Induksi Matematika

LOGIKA MATEMATIKA
Bab 5: Induksi Matematika
1
Andrian Rakhmatsyah
Teknik Informatika STT Telkom
Lab. Sistem Komputer dan Jaringan
PENDAHULUAN




Hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta dengan
begitu saja sehingga diragukan kebenarannya. Biasanya rumus-rumus
dapat dibuktikan berdasarkan definisi-definisi maupun rumus atau
hukum lain yang sudah pernah dibuktikan kebenarannya.
Ada banyak cara untuk membuktikan suatu teorema dan kadangkadang suatu teorema dapat dibuktikan dengan beberapa cara berbeda.
Secara umum, terdapat 2 jenis metode pembuktian yaitu Metode
Pembuktian Langsung dan Metode Pembuktian Tidak Langsung.
Biasanya pada saat akan membuktikan suatu teorema terdapat banyak
kesulitan, bagi yang tidak terbiasa melakukan pembuktian maka
kesulitan biasanya muncul pada langkah pertama yaitu pada waktu
menentukan darimana pembuktian harus dimulai.
2
PEMBUKTIAN
LANGKAH-LANGKAH UNTUK MELAKUKAN
PEMBUKTIAN
1. Tulislah teorema yang akan dibuktikan.
2. Tuliskan hipotesa awal (mana yang pertama kali diketahui) dan apa
yang akan dibuktikan. Biasanya yang terjadi adalah kita
menggunakan hal-hal yang justru seharusnya dibuktikan.
3. Tandailah permulaan pembuktian dengan kata BUKTI, sebagai
pemisah antara teorema dan pembuktian yang dilakukan. Sehingga
akan membantu untuk tidak menggunakan hal-hal yang
seharusnya dibuktikan.
4. Buktikan secara lengkap dan menyeluruh
5. Pembuktian dengan dilengkapi keterangan-keterangan akan
memudahkan kita untuk membaca/menggunakan nya kembali.
3
INDUKSI MATEMATIKA-PETUNJUK
GUIDANCE
1. Menuliskan variabel dan tipenya yang akan digunakan.
Contoh :
“Misalkan x dan y adalah bilangan bulat positif ” atau
“ Misalkan x adalah bilangan real > 0
Penulisan ini mirip dengan deklarasi variabel yang digunakan di source code.
2. Apabila ditengah pembuktian akan menyatakan suatu sifat tertentu maka
tuliskan sifat tersebut dengan jelas.
Contoh :
Misalkan ingin dinyatakan bahwa y adalah bilangan genap. Hal ini berarti y
sama dengan dua kali suatu bilangan bulat, maka dapat dituliskan :
“Karena y adalah bilangan bulat maka y = 2*x dimana x adalah
bilangan bulat”
3. Apabila menggunakan sifat-sifat tertentu (komutatif, distributif, dlsb)
tuliskanlah sifat-sifat tersebut.
4. Tandailah akhir suatu pembuktian, agar diketahui dengan jelas bahwa apa yang
akan dibuktikan jelas terbukti. Contoh TERBUKTI
4
INDUKSI MATEMATIKA-PETUNJUK
KESALAHAN YANG BIASA TERJADI DALAM PEMBUKTIAN
1. Mengambil kesimpulan berdasarkan suatu atau beberapa contoh kasus saja.
Kadang-kadang suatu teorema terlalu abstrak sehingga sulit ditangkap
logikanya. Untuk itu kadangkala dilakukan pemberian satu atau beberapa
contoh kasus untuk membantu memahami teorema tersebut. Tetapi adalah
suatu kesalahan apabila menganggap bahwa statemen tersebut benar dan
berlaku umum berdasarkan satu atau beberapa kasus saja. Karena ada
banyak statemen yang benar dengan hanya mengambil satu atau beberapa
kasus tetapi salah untuk kasus-kasus yang lain.
Contoh :
Misalkan akan dibuktikan bahwa jumlah 2 buah bilangan genap menghasilkan
bilangan genap juga. Suatu pembuktian yang salah adalah
“ Ambil x = 4 dan y = 2, maka m + n = 4 + 2 = 6. Jadi jumlah bilangan
genap adalah bilangan genap.”
5
INDUKSI MATEMATIKA-PETUNJUK
Dalam hal ini pembuktian hanya dengan nilai x = 4 dan y = 2 belum
cukup untuk membuktikan bahwa dua bilangan genap bila
dijumlahkan akan menghasilkan bilangan genap. Untuk itu
dilakukan :
“Ambil sembarang x dan y dimana x dan y adalah bilangan
genap dan x + y akan menghasilkan bilangan genap juga”
Jadi intinya adalah kita tidak menyebutkan nilai angkanya, karena
terdapat tak berhingga banyak bilangan genap.
6
INDUKSI MATEMATIKA-PETUNJUK
2.
Menggunakan simbol yang sama untuk merepresentasikan dua
hal yang berbeda.
Contoh :
“Misal x dan y adalah suatu bilangan ganjil. Maka menurut
definisi bilangan ganjil x = 2k + 1 dan y = 2k + 1 untuk
suatu bilangan bulat k”
Hal yang menjadi salah adalah simbol k digunakan ganda untuk
keperluan ekspresi yang berbeda (walaupun didapatkan
kesimpulan akhir benar). Jika k menyatakan hal yang sama
berarti m = 2k + 1 = n, padahal tidak dinyatakan bahwa m = n.
sehingga sebaiknya dituliskan :
“Misal x dan y adalah suatu bilangan ganjil. Maka menurut
definisi bilangan ganjil m = 2k1 + 1 dan n = 2k2 + 1 untuk
suatu bilangan bulat k1 dan k2”
7
INDUKSI MATEMATIKA-PETUNJUK
3.
Melompat langsung kepada kesimpulan
Pembuktian harus dilakukan tahap demi tahap secara urut tanpa
melompat-lompat. Pengurangan langkah akan mengakibatkan bukti
menjadi tidak kuat.
Contoh :
“Misalkan x dan y bilangan genap. Berdasarkan definisi bilangan
genap maka x = 2m dan y = 2n untuk suatu bilangan bulat m dan n.
Maka x + y = 2m + 2n. Sedemikian sehingga x + y adalah bilangan
genap”
Dalam pembuktian diatas, ada satu yang terlewati yaitu berdasarkan
pernyataan
x + y = 2m + 2n maka disimpulkan x + y adalah bilangan genap.
Hal ini tidak jelas, seharusnya dituliskan bahwa :
x + y = 2m + 2n
= 2 (m+n)
distributif
8
Sehingga menurut definisi bilangan genap maka x + y adalah bilangan genap.
INDUKSI MATEMATIKA-PETUNJUK
4.
Menggunakan apa yang akan dibuktikan.
Contoh :
“Misal x dan y adalah bilangan genap. Jika x + y
adalah bilangan genap maka x + y = 2m untuk
sembarang bilangan bulat m”
Kesalahan terletak pada penggunaan asumsi bahwa x + y
adalah bilangan genap, padahal itulah yang akan
dibuktikan.
9
METODA PEMBUKTIAN LANGSUNG
Dalam metoda ini, hal-hal yang diketahui tentang suatu teorema
diturunkan secara langsung dengan teknik-teknik tertentu sampai
tercapai kesimpulan yang diinginkan.
Contoh :
1. Metoda Pengecekan Satu per Satu
Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap x antara 4 sampai
20, x dapat dinyatakan sebagai penjumlahan 2 bilangan prima.
Bukti
Dengan melakukan pengecekan satu per Satu, maka didapatkan :
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 5+5
12 = 5+7
14=3+11
16=5+11
18=7+11
20=7+13
Terlihat bahwa semua bilangan genap n (4 ≤ x ≤ 20) dapat
dinyatakan sebagai penjumlahan 2 bilangan prima.
10
METODA PEMBUKTIAN LANGSUNG
2.
Metode Pengecekan secara umum
Buktikan bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah genap.
Bukti
Ambil sembarang x dan y, dimana x dan y adalah bilangan genap
Akan dibuktikan bahwa x+y adalah bilangan bulat (juga)
Karena x dan y adalah bilangan-bilangan bulat, maka x = 2m dan y = 2n
untuk bilangan-bilangan bulat m dan n, sehingga :
x + y = 2m + 2n
= 2 (m+n)
distributif
Misal k = m + n
Karena m dan s adalah bilangan-bilangan bulat juga maka k adalah
bilangan bulat, sehingga (x + y) = 2k untuk semua bilangan bulat k.
Berdasarkan definisi bilangan genap berarti bahwa (x + y) merupakan
bilangan bulat karena merupakan hasil kali 2 bilangan bulat. Terbukti
bahwa jumlah 2 bilangan bulat genap adalah bilangan genap (juga).
11
METODA PEMBUKTIAN LANGSUNG
3.
Pembuktian dengan kasus-kasus
Untuk sembarang bilangan riil x,buktikan bahwa jika
|x|>4, maka x2 >16
Bukti
Misal x adalah bilangan riil yang memenuhi |x| > 4
|x| > 4 berarti bahwa x > 4 atau x < -4
Jika x > 4 maka x2 > 42 = 16
Jika x < -4 berarti – x > 4, sehingga (-x)2 > 42 atau x2
> 16
Jadi, baik x > 4 maupun x < -4, x2 > 16
Terbukti bahwa jika |x| > 4, maka x2 > 16
12
METODA PEMBUKTIAN TAK
LANGSUNG
Dalam metode ini, hal-hal atau fakta-fakta yang diketahui tidak digunakan
secara langsung untuk menuju pada kesimpulan. Biasanya bukti dimulai
dari hal-hal lain.
1.
Pembuktian Dengan Kontradiksi
Dilakukan dengan cara mengasumsikan bahwa negasi kalimat yang akan
dibuktikan bernilai benar. Jadi, jika kebenaran p ingin dibuktikan, langkah
yang dilakukan adalah dengan mengasumsikan bahwa (not p) adalah
benar, kemudian berusaha menunjukkan bahwa asumsi tersebut akan
menyebabkan terjadinya kontradiksi. Dengan demikian, disimpulkan
bahwa asumsi (not p) bernilai salah atau p bernilai benar.
2.
Pembuktian Dengan Kontraposisi
Suatu pernyataan akan selalu ekivalen (mempunyai nilai kebenaran yang
sama) dengan kontraposisinya. Dengan demikian, untuk membuktikan
kebenaran suatu pernyataan dapat pula dinyatakan dengan membuktikan13
kebenaran kontraposisinya.
MEMILIH METODA PEMBUKTIAN

Untuk memilih metoda mana yang paling tepat dalam pembuktian
suatu pernyataan sangatlah sulit karena masing-masing metode
memiliki ciri, kemampuan, keindahan, dan kekhususan tersendiri.

Ada kalanya suatu pernyataan dapat dibuktikan dengan suatu
metode tertentu saja, atau ada kalanya juga suatu pernyataan dapat
dibuktikan dengan beberapa metode yang berbeda dengan sama
baiknya.

Untuk membuktikan suatu pernyataan diperlukan suatu “feeling”.
“feeling” yang tajam tersebut dapat dicapai dengan melatih dan
membiasakan diri dalam membuktikan pernyataan-pernyataan.
Semakin sering dilakukan, maka semakin kuat “feeling” yang dapat
dimiliki.
14
INDUKSI MATEMATIKA

Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan
untuk membuktikan pernyataan. Pernyataan yang dimaksudkan
dibatasi hanya pada pernyataan yang menyangkut bilangan bulat.

Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang
terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

Induksi Matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan
yang khusus menyangkut bilangan bulat positif. Dengan
menggunakan Induksi Matematika akan mengurangi pembuktian
bahwa semua bilangan bulat positif termasuk ke dalam suatu
himpunan kebenaran dengan jumlah langkah terbatas.
15
INDUKSI MATEMATIKA
Contoh :
Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan :
“jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2”
Misal untuk n = 6, p(6) adalah jumlah bilangan bulat positif dari 1
sampai 6 adalah 6(6+1)/2. Terlihat bahwa 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
21 = 6(7)/2.
Tetapi pembuktian hanya dengan mengambil contoh p(6) saja tidak
berlaku sebagai bukti bahwa p(n) benar untuk seluruh n.
Walaupun pengambilan contoh n = 6 menghasilkan nilai dibawah
himpunan kebenaran p(n), tetapi n = 6 bukan satu-satunya bilangan
bulat positif karena bilangan bulat positif tidak berhingga
banyaknya.
16
PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA
Misalkan p(n) adalah pernyataan bilangan bulat positif dan akan
membuktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilangan
bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, hanya perlu
menunjukkan bahwa :
1.
p(1) adalah benar
2.
Untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 1, jika p(n) benar maka
p(n+1) adalah juga benar.
Langkah 1 dinamakan basis induksi sedangkan langkah 2 dinamakan
langkah induksi. Selain itu asumsi yang digunakan pada langkah
2 yang menyatakan bahwa pernyataan adalah benar untuk p(n)
disebut hipotesis induksi.
17
INDUKSI MATEMATIKA-CONTOH
Contoh 1:
Tunjukkan bahwa n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 melalui induksi matematika
Jawab :
Langkah 1 :
Untuk n = 1, maka 1 = 1(1+1)/2 adalah benar.
1 = 1 (1+1)/2
= 1 (2)/2
= 2/2
=1
Langkah 2 : Misalkan untuk n ≥ 1
1+2+3+…+n
= n (n + 1) /2
adalah benar (hipotesis induksi), maka akan dibuktikan bahwa
1 + 2 + 3 + … + n + (n +1) = (n +1) ((n + 1) + 1)/ 2 adalah benar juga.
Sekarang perhatikan:
1 + 2 + 3 + … + n + (n +1) = (1 + 2 + 3 + … + n) + (n +1)
= ( n(n+1)/2) ) + (n+1)
= ( (n2 + n)/2 ) + (2n+2)/2
= (n2 + 3n + 2)/2
= (n+1)(n+2)/2
= (n+1) ((n+1) + 1) / 2
Karena langkah 1 dan langkah 2 keduanya telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n,
TERBUKTI bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) /2
18
INDUKSI MATEMATIKA-CONTOH
Contoh 2:
Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2
Jawab
Langkah 1.
Untuk n = 1 jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1.
Langkah 2.
Misalkan untuk n ≥ 1
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 adalah benar, maka akan dibuktikan bahwa
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2(n+1) – 1) = (n+1)2 atau
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n+1) = (n+1)2 adalah benar juga.
Sekarang perhatikan:
1+3+5+…+(2n – 1)+(2n+1) = (1+3+5+…+(2n – 1)) + (2n+1)
= n2 + (2n+1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
19
INDUKSI MATEMATIKA-CONTOH
Contoh 3:
Untuk n ≥ 1, Tunjukkan bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3
Jawab
Langkah 1.
Untuk n = 1, didapat 13 + 2 (1) = 3 adalah benar kelipatan 3
Langkah 2.
Misalkan untuk n ≥ 1, maka n3 + 2n adalah benar kelipatan 3
Akan diunjukkan bahwa :
(n+1)3 + 2(n+1) adalah juga benar kelipatan 3.
Sekarang perhatikan:
(n+1)3 + 2(n+1)
= (n3 + 3n2 + 3n + 1) + (2n + 2)
= (n3 + 2n) + 3n2 + 3n + 3
= (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)
Adalah benar kelipatan 3.
Terlihat bahwa : (n3 + 2n) adalah kelipatan 3 dari hipotesis awal langkah 2
Sedangkan bahwa : 3(n2 + n + 1) jelas merupakan kelipatan 3 juga, sehingga n3 + 2n adalah
kelipatan 3 terbukti benar.
20
INDUKSI MATEMATIKA-CONTOH
Contoh 4:
Buktikan bahwa 22n – 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n ≥ 1
Jawab
Langkah 1.
Untuk n = 1, didapat 22 (1) -1 = 3 habis dibagi oleh 3.
Langkah 2.
Misalkan n ≥ 1, maka 22n -1 adalah benar habis dibagi oleh 3.
Akan ditunjukkan bahwa : 22(n+1) - 1 adalah benar habis dibagi 3.
Sekarang perhatikan bahwa:
22(n+1) - 1 = 22n + 2 - 1
= 22n . 22 - 1 = 4 . 22n – 1 =( 3 + 1).22n – 1
= (22n + 3. 22n) – 1
= (22n – 1) + 3. 22n
Adalah benar kelipatan 3.
Terlihat bahwa : (22n – 1) adalah benar kelipatan 3 dari langkah 1 sedangkan 3. 22n jelas merupakan 21
kelipatan 3.
INDUKSI MATEMATIKA-CONTOH
Contoh 5:
Buktikan bahwa 1(2) + 2(3) +…+ n(n+1) = n(n  1)(n  2)
3
untuk semua n.
Jawab
Langkah 1.
Untuk n = 1, didapat 1(1  1)(1  2)
adalah benar.
2
3
Langkah 2.
Misalkan n ≥ 1, maka adalah benar.
Akan ditunjukkan bahwa :
1(2) + 2(3) + … + n(n+1) +(n+1)(n+2) = (n  1)(n  1  1)(n  1  2)
1(2) + 2(3) + … + n(n+1) +(n+1)(n+2) = (n  1)(n  2)(n  3) 3
3
= (n3 + 3n2 + 3n2 + 9n + 2n + 6)/3
= ((n3 + 3n2 + 2n) + (3n2 + 9n + 6))/3
= ((n3 + 3n2 + 2n)/3) + 3(n2 + 3n + 2)/3
22
= ((n3 + 3n2 + 2n)/3) + (n2 + 3n + 2)
= n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) Adalah benar.
SOAL LATIHAN
23