Teorema Dasar Kedua Kalkulus dan Metode Substitusi serta Teorema Nilai Rataan untuk Integral dan Penggunaan Simetri NAMA KELOMPOK : Roikhatul Jannah (190402015) Risa Ayudiya Sari (190402016) Siti Nur Hidayah (190402026) Elma Qurnia Elok W. (190402027) Teorema Dasar Kedua Kalkulus dan Metode Substitusi Teorema Dasar Kalkulus Kedua penting dalam menyediakan alat yang ampuh untuk perhitungan integral tentu. Tetapi perannya yang paling penting adalah sebagai penghubungan antara diferensiasi dan integrasi, antara turunan dan integral. Hubungan ini dapat lebih jelas terlihat ketika menuliskan kembali kesimpulan untuk teorema dengan 𝑓 (𝑥) digantikan oleh g ′(𝑥). 𝑏 g′(𝑥) 𝑑𝑥 = g 𝑏 − g(𝑎) 𝑎 Teorema A: Teorema Dasar Kalkulus Kedua Misalkan 𝑓 kontinu (karena terintegrasikan) pada [𝑎, 𝑏], dan misalkan 𝐹 sebarang anti turunan dari 𝑓 pada [𝑎, 𝑏]. Maka 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑎 𝑥 Bukti: Untuk x dalam interval 𝑎, 𝑏 didefinisikan 𝐺 𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡. Maka menurut Teorema Dasar Kalkulus Pertama 𝐺 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 untuk semua 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 . Jadi 𝐺 adalah anti-turunan dari 𝑓, tetapi 𝐹 juga antiturunan dari 𝑓. Dari teorema 3.8 B kita menyimpulkan bahwa 𝐹 ′ 𝑥 = 𝐺 ′ 𝑥 , maka fungsi F dan G hanya dibedakan oleh konstantanya. Jadi, untuk semua 𝑥 dalam 𝑎, 𝑏 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝐶 Karena fungsi 𝐹 dan 𝐺 kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] (masalah 77), kita mempunyai 𝐹(𝑎) = 𝐺(𝑎) + 𝐶 dan 𝐹(𝑎) = 𝐺(𝑎) + 𝐶. Jadi, 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝐶 pada interval tertutup [𝑎, 𝑏]. Karena 𝐺 𝑎 = 𝑎 𝑓 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = 0 , kita mempunyai 𝐹 𝑎 =𝐺 𝑎 +𝐶 =0+𝐶 =𝐶 Karena itu, 𝑏 𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎 = 𝐺 𝑏 +𝐶 −𝐶 =𝐺 𝑏 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 Contoh : Perlihatkan bahwa 𝑏 𝑘 𝑑𝑥 𝑎 = 𝑘 𝑏 − 𝑎 , dimana 𝑘 adalah konstanta Penyelesaian : 𝐹 𝑥 = 𝑘𝑥 adalah suatu anti-turunan dari 𝑓 𝑥 = 𝑘. Sehingga Teorema Dasar Kalkulus Kedua 𝑏 𝑘 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝑘𝑏 − 𝑘𝑎 = 𝑘(𝑏 − 𝑎) 𝑎 Contoh : Perlihatkan bahwa jika 𝑟 suatu bilangan rasional yang bukan −1, maka 𝑏 𝑏𝑟+1 𝑎𝑟+1 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑟+1 𝑟+1 𝑟 𝑎 Penyelesaian : 𝑥 𝑟+1 𝑟+1 𝐹 𝑥 = adalah suatu anti-turunan dari 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑟 . Maka menurut Teorema Dasar Kalkulus Kedua, 𝑏 𝑥𝑟 𝑎 𝑏𝑟+1 𝑎𝑟+1 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = − 𝑟+1 𝑟+1 Jika 𝑟 < 0, kita mensyaratkan bahwa 0 tidak berada dalam 𝑎, 𝑏 . Adalah menguntungkan untuk memperkenalkan lambang baru untuk 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 . Kita tuliskan 𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎 = 𝐹 𝑥 𝑏 𝑎 Dengan notasi ini, 5 𝑥2 2 3 𝑥 𝑑𝑥 = 3 5 2 125 8 117 = − = = 39 3 3 3 Teorema B: Aturan Substitusi untuk Integral Tak-tentu Misalkan g fungsi terdefinisikan dan misalkan bahwa 𝐹 adalah antiturunan 𝑓. Maka 𝑓(g 𝑥 )g′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 g 𝑥 +𝐶 Bukti: semua yang kita perlu untuk membuktikan hasil ini adalah memperlihatkan bahwa anti-turunan dari ruas kanan merupaka integran dari ruas kiri. Ini adalah penerapan sederhana Aturan Rantai. 𝐷𝑥 𝐹 g 𝑥 + 𝐶 = 𝐹 ′ g 𝑥 g′(𝑥) Secara normal kita menerapkan Teorema B sebagai berikut. Dalam integral seperti g 𝑥 g ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶 = 𝐹 g 𝑥 +𝐶 Jadi, kita dapat mencari anti-turunan untuk 𝑓 𝑥 , kita dapat menghitung g 𝑥 g ′ 𝑥 𝑑𝑥. Akal untuk dibuat. Dalam beberapa kasus substitusi adalah memilih substitusi yang benar untuk dibuat. Dalam beberapa kasus substitusi ini jelas; dalam kasus lainnya tidak begitu jelas. Contoh : Hitunglah sin 3𝑥 𝑑𝑥 Penyelesaian: Di sini jelas bahwa substitusinya adalah 𝑢 = 3𝑥, sehingga 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥. Jadi sin 3𝑥 𝑑𝑥 = 1 sin 3𝑥 3 𝑑𝑥 3 1 = 3 sin 𝑢 𝑑𝑢 1 = − 3 cos 𝑢 + 𝐶 1 = − cos 3𝑥 + 𝐶 3 Perhatikan bagaimana kita mengalikan dengan 3 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 dalam integral. 1 ∙ 3 3 agar mempunyai ekspresi Contoh : Hitunglah 𝑥 sin 𝑥 2 𝑑𝑥 Penyelesaian: Di sini substitusi yang cocok adalah 𝑢 = 𝑥 2 . Ini memberikan kita sin 𝑥 2 = sin 𝑢 dalam integral, tetapi lebih penting lagi, 𝑥 tambahan dalam integral dapat diletakkan dengan diferensial, karena 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥. Jadi 2 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 1 = 2 1 sin 𝑥 2 2𝑥 𝑑𝑥 2 sin 𝑢 𝑑𝑢 1 = − cos 𝑢 + 𝐶 2 1 = − cos 𝑥 2 + 𝐶 2 Teorema C: Aturan Subtitusi untuk Integral Tentu Misalkan 𝑔 mempunyai turunan kontinu pada 𝑎 , 𝑏 dan misalkan 𝑓 kontinu pada daerah nilai 𝑔. Maka, 𝑏 𝑔 𝑏 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 𝑎 𝑔 𝑎 di mana 𝑢 = 𝑔 𝑥 Bukti Misalkan 𝐹 adalah suatu anti-turunan 𝑓 (Keberadaan dijamin oleh Teorema 4.3A). Maka menurut Teorema Dasar Kalkulus Kedua, 𝑔 𝑏 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 𝑔 𝑎 𝑔 𝑏 𝑔 𝑎 =𝐹 𝑔 𝑏 −𝐹 𝑔 𝑎 Dipihak lain, menurut Aturan Subtitusi untuk Integral tak tentu (Teorema B), 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑔 𝑥 +𝐶 Sehingga lagi-lagi menurut Teorema Dasar Kalkulus Kedua, 𝑏 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑔 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 =𝐹 𝑔 𝑏 −𝐹 𝑔 𝑎 Contoh : Hitunglah 1 0 𝑥+1 𝑑𝑥 (𝑥 2 +2𝑥 + 6) 2 Penyelesaian Misalkan 𝑢 = 𝑥 2 + 2𝑥 = 6 , sehingga 𝑑𝑢 = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 , dan perhatikan bahwa 𝑢 = 6 ketika 𝑥 = 0 dan ketika 𝑥 = 1 . Jadi, 1 0 𝑥+1 1 𝑑𝑥 = (𝑥 2 +2𝑥 + 6) 2 2 1 = 2 =− 1 0 9 6 2 𝑥+1 𝑑𝑥 (𝑥 2 +2𝑥 + 6) 2 11 −2 𝑢 𝑑𝑢 = − 2𝑢 1 1 1 − − = 18 12 36 9 6 Laju Perubahan Terakumulasi Teorema Dasar Kalkulus Kedua dapat dinyatakan kembali dalam cara ini : 𝑏 𝐹 ′ 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 𝑎 Jika 𝐹 𝑡 mengukur banyaknya suatu besaran pada waktu 𝑡, maka Teorema Dasar Kalkulus Kedua mengatakan bahwa laju perubahan terakumulasi mulai dari waktu 𝑡 = 𝑎 sampai waktu 𝑡 = 𝑏 adalah sama dengan perubahan bersih dalam besaran itu pada interval 𝑎 , 𝑏 , yakni banyaknya yang ada pada waktu 𝑡 = 𝑏 dikurangi banyaknya yang ada pada waktu 𝑡 = 𝑎 Teorema Nilai Rataan untuk Integral dan Penggunaaan Simetri Definisi: Nilai Rata-rata sebuah Fungsi Jika 𝑓 terintegrasikan pada interval 𝑎, 𝑏 , maka nilai Rata-rata 𝑓 pada 𝑎, 𝑏 adalah 1 𝑏−𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 CONTOH: Carilah nilai Rata-rata fungsi yang di definisikan oleh 𝑓 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 2 pada interval 0, 𝜋 , (Lihat Gambar 1). Penyelesaian: Nilai Rata-rata adalah 𝜋 1 2 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝜋−0 0 Untuk menghitung integral ini, kita membuat substitusi 𝑢𝑥 2 , sehingga 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥. Ketika 𝑥 = 0, 𝑢 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 𝑥, 𝑢 = 𝜋. 𝑗𝑎𝑑𝑖, 1 𝜋 𝜋 𝜋 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 0 0 = = = 1 2 𝜋 1 2 𝜋 1 𝜋 1 sin 𝑢 𝑑𝑢 2 − cos 𝑢 2 𝜋 0 Teorema A: Teorema Nilai Rataan untuk Integral. Jika 𝑓 kontinu pada[a,b], maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b sedemikian rupa sehinggga 1 𝑓 𝑐 = 𝑏−𝑎 𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑎 𝑥 Bukti: Untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 definisikan 𝐺 𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡. Menurut Teorema Nilai Rataan untuk Turunan (yang diterapkan pada G), terdapat suatu c dalam (a,b) sedemikian rupa sehingga 𝐺 𝑏 − 𝐺(𝑎) 𝐺 𝑐 = 𝑏−𝑎 Karena 𝐺 𝑎 = menuju ke 𝑏 𝑓 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = 0, 𝐺 𝑏 = 𝑏 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 1 𝐺 𝑐 =𝑓 𝑐 = 𝑏−𝑎 𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡. 𝑎 𝐺 𝑐 =𝑓 𝑐 , ini Teorema nilai rataan untuk integral sering di ungkapkan sebagai berikut: Jika 𝑓 tterintegrasikan pada[a,b], maka terdapat c dalam (a,b) sedemikian rupa sehingga 𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑏 − 𝑎 𝑓(𝑐) 𝑏 Ketika kita memandangnya dalam cara ini, teorema nilai rataan untuk integral mengatakan bahwa terdapat suatu c dalam interval [a,b] sedemikian rupa sehingga luas daerah segiempat dengan tinggi 𝑓(𝑐) dan lebar 𝑏 − 𝑎 adalah sama dengan luas dibawah kurva tersebut. Dalam Gambar 3, luas di bawah kurva sama dengan luas segiempat. CONTOH: Carilah semua nilai c yang memenuhi Teorema Nilai Rataan untuk integral untuk 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 pada interval −3,3 . Penyelesaian: Grafik 𝑓(𝑥) yang di perlihatkan dalam gambar 4 menunjukkan bahwa dapat ada 2 nilai c yang memenuhi teorema nilai rataan integral. Nilai rata-rata fungsi adalah 1 3 − (−3) 3 3 1 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 = 6 3 −3 3 = −3 1 27 − (−27) = 3 18 Untuk mencari nilai c, kita pecahkan 3 = 𝑓 𝑐 = 𝑐2 𝑐=± 3 Baik − 3 maupun 3 beerada dalam interval −3,3 , sehingga dua-duanya memenuhi Teorema Nilai Rataan untuk Integral Teorema B: Teorema Simetri Jika 𝑓 adalah fungsi genap, maka 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 −𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0 Jika 𝑓 adalah fungsi ganjil, maka 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 −𝑎 Bukti untuk Fungsi Genap Tafsiran geometri teorema ini diperlihatkan dalam Gambar 6 dan 7. Untuk membenarkan hasil secara analitis, pertama kita tuliskan 𝑎 0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + −𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 0 Dalam integral pertama di ruas kanan, kita buat substitusi 𝑢 = −𝑥, 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥. Jika 𝑓 genap, 𝑓 𝑢 = 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) dan 0 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − 𝑎 0 𝑓(−𝑥)(−𝑑𝑥) = − 𝑎 𝑎 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑎 𝑎 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0 Karena itu, 𝑎 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − −𝑎 𝑎 𝑓(𝑥)(𝑑𝑥) = − 0 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0 CONTOH : Hitunglah 2 (𝑥 −2 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑥 3 − 𝑥 4 )𝑑𝑥. Penyelesaian: Dua suku pertama dalam integran adalah ganjil, yang terakhir genap. Jadi kita boleh menuliskan integral sebagai 2 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑥 3 𝑑𝑥 − −2 2 𝑥 4 𝑑𝑥 = 0 − 2 −2 𝑥 4 𝑑𝑥 0 𝑥5 = −2 5 2 0 −64 = 5 Teorema C Jika 𝑓 periodik dengan periode 𝑝, maka 𝑏+𝑝 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎+𝑝 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 Bukti Tafsiran geometri dapat dilihat dalam Gambar 8, untuk membuktikan hasil, misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝑝 sehingga 𝑥 = 𝑢 + 𝑝 dan 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Maka 𝑏+𝑝 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎+𝑝 𝑏 𝑓 𝑢 + 𝑝 𝑑𝑢 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 Kita dapat menggantikan 𝑓 𝑢 + 𝑝 oleh 𝑓 𝑢 karena 𝑓 adalah fungsi periodik Contoh Hitunglah : a. b. 2𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥 0 100𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥 0 Penyelesaian: a. Perhatikan bahwa 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 adalah periodik dengan periode 𝜋 Gambar 9. Sehingga integral dalam 𝑎 adalah 2𝜋 0 sin 𝑥 𝑑𝑥 = = 𝜋 0 =2 𝜋 0 sin 𝑥 𝑑𝑥 + sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝜋 0 𝜋 0 2𝜋 𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 2[− cos 𝑥]0𝜋 = 2 1 − −1 =4 b. Integral dalam 𝑏 adalah 100𝜋 𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 0 2𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥 + 0 100𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥 + ⋯ + 𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥 99𝜋 𝜋 100 Integralnya masing − masing sama dengan sin 𝑥 𝑑𝑥 0 𝜋 = 100 0 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 100[− cos 𝑥] 0𝜋 = 100(2) = 200 Catat dalam Contoh 9, kita harus menggunakan simetri karena kita tidak dapat mencari anti-turunan untuk sin 𝑥 pada interval 0 , 100𝜋 . TERIMA KASIH
