DISTRIBUSI PELUANG KELOMPOK 8 DITA ARIYANI NIDA RIHADATUL AISY NAHDAH MUHAMAD BAGUS AMRULLAH MOH HARUN AR-RASYID DISTRIBUSI BINOMIAL Salah satu karakteristik penting dari percobaan binomial adalah bahwa percobaan hanya mungkin menghasilkan dua kejadian. Secara konvensional, kedua kejadian tersebut 15 biasa dikatagorikan sebagai berhasil dan gagal. Suatu percobaan binomial mempunyai ciri-ciri sebagai berikut : • Percobaan binomial terdiri dari n ulangan yang identik • Dalam setiap ulangan hanya mungkin dihasilkan dua kejadian, yaitu berhasil atau gagal. • Peluang untuk berhasil dalam setiap ulangan adalah p, dan nilai p bersifat konstan. • Setiap ulangan bersifat bebas dari ulangan yang lain, artinya hasil dari suatu ulangan tidak mempengaruhi hasil ulangan yang lain. Suatu pabrik lilin (untuk ski), menyatakan bahwa lilin produksinya dapat mengurangi gesekan antara ski-salju. Untuk menguji hal tersebut perlu dilakukan percobaan “perlombaan” 10 pasang ski, tiap pasangan satu ski diberi lilin sedangkan yang lain tidak diberi lilin. Berapakah kebolehjadian ke10 ski berlilin memenangkan lomba ? Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, dirumuskan dulu hipotesis statistik, dalam hal ini yang paling sederhana adalah “hipotesis nol”, yaitu mengandaikan bahwa lilin tidak memberi efek apapun. Kebolehjadian tiap ski berlilin menang p = ½, kalah q = ½ Kebolehjadian n ski berlilin memang dalam sepuluh (10) perlombaan. 10 10! 10! 1 𝑛 (10−𝑛) 𝑃 𝑥, 𝑛, 𝑝 = 𝑝 𝑞 = 𝑛! 10 − 𝑛 ! 𝑛! 10 − 𝑛 ! 2 10 10 1 10! 1 1 𝑃 10,10, = = ≈ 0,1% 2 10! 10 − 10 ! 2 2 DISTRIBUSI POISSON Distribusi ini diturunkan dari distribusi binomial untuk N besar. Jika kejadian yang diharapkan muncul adalah x, dan x << N maka kebolehjadian munculnya kejadian tersebut adalah p << 1 Standar deviasi dalam distribusi Poisson adalah 𝜎 = 𝑝𝑁 dengan 𝑝𝑁 = 𝜇 = mean, maka standart deviasinya adalah 𝜎= 𝜇 Suatu detector diletakkan di dekat sumber radioaktif lemah, counter mencatat tiap interval waktu 10 detik. Setelah selesai percobaan, distribusi bilangan cacah tiap interval waktu dinyatakan dengan distribusi Poisson, dengan 𝑐𝑎𝑐𝑎ℎ Mean = 𝜇 = 1,67 10 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑 𝜎= 𝜇= 1,67 = 1,29 DISTRIBUSI NORMAL Contoh 2.6 Misal hasil pengukuran dari suatu periode ayunan yang dilakukan enam kali adalah: 3,8; 3,5; 3,9; 3,4; 3,9; 1,8 (dalam detik). Kita lihat bahwa 1,8 sangat menyimpang dari hasil yang lain. Perlukah harga 1,8 tersebut kita tolak? Penyelesaian Dengan perhitungan nilai rata – rata diperoleh 𝜇= 3,8 + 3,5 + 3,9 + 1,8 6 𝜇 =3,4 Dan 𝜎 = 0,8 Kebolehjadian mendapat hasil ukur terletak antara : 1) 𝑋 − 𝜎𝑥 dan 𝑋 + 𝜎𝑥 dan = 68% atau P 2) 𝑋 𝑋 − 𝜎𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋 + 𝜎𝑥 = 68% − 2𝜎𝑥 dan 𝑋 + 2𝜎𝑥 = 95% atau P 𝑋 − 2𝜎𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋 + 2𝜎𝑥 = 95% Kebolehjadian penyimpangan hasil ukur adalah : 1) < 2) < 𝑋 − 𝜎𝑥 dan > 𝑋 + 𝜎𝑥 = 100% − 68% = 32% 𝑋 − 𝜎𝑥 )dan > (𝑋 + 𝜎𝑥 = %5 = %95 - %100 = Data 1,8 ternyata terletak pada P 1 % 20 𝑋 − 2𝜎𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋 + 2𝜎𝑥 dengan kebolehjadian penyimpangan hasil ukur 5% atau 1/20. Ini berarti bahwa setiap 20 pengukuran, diharapkan hanya ada satu penyimpangan hasil pengukuran. Contoh 2.7 SOAL : Dilakukan 10 kali pengukuran terhadap suatu besaran dengan nilai rata-rata adalah 𝑋 = 5dan 𝜎𝑥 .2 =salah satu hasil adalah 8. Ditolak atau diterimakah 8 ini? Penyelesaian: 𝑥−𝑥 8−5 = = 1,5 𝜎 2 𝑃 −1,5 < 𝜇 < 1,5 = 2𝑃 𝜇 > 1,5 𝑧= Dari daftar z 𝑃 𝜇 > 1,5 < 𝜇 < 1,5 = 86,64% Kebolehjadian menyimpang x 𝑃 𝜇 > 1,5 = 1 Karena 𝐾 = 10 → 𝑃 𝜇 > 1,5 > 4𝐾 1 4𝐾 = 1 40 = 2,5% maka 8 diterima 100% − 86,64% = 6,68% 2 Contoh 2.8 Soal: Suatu perusahaan membutuhkan fiber dengan daya patah normal 150 psi. Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa simpangan baku daya patah fiber merk X adalah 3 psi. Sebelum menggunakan fiber merk X, dilakukan empat kali eksperimen secara acak, dan 28 diobservasi. Ternyata daya patah rata-ratanya adalah 148 psi. Dengan 𝜎 = 0,05 (taraf kepercayaan 95 %), diterimakah fiber merk X tadi ? Penyelesaian: Diketahui : 𝑥 148 = psi 𝑥0 150 = psi 𝜎 = 3 psi n=4 Perumusan hipotesis : 𝐻0 : 𝜇 = 150 𝐻1 𝜇 ≠ 150 Ditentukan 𝜎 = 0,05 ; 𝑍1 2 1−𝜎 = 𝑍0,475 =( 1,960 tabel harga Z) Terima 𝐻0 jika −1,960 < 𝑍 < 1,960 𝑋 − 𝜇0 148 − 150 𝑍0 = 𝜎 = = −1,33 3 𝑛 4 Ternyata 𝑍0 < 𝑍𝑎 2 ,jadi 𝐻0 diterima, berarti fiber merk X tersebut dapat diterima karena memenuhi syarat normal. Contoh 2.14 SOAL: Proses pengisian suatu jenis makanan kedalam kemasan plastik oleh mesin, paling tinggi mempunyai varians 0,50 g. Akhir-akhir ini ada dugaan bahwa isi kemasan telah mempunyai variabilitas yang lebih besar. Setelah diteliti 20 kemasan dan isinya ditimbang. Ternyata sample ini menghasilkan simpangan baku 0,90 g dengan 𝛼 = 0,05. Perlukah mesin pengisi distel ? PENYELESAIAN : Pengujian yang akan dilakukan adalah mengenai 𝐻0 : 𝜎 2 = 0,50 𝐻1 : 𝜎 2 > 0,50 Dengan 20,81 dan n = 20 serta 𝜎 2 ,0,50 = maka dengan persamaan (2.29) diperoleh 20 − 1 0,81 = 30,78 0,50 Dari daftar Chi-kudrat dengan dk = 19 dan peluang 0,95 diperoleh 𝑋 2 0,95= 30,1 Karena Chi-kuadrat dari penelitian lebih besar dari 30,1 maka H0 ditolak pada taraf 5%. Ini berarti bahwa variasi isi kemasan telah menjadi lebih besar, sehingga dianjurkan untuk menyetel kembali mesin agar mendapatkan pengisian yang lebih merata. 𝑋2 = CONTOH 2.16 SOAL : Penelitian terhadap dua mesin pengisi minuman botol menghasilkan s12 = 25,4 cc dan s22 = 30,7 cc. Sampel yang diambil berukuran 13. Ada anggapan bahwa pengisian dengan mesin pertama mempunyai variabilitas yang lebih kecil. Betulkah hal tersebut ? Penyelesaian : Hipotesis yang akan diuji adalah H0 : 12 = 22 H1 : 12 > 22 Dengan persamaan (2.30) diperoleh 30,7 𝐹= = 1,21 25,4 Dari daftar distribusi F didapat F 0,05(12,12) = 2,69. Karena 1,21 < 2,69, maka dalam taraf nyata 0,05 H0 kita terima. Atau cara pengisian mesin kesatu mempunyai variabilitas yang sama dengan mesin kedua. SOAL NO. 1 Dalam suatu eksperimen dilakukan 15 kali pengukuran terhadap suatu besaran, rata rata hasil adalah x= 7 dengan deviasi standar sama dengan 2. Jika salah satu hasil adalah 𝑋1 = 9, ditolak atau diterimakah hasil pengukuran 𝑋1 tersebut? Penyelesaian 𝑋=9 𝑋=7 𝜎=2 𝑘 = 15 𝑋− 𝑋 9 −7 𝑍= = =1 𝜎 2 P −1, 0 < 𝜇 < 1,0 = 68, 26% Kebolehjadian menyimpang 100% −68,26% P (𝜇 > 1,0) = = 15, 87% Karena P μ > 1,0 > 1 4𝐾 𝐾 = 15 → 1 4𝑘 2 = 15,87% > 1,67% Maka, 9 diterima 1 60 = 1, 67% SOAL NOMOR 4 Hasil pengukuran panjang suatu benda adalah: 45, 48, 44, 38, 45, 47, 52, 44, 46, 45 cm. Selidikilah apakah ada data yang harus ditolak atau tidak? Penyelesaian : Berdasarkan data yang diperoleh tersebut, terdapat data yang menyimpang yaitu 38 dan 52. 45 + 48 + 44 + 38 + 45 + 47 + 52 + 44 + 46 + 45 𝑥= 10 𝑥 = 45,4 𝜎= 1 𝑁−1 𝑁 (𝑥𝑖 − 𝑥)2 𝑖=1 Kebolehjadian mendapat hasil ukur terletak antara: 1. 𝑥 − 𝜎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 𝜎 = 68%, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃 𝑥 − 𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + 𝜎 = 68% 2. 𝑥 − 2𝜎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 + 2𝜎 = 95%, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃 𝑥 − 2𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + 2𝜎 = 95% Kebolehjadian penyimpangan hasil ukur adalah: 1. < 𝑥 − 𝜎 𝑑𝑎𝑛 > 𝑥 + 𝜎 = 100% − 68% = 32% 2. < 𝑥 − 2𝜎 𝑑𝑎𝑛 > 𝑥 + 2𝜎 1 = 100% − 95% = 5% = 20 Data 38 dan 52 ternyata terletak pada 𝑃 𝑥 − 2𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + 2𝜎 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 20 dengan kebolehjadian penyimpangan hasil ukur 5% . ini berarti bahwa setiap 20 pengukuran, diharapkan hanya ada satu penyimpangan hasil pengukuran. Maka 38 dan 52 harus ditolak karena hanya terdapat 10 data.
