. A(AB)  T
7. A(B A)
3. (AB)C  (AB)C
8. (A  (A  B))B
4. AB  (AB)
9. AB ( AB)
5. ((AB)B)  F
10. (A(BC))((A B)(AC))
11. (AB)((AB)(AB))
12. (AB)(BC))(AC)
HUKUM ALJABAR PROPOSISI
(ATURAN PENGGANTIAN)
Digunakan untuk membuktikan:

Dua proposisi ekivalen (selain menggunakan tabel
kebenaran)

Suatu proposisi tautologi atau kontradiksi (selain
menggunakan tabel kebenaran)

Membuktikan ke-sah-an suatu argumen.
Hukum aljabar proposisi
1. Hukum Idempoten
o
(pp)p
o
(pp)p
2. Hukum Assosiatif
o
(pq)rp(qvr)
o
(pq)rp(q r)
3. Hukum Komutatif
o
(pq)(qp)
o
(pq)(qvp)
4. Hukum Distributif
o
(pq)r (pr)(qr)
o
(pq)r(pvr)(qr)
Hukum aljabar proposisi
5. Hukum Identitas
o
pvFp
o
pvTT
o
pFF
o
pTp
6. Hukum Komplemen
o
pv~pT
o
p~pF
o
~(~ p)  p
o
~(T)  F dan ~ (F)  T
7. Transposisi
o
pq~q~p
Hukum aljabar proposisi
8. Hukum Implikasi
pq~pvq
9. Hukum Ekivalensi
pq (pq)(qp)
pq (pq)v(~p~q)
10. Hukum Eksportasi
p(qr)(pq)r
11. Hukum de Morgan
~(pq)~pv~q
~(pvq)~p~q
ALJABAR PROPOSISI
• Proposisi berikut adalah ekivalen logik
ppp
(p  q)  r  p  (q  r)
pqqp
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
pfp
pt t
p~p t
~~p  p
~(p q)  ~ p ᴧ~ q
ppp
(p  q)  r  p  (q  r)
pqqp
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
ptp
pff
p~pf
~t  f, ~ f  t
~(p  q)  ~ p v ~ q
HUKUM-HUKUM ALJABAR PROPOSISI
• Proposisi berikut adalah ekivalen logik
PPP
(P  Q)  R  P  (Q  R)
PQQP
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
PFP
PT T
P~P T
~~P P
~(P Q)  ~ P  ~ Q
Hukum Idem
Hukum Asosiatif
Hukum Komutatif
Hukum Distributif
Hukum Identitas
Hukum Identitas
Hukum Komplemen
Hukum Komplemen
Hukum De Morgan
Contoh 1
Tunjukkan dengan menggunakan tabel kebenaran dan aljabar
proposisi bahwa p  ~(p  q) dan p  ~q keduanya ekivalen
secara logik!
Penyelesaian Contoh 1
p  ~(p  q )  p  (~p  ~q)
(Hukum De Morgan)
 (p  ~p)  (p  ~q)
(Hukum distributif)
 T  (p  ~q)
(Hukum negasi)
 p  ~q
(Hukum identitas)
Contoh 2
Buktikan : p  (p  q) ≡ p
Penyelesaian Contoh 2
p  (p  q) ≡ (p  F)  (p  q)
≡ p  (F  q)
≡pF
≡ p
(Hukum Identitas)
(Hukum distributif)
(Hukum Null)
(Hukum Identitas)
Soal Latihan
1. Gunakan dalil de morgan untuk menentukan proposisi yang ekivalen dengan :
a. ~ (p  ~q)
b. ~ ((~p  q) v ~r)
c. ~ (~(~p v q) v ~(r  ~s))
2. Dengan menggunakan aljabar proposisi dan tabel kebenaran, buktikan bahwa
proposisi majemuk berikut adalah tautologi.
a. ((pq) ᴧ (q r)) (p r)
b. ((pq) ᴧ ~q)  ~p
c. ((qp) ᴧ (~r  ~p))  (r v ~q)
3. Buktikan bahwa :
a. ~(~p  q)  (p  r) ≡ p  (~q  r)
b. (pq) ᴧ (~q ᴧ (r v ~q)) ≡ ~(q v p)
c. p v (p  (p v q)) ≡ p
Argumentasi (Aturan penyimpulan)

Argumen adalah kumpulan pernyataan – pernyataan atau premispremis atau dasar pendapat serta kesimpulan (konklusi).

Argumen merupakan suatu proposisi berbentuk :
[ H1 ᴧ H2 ᴧ H3 ᴧ ... ᴧ Hn ]  K
Notasi:
H1 (p,q,…)
H2 (p,q,…)

K (p,q,…)
H1, H2,..
: masing-masing disebut premis.
{H1, H2,..} : bersama-sama disebut hipotesa.
K, ∴
: adalah kesimpulan/konklusi.
Kebenaran/validitas Argumen
Contoh:
Jika biner maka disain logika
Jika disain logika maka digital
 Jika biner maka digital
 Nilai kebenaran argumen tergantung dari nilai kebenaran masing-masing
premis dan kesimpulannya.
 Suatu argumen dikatakan benar bila masing-masing premisnya
benar dan kesimpulannya juga benar.
Untuk Contoh 1:
Jika biner maka disain logika
Jika disain logika maka digital
 Jika biner maka digital
Argumen tersebut dapat ditulis dengan notasi:
pq
disebut premis 1
qr
disebut premis 2
 p  r disebut konklusi
Argumen

Suatu argumen dikatakan sah jika bentuk proposisinya adalah suatu
tautologi.

Perhatikan bahwa argumen yang sah merupakan suatu bentuk implikasi;
artinya bila masing-masing H1, H2,..,Hn bernilai benar dan implikasi
tersebut bernilai benar maka K haruslah bernilai benar. Dengan kata lain,
jika semua premis bernilai benar dan argumen adalah sah maka
kesimpulan pasti bernilai benar.

Suatu argumen dikatakan tidak sah jika proposisinya bukan tautologi.
Contoh

Periksa apakah argumen berikut sah atau tidak sah.
“Jika hari hujan maka saya membawa payung. Ternyata, saya tidak
membawa payung. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa hari tidak
hujan.

Jawab. Misalkan :
p : hari hujan
q : saya membawa payung
Argumen diatas biasa dituliskan sebagai berikut ini :
H1 :
pq
H2 :
~q
K :
~p
Lanjutan contoh

Untuk memeriksa apakah argumen tersebut sah atau tidak sah, maka harus
diperiksa apakah implikasi (H1 ᴧ H2)  K berupa suatu tautologi dengan
menggunakan tabel kebenaran.
Contoh

Periksa apakah argumen berikut sah atau tidak sah !
H1 : ~p
H2 : pq
K : ~q
Jawab:
Dengan menggunakan tabel kebenaran akan diperiksa apakah proposisi
(H1 ᴧ H )  K merupakan tautologi.
Contoh

Periksa kesahan argumen berikut ini :
“Penggundulan hutan bakau mengakibatkan kota Jakarta banjir. Pada musim hujan yang
lalu, kota Jakarta dilanda banjir. Maka dapat disimpulkan bahwa telah terjadi
penggundulan hutan bakau.”
Jawab :
Dengan memisalkan :
p : penggundulan hutan bakau
q : kota jakarta banjir
Maka argumen diatas dapat ditulikan sebagai berikut :
H1 : p q
H2 : q
K : p
Argumen tersebut dapat dituliskan sebagai ((p q) ᴧ q)  p dan untuk membuktikan argumen
tersebut tautologi atau bukan gunakan dalil kesetaraan (ekivalen).
((p q) ᴧ q)  p ≡ T
???
ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
1. Modus Ponens (MP)
Teorema : Jika proposisi p benar dan proposisi pq juga benar,
maka kesimpulan q benar.

Modus ponens dapat dituliskan sebagai berikut:
pq
p

∴q
Modus ponens adalah suatu argumen yang sah karena
((p q) ᴧ p)  q suatu tautologi (buktikan!)
((p q) ᴧ p)  q ≡ T
Contoh
Premis 1 : Jika ibu datang maka adik senang
Premis 2 : Ibu datang
Kesimpulan : Adik senang
Contoh Modus Ponens

Periksa apakah argumen berikut sah atau tidak!
“Segitiga ABC adalah suatu segitiga siku-siku. Jika segitiga ABC adalah siku-siku
maka kuadrat sisi miring segitiga ABC sama dengan jumlah kuadrat sisi-sikunya.
Jadi dapat disimpulkan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku ABC sama
dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.”
Jawab :
p:
q:
Proposisi diatas dapat dinyatakan sbb :
ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
2. Modus Tollens (MT)
Modus tollens dapat dituliskan sebagai berikut:
pq
~q
∴~p
 Modus
tollens adalah suatu argumen yang sah. Dengan
menggunakan aljabar proposisi dapat ditunjukkan ke-sah-an
argumen ini, yaitu dengan menunjukkan bahwa
((pq) ᴧ ~q) ~p ≡ T (buktikan!)

Bila bentuk implikasi pada modus tollens diatas yakni p  q diganti
dengan kontrapositifnya yakni ~q~p, maka diperoleh bentuk
modus ponens.
Contoh
Premis 1 : Jika hari hujan maka ibu memakai payung.
Premis 2 : Ibu tidak memakai payung.
Kesimpulan : Hari tidak hujan.
ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
3. Silogisme (Sil)
Teorema : Jika dua implikasi p  q dan q  r adalah benar,
maka kesimpulan p  r juga benar.


Dengan lambang, kaidah silogisme dapat dituliskan dengan:
pq
qr
∴pr
Argumen ini dapat diperiksa ke-sah-annya dengan
menggunakan aljabar proposisi, yakni dengan menunjukkan
((p  q) ᴧ (q  r))  (p  r) ialah tautologi.


Untuk argumen yang mengandung lebih dari dua
implikasi, kaidah silogisme tentunya juga berlaku.
pq
qr
rs
∴ps
Berdasarkan kaidah silogisma, argumen pada dua
buah teladan berikut ini adalah sah. Untuk
memudahkan, argumen pada teladan yang pertama
dapat dituliskan dalam bentuk silogisme yang
menyangkut dua buah implikasi. Sementara, untuk
teladan kedua adalah silogisme yang menyangkut tiga
buah implikasi.
Contoh kaidah silogisme
Perhatikan argumen berikut :
“Ronaldo tidak berambut gondrong atau Rivaldo mendapat sepatu
emas. Jika Rivaldo mendapat sepatu emas, maka Zidano membeli
talas di Bogor. Ronaldo berambut gondrong atau tadi pagi turun
hujan. Ternyata, Zidano tidak membeli talas di Bogor. Jadi
kesimpulannya, tadi pagi turun hujan.”
Tentukan kesahan argumen tersebut!

Jawab
p: Ronaldo berambut gondrong
Dengan menggunakan aturan inferensia
q: Rivaldo mendapatkan sepatu emas
diperoleh:
r: Zidano membeli talas di bogor
s: tadi pagi turun hujan
Argumen tersebut dapat dituliskan
sebagai :
H1 : p  q
H2: q  r
K1: p  r
H1: ~p v q = p  q
H4: ~r
H2: q  r
K2: ~p
H3: p v s = ~p  s
H3: ~p  s
H4: ~r
K :s
K :s
Jadi argumen tersebut sah
(kaidah silogisme)
(modus tollens)
(modus ponens)
ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
4. Distruktif Silogisma (DS)
pvq
~p
∴q
5. Konstruktif Delema (KD)
(pq) ∧ (r  s)
pvr
∴qvs
6. Distruktif Delema (DD)
(p  q) ∧ (r  s)
~q v ~s
∴ ~p v ~r
ATURAN PENYIMPULAN (ARGUMEN)
8. Simplifikasi (Simp)
p∧q
∴p
9. Adisi (Ad)
p
∴pvq
10. Konjungsi (Konj)
p
q
∴p∧q
Contoh soal
Contoh soal
Latihan
Tentukan kesahan argumen-argumen dibawah ini!
1. “Jika gaji pegawai negri naik, maka harga sembako naik. Jika harga sembako naik,
maka masyarakat berpenghasilan kurang dari Rp 1.000.000 per bulan akan
menderita penyakit maag. Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika gaji pegawai negri
naik, maka masyarakat berpenghasilan kurang dari Rp 1.000.000 per bulan akan
menderita penyakit maag.
2. “Jika hutan Kalimantan terbakar maka udara akan dicemari oleh abu. Jika udara
dicemari abu, maka jarak pandang menjadi kurang dari 10m. Jika jarak pandang
kurang dari 10m, maka semua penerbangan ke Kalimantan terganggu. Jika semua
penerbangan ke Kalimantan terganggu, maka perekonomian di Kalimantan memburuk.
Jadi dapat disimpulkan bahwa jika hutan kalimantan terbakar maka perekonomian di
Kalimantan memburuk.
3. Jika hari ini hari ulang tahunku, maka pastilah hari ini tanggal 25 Desember. Hari ini
tanggal 25 Desember. Oleh karena itu, hari ini adalah hari ulang tahunku.
4. Jika terdakwa bersalah, maka dia akan berada ditempat kejadian perkara. Terdakwa
tidak berada ditempat kejadian perkara. Jadi terdakwa tidak bersalah.
5. Bayi tidak lapar atau dia menangis. Bayi tertawa atau dia tidak menangis. Jika bayi
tertawa, maka mukanya merah. Jadi, jika bayi lapar maka mukanya merah.